3.6 Konstrukcja funkcji Wanniera
3.6.2 Tunelowanie cz ˛ astek w stanach Wanniera
Z definicji:
Jn= Z
dx Wn∗(x − x0+ d) H Wn(x − x0) (3.17) Post˛epowanie w tym podrozdziale jest analogiczne jak w poprzednim. Osta-tecznie podam po prostu wzór na energi˛e tunelowania:
Jn= Z 1
0 dν an,ν cos(νd) (3.18)
Rozdział 4
Dynamika spinu
Badania prezentowanne na łamach tej rozprawy doktorskiej dotycz ˛a ultrazim-nego układu atomów chromu. Chrom 52Cr nale ˙zy do grona pierwiastków o du˙zym momencie magnetycznym (µ = 6µB). Dodatkowo posiada a ˙z 7 składni-ków magnetycznych i mi˛edzy innymi dlatego obserwacja dynamiki spinu w tym układzie jest bardzo ciekawa i spektakularna. Istniej ˛a dwa typy oddziaływa ´n odpowiedzialnych za ewentualn ˛a dynamik˛e spinu. Ka˙zde z nich jest całkowicie inne, ka˙zde rz ˛adzi si˛e innymi prawami - jak pokazuje rozdział 2.
W rozdziale 4. przedstawi˛e własne wyniki bada ´n dynamiki spinu w zale˙zno´sci od rodzaju potencjału pułapkuj ˛acego.
Pierwsza cz˛e´s´c rozdziału 4. b˛edzie dotyczy´c rachunku numerycznego na dwóch oczkach sieci z N atomami. Poka˙z˛e, ˙ze dynamika spinu w zerowym polu ma-gnetycznym mo˙ze by´c zdeterminowana przez zale˙zne od spinu oddziaływania kontaktowe zgodnie z modelem Heisenberga t − J. Wszystkie uwzgl˛ednione w tym modelu oddziaływania zachowuj ˛a magnetyzacj˛e.
W drugiej cz˛e´sci rozdziału 4. skupi˛e si˛e na obserwacji dynamiki spinu inicjo-wanej przez rezonansowe, magnetyczne oddziaływania dipolowe, a nast˛epnie kontynuowanej przez zale˙zne od spinu oddziaływania kontaktowe. W tym celu rozwa˙zam pojedyncze oczko wysokiej, kwadratowej sieci optycznej, w której znajduj ˛a si˛e dwa atomy w stanie mS = 3. Warunkiem koniecznym obserwacji dynamiki spinu jest wybór rezonansowej warto´sci pola magnetycznego. Dzi˛eki temu procesy dipolowe nie gwałc ˛a zasady zachowania energii oraz całkowitego momentu p˛edu. Istniej ˛a wi˛ec dwa typy wzbudze ´n dipolowych, które w tych warunkach mog ˛a mie´c miejsce, i które powoduj ˛a zmian˛e magnetyzacji w ukła-dzie: △Mz = ±1 lub △Mz = ±2. Oba zostan ˛a szczegółowo omówione.
Wła´snie w tej cz˛e´sci rozdziału pojawi si˛e jedna z kluczowych obserwacji całej 31
Rozdział 4. Dynamika spinu 32 rozprawy. Potencjał pojedynczego oczko sieci optycznej skrywa w sobie sub-telne cechy. S ˛a to anharmoniczno´s´c i anizotropowo´s´c oczka. Okazuje si˛e, ˙ze te cechy mocno wpływaj ˛a na cały przebieg dynamiki w szczególno´sci, gdy pod uwag˛e bierze si˛e wysoko wzbudzone orbitalne stany Wanniera. Nawet mały efekt anharmoniczno´sci mo˙ze mie´c powa˙zne konsekwencje. Jednym z pierw-szych artykułułów, który to uwypuklił był [19, 20].
Ostatnimi czasy zademonstrowano przepis na rezonansow ˛a demagnetyzacj˛e ze spolaryzowanymi atomami chromu w sieci optycznej [16]. Ten artykuł potwier-dził, ˙ze prowadzone przeze mnie badania nie s ˛a ciekawe wył ˛acznie dla teorety-ków. Wr˛ecz przeciwnie - wnosz ˛a bardzo du˙zy wkład do zrozumienia wyników do´swiadczalnych. Poka˙z˛e to na samym ko ´ncu rozdziału 4.
