W tym podrozdziale przypomnimy niektóre ze znanych własno´sci uogólnionych standar-dowych quasi-rur, w szczególno´sci uogólnionych standarstandar-dowych stabilnych rur, jak i rów-nie˙z wyprowadzimy kilka nowych własno´sci, które wykorzystamy w dowodzie Twierdze-nia IV.2.1.
Poni˙zsza charakteryzacja uogólnionych standardowych rur w kołczanie Auslandera-Re-iten została otrzymana w [60, Corollary 5.3] (zobacz tak˙ze [62, Lemma 3.1]).
Stwierdzenie 6.1. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a Γ stabiln ˛a rur ˛a wΓA. Nast˛epuj ˛ace warunki s ˛a równowa˙zne.
(i) Γ jest uogólniona standardowa.
(ii) Moduły na ustach ruryΓ s ˛a parami ortogonalnymi cegłami.
(iii) rad∞A(X,X) = 0 dla dowolnego modułu X w Γ.
Odnotujmy, ˙ze algebry z dzieleniem wszystkich modułów le˙z ˛acych na ustach uogólnionej standardowej ruryΓ s ˛aizomorficzne.
Wprowadzimy teraz poj˛ecie quasi-długo´sci modułu w stabilnej rurze. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a Γ stabiln ˛a rur ˛a w ΓA. Wówczas Γ ma dwa rodzaje strzałek: strzałki zmierzaj ˛ace do niesko ´nczono´sci oraz strzałki zmierzaj ˛ace do ust rury Γ. Wobec tego, dla dowolnego modułu Z le˙z ˛acego w rurze Γ, istnieje jedyna droga sekcyjna (składaj ˛aca si˛e ze strzałek zmierzaj ˛acych do niesko ´nczono´sci) X1→ X2 → · · · → Xm = Z w Γ, gdzie X1 le˙zy na ustach ruryΓ, oraz istnieje jedyna droga sekcyjna (składaj ˛aca si˛e ze strzałek zmierzaj ˛acych do ust)
Z = Y1 → Y2 → · · · → Ym, gdzie Ym le˙zy na ustach rury Γ. Wówczas liczb˛e naturaln ˛a m nazywamy quasi-długo´sci ˛a modułu Z w rurzeΓ i oznaczamy ql(Z ). Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli Γ jest rur ˛a rangi 1, a X jedynym modułem le˙z ˛acym na ustach ruryΓ, to dla dowolnego modułu Z , zachodzi[Z ] = ql(Z )[X], a wi˛ec Γ składa si˛e z modułów z parami ró˙znymi obrazami w grupie Grothendiecka K0(A).
W nawi ˛azaniu do dyskusji toczonej w podrozdziale 3 mamy nast˛epuj ˛acy wynik (patrz[62, Theorem 4.3]).
Twierdzenie 6.2. Niech A b˛edzie algebr ˛a,Γ uogólniona standardow ˛a stabiln ˛a rur ˛a wΓArangi
r> 1, a M i N nieizomorficznymi modułami w Γ. Wówczas [M ] = [N ] wtedy i tylko wtedy, gdy
ql(M ) = ql(N ) = cr , dla pewnego c ≥ 1.
Dodatkowo, poniewa˙z interesowa´c nas b˛ed ˛a moduły, które nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´ n-czonych cyklach w kategorii modułów, to przypomnijmy nast˛epuj ˛ace twierdzenia (patrz[62, Corollary 4.4] oraz [62, Corollary 4.6]).
Twierdzenie 6.3. Niech A b˛edzie algebr ˛a, Γ stabiln ˛a rur ˛a rangi r > 1 w ΓA składaj ˛ac ˛a si˛e
z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach w mod A, a M modułem wΓ.
Wtedy M jest jednoznacznie wyznaczony (z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu) przez[M ] wtedy
i tylko wtedy, gdy r nie dzieli ql(M ).
Twierdzenie 6.4. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a Γ oraz Γ0 dwiema ró˙znymi stabilnymi rurami
wΓA, które składaj ˛a si˛e z modułów nie le˙z ˛acych na krótkich niesko ´nczonych cyklach w mod A.
Ponadto niech r b˛edzie rang ˛aΓ, a r0 rang ˛aΓ0. Załó˙zmy, ˙ze[M ] = [N ] dla pewnych modułów
M wΓ, a N w Γ0. Wówczas r dzieli ql(M ), r0dzieli ql(N ), a rury Γ i Γ0s ˛a ortogonalne.
Mamy równie˙z nast˛epuj ˛acy fakt dotycz ˛acy homomorfizmów do i ze stabilnych rur ([62, Lemma 3.9]).
