Dowód twierdzenia

Załó˙zmy, ˙ze A jest bazow ˛a, spójn ˛a artinowsk ˛a algebr ˛a samoinjektywn ˛a. Bezpo´srednio ze Stwierdzenia III.3.4 oraz ze Stwierdzenia III.3.5 otrzymujemy implikacj˛e(i i ) ⇒ (i ) Twierdze-nia 2.1.

Poka˙zemy teraz implikacj˛e(i ) ⇒ (i i ) Twierdzenia 2.1, co zako´nczy jego dowód.

Załó˙zmy, ˙ze C = (Ci)i∈I jest rodzin ˛a quasi-rur w kołczanie ΓA ze wspólnymi składnika-mi kompozycyjnyskładnika-mi, zamkni˛eta na składniki kompozycyjne oraz składaj ˛ac ˛a si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´nczonych cyklach w mod A. Wówczas ze Stwierdzenia I.6.10 wynika, ˙ze quasi-ruryCi z rodzinyC s ˛a uogólnionymi standardowymi składowymi w koł-czanieΓA.

Poka˙zemy najpierw, ˙zeC jest rodzin ˛a quasi-rur pewnego quasi-rurowego powi˛ekszeniaΛ pewnej utajonej algebry kanonicznej C .

Ustalmy i ∈ I oraz rozwa˙zmy algebr˛e ilorazow ˛a Ai = A/annA(Ci). Wówczas ze Stwierdze-nia I.6.10 quasi-rura Ci jest uogólnion ˛a standardow ˛a, dokładn ˛a, a wi˛ec wiern ˛a, składow ˛a kołczanuΓAi. Ponadto z Lematu I.6.12Ci jest quasi-rur ˛a bez zewn˛etrznych krótkich dróg.

Stosuj ˛ac Twierdzenie I.7.8 wnosimy, i˙z Ai jest quasi-rurowym powi˛ekszeniem pewnej utajo-nej algebry kanoniczutajo-nej C_i, istnieje separuj ˛aca rodzina stabilnych rurTCi= (TCi

x )x∈Xi w koł-czanieΓCi oraz taka stabilna ruraTCi

xi , dla pewnego x_i ∈ Xi, ˙zeCi jest otrzymana z ruryTCi

xi poprzez ci ˛ag operacji dopuszczczalnych typu (ad 1), (ad 2), (ad 1∗) i (ad 2∗) odpowiadaj ˛a-cych operacjom dopuszczalnym prowadz ˛acym od algebry C_i do A_i. Przypomnijmy, ˙ze zbiór indeksów Xi jest niesko ´nczony. St ˛ad TCi jest niesko ´nczon ˛a rodzin ˛a parami ortogonalnych stabilnych rur, składaj ˛acych si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´nczonych cy-klach w modC_i, gdy˙zTCi jest separuj ˛ac ˛a rodzin ˛a stabilnych rur w kołczanieΓCi. Poniewa˙z

C_i jest algebr ˛a ilorazow ˛a algebry A_i, wi˛ec tak˙ze algebr ˛a ilorazow ˛a algebry A. Zatem C_i = A/Ji

dla pewnego ideału Ji algebry A. Odnotujmy, ˙zeTCi = (TCi

x )x∈Xi jest rodzin ˛a stabilnych rur wΓCize wspólnymi składnikami kompozycyjnymi (patrz[36], [64]). Poniewa˙z quasi-rury Ci, zawieraj ˛ace wszystkie moduły TCi

xi , nale˙z ˛a doC , a C jest zamkni˛eta na składniki kompo-zycyjne wnosimy, ˙ze wszystkie moduły w rodzinieTCi nale˙z ˛a doC . Stosuj ˛ac Lemat I.6.14 wnioskujemy, ˙ze dla ka˙zdego x∈ Xi istnieje quasi-ruraCx^{(i )}w C zawieraj ˛aca wszystkie mo-duły ze stabilnej ruryTCi

x ofΓCi. Ponadto z Lematu I.6.12 otrzymujemy, ˙zeCx^{(i )} 6= Cy^{(i )} dla wszystkich x 6= y w Xi, gdy˙z ruryTx^{(i )} iTy^{(i )}s ˛a ortogonalne. Co wi˛ecej, z Lematu I.6.13 wy-nika, i˙z TCi

x = Cx^{(i )} dla prawie wszystkich indeksów x in Xi, tzn. dla tych x ∈ Xi, dla któ-rychCx^{(i )}jest stabiln ˛a rur ˛a. Zauwa˙zmy równie˙z, ˙zeCx^{(i )}, gdzie x ∈ Xi, jest rodzin ˛a quasi-rur ze wspólnymi składnikami kompozycyjnymi. Dalej, dla x ∈ Xi takich, ˙zeTCi

x = Cx^{(i )} mamy

J_i = annA(Cx^{(i )}) bowiem TCi

x jest dokładn ˛a składow ˛a w kołczanieΓCi.