4.1 Dynamika spinu via oddziaływania kontaktowe w dwóch oczkach sieci
Rozwa˙z˛e prosty model wysokiej sieci przybli˙zony przez układ dwóch oczek. Pa-rametrem sieci jest długo´s´c fali lasera λ = 532 nm. Typowa jednostka długo´sci w układzie to 1k = 2πλ, za´s jednostk ˛a energii jest energia odrzutu ER = ~2M2k2, co w przeliczeniu na cz˛estotliwo´s´c daje E~R = 2π × 13.5 kHz. M jest mas ˛a atomów chromu. Przyj˛ełam, ˙ze wysoko´s´c bariery V0 ka˙zdego oczka wynosi V0 = 25 ER. Jest to warto´s´c, któr ˛a uzyskuje si˛e w typowych eksperymentach. W swoim modelu uwzgl˛edniam wszystkie składniki magnetyczne.
Głównym zadaniem, jakie przede mn ˛a stoi jest okre´slenie wpływu oddziaływa ´n kontaktowych zale˙znych od spinu na dynamik˛e układu. Zupełnie niedawno -ku memu zaskoczeniu - ukazała si˛e praca [35], w której autorzy do´swiadczalnie zrealizowali podobny pomysł. Wyniki ich pracy wyprzedziły w czasie publika-cj˛e moich rezultatów. Owa zbie˙zno´s´c w zainteresowaniu tym samym tematem pokazuje, ˙ze problem takiej dynamiki jest ciekawy zarówno dla bada ´n teore-tycznych jak i do´swiadczalnych. Nie zwa˙zaj ˛ac na publikacje [35], zaprezentuje w tym podrozdziale własne wyniki numeryczne.
Do opisu ultrazimnych atomów o spinie S umieszczonych w sieci optycznej słu˙zy (2S + 1) składnikowy spinor. Chrom posiada całkowity spin S = 3, st ˛ad mowa o 7-składowym spinorze:
ˆ Ψ(~r) =
X3 mS=−3
ΨmS(~r) ⊗ χmS, (4.1)
Rozdział 4. Dynamika spinu 33 gdzie suma przebiega po wszystkich jego składowych, ΨmS(~r) to operator pola stanu o magnetyzacji mS, za´s
χmS =
jest wektorem jednostkowym z jedynk ˛a na pozycji mS. Układ, który rozwa˙z˛e, znajduje si˛e w zerowym polu magnetycznym. W rezultacie wszystkie oddziały-wania w hamiltonianie musz ˛a zachowywa´c magnetyzacj˛e. Jak wspomniałam, zmiana magnetyzacji jest kosztowna energetycznie i jest mo˙zliwa tylko w obec-no´sci pola magnetycznego, dla którego energia zeemanowska jest odpowiednia.
W stanie pocz ˛atkowym atomy znajduj ˛a si˛e w stanie podstawowym pułapki, tj.
w stanie opisywanym funkcj ˛a Wanniera W0(~r) z najni ˙zszego pasma. Oznacza to, ˙ze mo˙zna ograniczy´c si˛e do jednej funkcji przestrzennej i zapisa´c opera-tor pola jako ΨmS(~r) = W0(~r) ˆbmS, gdzie ˆbmS jest operatorem anihilacji, który niszczy cz ˛astk˛e w stanie spinowym mS opisanym funkcj ˛a W0(~r).
W stanie pocz ˛atkowym, w ka˙zdym oczku w stanie mS = 2 umieszczam tak ˛a sam ˛a liczb˛e atomów. Docelowo rozwa˙z˛e N = {2, 4, 6} atomy w układzie.
B˛ed˛e badała ewolucj˛e stanu pocz ˛atkowego, obserwuj ˛ac ´srednie obsadzenie ka˙zdego składnika magnetycznego w funkcji czasu. Hamiltonian układu cha-rakterem przypomina model t − J, dobrze znany w fizyce ciała stałego [36,37, 38]. Model t − J opisuje proces wymiany spinów fermionów umieszczonych w s ˛asiednich w˛ezłach sieci krystalicznej. Ma on zastosowanie w opisie dynamiki nierównowagowej.