Lemat 6.5. NiechT b˛edzie stabiln ˛a rur ˛a rangi r wΓA, a N nierozkładalnym modułem, który
nie nale˙zy doT . Wówczas prawdziwe s ˛a nast˛epuj ˛ace implikacje.
(1) Je´sli HomA(X,N ) 6= 0 dla pewnego modułu X w T , to HomA(M ,N ) 6= 0 dla dowolnego
modułu M wT o własno´sci ql(M ) ≥ r .
(2) Je´sli HomA(N ,X) 6= 0 dla pewnego modułu X w T , to HomA(N ,M ) 6= 0 dla dowolnego
modułu M wT o własno´sci ql(M ) ≥ r .
Zauwa˙zmy, ˙ze ze Stwierdzenia 6.1 wynika, i˙z ka˙zda stabilna ruraT w kołczanie Auslan-dera-ReitenΓAskładaj ˛aca si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach jest uogólniona standardowa. Teraz naszym celem b˛edzie rozszerzenie tego wyniku na gład-kie quasi-rury. W tym celu wykorzystamy poj˛ecie stopnia homomorfizmu nieprzywiedlnego i niektóre wyniki dotycz ˛ace tego poj˛ecia wypracowane przez Liu w[41]. Zaczniemy od przy-pomnienia klasycznego wyniku Igusy i Todorov z[26].
Stwierdzenie 6.6. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a
X0 f1 X1 f2 · · · Xn−1 fn Xn
drog ˛a homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi A modułami
odpo-wiadaj ˛acych drodze sekcyjnej w ΓA. Wówczas fn. . . f2f1∈ radnA(X0, Xn) \ radn+1
A (X0, Xn). Wprowadzimy teraz poj˛ecie stopnia homomorfizmu nieprzywiedlnego. Dla algebry A oraz nieprzywiedlnego homomorfizmu f : X → Y w mod A, pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami X i Y , za [41] mówimy, ˙ze f jest niesko´nczonego lewego stopnia, o ile dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1 oraz dowolnego homomorfizmu g : M → X w radnA(M ,X) \ radnA+1(M ,X) mamy f g ∈ radn+1
A (M ,Y ) \ radn+2
A (M ,Y ). Dualnie, mówimy, ˙ze homomorfizm
n ≥ 1 oraz dowolnego homomorfizmu h : Y → N w radnA(Y,N ) \ radn+1
A (Y,N ) mamy h f ∈ radnA+1(X,N ) \ radn+2
A (X,N ).
Poni˙zszy wynik, z którego b˛edziemy cz˛esto korzysta´c, został udowodniony przez Liu w[41].
Stwierdzenie 6.7. Niech A b˛edzie algebr ˛a. Wówczas nast˛epuj ˛ace implikacje s ˛a prawdziwe.
(1) Załó˙zmy, ˙zeΓAzawiera pełny podkołczan z translacj ˛a postaci
· · · Xi+1 Xi · · · X1 X0= X
· · · Yi+1 Yi · · · Y1 Y0= Y
,
gdzie niesko ´nczone drogi, górna i dolna, s ˛a sekcyjne. Wówczas ka˙zdy nieprzywiedlny
homomorfizm f : X→ Y w mod A jest niesko´nczonego lewego stopnia.
(2) Załó˙zmy, ˙zeΓAzawiera pełny podkołczan z translacj ˛a postaci
M= M0 M1 · · · Mj Mj+1 · · ·
N = N0 N1 · · · Nj Nj+1 · · ·
,
gdzie niesko ´nczone drogi, górna i dolna, s ˛a sekcyjne. Wówczas ka˙zdy nieprzywiedlny
homomorfizm g : M→ N w mod A jest niesko´nczonego prawego stopnia.
Poniewa˙z dla algebry A oraz gładkiej quasi-ruryC w ΓA jej stabilna cz˛e´s´cCs jest stabiln ˛a rur ˛a, wi˛ec mo˙zemy zdefiniowa´c stabiln ˛a quasi-długo´s´c, oznaczan ˛a przez sql(X), modułu X wC jako quasi-długo´s´c ql(X ) modułu X w Cs. Dodatkowo, stabilna quasi-długo´s´c modułu projektywno-injektywnego wC równa jest, per definitionem, 0.
Lemat 6.8. Niech A b˛edzie algebr ˛a, aC gładk ˛a quasi-rur ˛a wΓA. Dodatkowo niech r b˛edzie
rang ˛a stabilnej ruryCs, a m := max{sql(radAP) | P ∈ C ∩ projA}. Wówczas radA(X,Y ) 6= 0 dla
wszystkich modułów X i Y wC o stabilnej quasi-długo´sci wi˛ekszej od m + r .
