Algebry samoinjektywne ze skończonymi krótkimi cyklami modułów w rodzinie quasi-rur

M

K

A

-

ROZPRAWA DOKTORSKA NAPISANA POD KIERUNKIEM PROF.DR HAB. ANDRZEJASKOWRO ´NSKIEGO

WKATEDRZEALGEBRY IGEOMETRII TORU ´N2012

Wst˛ep 3

I. Definicje oraz wiadomo´sci podstawowe 8

1. Algebry artinowskie . . . 8

2. Warto´sciowany kołczan Gabriela oraz kołczan Auslandera-Reiten . . . 10

3. Składniki kompozycyjne modułów . . . 13

4. Algebry dziedziczne i odwrócone . . . 14

5. Jednopunktowe rozszerzenie i korozszerzenia algebr . . . 17

6. Quasi-rury i ich własno´sci . . . 21

7. Algebry kanoniczne i quasi-odwrócone . . . 31

II. Algebry tubularne 38 1. Podstawowe definicje . . . 38

2. Punkty stałe algebr tubularnych . . . 40

III. Samoinjektywne algebry orbit 44 1. Algebry samoinjektywne . . . 44

2. Funktory nakrycia i kategorie powtórze ´n . . . 46

3. Samoinjektywne algebry typu kanonicznego . . . 47

IV. Algebry samoinjektywne z uogólnionymi standardowymi składowymi 58 1. Algebry samoinjektywne z uogólnionymi standardowymi składowymi acyklicz-nymi . . . 58

2. Główne twierdzenie i jego konsekwencje . . . 60

3. Dowód twierdzenia . . . 61

4. Przykład . . . 71

V. Algebry samoinjektywne z kołczanem składowych bez krótkich cykli 73 1. Kołczan składowych . . . 73

2. Główne twierdzenie . . . 75 3. Przykład . . . 80

Dodatek A. Kod ´zródłowy algorytmu 81

Bibliografia 87

Skorowidz symboli 93

Jednym z głównych celów współczesnej teorii reprezentacji algebr artinowskich nad prze-miennym pier´scieniem artinowskim jest opisanie struktury kategorii sko ´nczenie generowa-nych modułów. Ze wszystkich algebr, szczególn ˛a rol˛e odgrywaj ˛a algebry samoinjektywne, których prominentne klasy tworz ˛a algebry Frobeniusa oraz algebry symetryczne. Przypo-mnijmy, ˙ze algebra artinowska A jest samoinjektywna, kiedy klasa modułów projektywnych pokrywa si˛e z klas ˛a modułów injektywnych.

Wa˙znym kombinatorycznym i homologicznym niezmiennikiem algebry A jest jej kołczan Auslandera-ReitenΓA. Opisuje on struktur˛e kategorii ilorazowej mod A/rad∞_A, gdzie mod A

jest kategori ˛a sko ´nczenie generowanych modułów nad A, a rad∞_A niesko ´nczonym radykałem Jacobsona kategorii mod A. W szczególno´sci Auslander pokazał w[6], ˙ze algebra A jest sko´n-czonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy rad∞_A = 0. Badanie struktury i wła-sno´sci składowych kołczanu Auslandera-ReitenΓAalgebry artinowskiej A odgrywa znacz ˛ac ˛a

rol˛e we współczesnej teorii reprezentacji algebr. Czasami mo˙zemy odtworzy´c algebr˛e A oraz kategori˛e modułów mod A znaj ˛ac kształt oraz własno´sci składowychC kołczanu ΓA. W pracy

[60] Skowro´nski wprowadził wa˙zny typ składowych, a mianowicie uogólnion ˛a standardow ˛a składow ˛a kołczanuΓA. Jest to składowaC w kołczanie ΓAspełniaj ˛aca warunek rad∞_A(X,Y ) = 0

dla dowolnych modułów X i Y wC . Ponadto w pracy [60] pokazane zostało, ˙ze ka˙zda uogól-niona standardowa składowa jest prawie okresowa, czyli prawie wszystkieτA-orbity w tej

składowej s ˛a okresowe, a st ˛ad zawiera ona tylko sko ´nczenie wiele modułów nierozkładal-nych danej długo´sci. W konsekwencji otrzymujemy, ˙ze dla algebry samoinjektywnej A ka˙zda uogólniona standardowa składowa jest albo quasi-rur ˛a albo składow ˛a acykliczn ˛a ze sko ´ n-czon ˛a ilo´sci ˛aτA-orbit.