W modelu, który opisz˛e, nierównowagow ˛a dynamik˛e mog ˛a wywoła´c dipolowe oddziaływania momentów magnetycznych atomów mi˛edzy s ˛asiednimi oczkami:
Hd0= d2
gdzie indeksy 1, 2 numeruj ˛a atomy. Je´sli atom 1 jest w jednym oczku sieci, a atom 2 w drugim oczku, to podobie ´nstwo do modelu t − J:
Ht−J = −t X
<ij>σ
aˆ†i,σˆaj,σ+ h.c+ J X
<ij>
S~i· ~Sj− ninj/4 (4.4)
jest widoczne. Ten typ oddziaływa ´n dipolowych powoduje zmian˛e spinu ka˙zdej pary atomów w taki sposób, by magnetyzacja układu była zachowana. Zasada
Rozdział 4. Dynamika spinu 34 zachowania magnetyzacji w układzie dotyczy tak˙ze pozostałych członów hamil-tonianu. Przejd˛e wi˛ec do jego opisu.
Hamiltonian układu w bazie funkcji Wanniera ma posta´c:
Ht−J = −J gdzie suma przebiega po wszystkich mo˙zliwych magnetyzacjach, ˆbm(i) i ˆb†m(i) to bozonowe operatory, które odpowiednio anihiluj ˛a i kreuj ˛a atom w stanie z magnetyzacj ˛a m w i-tym oczku.
Pierwsza linijka (4.5) opisuje tunelowanie. Proces ten zachodzi w przestrzeni stanów zachowuj ˛acych energi˛e i magnetyzacj˛e. Druga linijka w hamiltonia-nie Ht−J dotyczy lokalnych oddziaływa ´n w oczku. Człon ˜U
m1,m2,m′ 1,m′
2
to suma energii oddziaływania kontaktowego Um
1,m2,m′1,m′2 i oddziaływania dipolowego Dm
1,m2,m′1,m′2 w tym samym oczku. Zauwa˙zmy, ˙ze Um
1,m2,m′1,m′2 ≫ Dm1,m2,m′
1,m′2. W ostatniej linijce (4.5) wyraz VmS4,mS3,mS2,mS1 opisuje sprz˛e˙zenie dipolowe mi˛edzy atomami w ró˙znych oczkach. Ta energia zale˙zy od odległo´sci mi˛edzy oczkami jak ∼ d13 (w przypadku badanym w pracy doktorskiej d = λ/2 = 266 nm) i jest znacznie mniejsza ni ˙z lokalne oddziaływania dipolowe Dm
1,m2,m′1,m′2. Brak pola magnetycznego pozwala rozwa˙za´c wył ˛acznie takie procesy dipolowe, dla których M = m1+ m2 = m′1+ m′2 jest stała. Człony hamiltonianu dipolo-wego, które zmieniaj ˛a magnetyzacj˛e o jeden lub dwa kwanty zostan ˛a omówione w nast˛epnym rozdziale. Te procesy wymagaj ˛a obecno´sci rezonansowego pola magnetycznego, a w przypadku jego braku - stanowi ˛a jedynie małe zaburzenie w układzie (zaniedbywalne).
Kluczow ˛a spraw ˛a w tym problemie jest tak˙ze wybór odpowiedniej bazy. Wi ˛a˙ze si˛e to z rosn ˛acym pot˛egowo wymiarem D × D macierzy, któr ˛a nale˙zy zdiagona-lizowa´c. Jednocz ˛astkowa przestrze ´n dost˛epnych stanów składa si˛e z siedmiu komponentów spinowych mS = {−3, ..., 3} w pierwszym oczku i z siedmiu w drugim oczku m′S = {−3, ..., 3}. Liczba wszystkich mo˙zliwych stanów N cz ˛ a-stek w tych czternastu stanach wynosi D = 105 dla N = 2, D = 2380 dla N = 4, za´s dla N = 6 jest równa D = 72352. Jednak wi ˛ekszo´s´c tych stanów ma ró˙zn ˛a magnetyzacj˛e, mS+ m′S. W stanie pocz ˛atkowym wszystkie cz ˛astki s ˛a w
Rozdział 4. Dynamika spinu 35 stanie o magnetycznej liczbie kwantowej mS = 2, czyli pocz ˛atkowa magnety-zacja układu wynosi M = 2N. Ten warunek bardzo ogranicza liczb˛e istotnych stanów. Do oblicze ´n u˙zyłam jedynie te stany N-cz ˛astkowe, które zachowuj ˛a magnetyzacj˛e.