Dow ´od. Niech X oraz Y b˛ed ˛a takimi modułami wC , ˙ze sql(X ) oraz sql(Y ) s ˛a wi˛eksze ni˙z
m+ r . Wówczas w C istniej ˛adrogi sekcyjne
zło˙zona ze strzałek wCs wskazuj ˛acych usta, oraz
Σ : Z= V0 V1 · · · Vq−1 Vq= Y,
zło˙zona ze strzałek wCs wskazuj ˛acych niesko ´nczono´s´c, gdzie sql(Z ) > m. Dodatkowo w C mamy nast˛epuj ˛acy pełny podkołczan z translacj ˛a
· · · Ws(j −1)+1 Ws(j −1) · · · W1(j −1) W0(j −1)= Vj−1
· · · Ws(j )+1 Ws(j ) · · · W1(j ) W0(j )= Vj
,
gdzie j ∈ {1, . . . ,q}, uformowany z równoległych, niesko´nczonych dróg sekcyjnych składaj ˛ a-cych si˛e z nierozkładalnych modułów o stabilnej quasi-długo´sci> m. Rozwa˙zmy
homomor-fizmy nieprzywiedlne w mod A
ϕi: Ui−1→ Ui oraz ψj: Vj−1→ Vj,
gdzie i ∈ {1, . . . , p } oraz j ∈ {1, . . . ,q}, odpowiadaj ˛ace strzałkom dróg sekcyjnychΘ oraz Σ, odpowiednio. Wtedy, ze Stwierdzenia 6.6, zło˙zenie homomorfizmów ϕ = ϕp. . .ϕ1: X → Z nale˙zy do radpA(X,Z )/radp+1
A (X,Z ). Ponadto, ze Stwierdzenia 6.7, wynika, ˙ze homomorfi-zmy nieprzywiedlneψ1, . . . ,ψq s ˛a niesko ´nczonego lewego stopnia. St ˛ad oraz z definicji le-wego niesko ´nczonego stopnia homomorfizmu nieprzywiedlnego otrzymujemy, ˙ze ψϕ ∈
radpA+q(X,Y )/radp+q+1
A (X,Y ), gdzie ψ = ψq. . .ψ1∈ HomA(Z ,Y ), a wi˛ec radA(X,Y ) 6= 0. Nast˛epuj ˛acy lemat został udowodniony w[61, Lemma 2.1]
Lemat 6.9. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a X i Y takimi nierozkładalnymi modułami w mod A, ˙ze
rad∞A(X,Y ) 6= 0. Wówczas nast˛epuj ˛ace zdania s ˛a prawdziwe.
(1) Istnieje niesko ´nczona droga
X = X0 f1 X1 f2 X2 · · · Xi−1 fi Xi · · ·
homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz
homomorfizmy gi ∈ rad∞A(Xi, Y), i ≥ 1 takie, ˙ze gifi. . . f16= 0 dla wszystkich i ≥ 1.
(2) Istnieje niesko ´nczona droga
homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz
homomorfizmy uj ∈ rad∞A(X,Yj), j ≥ 1 takie, ˙ze h1. . . hjuj 6= 0 dla wszystkich j ≥ 1.
Stwierdzenie 6.10. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a C gładk ˛a quasi-rur ˛a w ΓA składaj ˛ac ˛a si˛e
z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach w mod A. Wówczas C jest
uogólnion ˛a standardow ˛a składow ˛a kołczanuΓA.
Dow ´od. Poniewa˙zC jest gładk ˛a quasi-rur ˛a kołczanuΓA, wi˛ec stabilna cz˛e´s´cCs składo-wejC jest stabiln ˛a rur ˛a rangi r . Połó˙zmy m := max{sql (radAP) | P ∈ C ∩ projA}. Rozwa˙zmy dodatni ˛a liczb˛e całkowit ˛a n= m +2r , a przez Γ oznaczmy pełny podkołczan z translacj ˛akoł-czanuC zło˙zony ze wszystkich modułów o stabilnej quasi-długo´sci ≥ n. Ponadto niech M b˛edzie sum ˛a prost ˛a wszystkich nierozkładalnych modułów zC \ Γ. Wtedy M jest modułem w mod A, a EndA(M ) jest algebr ˛aartinowsk ˛anad k .
