Ultra zimne atomy bozonowe ze słabym magnetycznym oddziaływaniem dipolowym w sieciach optycznych Joanna P

ROZPRAWA DOKTORSKA

Ultra zimne atomy bozonowe ze słabym magnetycznym oddziaływaniem dipolowym

w sieciach optycznych

Joanna

PIETRASZEWICZ

Promotor:

prof. dr hab. Mariusz GAJDA

Promotor pomocniczy:

dr Tomasz SOWI ´NSKI

INSTYTUT FIZYKI

POLSKIEJ AKADEMII NAUK W WARSZAWIE

1 sierpnia 2013

Prac˛e dedykuj˛e moim Drogim Rodzicom.

iii

Podzi ˛ekowania

Pragn˛e w szczególny sposób podzi˛ekowa´c mojemu Promotorowi prof. dr hab. Mariuszowi Gajdzie, za po´swi˛econy czas i zaanga˙zowanie, które nadało kształtu i wpłyn˛eło na warto´sci merytoryczne mojej pracy.

Szczere podzi˛ekowania kieruj˛e tak˙ze w stron˛e dr Tomasza Sowi ´nskiego, Promotora pomocniczego. Jego cenne rady i krytyczne uwagi były bod´zcem w udoskonaleniu pracy.

Dodatkowo dzi˛ekuj˛e dr Piotrowi Deuarowi za wiar˛e i wieczny optymizm oraz prof. hab. Janowi Mostowskiemu za dbało´s´c o dobre obyczaje i mo˙zliwo´s´c realizowania pracy doktorskiej w zespole.

Chciałabym tak˙ze podzi˛ekowa´c wszystkim osobom z Zespołu „Optyka Kwantowa” ON-2.6 za ˙zyczliw ˛a atmosfer˛e w pracy.

v

Spis tre´sci

Podzi ˛ekowania v

1 Wprowadzenie 1

2 Dwuciałowe oddziaływania 9

2.1 Ultrazimny układ atomów . . . 10

2.2 Hamiltonian oddziałuj ˛acych bozonów w sieci . . . 11

2.2.1 Oddziaływanie kontaktowe . . . 12

2.2.2 Magnetyczne oddziaływania dipolowe . . . 14

2.2.2.1 Szczegółowa charakterystyka oddziaływa ´n dipolo- wych . . . 15

3 Własno´sci sieci optycznej 19 3.1 Sie´c optyczna . . . 19

3.2 Potencjały periodyczne w fizyce . . . 22

3.2.1 Twierdzenie Blocha i funkcja Blocha . . . 23

3.3 Jednowymiarowa sie´c optyczna . . . 24

3.4 Funkcje Mathieu . . . 25

3.5 Funkcje Wanniera . . . 26

3.6 Konstrukcja funkcji Wanniera . . . 27

3.6.1 Energie ´srednie funkcji Wanniera . . . 28

3.6.2 Tunelowanie cz ˛astek w stanach Wanniera . . . 29

4 Dynamika spinu 31 4.1 Dynamika spinu via oddziaływania kontaktowe w dwóch oczkach sieci . . . 32

4.2 Dynamika spinu via oddziaływania dipolowe w pojedyn- czym oczku sieci . . . 42

4.2.1 Hamiltonian. . . 42

4.2.2 Przybli˙zenie harmoniczne . . . 44

4.2.3 Przej´scie dipolowe z ∆M^z = −1 . . . 47

4.2.4 Przej´scie dipolowe z ∆Mz = −2 . . . 50

4.2.4.1 Pułapka harmoniczna . . . 50

4.2.4.2 Pułapka anharmoniczna . . . 53

4.2.4.3 Pojedyncze oczko kwadratowej sieci optycznej . . . 60

4.2.5 Porównanie z eksperymentem I . . . 63

4.2.5.1 Porównanie z eksperymentem II . . . 68 vii

Spis tre ´sci viii

5 Dwuskładnikowy modelBH 71

5.1 Jednoskładnikowy model Bosego-Hubbarda BH oddziałuj ˛acych

bozonów w sieci . . . 72

5.1.1 Stan podstawowy BH w fazie nadciekłej SF . . . 73

5.1.2 Stan podstawowy BH w fazie izolatora Motta MI . . . 74

5.2 Przej´scie fazowe . . . 75

5.2.1 Metoda Fisher’a w układzie niesko ´nczonym . . . 76

5.2.2 Diagram fazowy BH w wielkim zespole kanonicznym . . . . 78

5.3 Dwuskładnikowy model BH z oddziaływaniem dipolowym. . . 80

5.4 Diagram fazowy układu . . . 82

5.5 Uwagi na temat dwuskładnikowego modelu BH. . . 89

6 Podsumowanie 91 A Dodatek A 95 A.1 Hamiltonian . . . 95

A.2 Wzbudzenie atomów w kanale z △M^z = −1 . . . 96

A.3 Potencjał sieci optycznej V(x, y) = V⁰  sin²(kx) + sin²(ky)  - analiza i wyniki numeryczne. . . . 96

A.4 EdH w pułapce harmonicznej z N atomami w układzie . . . 97

A.5 Elementy hamiltonianu . . . 99

B Dodatek B 103 B.1 Hamiltonian . . . 103

B.2 Dipolowy rezonans dwucz ˛astkowy z ∆Mz = 2. . . . 103

B.3 Potencjału kulombowski jako przykład potencjału anharmonicz- nego . . . 113

B.4 Momentów magnetycznych skondensowanych atomów . . . 116

B.5 Poło˙zenie rezonansów dipolowych z ∆M_z= −1 oraz ∆Mz = −2 dla róznych geometrii sieci. . . . 118

C Dodatek C 121 C.1 Hamiltonian układu dwuskładnikowego: . . . 121

C.2 ´Srednie operatorów pola składnika a i b. . . . 123

C.2.1 Obliczenia dotycz ˛ace hbai . . . 124

C.2.2 Obliczenia dotycz ˛ace h^bbi . . . 126

Bibliografia 131

Rozdział 1

Wprowadzenie

Rozdział 1. jest ogólnym wst˛epem do rozprawy doktorskiej. Jego przewodnim celem jest wprowadzenie czytelnika w tematyk˛e ultrazimnych gazów atomo- wych z podkre´sleniem roli kondensatów spinorowych i oddziaływa ´n dipolo- wych. W ten sposób nakre´sl˛e podstawowe problemy, jakimi si˛e zajmowałam.