W wybranej bazie stanów obliczenia numeryczne nie stanowiły ju˙z problemu.
W układzie z N = 2 atomami wymiar przestrzeni wynosi D = 7, z N = 4 ato-mami wynosi D = 46, za´s w przypadku N = 6 atomów trzeba zdiagonalizowa´c macierz kwadratow ˛a w bazie D = 217 stanów.
Mimo, ˙ze hamiltonian układu jest zapisany w j˛ezyku drugiej kwantyzacji, ze wzgl˛edu na stosunkowo niewielk ˛a liczb˛e cz ˛astek w układzie, opisuj ˛ac wyniki b˛ed˛e stosowała notacj˛e „pierwszej kwantyzacji”. I tak
|mS1, mS2, ..., mSki1⊗ |m′S1, m′S2, ..., m′Sli2, (4.6) to stan, w którym w pierwszym oczku pierwszy atom jest w stanie o magnety-zacji mS1, drugi w stanie mS2, ... itd. Analogicznie, m′S1 to stan spinowy pierw-szego atomu w drugim oczku, itd. Oczywi´scie l + k = N - całkowita liczba atomów w układzie. Mimo, ˙ze pocz ˛atkowo liczba atomów w pierwszym i dru-gim oczku była taka sama, to obecno´s´c tunelowania daje atomom mo˙zliwo´s´c przeskoku, st ˛ad w ogólno´sci l 6= k (Pki=1mSk +Pli=1mSl = 2N ). Sytuacj ˛e, gdy w i-tym oczku nie ma ˙zadnej cz ˛astki, oznaczam symbolicznie jako |Ωii.
⊚ Dwa atomy w układzie (´srednio jeden atom na oczko) Stan pocz ˛atkowy ma posta´c:
|2i1⊗ |2i2. (4.7)
Zbadam wi˛ec sytuacj˛e, gdy w ka˙zdym oczku w stanie spinowym mS = 2 znajduje si˛e jeden atom. Obsadzenie pozostałych komponentów spino-wych wynosi zero. Dynamika spinu w małym układzie nie jest trywialna.
Ju˙z sam fakt, ˙ze zachodzi ka˙ze si˛e zastanowi´c, które z oddziaływa ´n za to odpowiada i jakie stany bior ˛a udział w dynamice.
W swoim rachunku, co ju˙z podkre´slałam, b˛ed˛e obserwowa´c ewolucj˛e stanu pocz ˛atkowego. By móc mówi´c o dynamice spinu w układzie, na skali czasu tk powinnam zaobserwowa´c zmian˛e obsadzenia stanu pocz ˛ at-kowego. Atomy przejd ˛a wtedy do innych składników. Ewolucj˛e układu prezentuje Rys.(4.1). Mo˙zna odczyta´c z wykresu, ˙ze w chwili czasu tk = 15 ms w stanach spinowych mS = 1 oraz mS = 3 pojawiaj ˛a si˛e atomy, a obsa-dzenie stanu pocz ˛atkowego jest minimalne.
Rozdział 4. Dynamika spinu 36
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 10 20 30 40 50 60
Srednie obsadzenie stanu mS
t [ms]
mS = 2 mS = 3 mS = 1
RYSUNEK 4.1: Dynamika spinu dwóch atomów w układzie, przy wysoko´sci bariery V0= 25 ER
Dynamik˛e spinu w układzie mog ˛a wywoła´c m.in. nielokalne długozasi˛e-gowe oddziaływania dipolowe. Ewentualny proces,który inicjuj ˛a wygl ˛ada nast˛epuj ˛aco:
|2i1⊗ |2i2 −−−−−−−−−−→ |3iV1,3,2,2=V3,1,2,2 1⊗ |1i2+ |1i1⊗ |3i2 (4.8) Nielokalne oddziaływania dipolowe stanowi ˛a najmniejsz ˛a skal˛e energii, np. V1,3,2,2 = 8.1918 × 10−4ER, co odpowiada cz˛esto´sci ωV = 2π × 0.0111 kHz.