Twierdzimy, ˙ze wszystkie utajone algebry kanoniczne C_i, i ∈ I , s ˛a sobie równe. We´zmy

i 6= j w I . Poniewa˙z zbiory Xi oraz Xj s ˛a niesko ´nczone, to mo˙zemy wzi ˛a´c takie x ∈ Xi

i y ∈ Xj, ˙ze TCi

x = Cx^{(i )} oraz T^Cj

y = Cy^{(j )}. W szczególno´sci mamy Ji = annA(TCi

x ) i Jj = annA(TCj

y ). Fakt, ˙ze TCi

x = TCj

y implikuje Ji = Jj, a st ˛ad Ci = A/Ji = A/Jj = Cj. Mo˙zemy wi˛ec zało˙zy´c, ˙ze TCi

x oraz T^Cj

y s ˛a ró˙zne. Zauwa˙zmy, ˙ze TCi

x i T^Cj

y s ˛a stabilnymi rurami wΓA ze wspólnymi składnikami kompozycyjnymi, które dodatkowo składaj ˛a si˛e z modułów nie le˙z ˛acych na krótkich niesko ´nczonych cyklach w mod A, bo TCi

x oraz T^Cj

y nale˙z ˛a do C = (Ci)i∈I. Twierdzenie I.6.4 oraz Lemat I.6.17 implikuj ˛a istnienie takich nierozkładalnych

A-modułów M_i ∈ TCi

x oraz Mj ∈ T^Cj

y , ˙ze[Mi] = [Mj] w K0(A) i Ji = annA(Mi), Jj = annA(Mj). Poniewa˙z [Mi] = [Mj], to istnieje taka algebra ilorazowa D = A/L, dla ideału L = Ag A algebry A zadanego przez idempotent g ∈ A, ˙ze Mi i Mj s ˛a wiernymi, nierozkładalnymi

D-modułami. Oczywi´scie wówczas J_i ⊆ L i Jj ⊆ L, wi˛ec TCi

x = Cx^{(i )} oraz T^Cj

y = Cy^{(j )}

s ˛a wiernymi stabilnymi rurami w ΓD składaj ˛acymi si˛e z nierozkładalnych D-modułów, które nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´nczonych cyklach w mod D. Ponadto annD(TCi

x ) = L/Ji

oraz annD(Ty^{(j )}) = L/Jj. Stosuj ˛ac Wniosek I.7.6 stwierdzamy, ˙ze D jest utajon ˛a algebr ˛a kanoniczn ˛a,TCi

x orazT^Cj

y s ˛a dokładnymi rurami wΓD, a w konsekwencji J_i = L = Jj. Wobec tego rzeczywi´scie C_i = A/Ji = A/Jj = Cj, dla wszystkich i , j ∈ I .

jest algebr ˛a ilorazow ˛a algebry A oraz, dla dowolnego i ∈ I , algebra Ai = A/annA(Ci) jest quasi-rurowym powi˛ekszeniem algebry C , a Ci jest otrzymana z pewnej stabilnej rury TC

xi w ΓC, gdzie x_i ∈ X, poprzez zastosowanie ci ˛agu operacji dopuszczalnych typu (ad 1), (ad 2), (ad 1∗) i (ad 2∗), gdzie X jest zbiorem indeksów separuj ˛acej rodziny TC = (TC

x )x∈X stabilnych rur w ΓC. Poniewa˙z rodzina C = (Ci)i∈I składa si˛e z quasi-rur ze wspólnymi składnikami kompozycyjnymi oraz jest zamkni˛eta na składniki kompozycyjne, to stwierdzamy, i˙z dla ka˙zdego i∈ I , TC

xi jest stabiln ˛a rur ˛a w TC. W szczególno´sci dostajemy równo´s´c Xi = X dla wszystkich i ∈ I . Co wi˛ecej, pokazali´smy, ˙ze dla ustalonego indeksu

x ∈ X, wszystkie moduły ze stabilnej rury TC

x nale˙z ˛a do quasi-rury Cx z rodziny C . Dlatego wnioskujemy, ˙ze Λ = A/annA(C ) jest quasi-rurowym powi˛ekszeniem utajonej algebry kanonicznej C , które wykorzystuje moduły z separuj ˛acej rodziny TC = (TC

x )x∈X stabilnych rur w ΓC, a C jest separuj ˛ac ˛a rodzin ˛a quasi-rur w ΓΛ otrzyman ˛a z rodziny TC poprzez iteracyjne zastosowanie ci ˛agu operacji dopuszczalnych typu (ad 1), (ad 2), (ad 1∗) i (ad 2∗). Stosuj ˛ac Twierdzenie I.7.7 wnioskujemy, ˙ze istnieje jedyna prawie utajona kanoniczna algebra ilorazowa B = Λr algebry Λ (tak zwana prawa quasi-odwrócona cz˛e´s´c algebryΛ), która jest rurowym rozszerzeniem algebry C , a kołczan ΓBr zawiera separuj ˛ac ˛a rodzin˛e Cr = (Cr

x)x∈X rur promieniowych otrzyman ˛a z rodziny TC = (TC

x )x∈X kołczanu ΓC poprzez iteracyjne zastosowanie ci ˛agu operacji dopuszczalnych typu (ad 1). Ponadto rodzinaC = (Cx)x∈Xquasi-rur w kołczanieΓΛ(orazΓA) otrzymana jest z rodzinyCr poprzez ci ˛ag operacji dopuszczalnych typu(ad 1∗) i (ad 2∗).