Kondensaty Bosego-Einsteina (BEC) s ˛a bardzo dobrym układem do badania procesów kwantowych w niemal˙ze makroskopowej skali. Atomy BEC obsa- dzaj ˛a tylko jeden orbital przestrzenny, wobec tego efekty mikroskopowe s ˛a wzmacniane i mo˙zliwe do obserwowania w do´swiadczeniu. Pierwsze konden- saty BEC z atomów: ⁸⁷Rb, ²³N a czy ⁷Li, pułapkowano magnetycznie. Niestety

„chwytano” tylko te atomy, których moment magnetyczny ~µ (proporcjonalny do spinu) pod ˛a˙zał za kierunkiem słabego pola magnetycznego. Zatem spin, jako zmienna dynamiczna, był „zamro˙zony”. Wkrótce potem powstały optyczne pułapki dipolowe, w których uzyskano kondensaty spinorowe. Był to pocz ˛atek drogi w badaniach własno´sci magnetycznych w układach kwantowych.

Jak wiadomo, stany zeemanowskie o tej samej energii maj ˛a ró˙zn ˛a degeneracj˛e.

Liczb ˛a kwantow ˛a, która charakteryzuje te stany jest całkowity moment p˛edu

−

→F =−→I +−→J , gdzie −→I oznacza spin j ˛adrowy, za´s −→J =−→S +−→L jest całkowitym elektronowym momentem p˛edu. Rzut całkowitego orbitalnego momentu p˛edu

−

→F na o´s kwantyzacji posiada 2F + 1 składowych m_F. Do opisu tak zło˙zonego układu u˙zywa si˛e spinora - operatora pola o 2F + 1 składnikach. Obsadzenie tych składników mo˙ze zmienia´c si˛e i w przestrzeni, i w czasie. Mog ˛a wi˛ec powsta´c niezwykle bogate struktury spinowe [1, 2], fazy egzotyczne w ka˙zdym komponencie spinowym, fazy nematyczne [3] czy te˙z kolorowa nadciekło´s´c [4].

Na dodatek mo˙zna by my´sle´c o dynamice spinu, która jest całkowicie inna od tej widzianej w jednoskładnikowym BEC.

1

Rozdział 1. Wprowadzenie 2 W przypadku takich atomów jak chrom czy rubid, układ kwantowy cechuje bogata struktura zeemanowska. Rubid mo˙ze mie´c trzy lub pi˛e´c składników ze- emanowskich zale˙znie od warto´sci całkowitego spinu w układzie (odpowiednio F = 1 lub F = 5). Pozostałe liczby kwantowe, które s ˛a przypisane dla ⁸⁷Rb, to I = 3/2, S = 1/2 i L = 0. W układzie atomów chromu wyst˛epuje a˙z siedem składników zeemanowskich, gdzie warto´s´c spinu wynosi F = S = 3. Zgod- nie z powszechnie przyj˛et ˛a nomenklatur ˛a spin ⁵²Cr jest oznaczany przez S.

Uzasadnieniem takiego stanu rzeczy jest to, ˙ze dla chromu liczby kwantowe I oraz L s ˛a równe zero, zatem spin elektronów S = 3 jest równowa˙zny F . W wi˛ekszo´sci eksperymentów z BEC wiod ˛ac ˛a rol˛e pełni ˛a izotropowe, krótko- zasi˛egowe oddziaływania. Z reguły s ˛a one opisywane jednym parametrem - długo´sci ˛a rozpraszania a_S, którego wielko´s´c jak i znak mo˙zna regulowa´c po- przez rezonanse Feshbacha. Strojenie tych oddziaływa ´n pozwoliło zaobserwo- wa´c zapadanie sie kondensatu (Bosenova) [5] czy te˙z tworzenie ultra zimnych gazowych molekuł poza kondensatem. Je´sli chodzi o anizotropowe, długoza- si˛egowe oddziaływania, tzw. oddziaływania dipol- dipol, to pocz ˛atkowo były one obiektem zainteresowa ´n wył ˛acznie teoretyków. ´Zródłem tych oddziaływa ´n s ˛a momenty magnetyczne atomów ~µ = g_Fµ_BF , gdzie g~ _F jest czynnikiem Landego, µB magnetonem Bohra.

Gdy uzyskano kondensat chromu [6] stało si˛e jasne, ˙ze zjawiska oparte na oddziaływaniach dipolowych wreszczie b˛ed ˛a zauwa˙zalne w eksperymencie. W kondensacie atomów rubidu było to do´s´c trudne. Rubid ma stosunkowo mały moment magnetyczny µ = 1/2µ_B. W chromie moment ten jest 12 razy wi˛ekszy (µ = 6 µ_B). Podkre´slam ten aspekt, gdy ˙z w swojej pracy doktorskiej b ˛ed ˛e ana- lizowała procesy fizyczne z uwzgl˛ednieniem dipolowych oddziaływa ´n w gazie atomów chromu (F = S = 3, L = 0, I = 0).

Przewidywania, ˙ze w układzie ultrazimych atomów ⁵²Cr oddziaływania dipo- lowe stanowi ˛a istotny element, zweryfikowano do´swiadczalnie [7]. Za pomoc ˛a rezonansów Feshbacha zredukowano, a potem wył ˛aczono oddziaływania kon- taktowe i pokazano jakiej zmianie ulega kształt chmury skondensowanych ato- mów (Rys.1.1). Był to wyra´zny przejaw natury dipolowych oddziaływa ´n. Ten eksperyment unaocznił, ˙ze zjawiska, którymi rz ˛adz ˛a siły dipol-dipol, nie po- winny by´c zaniedbywane.

Oddziaływania dipolowe sprz˛egaj ˛a spinowe i orbitalne stopnie swobody. Sztan- darowym przykładem zmiany spinu poprzez dwuatomowe oddziaływanie dipol- dipol z bezpo´srednim wpływem na ruch orbitalny, jest efekt Einseina de Hassa (EdH) [9, 10]. W oryginalnej wersji eksperymentu EdH zaobserwowano jak

Rozdział 1. Wprowadzenie 3

R^YSUNEK1.1: Na trzech plakietkach przedstawiono charakterystyczny kształt kondensatu z atomami Cr. Szara sfera symbolizuje izotropowe oddziaływania kontaktowe, podczas gdy czerwono-zielona strzałka okre´sla ´sredni ˛a warto´s´c momentów dipolowych atomów. Wraz z redukcj ˛a oddziaływa ´n kontaktowych rol˛e przewódcz ˛a przejmuj ˛a oddziaływania dipolowe. Kształt BEC ulega wów- czas zmianie: ze sferycznego przyjmuje form˛e wydłu˙zon ˛a (kierunek magnety-

zacji jest zachowany), [8].

ferromagnetyczny walec zawieszony na sznurku, wykonuje obrót wokół własnej osi, gdy tylko zwrot przyło˙zonego pola magnetycznego ulegał zmianie. Układ reagował na zmian˛e pola, zmian ˛a orientacji momentów magnetycznych w ato- mach (zmieniał si˛e rzut składowej spinu), za´s obrót samego układu wynikał z zasady zachowania momentu p˛edu.