Mo˙zna oszacowa´c, po jakim czasie pod wpływem tych oddziaływa ´n, na-st ˛api zauwa˙zalna zmiana w układzie. Z grubsza ten czas jest jest propor-cjonalny do wyra˙zenia tVk ∼ ω1V ≃ 14.35 ms. Mog˛e tak napisa´c, gdy˙z energie stanu pocz ˛atkowego i ko ´ncowego w (4.8) s ˛a porównywalne. Oba le˙z ˛a w podprzestrzeni o tej samej energii (brak oddziaływa ´n kontaktowych).
Wida´c, ˙ze czasy tVk i tk s ˛a niemal identyczne. To pozwala s ˛adzi´c, ˙ze
wła-´snie nielokalne oddziaływania dipolowe s ˛a odpowiedzialne za dynamik˛e spinu w tym układzie.
Aby to udownowni´c, po kolei wył ˛acz˛e w programie numerycznym niektóre człony hamiltonianu. Jako teoretyk mam tak ˛a mo˙zliwo´s´c. W ten sposób poka˙z˛e, na jakich skalach czasu istotne s ˛a poszczególne oddziaływania oraz sprawdz˛e poprawno´s´c wcze´sniejszych wniosków.
Na pocz ˛atek wył ˛aczyłam człon dipolowy VmS4,mS3,mS2,mS1. Pozostałe wyrazy w Ht−J s ˛a niezerowe. Gdy w ka˙zdym oczku jest tylko jeden atom, wszyst-kie lokalne dwuciałowe oddziaływania s ˛a równe 0. W zwi ˛azku z tym za-le˙zne od spinu oddziaływania kontaktowe nie mog ˛a inicjowa´c dynamiki spinu. Tunelowanie tak˙ze nie mo˙ze wywoła´c dynamiki. Jednak˙ze oba człony mog ˛a wnie´s´c swój wkład poprzez procesy wirtualne, dzi˛eki czemu po pewnym charakterystycznym czasie mo˙zna by obserwowa´c zapełnianie
Rozdział 4. Dynamika spinu 37 kolejnych składników magnetycznych. Poka˙z˛e to na przykładzie:
|2i1⊗ |2i2 J
−→ |2, 2i1⊗ |Ωi2
|2, 2i1⊗ |Ωi2 U1,3,2,2=U3,1,2,2
−−−−−−−−−−→ |1, 3i1⊗ |Ωi2 (4.9) Analogiczne procesy wyst˛epuj ˛a tak˙ze w oczku drugim. (4.9) ma wi˛ec cha-rakter symboliczny, gdy˙z nale˙zy pami˛eta´c, ˙ze do prawej strony nale˙zy do-da´c wyraz z zamienionymi oczkami.
Okazuje si˛e jednak, ˙ze taki schemat dynamiki prezentowany w (4.9) jest zabroniony, gdy˙z łamie zasad˛e zachowania energii. Energia stanu ko ´n-cowego z (4.9) zawiera w sobie energi˛e kontaktow ˛a U1,3,1,3 = 2.07 ER. Zbyt du˙za przerwa energetyczna mi˛edzy stanem pocz ˛atkowym i ko ´ncowym spra-wia, ˙ze dynamika spinu ´srednio jednego atomu pod wpływem oddziały-wa ´n kontaktowych nie mo˙ze wogóle mie´c miejsca. Aby zaobserwooddziały-wa´c dynamik˛e spinu poprzedzon ˛a procesem wirtualnym, jedna cz ˛astka musi jeszcze opu´sci´c oczko, w którym były obie cz ˛astki. W schemacie (4.9) nale˙zy uwzgl˛edni´c proces typu:
|1, 3i1⊗ |Ωi2 −→ |1iJ 1⊗ |3i2+ |3i1⊗ |1i2 (4.10) Dla wyliczonych warto´sci tunelowania J = 1.472 × 10−3ER oraz za-le˙znego od spinu oddziaływania kontaktowego U1,3,2,2= 0.334 ER, mo˙zna oszacowa´c, ˙ze czas charakterystyczny dla tego procesu tJk jest rz˛edu
∼ (U1,3,2,2J2 )−1 ≃ 106. Poprawno´s´c tego szacowania potwierdzaj ˛a wyniki numeryczne, lewy wykres na Rys.(4.2). Mo˙zna odczyta´c z wykresu, ˙ze po
0
Srednie obsadzenie stanu mS
t [ms]
Srednie obsadzenie stanu mS
t [ms]
mS = 2 mS = 3 mS = 1
RYSUNEK 4.2: a) Dynamika spinu w układzie z jednym atomem na oczko inicjowana w drugim rz˛edzie procesu przez oddziaływania kontaktowe za-le˙zne od spinu, przy wył ˛aczonych nielokalnych oddziaływaniach dipolowych.