Połó˙zmy I = annA(Cr), tzn. I jest ideałem w A b˛ed ˛acym annihilatorem modułów z rodziny Cr. Poniewa˙zCr jest dokładn ˛a rodzin ˛a rur promieniowych w kołczanie ΓB, to B = A/I . Mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze istnieje taki pełny układ parami ortogonalnych idempotentów e1, . . ., en

algebry A, ˙ze 1A = e1+ ··· + en oraz e = e1+ ··· + em, dla pewnego m ≤ n, jest ilorazow ˛a jedynk ˛a algebry B = A/I . Poka˙zemy, ˙ze I jest ideałem deformuj ˛acym algebry A takim, ˙ze

lA(I ) = I e oraz rA(I ) = e I , gdzie lA(I ) = {a ∈ A|a I = 0}, a rA(I ) = {a ∈ A|I a = 0}. W tym celu potrzebujemy kilku technicznych lematów.

Oznaczmy przez J ideał ´sladu rodzinyCr w A, to jest sum˛e obrazów wszystkich homo-morfizmów z modułów w Cr do prawego A-modułu A_A. Podobnie przez J0oznaczmy ´slad rodziny D(Cr) lewych A-modułów w A.

Stwierdzenie 3.1. J∪ J0⊆ I .

Dow ´od. Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze annihilator I = annA(Cr) rodziny Cr jest annihilatorem ann_A(M ) pewnego modułu M w addytywnym domkni˛eciu add(Cr) rodziny Cr. Rzeczywi-´scie poniewa˙z A ma sko ´nczon ˛a długo´s´c nad k , to

I= annA(Cr) = \ X∈Cr annA(X) = r \ i=1 annA(Mi) = annA r M i=1 M_i !

dla sko ´nczonej ilo´sci M₁, . . ., M_r nierozkładalnych modułów zCr, wi˛ec mo˙zemy wzi ˛a´c M=

W szczególno´sci otrzymujemy, ˙ze M jest dokładnym, prawym B -modułem, a D(M ) jest dokładnym, lewym B -modułem.

Ponownie wykorzystuj ˛ac fakt, i˙z AA jest sko ´nczonej długo´sci nad k dostajemy

J= ^X h∈HomA(Y,AA), Y ∈Cr Im h= s X i=1 Im hi,

dla pewnych homomorfizmów hi ∈ HomA(Yi, A), gdzie Yi nale˙zy doCr dla i ∈ {1, . . . , s }, a st ˛ad mamy epimorfizm prawych A-modułów

[h1. . . hs]: Y =

s

M

i=1

Yi → J .

Wówczas N = M ⊕ Y jest modułem z addCr oraz ann_A(N ) = annA(M ) = I , wi˛ec N jest dokładnym, prawym B -modułem oraz istnieje empimorfizm prawych A-modułów g : N →

J . Wtedy J jest prawym B -modułem, gdy˙z J I= g (N )I = g (N I ) = g (0) = 0.

Poka˙zemy teraz inkluzj˛e J ⊆ I . Przypu´s´cmy, ˙ze J 6⊆ I . Poniewa˙z I = annA(N ) jest prze-ci˛eciem j ˛ader wszystkich homomorfizmów z HomA(AA, N), to istnieje taki homomorfizm

f : A → N w mod A, ˙ze f (J ) 6= 0. Wówczas istniej ˛a składniki proste U i V modułu N oraz P

modułu AAtakie, ˙ze f(g (U) ∩ P) ∩ V 6= 0, a w konsekwencji dostajemy krótk ˛adrog˛e w modA

U ^u P ^v V,

gdzie U oraz V nale˙z ˛a doCr, P jest nierozkładalnym, projektywnym, prawym A-modułem, a v u 6= 0. Ponadto Im u zawiera soc P, wi˛ec soc P jest prostym prawym B-modułem gdy˙z Im u jest prawym B -modułem. Z drugiej strony, rodzina C otrzymana jest z rodziny rur promieniowych Cr poprzez ci ˛ag operacji dopuszczalnych typu (ad 1∗) i (ad 2∗), a zatem

P /∈ Cr. St ˛ad u i v nale˙z ˛a do rad^∞_A, a wi˛ec 06= v u ∈ rad^∞_A(U,V ), co daje sprzeczno´s´c gdy˙z C jest uogólnion ˛a standardow ˛a rodzin ˛a modułów w mod B , wi˛ec tak˙ze w mod A. Wobec tego istotnie J⊆ I .

Nast˛epnie, poniewa˙z_AA jest sko ´nczonej długo´sci nad k , to

J⁰= ^X

h0∈HomAop(D(Y0),AA), Y0∈Cr

Im h⁰=

t

X

j=1 Im h⁰_j

dla pewnych homomorfizmów h0

j ∈ HomAop(D(Y0

j),AA), gdzie Y0

j ∈ Cr dla j ∈ {1, . . . , t }, a st ˛ad mamy epimorfizm lewych A-modułów

[h0 1. . . h⁰_t]: D(Y0) = t M j=1 D(Y0 j) →AA.