Załó˙zmy, i˙z istniej ˛a takie moduły X oraz Y w C , ˙ze rad∞A(X,Y ) 6= 0. Wówczas, z Lema-tu 6.9(i ) wnosimy istnienie niesko´nczonej drogi
X= X0 f1 X1 f2 X2 · · · Xs−1 fs Xs · · ·
homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz takich homomorfizmów gs ∈ rad∞A(Xs, Y), s ≥ 1, ˙ze gsfs. . . f1 6= 0 dla wszystkich s ≥ 1. Ponadto dla ka˙zdego s ≥ 1 moduł Xs nale˙zy doC . Poniewa˙z rad EndA(M ) jest nilpotentny, a fi ∈ radA(Xi−1, Xi), dla wszystkich i ≥ 1, to istnieje liczba całkowita s0≥ 1, dla której moduły
Xs, gdzie s ≥ s0, nale˙z ˛a do Γ. Poniewa˙z rad∞
A(Xs0, Y) 6= 0, wi˛ec z Lematu 6.9 (i i ) wnosimy istnienie niesko ´nczonej drogi
· · · Yt ht Yt−1 · · · Y2 h2 Y1 h1 Y0= Y
homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz takich homomorfizmów ut ∈ rad∞A(Xs0, Yt), t ≥ 1, ˙ze h1. . . htut 6= 0 dla wszystkich t ≥ 1. Ponadto dla ka˙zdego t ≥ 1 moduł Yt nale˙zy do C . Podobnie jak wcze´sniej wnosimy, ˙ze dla pewnej liczby całkowitej t0 ≥ 1 wszystkie moduły Yt, gdzie t ≥ t0, nale˙z ˛a do Γ. Z naszego wyboru Γ, moduły Xs0 i Yt0 maj ˛a stabiln ˛a quasi-długo´s´c wi˛eksz ˛a ni˙z m + r . Wówczas, z Lematu 6.8, istnieje niezerowy homomorfizm v ∈ radA(Yt0, Xt0). Podsumowuj ˛ac, wykazali´smy istnienie niesko ´nczonego krótkiego cyklu w mod A postaci
Xs0 u Yt0 v Xs0,
gdzie u = ut0, a Xs0 i Yt0 nale˙z ˛a do C , sprzeczno´s´c. Zatem quasi-rura C jest uogólnion ˛a
Lemat 6.11. Niech A b˛edzie algebr ˛a, aC quasi-rur ˛a wΓA. Załó˙zmy, ˙ze istniej ˛a nierozkładalne
moduły X , Y i M w mod A takie, ˙ze rad∞A(X,M ) 6= 0, rad∞
A(M ,Y ) 6= 0 oraz X i Y le˙z ˛a wC .
Wówczas istnieje taki niesko ´nczony krótki cykl N→ M → N w mod A, ˙ze N nale˙zy do C .
Dow ´od. Poniewa˙z rad∞A(X,M ) 6= 0, wi˛ec z Lematu 6.9 (i ) wnosimy, i˙z istnieje niesko´nczona droga
Θ : X = X0 f1 X1 f2 X2 · · · Xs−1 fs Xs · · ·
homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz takie homomorfizmy gs ∈ rad∞A(Xs, M), s ≥ 1, ˙ze gsfs. . . f1 6= 0 dla dowolnego s ≥ 1. Przypu´s´cmy, ˙ze istnieje sko ´nczona rodzina{Zi}i∈I modułów nierozkładalnych wC , które s ˛a izomorficzne z niesko ´nczon ˛a ilo´sci ˛a modułów z rodziny{Xs}s≥0. Niech Z b˛edzie sum ˛a prost ˛a wszystkich modułów z rodziny{Zi}i∈I. Wówczas Z jest modułem w mod A, a st ˛ad EndA(Z ) jest algebr ˛a artinowsk ˛a nad k . Poniewa˙z dla wszystkich s ≥ 1 mamy fs ∈ radA(Xs−1, Xs), to dostajemy dowolnie du˙ze, niezerowe zło˙zenie homomorfizmów z rad EndA(Z ), a st ˛ad, poniewa˙z rad EndA(Z ) jest nilpotentny, sprzeczno´s´c. Co wi˛ecej, poniewa˙z rad∞
A(M ,Y ) 6= 0, to stosuj ˛ac Lemat 6.9(i i ), wnosimy, ˙ze istnieje niesko´nczona droga
Σ : · · · Yt ht Yt−1 · · · Y2 h2 Y1 h1 Y0= Y
homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz takie homomorfizmy ut ∈ rad∞A(M ,Yt), t ≥ 1, ˙ze h1. . . htut 6= 0 dla dowolnego t ≥ 1. Podob-nie jak wy˙zej wnosimy, i˙z Podob-nie istPodob-nieje sko ´nczona rodzina{Zi}i∈I modułów nierozkładalnych zC , o tej własno´sci, ˙ze moduły Zi s ˛a izomorficzne z niesko ´nczenie wieloma modułami z ro-dziny{Yt}t≥0. Wobec tego drogaΘ przecina drog˛e Σ.
