Przedstawione poni˙zej wyniki opisuj ˛a układ z mał ˛a liczb ˛a cz ˛astek. Rozwa˙z˛e nie wi˛ecej ni˙z jeden atom na oczko, który mo˙ze znajdowa´c si˛e w jednym z dwóch stanów a lub b.
Obie energie stanów jednocz ˛astkowych |1, 0i i |0, 1i s ˛a równe. Pole magnetyczne spełnia warunek rezonansu: Eb = Ea−gSµBB0. Energie Eai Eb zale˙z ˛a
oczywi-´scie od wysoko´sci bariery V0, co powoduje, ˙ze pole rezonansowe tak˙ze przejawia zale˙zno´s´c B0 = B0(V0).
Je´sli jest tylko jeden atom w oczku to oddziaływania dipolowe nie s ˛a w stanie sprz ˛ac dwóch rozwa˙zanych stanów. Je´sli jednak uwzgl˛edni´c niezerowe tunelo-wanie, wówczas wkład od oddziaływa ´n dipolowych jest obserwowany w drugim rz˛edzie rachunku zaburze ´n. Stan podstawowy i stan wzbudzony (z niezerowym momentem p˛edu i innym rzucie spinu) s ˛a wi˛ec efektywnie sprz˛e˙zone.
W tym rodziale chc˛e wyznaczy´c energetycznie stabilne fazy w układzie. Do tego celu zastosuj˛e standardow ˛a metod˛e pola ´sredniego z podrozdziału [5.2.1].
Hamiltonian (5.17) jest translacyjnie niezmienniczy. Wobec tego zało˙zenie, ˙ze w ka˙zdym oczku, w najni˙zszym stanie energetycznym zachodz ˛a identyczne pro-cesy fizyczne, jest całkowicie poprawne.
Metoda Fishera wymaga wprowadzenia parametru porz ˛adku, który jest ´sred-ni ˛a z operatora anihilacji po zespole statystycznym w granic T → 0. Model, który rozwa˙zam, jest dwuskładnikowy. To oznacza, ˙ze wyst˛epuj ˛a tu dwa pa-rametry porz ˛adku: φ(a) = haii i φ(b) = hbii. Całkowity hamitonian zapisany
Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 83 przy u˙zyciu wy˙zej wprowadzonych parametrów mo˙zna wyrazi´c jako sum˛e jed-nocz ˛astkowych hamiltonianów H0+ HI
H0 = −µ(a†a + b†b) +1
2Ua a†a†aa +1
2Ub b†b†bb
+Uab a†b†ab + D (b†b†aa + a†a†bb), (5.18) HI = −Jaφ∗(a)a − Jb φ∗(b)b + h.c. (5.19)
(omin˛ełam człony kwadratowe w φa (φb) oraz indeksy numeryj ˛ace oczka).
Po tych przybli˙zeniach hamiltonian H0+ HI nie zawiera sprz˛e˙zenia do s ˛ asied-nich oczek. Cen ˛a jest niezachowanie liczby cz ˛astek. Hamiltonian H0 + HI opisuje jedynie sprz˛e˙zenie pojedynczego oczka z rezerwuarem cz ˛astek w sieci.
Parametr, który kontroluje przepływ cz ˛astek ’z’ i ’do’ oczka, jest poten-cjał chemiczny µ. Przechodz˛e wi˛ec do opisu układu w formalizmie wielkiego zespołu kanonicznego.
W ogólno´sci parametr porz ˛adku stanowi wa˙zne ´zródło informacji o układzie -pozwala okre´sli´c, jaka jest faza w tym układzie. W fazie izolatora Motta, gdy cz ˛astki nie tuneluj ˛a, parametr porz ˛adku znika. Niezerowy jest tylko w fazie SF , bowiem wtedy ´srednia liczba atomów na oczko fluktuuje. Na granicy faz M I i SF parametr φa (φb) jest infinityzymalnie mały. Wobec tego stan Motta traci stabilno´s´c, gdy parametr porz ˛adku staje si˛e ró˙zny od zera.
Z definicji, w granicy β → ∞, parametry porz ˛adku (w najni˙zszym rz˛edzie ra-chunku zaburze ´n wzgl˛edem tunelowania) s ˛a nast˛epuj ˛ace:
hˆai = φ(a)= − lim
β→∞
1 Z(β)
Z ∞
0 dτ Tr[aie−(β−τ )H0 H1 e−τ H0] hˆbi = φ(b) = − lim
β→∞
1 Z(β)
Z ∞
0 dτ Tr[bie−(β−τ )H0 H1 e−τ H0], (5.20) gdzie Z(β) jest wielk ˛a suma statystyczn ˛a (5.10).