Zmiana obsadzenia składników magnetycznych ma miejsce dopiero wtedy, gdy cz ˛astka przetuneluje do s ˛asiedniego oczka (lewy wykres). b) Dynamika spinu w układzie z jednym atomem na oczko inicjowana przez nielokalne
od-działywania dipolowe. Tunelowanie jest równe zero (prawy wykres).
Rozdział 4. Dynamika spinu 38 charakterystycznym czasie tk = 50000 ms w układzie obsadzaj ˛a si˛e nowe stany. Oznacza to, ˙ze jeden z atomów zd ˛a˙zył przetunelowa´c do s ˛ asied-niego oczka, zacz ˛ał oddziaływa´c kontaktowo z drugim atomem, a nast˛ep-nie wytunelował. Skala czasu tk jest niebywale du˙za. W porównaniu z czasem ˙zycia atomów w pułapce ∼ 1 s, czas tk jest wr˛ecz absurdalnie długi.
W drugim podej´sciu w mojej analizie wył ˛aczyłam człon tunelowania J.
Oddziaływania dipolowe lokalne i nielokalne były ró˙zne od zera. Wyniki pokazuje prawy wykres Rys.(4.2). Niczym si˛e on nie ró˙zni od Rys.(4.1), gdy ewolucja stanu pocz ˛atkowego zachodziła przy pełym hamiltonianie.
Czas charakterystyczny dynamiki spinu zgadza si˛e z tym oszacowanym, tk= 15 ms.
Okazuje si˛e, ˙ze przy barierze V0 = 25 ER w układzie z jednym atomem na oczko, długozasi˛egowe odziaływanie momentów magnetycznych ato-mów s ˛a kluczowe. Na skalach czasu ∼ 10 ms dochodzi do obsadzenia dwóch, pocz˛tkowo pustych, komponentów spinowych mS = 1 oraz mS = 3.
Bez wzgl˛edu na to czy wyst˛epuje tunelowanie, proces dynamiki spinu ma miejsce. Na dodatek przy barierze V0 = 25 ER tunelowanie jest na tyle małe, ˙ze w obrazku z jednym atomem na oczko mo˙ze by´c nawet zanie-dbane.
Zupełnie na zako ´nczenie, tak z ciekawo´sci, postanowiłam zobaczy´c jak b˛edzie wygl ˛adała ewolucja stanu pocz ˛atkowego, gdy oddziaływania kon-taktowe s ˛a wył ˛aczone. Rys.(4.3) pokazuje tak ˛a sytuacj˛e. Wida´c tam,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0 20 40 60 80 100 120
Srednie obsadzenie stanu mS
t [ms]
mS = 2 mS = 3 mS = 1
RYSUNEK4.3: Dynamika spinu w układzie z jednym atomem na oczko, przy wysoko´sci bariery V0= 25 ER: oddziaływanie kontaktowe UmS4,mS3,mS2,mS1 = 0.
˙ze zmiana obsadzenia stanu pocz ˛atkowego odbywa si˛e na niezmienionej skali czasu i wci ˛a˙z pod wpływem nielokalnych oddziaływa ´n dipolowych.
