Numeryczne rozwiązania równań zachowania
4.11. Dobór warunków początkowych
W arunki początkow e opisu ją param etry w określonym punkcie czasow ym w w ydzielonym obszarze całkow ania, reprezentatyw nym dla badanego zagadnienia przepływ ow ego. W arunki te przyjm uje się w całym obszarze w ten sposób, aby z p unktu w idzenia m atem atycznego były je dnorodne, a z punktu w idzenia fizycznego popraw ne. P rzyjęcie w arunków początkow ych decyduje w sposób zasadniczy o czasochłonności procesu całkow ania od stanu początkow ego do stanu końcow ego.
D la określenia rozkładu początkow ego m ożna w ykorzystać zasady zachow ania m asy i entalpii całkow itej dla kierow nicy i rotalpii dla w irnika oraz stałość entropii w o p arc iu o jed n o w y m iaro w ą teorię przepływ u odniesioną do poszczególnych linii prądu. O czyw iście przebieg linii prądu je s t nieznany przed rozw iązaniem zagadnienia, w ięc zakłada się, że linie p rądu są zgodne z liniam i siatki dla p o w ierzchni m erydionalnej (rys.4.38). P oniew aż siatka obliczeniow a je st dopasow ana do kształtu, przybliżenie je s t w ystarczająco dobre.
W celu spraw dzenia w pływ u w arunków początkow ych na przyśpieszenie obliczeń analizow ano trzy w arianty generacji rozkładów param etrów . P orów nania do k onano dla geom etrii rzeczyw istego kanału łopatkow ego (rys.4.38). D la każdej z założonych linii prądu w przekroju m erydionalnym określa się rozkład izentropow ej liczby M acha, znając oczyw iście param etry na w locie i wylocie,
k o n ie cz n e do określenia w arunków brzegow ych w tych p rze k ro ja ch , ja k to om ów iono w p unktach 4.8.1 i 4.8.2.
Rys.4.38. Siatka numeryczna dla kierownicy stopnia NP turbiny parowej Fig.4.38. Numerical grid for the stator o f the LP part o f steam turbine
Jeżeli przyjm iem y, że liczba w ęzłów siatki w kierunku osiow ym w ynosi IM, w ęzeł na kraw ędzi natarcia łopatki oznaczym y p rzez MXBI, na kraw ędzi spływ u przez MXBO, a w ęzeł leżący w środku kanału przez MXBSR, to w obszarach m iędzy tym i punktam i charakterystycznym i m ożem y dokonać w stępnego rozkładu liczby M ach a w kanale.
W w ariancie I przyjęto często spotykane założenie, że rozkład liczby M acha do linii M X B O będzie odpow iadał rozkładow i ciśnienia całkow itego w kanale (brak przepływ u). Z e w zględów num erycznych przyjęto, że rozkład ten będ zie odpow iadał
stosunkow i ciśnień p/po — 0 ,9 5 , a od linii M XBO do IM będzie liniow o w zrastał do w artości liczby M acha, w ynikającej z przyjętego ja k o w arunek brzegow y ciśnienia na w ylocie p ou, (rys 4.39). Z akłada się ponadto, że rozkład początkow y je s t taki sam w zd łu ż prom ienia.
Rys. 4.39. Rozkład początkowy liczby Macha dla wariantu 1 Fig. 4.39. Initial Mach number distribution - case 1
M ając św iadom ość, że przyjęcie rozkładu liczby M acha zgodnie z w ariantem p ierw szym oraz nieuw zględnienie zm iany param etrów w zdłuż w ysokości kanału przepływ ow ego nie są najlepsze, w w ariancie II zastosow ano iteracyjny proces otrzym yw ania rozkładu początkow ego. N a w stępie przyjm uje się, że rozkład liczby M ach a w zd łu ż w ysokości odpow iada rozkładow i na średnim prom ieniu. N a każdym p rom ieniu aproksym uje się rozkład param etrów w kierunku obw odow ym , p rzyjm ując zróżnicow anie w artości liczby M acha na profilu łopatki w g rys.4.40.
N astępnie, w ykorzystując rów nanie rów now agi prom ieniow ej na w ylocie korygujem y ro zk ład prom ieniow y ciśnienia statycznego (p<,„, na średnim prom ieniu je s t stałe). W następnym kroku korygujem y rozkłady na poszczególnych prom ieniach dla izentropow ych liczb M acha w yznaczonych w oparciu o rozkład prom ieniow y ciśnienia na w ylocie. P roces ten pow tarza się do uzyskania zbieżności.
116 R ozd ział 4
Rys.4.40. Rozkład początkowy liczby Macha dla wariantu n Fig.4 40. Initial Mach number distribution - case U
W arian t III je s t p odobny do w ariantu II. Z astosow ano w nim je d n a k dodatkow o ko rek tę ro zk ła d u liczby M acha, u w zględniającą proces uzgadniania strum ienia m asy na w lo cie i w ylocie z kierow nicy. D zięki tem u w procesie iteracyjnym k oryguje się z a ło ż o n ą liczbę M acha na w ylocie. S chem atycznie rozkład liczby M acha w kanale m iędzyłopatkow ym na średniej w ysokości zaznaczono na iy s.4 .4 1 .
Rys^ł.41 Rozkład początkowy liczby Macha dla wariantu 111 Fig.4.41. Initial Mach number distribution - case III
N um eryczn e rozw iązania rów nań zachow ania 117
liczba iteraqi
Rys.4.42. Porównanie zbieżności procesu iteracyjnego dla różnych rozkładów początkowych Fig.4.42. Convergence of iteration processes for different initial conditions
P orów nanie zbieżności procesu iteracyjnego rozw iązyw ania rów nań zachow ania E u le ra d la przepływ u w kierow nicy przy założeniu trzech w ariantów rozkładu początkow ego przedstaw ia rys. 4.42. W arunek zbieżności procesu iteracyjnego p rzy jęto n a poziom ie:
nn~ 1
p < !. 1 0 - S ( 4 . ! 1 2 )
B iorąc ja k o punkt odniesienia w ariant I w idać z rys. 4.42, że dla w ariantu II pop raw ia się zbieżność procesu iteracyjnego o ok. 25% . N atom iast dla w ariantu III zbieżność obliczeń je s t najlepsza i w ym aga praw ie o połow ę m niej iteracji.
P o niew aż czas obliczeń potrzebny do otrzym ania rozkładu początkow ego je s t porów nyw alny z czasem potrzebnym do w ykonania jed n ej iteracji procesu rozw iązyw ania rów nań zachow ania, w ysiłek podjęty w celu otrzym ania m ożliw ie najlepszego rozkładu początkow ego je s t opłacalny i tym sam ym w skazany.
W p rzypadku rozw ażania układów w ielow ieńcow ych ten sposób postępow ania je st zastosow any dla każdego z w ieńców. Pow oduje to znaczne popraw ienie efektyw ności obliczeń.