Niech N b˛edzie modułem w cz˛e´sci wspólnej drógΘ oraz Σ. Wówczas istniej ˛a takie s ≥ 0 oraz t ≥ 0, ˙ze Xs = N = Yt, a wi˛ec otrzymujemy niesko ´nczony krótki cykl
N gs M ut N .
Przypomnijmy, ˙ze przez zewn˛etrzn ˛a krótk ˛a drog˛e w mod A, w stosunku do rodzinyΓ skła-dowych kołczanuΓA, nazywamy ci ˛ag niezerowych nieizomorfizmów X → Y → Z pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami, gdzie X oraz Z nale˙z ˛a doΓ, ale Y nie nale˙zy do rodziny Γ [46].
Lemat 6.12. Niech A b˛edzie algebr ˛a, aC oraz C0 dwiema ró˙znymi rurami promieniowymi
w ΓA maj ˛acymi niesko ´nczenie wiele modułów z wspólnymi składnikami kompozycyjnymi
oraz składaj ˛acymi si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach. Wówczas
Dow ´od. Załó˙zmy, ˙ze istnieje zewn˛etrzna krótka droga M → L → M0, gdzie M nale˙zy do C , M0 nale˙zy do C0, a L nie nale˙zy ani doC ani do C0. Najpierw poka˙zemy, ˙ze istnieje zewn˛etrzna krótka droga M→ L → N , gdzie N jest modułem w C . Z Lematu 6.9 (i) wynika, i˙z istnieje niesko ´nczona droga
Θ : · · · Xs hs Xs−1 · · · X2 h2 X1 h1 X0= M0
homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami zC0 oraz takie homomorfizmy us ∈ rad∞A(L,Xs), s ≥ 1, ˙ze h1. . . hsus 6= 0, dla s ≥ 1. Załó˙zmy, ˙ze istnieje sko ´n-czona rodzina{Zi}i∈I modułów nierozkładalnych wC0, które s ˛a izomorficzne z niesko ´ ncze-nie wieloma modułami z rodziny{Xs}s≥1. Niech Z b˛edzie sum ˛a prost ˛a wszystkich modułów rodziny{Zi}i∈I. Wówczas Z jest A-modułem, a st ˛ad EndA(Z ) jest algebr ˛a artinowsk ˛a nad k . Poniewa˙z dla s ≥ 1 mamy hs ∈ radA(Xs, Xs−1), wi˛ec otrzymujemy dowolnie du˙ze, niezerowe zło˙zenie homomorfizmów z rad EndA(Z ), a st ˛ad sprzeczno´s´c z nilpotentno´sci ˛a radEndA(Z ). Wobec tego drogaΘ przecina ka˙zdy promie´n w C0przynajmniej raz. Co wi˛ecej, z zało˙zenia wynika, ˙ze istnieje wC0promie ´n, który zawiera niesko ´nczenie wiele modułów N0takich, ˙ze [N ] = [N0] dla modułu N w C . Wykorzystuj ˛ac fakt, ˙ze homomorfizmy nieprzywiedlne le-˙z ˛ace na promieniach rury promieniowejC0 s ˛a monomorfizmami, stwierdzamy, ˙ze istnieje zewn˛etrzna krótka droga M→ L → M0, gdzie M jest wC , M0jest wC0, a L ani wC ani w C0 oraz istnieje moduł N wC taki, ˙ze [M0] = [N ].
Poniewa˙z[M0] = [N ], stosuj ˛ac Stwierdzenie 3.1, otrzymujemy równo´s´c
| HomA(L,N )| − |HomA(N ,τAL)| = |HomA(L,M0)| − |HomA(M0,τAL)|.
Je´sli HomA(M0,τAL) 6= 0, to z [50, Theorem 1.6], otrzymujemy, ˙ze M0jest ´srodkiem krótkiego ła ´ncucha, wi˛ec le˙zy na krótkim cyklu M0 → E → M0, gdzie E jest nierozkładalnym składni-kiem prostym ´srodka ci ˛agu prawie rozszczepialnego o lewym ko ´ncu L. Zatem E nie nale˙zy doC0. Wobec tego cykl jest niesko ´nczony, co przeczy zało˙zeniu. St ˛ad HomA(M0,τAL) = 0, wi˛ec HomA(L,N ) 6= 0. Otrzymujemy zatem zewn˛etrzna krótk ˛a drog˛e M → L → N , gdzie M i N nale˙z ˛a doC . Wówczas zarówno rad∞A(M , L) 6= 0 jak i rad∞
A(L,N ) 6= 0, a st ˛ad, stosuj ˛ac Le-mat 6.11, wnosimy, ˙ze istnieje niesko ´nczony krótki cykl X→ L → X w mod A, gdzie X nale˙zy
doC , sprzeczno´s´c z zało˙zeniem o składowej C .