Nierozkładalny A-moduł M nazywamy kieruj ˛acym je´sli nie le˙zy na cyklu w mod A. Przypo-mnijmy, ˙ze cyklem w mod A nazywamy drog˛e niezerowych nieizomorfizmów mi˛edzy nieroz-kładalnymi A-modułami X0→ Xf0 1

f1

→ · · ·f→ Xn−1 n, w której Xn= X0. Dodatkowo cykl nazywamy

krótkim, o ile n= 2 oraz niesko´nczonym, gdy co najmniej jeden z homomorfizmów fi nale˙zy

do rad∞_A. Moduły kieruj ˛ace, najcz˛e´sciej wyst˛epuj ˛ace w składowych ł ˛acz ˛acych algebr odwró-conych ([22]), odgrywaj ˛a wa˙zn ˛a rol˛e w teorii reprezentacji algebr ([52]). Jednak˙ze kołczan Auslandera-Reiten zawiera jedynie sko ´nczenie wieleτA-orbit zawieraj ˛acych moduły

które nie le˙z ˛a na krótkich cyklach w kategorii modułów mod A ([20], [50], [49]). Przykładowo w[52] Ringel pokazał, ˙ze sko´nczenie wymiarowa algebra nad ciałem algebraicznie domkni˛e-tym, która zawiera tylko moduły kieruj ˛ace w mod A jest sko ´nczonego typu reprezentacyjne-go. Nast˛epnie w pracy[18] Happel i Liu pokazali, ˙ze algebra artinowska, która nie zawiera krótkich cykli w kategorii modułów jest sko ´nczonego typu reprezentacyjnego, co stanowi istotne uogólnienie wyniku Ringela, gdy˙z jak wiemy istniej ˛a przykłady składowych w koł-czanie Auslandera-Reiten, które nie zawieraj ˛a modułów kieruj ˛acych, a jedynie moduły nie le˙z ˛ace na krótkich cyklach w mod A ([49]).

Przez K0(A) oznaczamy grup˛e Grothendiecka algebry A, a przez [X] obraz modułu X z mod A w K0(A). Wówczas dla modułów X i Y w modA mamy [X] = [Y ] wtedy i tylko wtedy, gdy X oraz Y maj ˛a takie same składniki kompozycyjne. W pracy[52] zostało udowodnione, ˙ze moduły kieruj ˛ace s ˛a jednoznacznie wyznaczone, z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu, przez swój obraz w grupie Grothendiecka K0(A). Wobec tego interesuj ˛ace stało si˛e poszukiwanie kryteriów na to aby dwa moduły nierozkładalne X oraz Y w mod A, maj ˛ace ten sam obraz w grupie Grothendiecka K0(A), były izomorficzne. W pracy [50] autorzy rozszerzyli wyniki Rigela pokazuj ˛ac, ˙ze ma to miejsce dla nierozkładalnego modułu M , który nie le˙zy na krótkim cyklu w mod A.

W pracy[68] zostało pokazane, ˙ze ka˙zda algebra Λ nad ciałem jest algebr ˛a ilorazow ˛a al-gebry symetrycznej, której kołczan Auslandera-Reiten kategorii modułów ma pewn ˛a szcze-góln ˛a, niesko ´nczon ˛a rodzin˛e uogólnionych standardowych stabilnych rur. Wobec tego cał-kowicie naturalne jest badanie tych artinowskich algebr samoinjektywnych, których kołczan Auslandera-Reiten zawiera uogólnione standardowe składowe.

Skowro ´nski i Yamagata w pracach[73] i [74] podali pełn ˛acharakteryzacj˛e algebr samoin-jektywnych, które zawieraj ˛a uogólnion ˛a standardow ˛a składow ˛a acykliczn ˛a. Zatem do scha-rakteryzowania pozostały te algebry samoinjektywne, które zawieraj ˛a uogólnione standar-dowe quasi-rury, cho´c w ´swietle przytoczonego twierdzenia Skowro ´nskiego, jest to zada-nie bardzo trudne. Wobec tego wprowadzamy pewne, do´s´c naturalne, warunki na rodzin˛e uogólnionych standardowych quasi-rur. Mianowicie b˛edziemy zakłada´c, ˙ze rodzina ta ma wspólne składniki kompozycyjne, jest zamkni˛eta na składniki kompozycyjne oraz składa si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´nczonych cyklach w kategorii modułów.

Kołczan składowychΣAalgebry A został wprowadzony przez Skowro ´nskiego w[59].

Wierz-chołkami kołczanuΣAs ˛a składowe kołczanu Auslandera-Reiten algebry A, a strzałka z

skła-dowejC do składowej D w ΣA istnieje dokładnie wtedy, gdy rad∞_A(X,Y ) 6= 0 dla pewnych

modułów X wC oraz Y w D. W pracy [29] zostało pokazane, ˙ze kołczan składowych algebry samoinjektywnej niesko ´nczonego typu reprezentacyjnego jest w pełni cykliczny. W szcze-gólno´sci artinowska algebra samoinjektywna A jest sko ´nczonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy kołczan składowychΣA nie posiada strzałek. Z drugiej strony je´sli

kołczan składowych ΣA algebry artinowskiej A jest acykliczny, to A jest algebr ˛a

mo-duł M niesko ´nczonej długo´sci nad A, który jest modułem sko ´nczonej długo´sci nad alge-br ˛a EndA(M ). W pracy [12] Crawley-Boevey wprowadził wa˙zn ˛a definicj˛e generycznej

oswo-jono´sci algebry artinowskiej. Mianowicie, powiemy, ˙ze algebra artinowska A jest generycznie oswojona, gdy dla dowolnego d∈ N modułów generycznych M długo´sci d nad EndA(M ) jest

sko ´nczenie wiele. Równie˙z z[12] wiemy, ˙ze nad ciałem algebraicznie domkni˛etym definicja Crawley-Boevey’go pokrywa si˛e z definicj ˛a oswojono´sci Drozda, tzn. algebra jest generycznie oswojona wtedy i tylko wtedy, gdy jest oswojona. Ponadto A nazywamy algebr ˛a generycznie wielomianowego wzrostu, gdy modułów generycznych M długo´sci d nad EndA(M ) jest co

najwy˙zej dn_{dla pewnego ustalonego n≥ 1. Generycznie oswojone algebry dziedziczne ([13],}