Ide˛e efektu EdH zastosowano w teoretycznych badaniach, w ultrazimnych ga- zach dipolowych umieszczonych w optycznych pułapkach dipolowych. Dzi˛eki temu przewidziano nietrywialny charakter dynamiki spinu w tych układach [11, 12, 13]. Ta nietrywialno´s´c wynika przede wszystkim z tego, ˙ze prze- strzenny ruch orbitalny sprz˛ega si˛e ze stanami spinowymi m_F. W układach kwantowych proces EdH nie zachodzi jednak spontanicznie. Zasada zacho- wania energii hamuje bezpo´sredni ˛a dynamik˛e, poniewa˙z energia dipolowa jest du˙zo mniejsza od ró˙znicy energii mi˛edzy sprz˛e˙zonymi stanami. By zapewni´c warunki do obserwacji dynamiki spinu, nale˙zy omin ˛a´c przeszkod˛e energe- tyczn ˛a. Do tego celu mo˙zna wykorzysta´c dwie wła´sciwo´sci układu. Po pierwsze w pułapce optycznej energie stanów orbitalnych s ˛a skwantowane. Po drugie energie stanów zeemanowskich o magnetyzacji m_F zale˙z ˛a od zewn˛etrznego pola magnetycznego B (effekt Zeemana). Na przykładzie trójskładnikowego spinora z atomami rubidu [14] pokazano, ˙ze istnieje takie magnetyczne pole rezonansowe B_rez, w którym energie zeemanowskie dwóch sprz˛e˙zonych dipo- lowo stanów s ˛a równe. Ró˙znica energii jest zredukowana do zera, wobec tego

Rozdział 1. Wprowadzenie 4 spolaryzowane atomy, przygotowane w stanie m_F = 1, l = 0 przechodz ˛a do nie- obsadzonego stanu m_F = 0, l = 1 za spraw ˛a oddziaływa ´n dipolowych (liczba kwantowa l opisuje stany orbitalne).

RYSUNEK 1.2: G˛esto´s´c w składnikach spinowych: mF = 1, l = 0 (lewy rysu- nek) i mF = 0, l = 1 (prawy rysunek) w układzie z N = 5 × 10⁴ atomami rubidu

w płaszczyznie xy, [14].

Ten scenariusz przebadano w przybli˙zeniu pola ´sredniego. Poniewa˙z potencjał pułapkuj ˛acy był osiowo-symetryczny, to faza funkcji falowej w stanie ko ´nco- wym m_F = 0, l = 1 była typowa dla wiru – stanu z niezerowym, orbitalnym momentem p˛edu, Rys.(1.2). Pole rezonansowe B_rez, które jest niezb˛edne by w układzie z atomami rubidu obserwowa´c efekt EdH, jest rz˛edu kilku mikro- Gaussów (µGs). W układzie z atomami chromu szacuje si˛e, ˙ze pole magne- tyczne powinno by´c na poziomie 100 µGs [15].

Nale˙zy sobie jeszcze uzmysłowi´c, ˙ze z powodu małej energii oddziaływania di- polowego, szeroko´sci rezonansów dipolowych s ˛a dosy´c w ˛askie. W zwi ˛azku z tym, gwarancj ˛a na do´swiadczaln ˛a realizacj˛e EdH jest jedynie precyzyjny wy- bór warto´sci pola B_rez. Jest to problem natury technicznej, ale z pewno´sci ˛a mo˙zliwy do pokonania.

Obraz fizyczny procesu, opartego na mechanizmie EdH, mo˙zna zrozumie´c ba- daj ˛ac struktur˛e energetyczn ˛a układu. Pojedynczy rezonans w tej strukturze nale˙zy uto˙zsami´c z sytuacj ˛a, w której nast˛epuje wzbudzenie atomów do okre-

´slonych stanów orbitalnych. O tym, jaki stan jest wzbudzony, decyduje za- sada zachowania całkowitego momentu p˛edu oraz zasada zachowania energii.

Natomiast warunkiem osi ˛agni˛ecia konkretnego stanu ko ´ncowego jest wybór konkretnego pola B_rez, dla którego przesuni˛ecie zeemanowskie poziomów jest równe ró˙znicy energii mi˛edzy sprz˛e˙zonymi stanami. To oczywi´scie powoduje,

˙ze oddziaływania dipolowe s ˛a bardzo selektywne.

Wykonano szereg do´swiadcze ´n ukazuj ˛acych rol˛e długozasi˛egowych oddziały- wa ´n dipolowych. Zaobserwowano proces demagnetyzacji w układzie, czyli se- kwencyjne obsadzanie kolejnych składników magnetycznych [16]. W chwili

Rozdział 1. Wprowadzenie 5 pocz ˛atkowej wszystkie atomy ⁵²Cr były umieszczone w stanie m_S = −3 w di- polowej pułapce optycznej. Układ znajdował si˛e w du˙zym polu magnetycznym (20 mGs), które nast ˛epnie gwałtownie obni ˙zano, a ˙z do małej warto´sci. Po prze- kroczeniu krytycznej warto´sci pola magnetycznego B_k, miało miejsce przej´scie fazowe: od ferromagnetycznego uporz ˛adkowania spinów (stan pocz ˛atkowy) do fazy nieuporz ˛adkowanej. Pocz ˛atek temu procesowi dały oddziaływania dipo- lowe. Potem dalszy ci ˛ag demagnetyzacji nast˛epował ju˙z lawinowo. Warto jed- nak zauwa˙zy´c, ˙ze w tak przygotowanym układzie proces demagnetyzacji mógł nast ˛api´c wył ˛acznie pod wpływem oddziaływa ´n dipolowych.