´Slad Tr[. . . ] nale˙zy wykona´c po wszystkich stanach z liczb ˛a cz ˛astek zmienia-j ˛ac ˛a si˛e od zera do niesko ´nczono´sci. W temperaturze T > 0 jest to bardzo zło˙zone zadanie, gdy˙z wymaga diagonalizacji hamiltonianu dla ró˙znej liczby cz ˛astek. W przypadku mojego rachunku z pomoc ˛a przychodzi fakt, ˙ze intere-suje mnie stan podstawowy układu, czyli β → ∞ (T → 0). W tej granicy wkład do ´sladu wnosi wtedy tylko kilka stanów. W szczególno´sci wkład do Z(β) po-chodzi tylko od stanu podstawowego o energii E0, Z(β) = e−βE0.
Energia E0 jest funkcj ˛a potencjału chemicznego µ. W zale˙zno´sci od warto´sci µ, stan podstawowy b ˛edzie odpowiadał ró ˙znej liczbie cz ˛astek. I tak dla µ < 0
Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 84 stanem o najmniejszej energii jest stan bez cz ˛astek. Dla 0 < µ < Ua stanem podstawowym jest stan z jedn ˛a cz ˛astk ˛a w oczku. W miar˛e wzrostu µ stan podstawowy b˛edzie le˙zał w przestrzeni z coraz wi˛eksz ˛a liczb ˛a cz ˛astek.
Pełen hamiltonian, oprócz energii jednocz ˛astkowej, kontaktowej i dipolowej, posiada jeszcze wkład od tunelowania. Tunelowanie, je´sli odpowiednio du˙ze, mo˙ze prowadzi´c do destabilizacji fazy izolatora Motta i tym samym zmieni´c charakter stanu podstawowego na stan nadciekły. Wyra˙zenie na nadciekły parametr porz ˛adku (5.20) zawiera wkład od tunelowania w najni˙zszym rz˛edzie rachunku zaburze ´n. W granicy β → ∞ (5.20) opisuje procesy, gdy jedna cz ˛astka wejdzie lub wyskoczy z oczka. Je´sli w wyniku tych procesów energia w układzie si˛e zwi˛eksza, to stan podstawowy dla danego µ jest stabilny. W przeciwnym razie układ przechodzi do stanu nadciekłego z niezerow ˛a warto´sci ˛a pola ´sredniego.
RYSUNEK 5.7: Diagram fazowy dla 2-wymiarowej sieci optycznej, z = 4. Wy-ró˙zniono nast˛epuj ˛ace fazy : M – izolator Motta jednocz ˛astkowego stanu, tj.
równej superpozycji komponentów a i b, MS – superfluid w składniku a i b (gdzie b-jest dominuj ˛acy) oraz izolator Motta w ortogonalnej superpozycji, S – faza superfluid obydwu komponentów a i b, Sb – superfluid w składniku b. Mniejszy rysunek przedstawia diagram fazowy dla z = 3. Dodatkowo nieniesiono linie potencjału chemicznego µ(N) dla danej stałej liczby atomów -wyniki ´scisłej diagonalizacji. Ka˙zdej z lini - w kolejno´sci od dołu - odpowiada konkretna warto´s´c całkowitego obsadzenia plakietki N = 2, . . . , 9. Gdy µ > Ub
(jasnoszary obszar) wy˙zej omówione fazy przestaj ˛a by´c stabilne, gdy˙z stanem podstawowym układu jest stan dwucz ˛astkowy. Oczywi´scie stabilno´s´c faz
wy-st˛epuje tu w odniesieniu do tunelowania jednej cz ˛astki.
Moim głównym zamiarem było wyznaczenie diagramu fazowego dla µ < Ua, czyli dla przypadku, gdy ´srednia liczba cz ˛astek na oczko jest ≤ 1. Dla wi˛ekszej warto´sci µ nale˙załoby rozwa˙za´c stany jedno-, dwu- i trzycz ˛astkowe.
Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 85 By wyznaczy´c diagram fazowy Rys.(5.7), w tym celu zdiagonalizowałam hamil-tonian H0 dla jednej i dwóch cz ˛astek w oczku. Wkłady od stanów z trzema i wi˛ecej cz ˛astkami znikaj ˛a w granicy T → 0. Za znikanie tych wy˙zszych wkła-dów w głównej mierze jest odpowiedzialny wyraz 1/Z(β) = eβE0, wyst˛epuj ˛acy w równaniu (5.20).