Lemat 6.13. Niech A b˛edzie algebr ˛a,Λ = A/I algebr ˛a ilorazow ˛a algebry A, aT stabiln ˛a rur ˛a
wΓΛ. Załó˙zmy, ˙ze moduły z ruryT nale˙z ˛a do stabilnej ruryC kołczanu ΓA. WówczasC = T .
Dow ´od. W celu wykazania równo´sciC = T wystarczy pokaza´c, ˙ze ka˙zdy moduł M nale˙z ˛ a-cy doC jest Λ-modułem. Poniewa˙z T ⊆ C oraz stabilna rura T składa si˛e z niesko ´nczenie wieluΛ-modułów, wówczas dla ka˙zdego A-modułu M w C istniej ˛aA-modułowy monomor-fizm f : M→ N , gdzie N jest modułem le˙z ˛acym na promieniu ruryC zawieraj ˛acym M , oraz
kopromieniu ruryC zawieraj ˛acym moduł N . Zatem N I = g (Z )I = g (Z I ) = g (0) = 0, a st ˛ad
f(M I ) = f (M )I = 0, wi˛ec M I = 0, poniewa˙z f jest monomorfizmem. W konsekwencji, M jest
Λ-modułem.
Lemat 6.14. Niech A b˛edzie algebr ˛a, Λ algebr ˛a ilorazow ˛a algebry A, a T stabiln ˛a rur ˛a
w kołczanieΓΛ. Załó˙zmy, ˙ze moduły ruryT nale˙z ˛a do rodzinyC gładkich quasi-rur kołczanu
ΓA zło˙zonej z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach. Wtedy wszystkie
moduły rurT nale˙z ˛a do jednej quasi-rury z rodzinyC .
Dow ´od. Załó˙zmy, ˙ze istniej ˛a dwie ró˙zne quasi-ruryCx iCy z rodzinyC oraz takie moduły
M , N ∈ T , ˙ze M ∈ Cx oraz N ∈ Cy. NiechΘ b˛edzie niesko´nczon ˛a drog ˛a sekcyjn ˛a w T
zaczynaj ˛ac ˛a si˛e w M i zmierzaj ˛ac ˛a do niesko ´nczono´sci, a Σ niesko´nczon ˛a droga sekcyjn ˛a w T z niesko ´nczono´sci do N . Dodatkowo, niech Z b˛edzie modułem z cz˛e´sci wspólnej dróg Θ i Σ, f : M → Z zło˙zeniem nieprzywiedlnych monomorfizmów odpowiadaj ˛acych strzałkom poddrogi drogi Θ z M do Z , a g zło˙zeniem nieprzywiedlnych epimorfizmów odpowiadaj ˛acych strzałkom poddrogi drogiΣ z Z do N . Wówczas f ∈ rad∞
A(M ,Z ) lub g ∈ rad∞A(Z ,N ), gdy˙z N ∈ Cy oraz Z ∈ Cz, gdzie z 6= x lub z 6= y . Bez straty ogólno´sci mo˙zemy zało˙zy´c, ˙ze Z nie nale˙zy do Cx, a f ∈ rad∞A(M ,Z ). Niech L b˛edzie takim modułem w T le˙z ˛acym na drodze Θ, ˙ze ql(Z ) < ql(L) oraz istnieje droga sekcyjna w T z L do M . Wtedy zło˙zenie h : M → L monomorfizmów odpowiadaj ˛acych strzałkom drogi sekcyjnej z M do L wT nale˙zy do rad∞A(M , L). Zatem otrzymujemy niesko´nczony krótki cykl
M h L v M ,
gdzie v jest zło˙zeniem nieprzywiedlnych epimorfizmów odpowiadaj ˛acych strzałkom drogi sekcyjnej z L do M , co przeczy zało˙zeniu powzi˛etym naC .
Lemat 6.15. Niech A b˛edzie algebr ˛a,Λ algebr ˛a ilorazow ˛a algebry A, aT oraz T0 dwiema
ortogonalnymi stabilnymi rurami w kołczanieΓΛ. Załó˙zmy, ˙ze istniej ˛a gładkie quasi-ruryC
orazC0wΓAtakie, ˙zeC zawiera wszystkie moduły z T , a C0zawiera wszystkie moduły zT0.
Wówczas quasi-ruryC oraz C0s ˛a ró˙zne.