Okazuje si˛e, ˙ze efekt EdH mo˙ze by´c wykorzystany tak˙ze w gazie atomów o spinie połówkowym, dzi˛eki czemu mo˙zna by uzyska´c ciekawe stany wieloato- mowe, np. stan Halla [17],

Tematyka poruszana w eksperymentach cz˛esto wyznacza trend aktualnym ba- daniom teoretycznym. Pod takim k ˛atem nale˙zy rozumie´c motywacj˛e moich bada ´n. Głównym nacisk w rozprawie poło˙zyłam na ukazanie, w jaki sposób mo˙zna zaobserwowa´c dynamik˛e spinu lub innymi słowy – jak realizowa´c kwan- towy magnetyzm. Przez kwantowy magnetyzm rozumiem taki układ, w którym fakt, ˙ze moment magnetyczny jest skantowany, odgrywa istotn ˛a rol˛e. W ”kla- sycznym” magnetyzmie momenty magnetyczne atomów zmieniaj ˛a swe warto´sci w sposób ci ˛agły.

Dynamik˛e spinu mog ˛a wywoła´c dwojakiego rodzaju oddziaływania. Na krót- kich skalach czasu bardzo efektowne s ˛a krótkozasi˛egowe oddziaływania kon- taktowe zale˙zne od spinu. Na nieco dłu˙zszych skalach czasu – długozasi˛egowe oddziaływania dipolowe. Unaoczni˛e odmienno´s´c tych oddziaływa ´n prezentuj ˛ac wyniki swych bada ´n.

Dotychczas badano układy, które utrzymywano w harmonicznej pułapce dipo- lowej. W re˙zimie słabych oddziaływa ´n s ˛a to typowe kondensaty BEC. Atomy s ˛a w stanie nadciekłym i obsadzaj ˛a jeden orbital przestrzenny, a do opisu ta- kiego układu stosuje si˛e wtedy metod˛e pola ´sredniego. Jednak, gdy pułapki di- polowe zast ˛apiono przez sie´c optyczn ˛a, pojawił si˛e inny obraz układu kwanto- wego. Sie´c optyczna to rodzaj sztucznego kryształu, w którego w˛ezłach (w tzw.

oczkach) gromadzi si˛e ultrazimna materia. Powstaje ona jako produkt in- terferencji przeciwbie˙znych wi ˛azek laserowych. Tworzy si˛e wtedy periodyczna struktura, która kształtem przypomina „krajobraz” górek i dołków. Nowocze- sne techniki pozwalaj ˛a uzyska´c ´srednio 1−3 atomy w pojedynczym oczku sieci optycznej. Z powodu silnych oddziaływa ´n mi˛edzy atomami w sieci optycznej,

Rozdział 1. Wprowadzenie 6 układ jest silnie skorelowany. Nie mo˙zna go opisywa´c przez iloczyn identycz- nych funkcji jednocz ˛astkowych, dlatego metoda pola ´sredniego nie sprawdza si˛e w odniesieniu do takiego układu. Niew ˛atpliwie zalet ˛a sieci optycznej jest to, ˙ze mo˙zna w niej dostrzec efekty spinowe i stworzy´c szans˛e, by sterowa´c oddziaływaniami wewn ˛atrzatomowymi. Nieustannie w tym kierunku pod ˛a˙zaj ˛a aspiracje fizyków.

Powszechnie uwa˙za si˛e, ˙ze ultrazimne atomy w sieci optycznej s ˛a dokładn ˛a realizacj ˛a modelu Bosego-Hubbarda. Hamiltonian gazu bozonów o masie m i całkowitym momencie p˛edu F , w formalizmie drugiej kwantyzacji przyjmuje nast˛epuj ˛ac ˛a posta´c:

H =

XF mF=−F

Z

d³r Ψ^†_m

F(~r)

 p~²

2 m + V_trap(~r)

 Ψ^†_m

F(~r)

+ ^X

m_F1,m_F2

X

m_F3,m_F4

Z

d³r₁d³r₂Ψ^†_m

F1( ~r₂) Ψ^†_m

F2( ~r₁) ˆVm^m_F3^F1,m^,m_F4^F2(~r₁− ~r2) Ψ_mF3( ~r₁) Ψ_mF4( ~r₂) (1.1) gdzie indeksy zbioru {mF, m_F1, m_F2, m_F3, m_F4} zmieniaj ˛a si˛e od warto´sci −F do

F , V_trap jest potencjałem pułapki, za´s ˆV_m^m_F3^F1_,m^,m_F4^F2(~r₁− ~r2) to potencjał oddzia- ływania mi˛edzy dwoma atomami. Funkcja falowa całego układu jest spinorem

ˆ

Ψ(~r) zło ˙zonym z 2F + 1 operatorów pola ˆΨ_mF(~r).

Z reguły, gdy wysoko´s´c bariery potencjalnej jest dostatecznie du˙za (V₀ > 20 E_R, gdzie E_R jest jednostk ˛a energii zwan ˛a energi ˛a odrzutu pojedynczego atomu), a tunelowanie cz ˛astek do s ˛asiednich oczek zaniedbywalne, to wszelkie rachunki teoretyczne s ˛a sprowadzane do fizyki jednego oczka. Zakłada si˛e wówczas, ˙ze kształt oczka - w szczególno´sci dla nisko le˙z ˛acych stanów w pułapce - charak- terem przypomina oscylator harmoniczny. Intuicyjnie wydaje si˛e to poprawne.

Jednak istnieje powa˙zna rozbie˙zno´s´c mi˛edzy wynikami rzeczywistymi a tymi, uzyskanymi w skutek przybli˙zenia harmonicznego. Przyczyn ˛a tej sytuacji jest anharmoniczno´s´c i anizotropia oczka sieci optycznej.

Anharmoniczno´s´c powoduje, ˙ze energie jednocz ˛astkowe w pułapce nie s ˛a od siebie równo oddalone. Z kolei anizotropia wpływa na kształt funkcji falowej, przez co ka˙zdy stan inaczej oddziałuje kontaktowo. Struktura energetyczna w potencjale sieci ulega wi˛ec znacznej modyfikacji w porównaniu ze struktur ˛a w pułapce osiowo-symetrycznej. W kontek´scie dynamiki spinu ma to niebaga- telne znaczenie.

Rozdział 1. Wprowadzenie 7 Jak ju˙z wspomniałam, dynamika spinu inicjowana dipolowymi oddziaływa- niami jest wydajna, je´sli zachodzi w obecno´sci zewn˛etrznego pola magnetycz- nego o warto´sci B_rez odpowiadaj ˛acej ró˙znicy energii zeemanowskiej pomi˛edzy stanami, mi˛edzy którymi nast˛epuje transfer (efekt Zeemana). Wobec tego w obszarze rezonansu dynamika zale˙zy tylko od oddziaływa ´n. Słabe oddziaływa- nia dipolowe s ˛a tak naprawd˛e wdzi˛ecznym narz˛edziem do wykrywania stru- kury energetycznej układu. Na dodatek s ˛a na tyle subtelne, ˙ze czuj ˛a ka˙zd ˛a

„niedoskonało´s´c” potencjału.