Szczegółowe rachunki ostatecznie prowadz ˛a do jednorodnego i liniowego układu równa ´n na pola φ(a)i φ(b):
1 + zJaA11(µ, V0) zJb A21(µ, V0) zJa A12(µ, V0) 1 + zJb A22(µ, V0)
φa φb
= 0 (5.21)
gdzie pod symbolami Aij(µ, V0) kryj ˛a si˛e wyra˙zenia zło˙zone z elementów ha-miltonianu (5.17), które s ˛a sparametryzowane jedn ˛a wielko´sci ˛a V0. Ponadto zachodzi równo´s´c elementów A12(µ, V0) = A21(µ, V0). Ze wzgl ˛edu na zbyt dług ˛a form˛e tych wyra˙ze ´n, umie´sciłam je w Dodatku C. Obecnie głównym celem jest ukazanie samej idei rachunku.
Powy˙zszy układ równa ´n obowi ˛azuje, o ile jest spełniona nierówno´s´c: µ < Ub < Ua. Dla ujemnych warto´sci potencjału chemicznego µ < 0, stanem o najmniejszej energii jest stan pró˙zni |0, 0i. Dodatkowo A12(µ, V0) = A21(µ, V0) = 0 , wi ˛ec układ (5.21) przyjmuje prostsz ˛a posta´c:
1 + zJa A11(µ, V0)φa = 0, (5.22)
1 + zJb A22(µ, V0) φb = 0. (5.23)
Ró˙zne od zera rozwi ˛azania dostajemy, gdy:
1 + zJa A11(µ, V0)= 0, wtedy φa6= 0 (5.24)
lub
1 + zJb A22(µ, V0) = 0, wtedy φb 6= 0. (5.25) Rozwi ˛azuj ˛ac (5.24) i (5.25) ze wzgl˛edu na µ, dostaj˛e dwie krzywe µa(V0) oraz µb(V0). Definiuj ˛a one granic˛e stabilno´sci stanu Motta (w tym przypadku stanu Motta bez cz ˛astek). Krzywa niebieska na Rys.(5.7) odpowiada µb(V0), za´s krzywa czerwona – µa(V0).
Czarny obszar na Rys.(5.7) zako ´nczony niebiesk ˛a krzyw ˛a okre´sla granic˛e sta-bilno´sci stanu podstawowego.
Pierwsze przej´scie fazowe jest przej´sciem do fazy nadciekłej Sb w składniku b.
Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 86 Jest to zrozumiałe, gdy˙z |Jb| ≫ |Ja|. Obecno´s´c tunelowania zdecydowanie ob-ni˙za energi˛e układu (gdy wysoko´s´c bariery maleje – ro´snie tunelowanie). To oznacza, ˙ze składnik b ma mniejsz ˛a energi˛e ni˙z składnik a. Stan podstawowy staje si˛e wtedy stanem o ´srednim obsadzeniu oczka 0 < na+ nb< 1.
W miar˛e dalszego obni˙zania bariery (|Jb| i |Ja| rosn ˛a), faza Sb przestaje by´c sta-nem podstawowym. Po przekroczeniu lini µa(V0) (krzywa czerwona na Rys.(5.7)), pojawia si˛e faza S. W tej fazie współistniej ˛a dwie składowe nadciekłe, φa i φb, w składniku a (standardowa faza nadciekła) i w składniku b - orbitalna super-ciecz Px+ i Py.
Przejd˛e teraz do omówienia obszaru dla dodatnich warto´sci potencjału che-micznego, tj. 0 < µ < Ua. Otó˙z w tym zakresie warto´sci µ pewnym problemem jest fakt, ˙ze w układzie z jedn ˛a cz ˛astk ˛a na oczko wyst˛epuje degeneracja. Stany
|1, 0i i |0, 1i maj ˛a w rezonansie równ ˛a energi˛e. Z pomoc ˛a przychodzi analiza oparta o hamiltonian efektywny uwzgl˛edniaj ˛acy wirtualne procesy tunelowania
’z’ i ’do’ oczka (drugi rz ˛ad rachunku zaburze ´n w tunelowaniu). Z tej analizy wynika, ˙ze w obszarze 0 < µ < Ua, stan podstawowy to: |gi = √12 |1, 0i − |0, 1i. Wła´snie ten stan u˙zyłam do wyznaczenia ´sladu w (5.20).