Wówczas N0= M ⊕ Y0 jest modułem w addCr, D(N0) jest modułem w kategorii addD(Cr), a ann_AD(N0) = annAD(M ) = I . Wtedy D(N0) jest dokładnym, lewym B-modułem oraz istnieje epimorfizm g0: D(N0) → J0 lewych A-modułów. Oczywi´scie wówczas J0 jest lewym

B -modułem gdy˙z I J0= I g0(D(N0)) = g0(I D(N0)) = g0(0) = 0.

Twierdzimy teraz, ˙ze J0 ⊆ I . Przypu´s´cmy, i˙z J06⊆ I . Poniewa˙z I = annAD(N0) jest przeci˛e-ciem j ˛ader wszystkich homomorfizmów z HomAop(AA, D(N0)), to istnieje taki homomorfizm

f0:_AA→ D(N0) lewych A-modułów, ˙ze f0(J0) 6= 0. Mamy wi˛ec ci ˛ag homomorfizmów lewych

A-modułów

D(N0) ^g0 J0 w0 _AA f0 D(N0),

gdzie w0jest kanonicznym wło˙zeniem, a f0w0g06= 0. Stosuj ˛ac dualno´s´c D: mod Aop → mod A otrzymujemy homomorfizmy w mod A

N0 ^D(f0) D(AA)^D(w0g0)N0,

gdzie D(w0g0)(D(f0)(U0) ∩ P0) ∩ V06= 0, a w konsekwencji otrzymujemy krótk ˛a drog˛e w mod A

U0 ^u0 P0 ^v0 V0,

gdzie U0 i V0 nale˙z ˛a doCr, P0 jest nierozkładalnym, projektywnym, prawym A-modułem, a v0u0 6= 0. Poniewa˙z Im u0 jest niezerowym, prawym B -modułem zawieraj ˛acym soc P0, otrzymujemy, ˙ze soc P0 jest prostym, prawym B -modułem. St ˛ad wnosimy jak wcze´sniej, ˙ze P0 /∈ C . Zatem u0 oraz v0 nale˙z ˛a do rad^∞_A, a st ˛ad 0 6= v0u0 ∈ rad^∞_A(U0, V0), co stanowi sprzeczno´s´c, gdy˙zCr jest uogólnion ˛a standardow ˛a rodzin ˛a modułów w mod A. _ƒ

Lemat 3.2. lA(I ) = J , rA(I ) = J0oraz I= rA(J ) = lA(J0).

Dow ´od. Poniewa˙z J jest prawym B -modułem, to I ⊆ rA(J ). Niech N b˛edzie takim modu-łem z addCr, ˙ze I = rA(N ). Dodatkowo, niech ρ: N → At b˛edzie wło˙zeniem N w sko ´nczenie generowanym, wolny, prawy A-moduł A, który jest modułem injektywnym. Oznaczmy przez

ρi: N → A, dla i ∈ {1, . . . , t }, zło˙zenie ρ z rzutem na i -t ˛a składow ˛a At. Wówczas istnieje wło-˙zenie N w sum˛e prost ˛aLt

i=1ρi(N ), które jest zawarte w Lt

i=1J . St ˛ad mamy I= rA(N ) ⊇ rA t M i=1 ρi(N ) ! ⊇ rA t M i=1 J ! = rA(J ).

Jako konsekwencj˛e dostajemy równo´s´c I = rA(J ). Stosuj ˛ac teraz twierdzenie Nakayamy [78, Theorem IV.6.10] otrzymujemy, ˙ze J = lArA(J ) = lA(I ).

Poka˙zemy, i˙z J0 = rA(I ). Najpierw zauwa˙zmy, poniewa˙z J0 jest lewym B -modułem, ˙ze I ⊆

l_A(J0). Niech N0 b˛edzie takim modułem z addCr, ˙ze I = lA(D(N0)). Niech ρ0: D(N0) →

As b˛edzie wło˙zeniem D(N0) w sko´nczenie generowany, wolny, lewy A-moduł. Oznaczmy przez ρ0

i: D(N0) → A, dla i ∈ {1,...,s }, zło˙zenie ρ0 z rzutem na i -t ˛a składow ˛a As. Wtedy istnieje wło˙zenie D(N0) w sum˛e prost ˛a Ls

i=1ρ0

i(D(N0)), która jest zawarta w Ls

i=1J0. St ˛ad otrzymujemy, ˙ze I = lA D(N0)
⊇ lA s M i=1 ρ0 i(D(N0)) ! ⊇ lA s M i=1 J⁰ ! = lA(J0).

Zatem I = lA(J0), wi˛ec stosuj ˛ac ponownie wspomniane wy˙zej twierdzenie Nakayamy

dosta-jemy, i˙z J0= rAlA(J0) = rA(I ). ƒ

Lemat 3.3. e I e= e J e = e J0e . W szczególno´sci(e I e )2= 0.