W swej pracy poka˙z˛e, ˙ze nawet w przypadku dwóch atomów istnieje do´s´c bo- gata struktura rezonansowa. Mówi ˛ac tu „bogata struktura”, chciałam podkre-

´sli´c jej odmienno´s´c w stosunku do takiej struktury, któr ˛a uzyskuje si˛e, gdy oczko sieci optycznej ma symetri˛e osiowo-symetryczn ˛a.

W ˛atek anizotropii pojawił si˛e te˙z w kilku pracach teoretycznych [18, 19, 20], rozpatrywano go jednak dla stanów bozonowych nale˙z ˛acych do dwóch pierw- szych pasm w sieci optycznej, tj. s i p. W pracy [20] zauwa˙zono, ˙ze kształt potencjału ma bezpo´sredni wpływ na anizotropowe własno´sci tunelowania z pasma p. Takie tunelowanie zmienia g˛esto´s´c atomów w stanie podstawowym, jak równie˙z spójno´s´c mi˛edzy stanami w s ˛asiednich oczkach. W kwadratowej lub kubicznej sieci optycznej stany atomowe opisane s ˛a przez zlokalizowane funkcje Wanniera. W odniesieniu do funkcji Wanniera z pasma p nale˙zy zazna- czy´c, ˙ze posiadaj ˛a one w˛ezeł na kierunku przestrzenym wskazywanym przez rodzaj orbitala p_x, p_y i p_z. Co wi˛ecej s ˛a one rozci ˛agni˛ete w tym kierunku, wi˛ec atomy łatwiej wtedy tuneluj ˛a. W całym tym zjawisku kluczowa jest obserwa- cja, ˙ze pod wpływem anizotropii g˛esto´s´c atomów staje si˛e anizotropowa, wobec czego istotnie zmieniaj ˛a si˛e własno´sci dynamiczne w takim układzie. Jest to najlepiej widoczne w granicy du˙zych tunelowa ´n, gdy układ jest w stanie nad- ciekłym.

W poni˙zszej rozprawie doktorskiej przedstawiam wyniki bada ´n nad ultrazim- nymi atomami chromu w sieci optycznej. Organizacja rozprawy jest nast˛epu- j ˛aca:

• Rozdział 2. omawia główne rodzaje oddziaływa ´n w sieci optycznej: ma- gnetyczne oddziaływania dipolowe oraz lokalne oddziaływania kontak- towe. S ˛a one interesuj ˛ace ze wzgl˛edu na fakt, ˙ze mog ˛a inicjowa´c dynamik˛e spinu w układzie.

• Rozdział 3. słu ˙zy do zdefiniowania podstawowego aparatu matematycz- nego w postaci funkcji Wanniera, dzi˛eki którym przeprowadzono rachunki

Rozdział 1. Wprowadzenie 8 w sieci optycznej. Rozdział ten przedstawia tak˙ze zakres wiedzy o tworze- niu sieci optycznej i jej własno´sciach. Szczegółowo omówiono tu struktur˛e energetyczn ˛a periodycznego potencjału, który słu˙zy do pułapkowania ato- mów.

• Rozdział 4. rozpoczyna opis cz˛e´sci badawczej. Podzielony jest na dwie cz˛e´sci. W pierwszej pokazano ewolucj˛e układu z N atomami w obr˛ebie dwóch oczek w zerowym polu magnetycznym. Zale˙zne od spinu oddziały- wania kontaktowe powoduj ˛a zmian˛e obsadzenia poszczególnych składni- ków magnetycznych. W drugiej sekcji przeanalizowano dynamik˛e spinu dwóch atomów w pojedynczym oczku sieci optycznej o ró˙znej geometrii, w rezonansowym polu magnetycznym. Procesem tym rz ˛adzi oddziaływanie dipolowe niezachowuj ˛ace magnetyzacji układu. Przestrze ´n stanów bazo- wych stanowiły funkcje nale˙z ˛ace do trzech pierwszych pasm sieci optycz- nej, tj. s, p i d. W rozdziale 4. nawi ˛a˙zano tak˙ze do aktualnie prowa- dzonych do´swiadcze ´n i przedstawiono teoretyczn ˛a interpretacj˛e wyników eksperymentalnych.

• Rozdział 5. dotyczy badania przej´scia fazowego w niesko ´nczonej sieci optycznej z osiow ˛a symetri ˛a oczek. W efekcie sporz ˛adzono diagram fa- zowy układu, który jest realizacj ˛a dwuskładnikowego modelu BH z ma- gnetycznym oddziaływaniem dipolowym.

• Rozdział 6. podsumowuje wyniki tej pracy.

Rozdział 2

Dwuciałowe oddziaływania

Ultrazimne atomy s ˛a dobrym układem do badania zjawisk kwantowych silnie skorelowanych układów wielociałowych [21, 22]. W tym rozdziale postanowi- łam omówi´c najwa˙zniejsze rodzaje oddziaływa ´n w sieci optycznej z ultrazim- nymi atomami. Szczegółowo opisałam wi˛ec własno´sci oddziaływa ´n dipolowych oraz lokalnych oddziaływa ´n kontaktowych, gdy˙z akurat te oddziaływania mog ˛a wywoła´c dynamik˛e spinu w układzie.

Dalekozasi˛egowe oddziaływanie dipolowe cho´c dotychczas zaniedbywalne, w ko ´ncu zacz˛eto traktowa´c jako znacz ˛ace i ciekawe. Taki post˛ep mo˙zna zauwa˙zy´c w badaniach nad ultrazimnymi gazami dipolowymi [23, 24, 25, 26] oraz w badaniach z wysoko wzbudzonymi stanami orbitalnymi w sieci optycznej [27].

Oczywi´scie wydaje si˛e, ˙ze polarne molekuły - ze wzgl˛edu na du˙zy elektryczny moment dipolowy - mogły by by´c lepszymi kandydatami do analizy układów z oddziaływaniem dipolowym. Na razie jednak molekuły nadal zostaj ˛a poza zasi˛egiem kondensacji.

Magnetyczne oddziaływania dipolowe maj ˛a do´s´c zło˙zon ˛a natur˛e. Ich obecno´s´c pozwala my´sle´c o spinie jako o zmiennej dynamicznej, a co wi˛ecej pozwala obsadza´c w układzie stany o ró˙znych magnetyzacjach.