Układ znajduje si˛e z rezonansie, gdy˙z jego energia w stanie po´srednim, z
Rozdział 4. Dynamika spinu 39 dwoma atomami w oczku, jest taka sama jak w pocz ˛atkowym i ko ´ncowym stanie z jednym atomem na oczko (brak oddziaływa ´n kontaktowych). Na Rys.(4.3) liczba atomów w składniku mS= 2 spada do zera i jest to jedyna ró˙znica w porównaniu z Rys.(4.1).
Rys.(4.3) i Rys.(4.2) potwierdzaj ˛a długozasi˛egowy charakter oddziaływa ´n dipolowych. Tak naprawd˛e w układzie ze ´srednio jednym atomem na oczko zasada zachowania energii wyró˙znia nielokalne oddziaływania di-polowe jako te, które inicjuj ˛a dynamik˛e spinu. Tunelowanie ma wpływ nieznaczny, gdy bariera jest wysoka. Przy ni˙zszej barierze dynamika z pewno´sci ˛a b˛edzie szybsza. Z kolei oddziaływania kontaktowe powoduj ˛a jedynie zmniejszenie efektywnego transferu atomów. Jednak skale cza-sowe w problemie i tak zostaj ˛a niezmienione.
Cały rachunek to koronny dowód na to, ˙ze to oddziaływania dipolowe na odległo´s´c, a nie zale˙zne od spinu oddziaływania kontaktowe, s ˛a najwa˙z-niejsze w układzie z jednym atomem na oczko.
⊚Cztery atomy w układzie (´srednio dwa atomy na oczko)
Przeanalizuj˛e teraz przypadek z dwoma atomami na oczko. Stan pocz ˛ at-kowy układu:
|2, 2i1⊗ |2, 2i2. (4.11) W ka˙zdym oczku znajduj ˛a si˛e dwa atomy, co oznacza, ˙ze w tym stanie s ˛a oddziaływania kontaktowe. Stanowi ˛a one najwi˛eksz ˛a skal˛e energii w ha-miltonianie (zale˙zne od spinu oddziaływania kontaktowe U1,3,2,2 = 0.334 ER, ωU = 2π × 4.509 kHz). W porównaniu z nielokalnymi oddziaływaniami di-polowymi s ˛a one o pi˛e´c rz˛edów wielko´sci wi˛eksze. Z tego te˙z powodu jako pierwsze wprowadz ˛a zauwa˙zaln ˛a zmian˛e w układzie. Na krótkich skalach czasowych oddziaływania kontaktowe mog ˛a inicjowa´c dynamik˛e spinu typu:
|2, 2i1⊗ |2, 2i2 U1,3,2,2=U3,1,2,2
−−−−−−−−−−→ |1, 3i1⊗ |2, 2i2 (4.12) Powy˙zszy zapis nale˙zy rozumie´c symbolicznie. Oczywi´scie ˙zadne oczko sieci nie jest wyró˙znione, w zwi ˛azku z tym wyra˙zenie z prawej strony (4.12) nale˙zało by uzupełni´c o człon z zamienionymi oczkami (indeksy 1 i 2).
Szacowany charakterystyczny czas jest rz˛edu ∼ ω1U ≃ 0.222 ms. Potwierdza to niejako Rys.(4.4). Dynamika spinu w układzie z dwoma atomami na oczko jest bardzo efektywna. Ju˙z na krótkich skalach czasu pojawiaj ˛a si˛e szybkie oscylacje. Co wi˛ecej bez wzgl˛edu na to czy jest tunelowanie albo
Rozdział 4. Dynamika spinu 40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.5 1 1.5 2
Srednie obsadzenie stanu mS
t [ms]
mS = 2 mS = 3 mS = 1
RYSUNEK 4.4: Obsadzenie składników magnetycznych w funkcji czasu ze
´srednio dwoma atomami na oczko.
dipolowe oddziaływanie, dynamik˛e spinu zawsze inicjuj ˛a oddziaływania kontaktowe zale˙zne od spinu.
Dynamika spinu dwóch atomów jest wyra´znie szybsza ni˙z jednego atomu.
Cech ˛a wspóln ˛a obydwu przypadków jest to, ˙ze ostatecznie dynamika za-chodzi w przestrzeni tylko trzech składników: mS= {3, 2, 1}.