Układ równa ´n na pola φ(a) i φ(b), gdy stanem podstawowym jest |gi, ma posta´c (5.21). Elementy pozadiagonalne A12(µ, V0) (A12(µ, V0) = A21(µ, V0)) w tym przy-padku s ˛a ró˙zne od zera. To powoduje, ˙ze macierz (5.21) jest niesymetryczna, i dlatego formalnie posiada prawe i lewe wektory własne. Postanowiłam wi˛ec zmieni´c form˛e układu równa ´n, tzn. macierz (5.21) zapisałam w taki sposób, by uczyni´c j ˛a symetryczn ˛a:
1/(zJa) + A11(µ, V0) A21(µ, V0) A21(µ, V0) 1/(zJb) + A22(µ, V0)
zJaφa zJbφb
= 0 (5.26)
Zdiagonalizowałam macierz (5.26). Wektory własne Ψ(a) i Ψ(a) to liniowe kom-binacje „starych” parametrów porz ˛adku φ(a) i φ(b). Znajomo´sci Ψ(a) i Ψ(a) pozwoliła wprowadzi´c odpowiadaj˛ace tym wektorom własnym, bozonowe ope-ratory: A† = (κaa†+ κbb†) i B† = (−κba†+ κab†), gdzie κ2a + κ2b = 1. Te operatory b˛ed ˛a pomocne w interpretacji wyników. Jak wida´c A† i B† tworz ˛a cz ˛astk˛e w dwóch ortogonalnych superpozycjach stanów a i b.
Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 87 W bazie wektorów własnych macierz (5.26) jest macierz ˛a diagonaln ˛a Mii(µ, V0), czyli
M11(µ, V0) Ψa = 0, M22(µ, V0) Ψb = 0.
(5.27) Poszukiwałam niezerowych rozwi ˛aza ´n na Ψ(a) i Ψ(b). Rozwa˙zyłam zatem dwa niezale˙zne przypadki: Ψa 6= 0, gdy M11(µ, V0) = 0 oraz Ψb 6= 0, gdy M22(µ, V0) = 0. Ka ˙zdy warunek M11(µ, V0) = 0 i M22(µ, V0) = 0 pozwolił wyznaczy´c jedn ˛a krzyw ˛a, odpowiednio µ1(V0) i µ2(V0). Równania w (5.27) s ˛a równaniami na µ. Rozwi ˛azałam je numerycznie. Wyniki przedstawiłam na dia-gramie fazowym Rys.(5.7) dla 0 < µ < Ua. Kolorem niebieskim oznaczyłam rozwi ˛azania µ2(V0), za´s kolorem czerwonym rozwi ˛azania µ1(V0).
Niebieska linia oznacza granic˛e fazy izolatora Motta M. W tym obszarze ba-dany stan podstawowy |gi jest stabilny i wówczas w ka˙zdym pojedynczym oczku atom jest w superpozycji stanu podstawowego i stanu Wanniera z mo-mentem p˛edu. Granic˛e fazy M wyznacza warunek M22(µ, V0) = 0.
Na samej granicy i na prawo od niej (w fazie MS), ´srednia operatora B ma niezerow ˛a warto´s´c. Drugie pole ´srednie ΨA, które jest opisane przez operator A† ≃ a†, w omawianym obszarze MS jest równe zero. W obszarze MS istnieje wi˛ec niezerowy nadciekły parametr ΨB, ΨB = −κbφ(a)+ κaφ(b). Wyniki nume-ryczne pokazały, ˙ze na krzywej µ2(V0) (granica stabilno´sci fazy izolatora Motta M ): κa ≃ −0.99, za´s stosunek amplitud wynosi (κb/κa)2 ≃ 0.02. Wobec tego stan ΨB jest zdominowany przez składnik b - stan orbitalny Wanniera z nieze-rowym momentem p˛edu (st ˛ad B†≃ b†). Oczywi´scie jest to pewne uproszczenie, gdy˙z pole Ψb (Ψa) posiada mał ˛a domieszk˛e drugiego składnika a (b).
Faza MS jst bardzo ciekawa. Stan podstawowy w tym obszarze jest superpo-zycj ˛a dwóch stanów: izolatora Motta MI w składniku zdominowanym przez cz ˛astki o mS = 3 w stanie podstawowym Wannier oraz stanu nadciekłego zdominowanego przez cz ˛astki o mS = 2 w stanie wzbudzonym Wannier typu Px+ iPy.
Przy wi˛ekszych warto´sciach tunelowa ´n ma miejsce drugie przej´scie fazowe.