Oddziaływania kontaktowe, w porównaniu do energii dipolowej, wnosz ˛a do układu du˙zy wkład energetyczny. Z tego powodu s ˛a bardzo istotne. Co wi˛e- cej spontanicznie inicjuj ˛a dynamik˛e spinu i to bez wzgl˛edu na obecno´s´c pola magnetycznego. Z jednej strony jest to mankament tych oddziaływa ´n, gdy˙z nie mo˙zna nimi sterowa´c w tak subtelny sposób jak oddziaływaniami dipolowymi za pomoc ˛a pola magnetycznego. Z drugiej strony oddziaływania kontaktowe wywołuj ˛a bardzo spektakularn ˛a dynamik˛e oraz prowadz ˛a do skomplikowanego

9

Rozdział 2. Dwuciałowe oddziaływania 10 diagramu fazowego stanu podstawowego jak np. dla ⁵²Cr w funkcji pola ma- gnetycznego B oraz przy nieznanej warto´sci oddziaływania a₀ [28, 29].

2.1 Ultrazimny układ atomów

W ogólno´sci hamiltonian układu N oddziałuj ˛acych atomów o masie M ma po- sta´c:

H = XN i=1

~ p²_i

2 M + Vtrap(~ri)
+1 2

X

i6=j

V (~ri− ~r^j) (2.1) gdzie indeksy i, j numeruj ˛a atomy, V_trapjest potencjałem pułapki, za´s V (~r_i−~rj) to potencjał oddziaływania mi˛edzy atomami.

W rozrzedzonym gazie ultrazimnych atomów, długo´s´c fali termicznej ka˙zdego atomu jest zdecydowanie wi˛eksza ni˙z ´srednia odległo´s´c mi˛edzy nimi (λ ≫ R^atom).

To powoduje, ˙ze dominuj ˛acy wkład do V (~r−~r^′), pochodz ˛acy od oddziaływa ´n van der Waalsa, mo˙zna traktowa´c jako potencjał krótkiego zasi˛egu typu δ(~r − ~r^′).

Ponadto wielko´s´c tego oddziaływania mo˙zna opisa´c jednym parametrem a_S - długo´sci ˛a rozpraszania atomów w fali S, [30].

Atomy, które posiadaj ˛a własny moment magnetyczny, oddziałuj ˛a tak˙ze dipo- lowo. W normalnych warunkach wpływ tego oddziaływania jest niezauwa˙zalny ze wzgl˛edu na słabo´s´c samych oddziaływa ´n. Jednak w zjawiskach, które b˛ed ˛a badane w tej pracy, długozasi˛egowe oddziaływania dipolowe s ˛a bardzo istotne.

Dlatego te˙z ich wkład do V (~r − ~r^′) musi by´c wzi ˛ety pod uwag ˛e.

Dodatkow ˛a cech ˛a bozonów w niskich temperaturach (granica zerowych p˛edów) jest to, ˙ze ich funkcja falowa jest dobrze przybli˙zana przez iloczyn jednako- wych funkcji jednocz ˛astkowych z dokładno´sci ˛a do małego dodatku w postaci

„kwantowego zubo˙zenia” (’quantum depletion’). Jednocz ˛astkowa funkcja fa- lowa spełnia nieliniowe równanie Schrödingera, za´s kwantowe zubo˙zenie jest zaniedbywalne w re˙zimie słabych oddziaływa ´n.

Sytuacja jest odmienna, gdy atomy s ˛a umieszczone w gł˛ebokiej sieci optycznej.

Wówczas zało˙zenia: a) ka˙zdemu atomowi mo˙zna przypisa´c t ˛a sam ˛a funkcj˛e fa- low ˛a, b) brak jest korelacji mi˛edzy atomami oraz c) mo˙zna zaniedba´c człon

„kwantowego zubo˙zenia”, nie s ˛a poprawne. W takim przypadku mamy do czy- nienia z silnie skorelowanym układem.

Rozdział 2. Dwuciałowe oddziaływania 11

2.2 Hamiltonian oddziałuj ˛acych bozonów w sieci

Hamiltonian oddziałuj ˛acych atomów w potencjale periodycznym:

H =ˆ Z

d³r ˆΨ^†(~r)



− ~²

2M∇²+ V_trap(~r)

Ψ(~r) +ˆ

+ 1 2

4π~² M a_S

Z

d³r1d³r2Ψˆ^†(~r1) ˆΨ^†(~r2) δ(~r1− ~r²) ˆΨ^†(~r1) ˆΨ^†(~r2) + 1

2 µ₀ 4π

Z

dr²₁dr₂² Ψˆ^†(~r₁) ˆΨ^†(~r₂) V_dip(~r₁− ~r2) ˆΨ(~r₁) ˆΨ(~r₂) (2.2)

V_dip(~r1 − ~r²) = ~µ1 · ~µ²

|~r1− ~r2|³ −

3^h~µ₁· ~r1− ~r2
i h

~

µ₂· ~r1− ~r2
i

|~r1− ~r2|⁵ (2.3)

gdzie ˆΨ(~r) jest spinorowym operatorem pola bozonowego.

Pierwsza linijka (2.2) opisuje jednocz ˛astkowy hamiltonian. V_trap(~r) to perio- dyczny potencjał pułapkuj ˛acy. Druga linijka (2.2) opisuje dwuciałowe oddzia- ływania kontaktowe, gdzie M jest mas ˛a atomów, a_S to długo´s´c rozpraszania atomów w fali spinowej S. Z kolei trzecia linijka (2.2) opisuje dwuciałowe, długozasi˛egowe oddziaływania dipolowe momentów magnetycznych atomów ~µ1

i ~µ₂. µ₀ jest przenikalno´sci ˛a magnetyczn ˛a pró˙zni. Pełn ˛a posta´c potencjału oddziaływania dipolowego V_dip(~r₁− ~r2) wyra ˙za wzór (2.3).

W układzie opisywanym hamiltonianem (2.2) istotn ˛a spraw ˛a jest wybór bazy.

Periodyczno´s´c potencjału oraz w wi˛ekszej mierze lokalno´s´c oddziaływa ´n podpo- wiada, ˙ze najlepsz ˛a do tego celu baz ˛a s ˛a funkcje Wanniera. Pó´zniejszy rozdział zostanie po´swi˛econy szczegółowemu omówieniu tych funkcji.

Do opisu układu w sieci optycznej u˙zywa si˛e spinorowego operatora pola ˆΨ(~r).