Dow ´od. Poniewa˙z e jest ilorazow ˛a jedynk ˛a algebry ilorazowej B = A/I , to B ∼= e Ae /e I e . ZatemCr jest dokładn ˛a, uogólnion ˛a standardow ˛a rodzin ˛a rur promieniowych w kołczanie Γe Ae/e I e. Dalej, J jest prawym B -modułem, 1−e ∈ I , wi˛ec J = J e + J (1−e ) = J e , gdy˙z J (1−e ) ⊆

J I= 0. Wtedy e J jest ideałem w e Ae takim, ˙ze e J ⊆ e I e , co wynika ze Stwierdzenia 3.1. Rozwa˙zmy algebr˛e ilorazow ˛a B0= e Ae /e J . Wtedy Cr jest wiern ˛a, uogólnion ˛a standardo-w ˛a rodzin ˛a rur promieniowych wΓB0. Poniewa˙z rodzinaCr wΓA składa si˛e z B -modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach w mod A, to moduły z rodzinyCr wΓB0 nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´nczonych cyklach w mod B0, gdy˙z B jest algebr ˛a ilorazow ˛a alge-bry B0. Dla ka˙zdych x 6= y w X rury promieniowe Cr

x oraz Cr

y składaj ˛a si˛e z niesko ´nczenie wielu modułów ze wspólnymi składnikami kompozycyjnymi bowiemCr

x zawiera wszystkie moduły ruryTC

x , a CC

y zawiera wszystkie moduły ruryTC

y . Wobec Lematu I.6.12 rodzina Cr składa si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na zewn˛etrznych krótkich drogach w mod B0. Za-tem korzystaj ˛ac z Twierdzenia I.7.4 wnosimy, ˙ze B0 jest prawie utajon ˛a algebr ˛a kanoniczn ˛a, aCr jest separuj ˛ac ˛a rodzin ˛a rur promieniowych wΓB0. Jednak wówczas wierna, uogólnio-na standardowa rodziuogólnio-naCr rur promieniowych wΓB0jest dokładna w mod B0. Implikuje to, i˙z e I e/e J = annB0(Cr) = 0, a wi˛ec e I e = e J . W podobny sposób poka˙zemy, ˙ze e I e = J0e .

Stosuj ˛ac Lemat 3.2 otrzymujemy równo´sci(e I e )2= e J e e I e = e J e I e = (e J e )I e = e J I e = 0. ƒ

W dalszych rozwa˙zaniach b˛edziemy wykorzystywa´c nast˛epuj ˛acy, ogólny lemat traktuj ˛acy o ci ˛agach prawie rozszczepialnych nad algebrami trójk ˛atnymi (patrz[71, Lemma 5.6]).

Lemat 3.4. Niech R oraz S b˛ed ˛a algebrami, a N S-R-bimodułem. Niech Γ = S N

0 R
b˛edzie

trójk ˛atn ˛a algebr ˛a macierzow ˛a dan ˛a przez bimoduł _SN_R. Wtedy ci ˛ag prawie rozszczepialny

0→ X → Y → Z → 0 w mod R jest ci ˛agiem prawie rozszczepialnym w modΓ wtedy i tylko

Lemat 3.5. Niech f b˛edzie takim prymitywnym idempotentem w I , ˙ze f J6= f Ae . Wtedy K =

f Ae A f+ f J + f Ae A f Ae +e A f +e I e jest ideałem algebry F = (e + f )A(e + f ), a N = f Ae /f K e

jest takim prawym B -modułem, ˙ze Hom_B(Cr, N) 6= 0 oraz HomB(N ,Cr) = 0.

Dow ´od. Z Lematu 3.3 wynika, i˙z e I e= e J e . Poniewa˙z e J e ⊆ J , to mamy inkluzje f Ae I e ⊆

f(e I e ) ⊆ f J . Zatem K jest ideałem w F . Zauwa˙zmy równie˙z, i˙z f K e = f J + f Ae A f Ae ,

f K f ⊆ rad(f A f ), gdy˙z (f K f )2 = (f Ae A f )(f Ae A f ) ⊆ I e I e I ⊆ I e J I = 0, e K e = e I e

oraz e K f = e A f . Co wi˛ecej, N 6= 0. Istotnie, je´sli f Ae = f K e , to poniewa˙z e A f Ae ⊆

e I e ⊆ rad(e Ae ), wi˛ec Lemat 3.3 implikuje f Ae = f J + f Ae (rad(e Ae )), a st ˛ad f Ae = f J

na mocy lematu Nakayamy, co daje sprzeczno´s´c z zało˙zeniem. Dalej, B = e Ae /e I e oraz (f Ae )(e I e ) = f Ae J ⊆ f J ⊆ f K e , a st ˛ad N jest prawym B-modułem. Ostatecznie N jest równie˙z lewym modułem nad S= f A f /f K f , a Γ = F /K jest izomorficzna z algebr ˛atrójk ˛atn ˛a