Dow ´od. Przypu´s´cmy, ˙zeC = C0. Niech r b˛edzie rang ˛a ruryCs, a m maksymaln ˛a stabiln ˛a quasi-długo´sci ˛a wszystkich radykałów modułów projektywno-injektywnych nale˙z ˛acych do C . Poniewa˙z stabilne rury T i T0 maj ˛a niesko ´nczenie wiele modułów, to istniej ˛a moduły
X ∈ T oraz X0 ∈ T0 maj ˛ace stabiln ˛a quasi-długo´s´c> m + r jako moduły w Cs. Wówczas z Lematu 6.8 dostajemy, ˙ze HomA(X,X0) 6= 0, co przeczy ortogonalno´sci rur T oraz T0
w modΛ.
Lemat 6.16. Niech A b˛edzie algebr ˛a,Λ algebr ˛a ilorazow ˛a algebry A, aT = (Tx)x∈Xuogólnion ˛a
składnikami kompozycyjnymi i nie le˙z ˛acymi na niesko ´nczonych krótkich cyklach. Załó˙zmy,
˙ze istnieje stabilna rura Tx w T taka, ˙ze jej moduły nale˙z ˛a do rodziny gładkich quasi-rurC
w kołczanieΓA, która jest zamkni˛eta na składniki kompozycyjne oraz składa sie z modułów
nie le˙z ˛acych na krótkich niesko ´nczonych cyklach. Wówczas wszystkie moduły rodziny T
nale˙z ˛a do rodzinyC .
Dow ´od. Dla ka˙zdego y ∈ X oznaczmy przez ry rang˛e ruryTy, a przez E1
y, . . ., Eyry moduły le˙z ˛ace na ustach ruryTy. Dla modułu M w stabilnej rurzeΓ rangi r > 1 w kołczanie ΓAmamy
[M ] = ¨ kPrt=1[Et] , o ile s = 0 kPrt=1[Et] + Ps p=1[τ−p A E], o ile s ≥ 1,
gdzie E1, . . ., Er s ˛a modułami le˙z ˛acymi na ustach ruryΓ, ql(M ) = k r +s oraz E = Ei dla takiego
i ∈ {1, . . . , r }, ˙ze istnieje droga sekcyjna w Γ o pocz ˛atku w E , a ko ´ncu w M . Z Lematu 6.15 wynika, ˙ze moduły wTx nale˙z ˛a do jednej quasi-ruryCx z rodzinyC . Poka˙zemy teraz, ˙ze dla ka˙zdego y∈ X moduły ze stabilnej rury Ty nale˙z ˛a do rodzinyC . Zaczniemy od pokazania, ˙ze w stabilnej rurzeTy, dla y ∈ X, istnieje taka rodzina {Ns
y}s≥0modułów, ˙ze dla ka˙zdego s ≥ 0 istnieje moduł Ms
x wTx o własno´sci[Ms
x] = [Ns
y]. Poniewa˙z T jest rodzin ˛a stabilnych rur ze wspólnymi składnikami kompozycyjnymi, to istniej ˛a takie moduły M0
y wTxoraz N0
y wTy, ˙ze [M0
y] = [N0
y].
Załó˙zmy najpierw, ˙ze ry = 1. Wtedy [N0
y] = ql(N0 y)[E1 y]. Je´sli rx = 1, to [M0 y] = ql(M0 y)[E1 x]. Wówczas wybieramy moduły Ns
y wTy, dla s ≥ 1, o własno´sci ql(Ns y) = s ql(N0 y), gdy˙z [Ns y] = s ql(N0 y)[E1 y] = s [N0 y] = s [M0 y] = s ql(M0 y)[E1 x]. Je´sli rx> 1, to z Twierdzenia 6.3 otrzymujemy, ˙ze ql(M0
y) = crx, dla pewnego c≥ 1. Zatem za moduły Ns
y wTy, dla s≥ 1, wybieramy moduły o własno´sci ql(Ns
y) = s ql(N0 y), gdy˙z wówczas [Ns y] = s ql(N0 y)[E1 y] = s [N0 y] = s [M0 y] = (s c)rx rx X i=1 [Ei x] ! .