W ogólno´sci ma on posta´c:

Ψ(~r) =ˆ ^O

β

X

α,i

ˆ

a^β_α,iw^β_α(~r − ~ri) (2.4)

gdzie α numeruje pasma, indeks i numeruje oczka na sieci, za´s β numeruje składowe spinowe operatora pola. Operator ˆa^β_α,i anihiluje cz ˛astk˛e w poło˙zeniu

~r_i, w stanie opisywanym zlokalizowan ˛a funkcj ˛a Wanniera w^β_α(~r − ~ri). Dodat- kowo operator ˆa^β_α,i spełnia bozonowe relacje komutacji, tj. [ˆa^β_α,i, ˆa^γ_ζ,j] = δ_i,jδ_α,ζδ_β,γ. Przejd˛e teraz do omówienia oddziaływa ´n, które wyst˛epuj ˛a w hamiltonianie (2.2). Przede wszystkim zwróc˛e uwag˛e, jaki wpływ na dynamik˛e spinu maj ˛a te poszczególne oddziaływania.

Rozdział 2. Dwuciałowe oddziaływania 12

2.2.1 Oddziaływanie kontaktowe

W niskich temperaturach (T → 0), gdy energia kinetyczna cz ˛astek jest mała w stosunku do potencjału odpychaj ˛acego, to przekrój czynny na zderzenia ro-

´snie tylko wtedy, gdy cz ˛astki zderz ˛a si˛e centralnie. Z tego powodu potencjał oddziaływania kontaktowego jest krótkozasi˛egowy, a jego wielko´s´c charaktery- zuje jeden parametr - długo´s´c rozpraszania.

W sieci optycznej oddziaływania kontaktowe maj ˛a bardzo bogat ˛a struktur˛e.

Układ ultrazimnych atomów o spinie S (tak jak w przypadku ⁵²Cr) jest opi- sywany 2S + 1-składnikowym spinorem i w ka˙zdym takim składniku pojawia si˛e inne oddziaływanie kontaktowe.

Funkcja falowa i-tego atomu jest scharakteryzowana przez jego spin S_i oraz rzut tego spinu na o´s kwantyzacji m_i. Jednak do opisu dwuciałowych zderze ´n kontaktowych najlepiej jest u˙zy´c bazy molekularnej, ze wzgl˛edu na niezmien- niczo´s´c dwuciałowej funkcji falowej wzgl˛edem obrotów. Poniewa˙z wszystkie własno´sci w układzie musz ˛a by´c zachowane, dlatego dobrymi liczbami kwan- towymi opisuj ˛acymi taki układ b˛ed ˛a: całkowity spin atomów 0 ≪ S ≪ S¹+ S₂ oraz rzut całkowitego spinu na o´s kwantyzacji M = m1+ m₂, który przyjmuje warto´sci M = −S, .., S.

W ogólno´sci hamiltonian kontaktowy Hc mo˙zna zapisa´c jako:

Hc = δ(r₁− r2) X2S S=0

g_S XS M=−S

|S, MihS, M|, (2.5)

Stan

|S, Mi = ^X

m1,m2

(S, m₁; S, m₂|S, M)|S, m1i|S, m2i, (2.6) jest stanem dwucz ˛astkowym o całkowitym spinie S i rzucie tego spinu M na kierunek osi kwantyzacji. Symbole (S, m₁; S, m₂|S, M) oznaczaj ˛a współczynniki Clebscha-Gordan’a, za´s |S, mⁱi opisuj ˛a stan pojedynczego atomu o spinie S i jego rzucie m_i. Wida´c wi˛ec, ˙ze ka˙zdy dwucz ˛astkowy stan trzeba zrzutowa´c na stan o całkowitym spinie i całkowitym rzucie tego spinu.

W podprzestrzeni całkowitego spinu atomy oddziałuj ˛a w kanale fali spinowej S, sił ˛a proporcjonaln ˛a do długo´sci rozpraszania a_S:

g_S = 4π~²

m a_S, (2.7)

gdzie m jest mas ˛a atomu.

Rozdział 2. Dwuciałowe oddziaływania 13 Potencjał oddziaływania kontaktowego jest krótkozasi˛egowy. Ta cecha wymu- sza symetryczn ˛a posta´c przestrzennej funkcji falowej układu. Skoro wi˛ec cz˛e´s´c przestrzenna zachowuje symetri˛e parzysto´sci, to podobnie dzieje si˛e z cz˛e´sci ˛a spinow ˛a. S przyjmuje wi˛ec jedynie parzyste warto´sci, S = {0, 2, 4, 6}, a oddzia- ływania kontaktowe nie mog ˛a wyprowadzi´c układu poza t ˛a przestrze ´n.

Bardzo istotne w przypadku oddziaływa ´n kontaktowych jest to, ˙ze zachowuj ˛a one całkowit ˛a magnetyzacj˛e w układzie. W pryncypiach mo˙zna je podzie- li´c na niezale˙zne oraz zale˙zne od spinu. Oddziaływania kontaktowe nieza- le˙zne od spinu nie powoduj ˛a zmiany stanu pocz ˛atkowego atomów. W wy- niku zderzenia atomy nadal pozostaj ˛a w tym samym stanie spinowym. W przypadku oddziaływa ´n kontaktowych zale˙znych od spinu - sytuacja jest od- wrotna. Atomy zmieniaj ˛a swój stan spinowy, ale w taki sposób, aby całkowita magnetyzacja w stanie ko ´ncowym była zachowana. Mo˙zna to zilustrowa´c na przykładzie dwóch atomów ⁸⁷Rb, ka ˙zdy w stanie z F = 1 i magnetyzacj ˛a mFi:

|mF1 = 0i|mF2 = 0i → |mF1 = 1i|mF2 = −1i + |mF1 = −1i|mF2 = 1i.

Oddziaływanie kontaktowe zale˙zne od spinu w niektórych układach mo˙ze wy- woła´c dynamik˛e spinu. Wdzi˛ecznym przykładem jest układ dwóch atomów⁵²Cr przygotowanych w stanie |S1 = 3, m₁ = 2i|S2 = 3, m₂ = 2i. Stan ten mo˙zna rozkło˙zy´c w bazie całkowitego spinu:

Ψ(t = 0)^E= r 6

11  ϕ₆^E−

r 5 11

ϕ₄^E, (2.8)

gdzie

|ϕ6i = |S = 6, M = 4i i |ϕ4i = |S = 4, M = 4i (2.9) s ˛a stanami własnymi hamiltonianu z oddziaływaniem kontaktowym o ener- giach odpowiednio E6 = g₆n i E4 = g₄n, n- g˛esto´s´c atomów. W zwi ˛azku z tym

Ψ(t)^E= e^−iE6t/~

r 6 11

 ϕ₆^E−

r 5 11 eⁱ



E6−E4



t/~ϕ₄^E

!