S N

0 B
. Przywołuj ˛ac struktur˛e rodzinyC = (Cx)x∈I quasi-rur wΓA wnioskujemy, ˙ze rodzina Cr = (Cr

x)x∈Xrur promieniowych wΓBjest obrazem rodzinyC poprzez funktor ograniczenia (−)(e + f ): modA → mod F , a w konsekwencji Cr jest rodzin ˛a rur promieniowych w ΓF. Odnotujmy, ˙ze rury promienioweCr

x, dla x ∈ I , nie zawieraj ˛a modułu injektywnego, wi˛ec dla dowolnego modułu X wCr istnieje ci ˛ag prawie rozszczepialny 0→ X → Y → Z → 0 w mod F składaj ˛acy si˛e w cało´sci z B -modułów. Dlatego stosuj ˛ac Lemat 3.4 otrzymujemy, ˙ze HomB(N ,X) = 0 dla wszystkich modułów X w Cr, a wi˛ec HomB(N ,Cr) = 0. Nast˛epnie Cr jest separuj ˛ac ˛a rodzin ˛a rur promieniowych wΓB, co implikuje, ˙ze ka˙zdy nierozkładalny moduł w mod B jest albo generowany albo kogenerowany przez Cr. St ˛ad wnosimy, ˙ze

HomB(Cr, N) 6= 0. ƒ

Przypomnijmy, ˙ze przezν oznaczamy automorfizm Nakayamy algebry A, a przez ν−jego odwrotno´s´c. Jak pami˛etamy, dla ka˙zdego prymitywnego idempotenta f algebry A mamy soc(ν(f )A) ∼= top(f A) = f A/radA(f A). Nast˛epuj ˛ace dwa Lematy zostały udowodnione w [71, Lemmas 1.1 and 5.11].

Lemat 3.6. Prawy ideał ν(e )lA(I ) jest minimalnym injektywnym generatorem w mod B,

a lewy ideał rA(I )ν−(e ) jest minimalnym injektywnym kogeneratorem w mod Bop.

Lemat 3.7. ν(e )J = lν(e )Ae(e I e ) oraz J0ν−(e ) = re Aν−(e )(e I e ). Poka˙zemy teraz nast˛epuj ˛acy Lemat.

Lemat 3.8. ν(e )I e = ν(e )J oraz e I ν−(e ) = J0ν−(e ).

Dow ´od. Niech e_i b˛edzie prymitywnym składnikiem prostym idempotenta e oraz połó˙zmy

f = ν(ei). Poka˙zemy, ˙ze f I e = f J . W tym celu wystarczy pokaza´c, ˙ze f I e I = 0, gdy˙z wtedy Lemat 3.7 implikuje f I e ⊆ lf Ae(e I e ) = f J , a f J ⊆ f I e wynika ze Stwierdzenia 3.1. Załó˙zmy, ˙ze f I e I 6= 0. Wtedy f ∈ I , gdy˙z soc(f I e IA) ⊆ top(eiA), wi˛ec f I e I ei 6= 0, ale (e I e )2= 0, co wynika z Lematu 3.3. Ponadto je´sli f Ae = f J , to (f I e )I ⊆ (f Ae )I = f J I = 0, gdy˙z f ∈ I , co

oznacza sprzeczno´s´c z zało˙zeniem. Wobec tego otrzymujemy, ˙ze f Ae6= f J . Rozwa˙zmy teraz takie K i N jak w Lemacie 3.5. Wtedy Hom_B(Cr, N) 6= 0 oraz HomB(N ,Cr) = 0. Wybierzmy taki moduł M zCr, ˙ze Hom_B(M ,N ) 6= 0.

(1) Niech L = f K e /f J . Zauwa˙zmy, ˙ze L jest prawym B-modułem bowiem z Lematu 3.3

B ∼= e Ae /e I e i e I e = e J . Twierdzimy, ˙ze HomB(L,M ) = 0. Wystarczy pokaza´c, ˙ze L jest generowany przez N , gdy˙z HomB(N ,M ) = 0. Istotnie

L ∼= (f Ae A f )f Ae /(f J ∩ f Ae A f Ae )

jako B -moduł, a moduł po prawej stronie jest generowany przez N = f Ae /(f J +

f Ae A f Ae), gdzie

(f Ae A f )f J ⊆ f J ∩ f Ae A f Ae,

(f Ae A f )(f Ae A f Ae ) = (f Ae )(e A f Ae )(e A f Ae ) ⊆ (f Ae )(e I e )2,

oraz(e I e )2= 0, co wynika z Lematu 3.3. Poniewa˙z τBM = 0 lub τBM nale˙zy doCr, to mamy tak˙ze HomB(N ,τBM) = 0, a w konsekwencji HomB(L,τBM) = 0.

(2) Poka˙zemy, ˙ze Home Ae(f K e,τe AeM) = 0. Stosuj ˛ac funktor Home Ae(−,τe AeM): mode Ae → mod k do ci ˛agu dokładnego 0 → f J → f K e → L → 0, otrzymujemy ci ˛ag dokładny

k -modułów

0 Hom_{e Ae}(L,τe AeM) Hom_{e Ae}(f K e,τe AeM)

Home Ae(f J ,τe AeM),

α

gdzie Home Ae(f J ,τe AeM) = HomB(f J ,τBM). Lematy 3.2 oraz 3.6 implikuj ˛a, ˙ze f J jest nierozkładalnym injektywnym B -modułem generowanym przezCr, który nie jest wCr. Wykorzystuj ˛ac fakt, ˙ze Cr jest rodzin ˛a separuj ˛ac ˛a rur promieniowych kołczanu ΓB

dostajemy, ˙ze Home Ae(f J ,τe AeM) = 0, a w konsekwencji α jest izomorfizmem. St ˛ad z (1) mamy Hom_{e Ae}(f K e,τe AeM) = 0.