Załó˙zmy teraz, ˙ze ry > 1. Wówczas z Twierdzenia 6.3 otrzymujemy, ˙ze ql(N0
y) = cry, dla pewnego c ≥ 1. Je´sli rx = 1, to [M0
y] = ql(M0
y)[E1
x]. Wtedy wybieramy moduły Ns
y wTy, dla
s≥ 1, o własno´sci ql(Ns
y) = s ql(N0
y) = s cry, gdy˙z wówczas z Twierdzenia 6.3 mamy [Ns y] = s cry ry X i=1 [Ei y] ! = s [N0 y] = s [M0 y] = s ql(M0 y)[E1 x]. Je´sli rx > 0, to z Twierdzenia 6.3 otrzymujemy, ˙ze ql(M0
y) = c0rx, dla pewnego c0≥ 1. Zatem za moduły Ns
y wTy, dla s≥ 1, wybieramy moduły o własno´sci ql(Ns
y) = s ql(N0
y) = s cry, gdy˙z wówczas, ponownie z Twierdzenia 6.3, mamy
[Ns y] = s cry ry X i=1 [Ei y] ! = s [N0 y] = s [M0 y] = s c0rx rx X i=1 [Ei y] ! .
Korzystaj ˛ac z zało˙zenia, ˙ze rodzinaC jest zamkni˛eta na składniki kompozycyjne wnosimy, i˙z wszystkie modułu Ns
y, dla s≥ 1, nale˙z ˛ace do stabilnej ruryTy nale˙z ˛a do rodzinyC .
Niech teraz N b˛edzie modułem wTy, gdzie y ∈ X. Poka˙zemy, ˙ze N nale˙zy do rodziny C . Przypu´s´cmy, ˙ze to nie jest prawd ˛a. Mo˙zemy wybra´c taki moduł Ns
y wTy, dla pewnego s≥ 1, ˙ze ql(N ) < n = ql(Ns
y). Wówczas istniej ˛adrogi sekcyjne w Ty
N00 y = M0 M1 · · · Mm N oraz N Nm · · · N1 N0= N0 y , gdzie ql(N0 y) = n = ql(N00 y). Poniewa˙z [N00 y] = [Ns y] = [N0
y] to wnosimy, ˙ze moduł N0
y jak i moduł
N00
y nale˙z ˛a do rodzinyC . Zatem otrzymujemy niezerowy homomorfizm z rad∞A(N00
y, N0
y), co
przeczy Stwierdzeniu 6.10.
Na zako ´nczenie tego paragrafu przytoczymy i udowodnimy poni˙zszy, dobrze znany lemat, który wykorzystamy w pó´zniejszych rozwa˙zaniach.
Lemat 6.17. Niech A b˛edzie algebr ˛a, aT dokładn ˛a stabiln ˛a rur ˛a w kołczanieΓA. Wówczas
prawie wszystkie nierozkładalne moduły wT s ˛a dokładnymi A-modułami.
Dow ´od. Najpierw zauwa˙zmy, ˙ze dla dowolnego promieniaΣ w T oraz modułu M le˙z ˛a-cego na Σ, mamy annA(M0) ⊆ annA(M ), dla ka˙zdego modułu M0 le˙z ˛acego naΣ i maj ˛ace-go własno´s´c ql(M0) > ql(M ), gdy˙z mamy monomorfizm M → M0 b˛ed ˛acy zło˙zeniem ho-momorfizmów nieprzywiedlnych odpowiadaj ˛acych strzałkom poddrogi drogi sekcyjnej Σ z M do M0. Poniewa˙z T jest dokładn ˛a stabiln ˛a rur ˛a kołczanu ΓA, to istniej ˛a takie nieroz-kładalne moduły M1, . . ., Ms wT , ˙ze ann(Ls
i=1Mi) = 0. Istotnie, poniewa˙z A jest pier´scie-niem artinowskim, to mo˙zemy wybra´c taki A-moduł M = Ls
i=1Mi ∈ add T , ˙ze annA(M ) jest najmniejszy. Wówczas annA(M ⊕ N ) = annA(M ) dla dowolnego N w T . Z drugiej stro-ny ann(M ⊕ N ) = annA(M ) ∩ annA(N ), wi˛ec annA(M ) ⊆ annA(N ). St ˛ad annA(M ) = annA(T ).
Niech n b˛edzie maksymaln ˛a quasi-długo´sci ˛a modułów M1, . . ., Ms. Wtedy dla ka˙zdego modułu Z o quasi-długo´sci wi˛ekszej ni˙z n+ r , gdzie r jest rang ˛a rury T , jedyna droga sekcyjna, zło˙zona z epimorfizmów, wT zaczynaj ˛aca si˛e w Z i zmierzaj ˛aca do ust przecina ka˙zdy promie ´n zawieraj ˛acy co najmniej jeden moduł ze zbioru{M1, . . . , Ms}. Zauwa˙zmy, ˙ze dla epimorfizmu f : X → Y mamy annA(X) ⊆ annA(Y ), gdy˙z Y annA(X) = f (X)annA(X) =
f(X annA(X)) = f (0) = 0. Zatem annA(Z ) ⊆ Tsi=1annA(Mi) = annA(Ls
i=1Mi) = 0, a wi˛ec Z