. (2.10)

Cz˛esto´s´c oscylacji mi˛edzy stanami |ϕ6i i |ϕ4i jest proporcjonalna do wyra-

˙zenia E⁶− E⁴ = n ^g6− g^4. W chromie to cz˛esto´s´c jest du˙za, gdy˙z g6 = 100 a0 , za´s g₄ = 60 a₀ (a₀-promie ´n Bohra).

W przypadku ⁸⁷Rb w stanie pocz ˛atkowym |F1 = 1, m₁ = 0i|F1 = 1, m₁ = 0i sytuacja jest zupełnie inna. Stan ten rozkłada si˛e na:

F₁ = 1, m₁ = 0^EF₁ = 1, m₁= 0^E= r2

3 

F = 2, M = 0^E− r1

3 

F = 0, M = 0^E, (2.11)

Rozdział 2. Dwuciałowe oddziaływania 14 a siła sprz˛e˙zenia wynosi ∼ (g2 − g0). Poniewa ˙z dla rubidu g₂ ≃ g0, dlatego dynamika spinu w tym układzie jest zaniedbywalna.

Istnieje tak˙ze sytuacja, gdy oddziaływania kontaktowe mimo wszystko nie s ˛a w stanie zainicjowa´c dynamiki spinu, np. je´sli spiny atomów s ˛a spolaryzowane w kierunku przyło˙zonego pola magnetycznego (ferromagnetyczne uporz ˛adkowanie):

|S = 3, mS1 = 3i|S = 3, mS2 = 3i = |S, Mi = |6, 6i. Ten stan dwucz ˛astkowy jest stanem własnym oddziaływa ´n kontaktowych. Dynamik˛e spinu mog ˛a w nim zainicjowa´c wył ˛acznie oddziaływania dipolowe. Jednak t˛e kwesti˛e omówi˛e szczegółowo w Rozdziale 4.

2.2.2 Magnetyczne oddziaływania dipolowe

Neutralne atomy czy te˙z molekuły maj ˛a własny moment dipolowy, a wobec tego mog ˛a oddziaływa´c siłami dalekozasi˛egowymi. Hamiltonian magnetycznego od- działywania dipolowego mo˙zna zapisa´c:

HD= d²S₁· S2− 3(n · S1)(n · S2)

|r1− r2|³ , (2.12)

gdzie r_i = (x_i, y_i, z_i) i S_i to odpowiednio poło˙zenia i operatory spinu i-tego atomu, za´s współczynnik d² jest zdefiniowany jako d² = µ₀/(4π) (gµ_B)², gdzie:

µ₀ jest przenikalno´sci ˛a magnetyczn ˛a pró˙zni, µ_B to magneton Bohra, za´s g jest czynnikiem Landego o warto´sci przypisanej konkretnemu rodzajowi atomu.

Wektor jednostkowy n = r/r wskazuje kierunek wektora r = r₁− r2 = (x, y, z).

Operatory spinu s ˛a reprezentowane przez macierze spinu danej reprezentacji.

Oddziaływania dipolowe maj ˛a charakter długozasi˛egowy - malej ˛a z odległo-

´sci ˛a jak _r¹3 (dla porównania oddziaływania van der Waalsa malej ˛a jak −_r¹⁶).

Oddziaływania dipolowe s ˛a tak˙ze anizotropowe – zale˙z ˛a od wzajemnego usta- wienia momentów magnetycznych dwóch atomów. T ˛a własno´s´c łatwo do- strzec w układzie, gdy spiny s ˛a spolaryzowane w kierunku pola magnetycznego B = (0, 0, B). Wówczas potencjał dipolowy ma posta´c:~

HD = d² S² 1 − 3 cos θ

|r1− r2|³, (2.13)

gdzie θ jest k ˛atem mi˛edzy momentami magnetycznymi atomów, za´s r jest odle- gło´sci ˛a mi˛edzy poło˙zeniami tych˙ze atomów.

Rozdział 2. Dwuciałowe oddziaływania 15

RYSUNEK 2.1: a) Dwa dipole s ˛a zorientowane w kierunku wersorów ˜e₁ i ˜e₂w odległo´sci r od siebie. b) Dipole s ˛a spolaryzowane, a siła oddziaływania mi˛e- dzy nimi zale˙zy wył ˛acznie od k ˛ata θ oraz wzgl˛ednej odległo´sci mi˛edzy nimi r.

Gdy θ = ^π2 oddziaływanie jest odpychaj ˛ace (c), gdy θ = 0 oddziaływanie jest przyci ˛agaj ˛ace (d), [31].

W zale˙zno´sci od wzajemnego ustawienia spinów oddziaływanie zmienia swój Rys.(2.1). Gdy cos θ < ¹₃, potencjał dipolowy jest odpychaj ˛acy, gdy θ = 0, to po- tencjał dipolowy jest przyci ˛agaj ˛acy. Okazuje si˛e wi˛ec, ˙ze w przypadku konden- satu dipolowego dodatkow ˛a rol˛e odgrywa geometria pułapki, która nie tylko ustala przestrzenny rozkład g˛esto´sci atomów, ale równie˙z wpływa na stabil- no´s´c całego układu. W pułapce o geometrii „cygara”, gdy cz˛esto´sci pułapki pozostaj ˛a w relacji ω_x = ω_y, (_ω^ωz

x) ≪ 1, dominuje przyci ˛aganie. Jednak˙ze obec- no´s´c odpychaj ˛acych oddziaływa ´n kontaktowych pozostawia ten układ stabil- nym. W pułapce o geometrii „nale´snika”, gdy (_ω^ωz

x) ≫ 1, oddziaływania dipolowe s ˛a głównie odpychaj ˛ace. W tym przypadku BEC jest zawsze układem stabil- nym. Natomiast w pułapce sferycznej, gdy rozkład g˛esto´sci chmury atomów jest izotropowy, magnetyczne oddziaływanie dipolowe u´sredni´c si˛e do zera.

2.2.2.1 Szczegółowa charakterystyka oddziaływa ´n dipolowych

Uwzgl˛ednienie oddziaływa ´n dipolowych z punktu widzenia poni˙zszej rozprawy jest niezwykle wa˙zne. Dlatego te˙z szczegółowo przeanalizuj˛e hamiltonian od- działywania dipolowego. Mo˙zna go podzieli´c na trzy cz˛e´sci:

HD = H_d0+ H_d1+ H_d2. (2.14)