(3) Ostatecznie stosuj ˛ac funktor Hom_{e Ae}(M ,−): mode Ae → modk do kanonicznego ci ˛agu dokładnego 0→ f K e → f Ae → N → 0, mamy ci ˛ag dokładny k -modułów

0 Home Ae(M , f K e ) Home Ae(M , f Ae )

Home Ae(M ,N ) Ext¹_{e Ae}(M , f K e ),

gdzieβ jest izomorfizmem bowiem Me I e = 0 oraz lf Ae(e I e ) = f J ⊆ f K e , co wynika z Lematu 3.7. Dalej, Ext1

e Ae(M , f K e ) ∼= DHome Ae(f K e,τe AeM) = 0 z (2). To implikuje, ˙ze HomB(M ,N ) = Home Ae(M ,N ) = 0, przecz ˛ac tym samym wyborowi M . Wobec tego udowodnili´smy, ˙zeν(e )J = lν(e )Ae(e I e ).

Dowód drugiej równo´sci jest podobny. _ƒ

Lemat 3.9. I e I e= 0.

Dow ´od. Załó˙zmy, ˙ze I e I e 6= 0. Wtedy 0 6= soc(AI e I e) ⊆ soc(AAe) ∼= top(AAν(e )). St ˛ad

otrzymujemy, ˙ze ν(e )I e I e = HomAop(Aν(e ), I e I e ) 6= 0, gdy˙z HomAop(Aν(e ),soc(Ae )) ∼= Hom_Aop(Aν(e ),top(Aν(e ))) 6= 0. Wtedy ν(e )I e I e 6= 0 bo soc(AI e I e) ∼= top(Aν(e )). Jednak wówczas z Lematu 3.8 mamyν(e )I e I e = ν(e )J I e = 0, co daje sprzeczno´s´c. Zatem I e I e = 0.

ƒ

Lemat 3.10. Niech f b˛edzie prymitywnym idempotentem w I takim, ˙ze f Ae 6= f J e . Wtedy

HomB(Cr, f Ae/f J e ) 6= 0 oraz HomB(e A f /e J0, D(Cr)) = 0.

Dow ´od. Rozwa˙zmy K i N jak w Lemacie 3.5. Zauwa˙zmy, ˙ze f Ae A f Ae = (f Ae )(e A f Ae ) ⊆

I e I e . Poniewa˙z z Lematu 3.9 I e I e = 0, to N = f Ae /f K e = f Ae /f J . Teza wynika z Lematu

3.5 oraz z dualnych argumentów. _ƒ

Lemat 3.11. Niech f b˛edzie prymitywnym idempotentem w I takim, ˙ze ν−(f ) ∈ I . Wtedy

HomB(Cr, f Ae) = 0.

Dow ´od. Zauwa˙zmy, ˙ze f Ae jest prawym B -modułem, gdy˙z B ∼= e Ae /e I e oraz (f Ae )(e I e ) ⊆

I e I e i I e I e = 0, co wynika z Lematu 3.9. Ograniczenie izomorfizmów A-A-bimodułów

D(A) ∼= Aν− jest izomorfizmem D(f Ae ) ∼= e Aν−(f ) lewych (e Ae /e I e )-modułów. Poniewa˙z mamy izomorfizm top(Aν−(f )) ∼= soc(A f ) lewych A-modułów i f ∈ I , to e J0ν−(f ) = 0. Zatem z Lematu 3.3 otrzymujemy izomorfizm lewych (e Ae /e I e )-modułów e Aν−(f )/e J0ν−(f ) =

e Aν−(f ) ∼= D(f Ae ), gdzie ν−(f ) ∈ I i e I e = e J e . W konsekwencji z Lematu 3.10 mamy Hom_B(D(f Ae ),D(Cr)) = 0, co implikuje HomB(Cr, f Ae) = 0. ƒ

Lemat 3.12. Niech f b˛edzie prymitywnym idempotentem w ideale I . Wtedy f Ae = f J e oraz

e A f = e J0f .