Wówczas stan MS traci sw ˛a stabilno´s´c. Oznacza to, ˙ze na granicy µ1(V0) (rozwi ˛azanie równania M11(µ, Ja, Jb) = 0) pojawia si ˛e niezerowe pole ´srednie ΨA= κaφ(a)+ κbφ(b), które istnieje tak˙ze na prawo od granicy µ1(V0), w obszarze du˙zych tunelowa ´n S. W przypadku pola ΨA warto´s´c współczynnika κawynosi
Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 88
κa ≃ 0.97, za´s maksymalna warto´s´c stosunku (κb/κa)2 ≃ 0.06 jest na tyle mała,
˙ze składnik a stanowi cz˛e´s´c dominuj ˛ac ˛a pola ΨA.
W obszarze (S) egzystuj ˛a oba superfluidy ΨAi ΨB jednocze´snie.
Szary obszar na Rys.(5.7) odpowiada warunkowi µ > Ua. W tym obszarze stanem podstawowym jest stan z dwiema cz ˛astkami na oczko. Akurat tego stanu nie badałam w rozprawie. Jednak, co wida´c na diagramie, w tym obsza-rze istnieje krzywa niebieska µ1(V0). Pokazuje ona, ˙ze badany stan układu z jedn ˛a cz ˛astk ˛a na oczko |gi = √12|1, 0i − |0, 1i jest nadal stabilnym stanem ze wzgl˛edu na tunelowanie. Nie jest to jednak stan podstawowy.
Chciałabym zaznaczy´c, ˙ze powy˙zsze wyniki zostały potwierdzone równoległym rachunkiem - metod ˛a ´scisłej diagonalizacji. Cho´c rachunek ten nie był wyko-nany przeze mnie, to omówie go skrótowo, by da´c dowód na zbie˙zno´sci wyników obu metod.
W sko ´nczonym układzie (plakietka 2 × 4) z periodycznymi warunkami brzego-wymi zbadano stabilno´s´c stanu podstawowego dla ustalonej liczby atomów w układzie N = 1, ..., 9. Diagonalizuj ˛a hamiltonian wyznaczono stan podstawowy układu. W rezonansie taki stan posiada równe obsadzenie składników a i b.
Mały diagram fazowy wewn ˛atrz Rys.(5.7) został otrzymany metod ˛a pola ´sred-niego. Na nim nało˙zono wyniki uzyskane ze ´scislej diagonalizacji. Linie na diagramie oznaczaj ˛a potencjał chemiczny dla stałej liczby cz ˛astek na oczko za-le˙znie od wysoko´sci bariery (wszystkie parametry w hamiltonianie zale˙z ˛a od V0). Dzi ˛eki nało ˙zonym liniom wyra´znie wida´c, ˙ze fazy M oraz M S s ˛a osi ˛agalne w układzie z dokładnie jednym atomem na oczko (osiem atomów na plakietce).
Tylko ta linia wchodzi w obszar fazy izolatora Motta.
Obliczono tak˙ze parametry przeskoków atomów, tj. warto´sci ´srednie operato-rów ha = P<j>ha†jaii i hb = P<j>hb†jbii. Operatory przeskoków anihiluj ˛a
0 0.5 1
0 22 42 62 82 102 122 142
Hopping (arb. u.)
Ja/Ua (10-3)
RYSUNEK5.8: Przeskoki w niskoenergetycznym stanie na plakietce 2×4 otrzy-mane ze ´scisłej diagonalizacji. Górna linia – składnik b, ni˙zsza linia –
skład-nik a.
Rozdział 5. Dwuskładnikowy model BH 89 atom w oczku i-tym, kreuj ˛ac go w oczku s ˛asiednim. W tym sensie s ˛a one analogiem pól ´srednich φa i φb. Rys.(5.8) przedstawia przeskoki w układzie z jednym atomem na oczko.
Gdy tunelowanie jest du˙ze, du˙ze s ˛a tak˙ze parametry ha, hb. Przy warto´sci Ja/Ua≃ 0.064 w układzie dochodzi do pierwszego przej´scia fazowego. ha gwał-townie spada do zera (w składniku a pojawia si˛e faza izolatora Motta), za´s hb nadal pozostaje niezmienione (faza nadciekła w składniku b). Drugie
przej-´scie fazowe pojawia si˛e przy warto´sci Ja/Ua ≃ 0.002. Wówczas warto´sci obu parametrów przeskoków s ˛a małe, a układ wchodzi w obszar izolatora Motta z jednym atomem na oczko.
Wyniki numeryczne ze ´scisłej diagonalizacji w pełni potwierdzaj ˛a wyniki, które otrzymałam metod ˛a pola ´sredniego.