⊚ Sze´s´c atomów w układzie (´srednio trzy atomy na oczko)
Na koniec poka˙z˛e jeszcze rachunek, gdy w pojedynczym oczku s ˛a ´srednio trzy atomy. Tyle mniej wi˛ecej cz ˛astek mo˙zna ´srednio uzyska´c w typowym eksperymencie. Rozwa˙zam nast˛epuj ˛acy stan pocz ˛atkowy:
|2, 2, 2i1⊗ |2, 2, 2i2 (4.13) Rys.(4.5) prezentuje wynik numeryczny. Dynamika spinu jest nieco
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Srednie obsadzenie stanu mS
t [ms]
mS = 2 mS = 3 mS = 1 mS = 0
RYSUNEK 4.5: Obsadzenie składników magnetycznych w funkcji czasu ze
´srednio trzema atomami na oczko dla wysoko´sci bariery V0= 25 ER.
gatsza ze wzgl˛edu na fakt, ˙ze rozwa˙zam układ o wi˛ekszej g˛esto´sci, czyli wi˛ekszej energii całkowitej.
Rozdział 4. Dynamika spinu 41 Podobnie jak poprzednio dynamik˛e spinu inicjuj ˛a zale˙zne od spinu od-działywania kontaktowe:
|2, 2, 2i1⊗ |2, 2, 2i2 U1,3,2,2=U3,1,2,2
−−−−−−−−−−→ |1, 2, 3i1⊗ |2, 2, 2i2 (4.14)
W stanie ko ´ncowym w (4.15), w składniku mS = 2 oraz mS = 1 znajduje si˛e po jednym atomie. Taka sytuacja sprzyja dalszemu procesowi z za-chowaniem magnetyzacji, tj.
|1, 2, 3i1⊗ |2, 2, 2i2 U0,3,1,2=U3,0,1,2
−−−−−−−−−−→ |0, 3, 3i1⊗ |2, 2, 2i2 (4.15) Wida´c, ˙ze cały schemat opiera si˛e na zale˙znych od spinu oddziaływaniach kontaktowych. Obecno´s´c pozostałych członów z Ht−J w ˙zaden sposób nie poprawia ani nie psuje dynamiki spinu.
Głównym ’nowum’ w układzie z trzema atomami w oczku jest z pewno´sci ˛a to, ˙ze pojawia si˛e niezerowe obsadzenie stanu spinowego mS = 0, czego nie było w układach poprzednio analizowanych. Charakterystyczny czas, w którym to zachodzi, mo˙zna oszacowa´c jako tk ∼ (ωU)−1 ∼ 0.2 ms, co rzeczywi´scie potwierdza Rys.(4.5).
Istot ˛a powy˙zszych rachunków było pokazanie dynamiki spinu w układzie dwóch oczek. Moje rachunki dowodz ˛a, ˙ze mo˙zliwe s ˛a dwa rodzaje procesów prowa-dz ˛acych do zmiany spinu:
1. procesy wywołane przez dalekozasi˛egowe oddziaływania dipolowe, które decyduj ˛a o dynamice w przypadku jednego atomu na oczko. Wtedy zmiana spinu odbywa si˛e na stosunkowo du˙zej skali czasu tk∼ 10 ms,
2. procesy wywołane przez oddziaływania kontaktowe, w przypadku liczby atomów na oczko wi˛ekszej ni˙z jeden, gdzie charakterystyczne czasy ewo-lucji s ˛a rz˛edu ∼ 0.2 ms.
Wnioski, jakie zdołałam przedstawi´c jako´sciowo potwierdza eksperyment opi-sany w artykule [35], który ukazał si˛e w chwili spisywania mojej pracy doktor-skiej.
Sytuacja fizyczna, któr ˛a omówiłam w tej cz˛e´sci rozdziału jest mo˙zliwa tylko, je´sli nie zostało wł ˛aczone pole magnetyczne o warto´sci rezonansowej. Przypad-kiem z obecno´sci ˛a pola zajm˛e si˛e w nast˛epnej cz˛e´sci tego rozdziału.
Rozdział 4. Dynamika spinu 42