Dow ´od. Wystarczy pokaza´c pierwsz ˛a równo´s´c. Mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze f Ae6= 0, gdy˙z teza jest oczywista w przypadku f Ae= 0. Załó˙zmy, ˙ze f Ae 6= f J e . We´zmy K oraz N jak w Lemacie 3.5. Zauwa˙zmy, jak w dowodzie Lematu 3.10, ˙ze N = f Ae /f K e = f Ae /f J . Stosuj ˛ac Lemat 3.5 dostajemy, ˙ze Hom_B(Cr, N) 6= 0. Ponadto ν−(f ) ∈ I . Istotnie, je´sli ν−(f ) /∈ I , to f I e = f J , co wynika z Lematu 3.8, a wi˛ec f J e= f Ae , czyli sprzeczno´s´c. Jednak wtedy ν−(f ) ∈ I implikuje

f J = 0, bo f J jest prawym ideałem w A, J I = 0 i soc(f J ) ∼= top(ν−(f )A), o ile f J 6= 0. Wobec tego N = f Ae /f J = f Ae i korzystaj ˛ac z Lematu 3.11 dostajemy HomB(Cr, f Ae) = 0, co

Udowodnimy teraz nast˛epuj ˛acy kluczowe Stwierdzenie.

Stwierdzenie 3.13. I e = J , e I = J0oraz e I e= J ∩ J0.

Dow ´od. Zauwa˙zmy, ˙ze I e = e I e ⊕ (1 − e )I e . Z Lematu 3.3 mamy e I e = e J e = e J . Dalej, Lemat 3.12 implikuje, ˙ze(1 − e )I e = (1 − e )Ae = (1 − e )J e = (1 − e )J gdy˙z 1 − e ∈ I , co wynika z definicji e . Zatem I e I = e I e I ⊕ (1 − e )J I = 0 z Lematu 3.9 oraz definicji J . Korzystaj ˛ac z Lematu 3.2 otrzymujemy, ˙ze I e ⊆ lA(I ) = J , wi˛ec I e = J . Równo´s´c e I = e J0 dowodzimy podobnie. Ponadto zauwa˙zmy, ˙ze J∩ J0= e (J ∩ J0)e = e J ∩ J0e = e I e . ƒ

Twierdzenie 3.14. I jest ideałem deformuj ˛acym algebry A takim, ˙ze l_A(I ) = I e oraz rA(I ) = e I . Dow ´od. Z Lematu 3.2 oraz Stwierdzenia 3.13 wiemy, ˙ze l_A(I ) = J = I e i rA(I ) = J0 = e I . W szczególno´sci I e I = 0. Zatem ze Stwierdzenia III.1.2 mamy, ˙ze e I e = le Ae(I ) = re Ae(I ). Ostatecznie B= A/I jest prawie utajon ˛aalgebr ˛akanoniczn ˛a, a st ˛ad algebr ˛aquasi-odwrócon ˛a. Wtedy kołczan Gabriela Q_Balgebry B jest acykliczny[21, Proposition III.1.1]. To pokazuje, ˙ze

I jest ideałem deformuj ˛acym algebry A. _ƒ

Doko ´nczymy teraz dowód implikacji(i ) ⇒ (i i ) Twierdzenia 2.1. Wiemy, ˙ze I = annA(Cr) jest ideałem deformuj ˛acym algebry A, gdzie lA(I ) = I e , a B = A/I jest prawie utajon ˛a alge-br ˛a kanoniczn ˛a. Wtedy z Twierdzenia III.2.1 wynika, i˙z zdeformowana algebra samoinjek-tywna A[I ] jest izomorficzna z algebr ˛a orbit Bb/(ψνBb), dla pewnego dodatniego automor-fizmu ψ algebry B . Ponadto wykorzystuj ˛b ac Twierdzenie III.1.3(i i ) wnioskujemy, ˙ze alge-bry A i A[I ] s ˛a cokołowo równowa˙zne, a w konsekwencji pokrywaj ˛a si˛e kategorie modułów mod(A/socA) i mod(A[I ]/socA[I ]). Zauwa˙zmy, ˙ze kołczany Auslandera-Reiten ΓA iΓA[I ] s ˛a izomorficzne. Wtedy zało˙zenie(i ) na A poci ˛aga za sob ˛a, i˙z ΓA[I ]zawiera rodzin˛eC0= (C0

i)i∈I quasi-rur ze wspólnymi składnikami kompozycyjnymi, zamkni˛et ˛a na składniki kompozycyj-ne i składaj ˛aca si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´nczonych cyklach w mod A[I ]. W istocie, dla ka˙zdego i ∈ I quasi-rura C_i⁰ otrzymana jest z quasi-rury Ci poprzez zast ˛ a-pienie nierozkładalnego, projektywnego A-modułu P przez odpowiadaj ˛acy nierozkładalny, projektywny A[I ]-moduł P0 oraz pozostawiaj ˛ac pozostałe nierozkładalne A-moduły w Ci. Wtedy ze Stwierdze ´n III.3.4 i III.3.5 wynika, ˙ze G = (ψνb_B) spełnia warunek (i i ) Twierdze-nia 2.1. W szczególno´sci stwierdzamy, i˙z ei 6= eν(i ) dla prymitywnego składnika ei idempo-tenta e . Stosuj ˛ac Twierdzenie III.1.3(i i i ) wnioskujemy, ˙ze A oraz A[I ] s ˛a izomorficznymi

k -algebrami. Zatem A jest izomorficzna z algebr ˛a orbit bB/G , gdzie G spełnia warunek (i i )

W dokumencie Algebry samoinjektywne ze skończonymi krótkimi cyklami modułów w rodzinie quasi-rur (Stron 65-75)