[14]), algebry odwrócone ([31], [52]), algebry podwójnie odwrócone ([47]), uogólnione alge-bry podwójnie odwrócone ([48]), algebry quasi-odwrócone ([39], [65]), uogólnione algebry wielow˛ezłowe ([43]) maj ˛a acykliczny kołczan składowych, a st ˛ad s ˛a algebrami generycznie wielomianowego wzrostu. Ponadto w pracy[58] udowodniono, ˙ze silnie jednospójna algebra

A nad ciałem algebraicznie domkni˛etym jest (generycznie) wielomianowego wzrostu wtedy

i tylko wtedy, gdy jej kołczan składowychΣA jest acykliczny. Klasyfikacja klas Morita

rów-nowa˙zno´sci sko ´nczenie wymiarowych algebr samoinejktywnych wielomianowego wzrostu nad ciałem algebraicznie domkni˛etym jest znana (patrz artykuł przegl ˛adowy[69]). Miano-wicie, ka˙zda bazowa, spójna, sko ´nczenie wymiarowa algebra samoinjektywna wielomiano-wego wzrostu nad ciałem algebraicznie domkni˛etym jest cokołow ˛a deformacj ˛a algebry or-bit postaci bB/G , gdzieB jest algebr ˛b a powtórze ´n algebry B b˛ed ˛acej algebr ˛a odwrócon ˛a typu Dynkina, algebr ˛a odwrócon ˛a typu Euklidesa lub algebr ˛a tubularn ˛a, a G jest niesko ´nczon ˛a grup ˛a cykliczn ˛a automorfizmów algebry bB . Natomiast problem opisu samoinjektywnych

al-gebr artinowskich generycznie wielomianowego wzrostu jest problemem otwartym nawet w przypadku sko ´nczonego typu reprezentacyjnego (patrz[77, Section 2]).

Badanie poło˙zenia składowych na cyklach w kołczanie składowychΣA algebry A

skutko-wało odkryciem kryterium, kiedy składowaC jest jednoznacznie wyznaczona przez swój ob-raz w grupie Grothendiecka K0(A). Mianowicie, niech C i D b˛ed ˛a składowymi kołczanu ΓA.

W pracy[27] zostało pokazane, ˙ze je´sli C nie jest stabiln ˛arur ˛arangi 1 oraz nie le˙zy na krótkim cyklu wΣA, toC = D wtedy i tylko wtedy, gdy [C ] = [D], gdzie [C ] = {[X ] ∈ K0(A) | X ∈ C }.

Spo´sród wszystkich technik teorii reprezentacji algebr, najwi˛eksz ˛a rol˛e w dowodach uzy-skanych w rozprawie wyników pełni ˛a nast˛epuj ˛ace narz˛edzia. Teoria zajmuj ˛aca si˛e ideała-mi deformuj ˛acymi algebr samoinjektywnych i algebrami orbit algebr powtórze ´n algebr qu-asi-odwróconych przez dopuszczaln ˛a, niesko ´nczon ˛a, cykliczn ˛a grup˛e automorfizmów ge-nerowan ˛a przez ´sci´sle dodatni automorfizm, która została rozwini˛eta przez Skowro ´nskiego i Yamagat˛e w pracach[71], [72], [73], [75], [76] i [77]. Ponadto znacz ˛ac ˛a rol˛e odgrywa´c b˛ed ˛a krótkie cykle w kategorii modułów wprowadzone przez Reiten, Skowro ´nskiego i Smalø w[50] oraz krótkie ła ´ncuchy wprowadzone przez Auslandera i Reiten w[7].

Przy badaniu własno´sci składowych kołczanu Auslandera-Reiten niezwykle u˙zytecznym narz˛edziem s ˛a, wprowadzone przez Liu w [41], stopnie odwzorowa´n nieprzywiedlnych, które pozwalaj ˛a bada´c zachowanie i kształt składowych u˙zywaj ˛ac konfiguracji odwzorowa ´n

nieprzywiedlnych pomi˛edzy modułami nierozkładalnymi w składowej.

Rozdział I po´swi˛ecimy wprowadzeniu niezb˛ednych poj˛e´c oraz faktów zwi ˛azanych z teori ˛a reprezentacji algebr. W szczególno´sci przybli˙zymy, jak i wyprowadzimy nowe własno´sci quasi-rur, z których b˛edziemy korzysta´c w rozdziale IV oraz rozdziale V.

W rozdziale II wprowadzimy poj˛ecie algebry tubularnej oraz podamy podstawowe wła-sno´sci kołczanu Auslandera-Reiten tych algebr. Nast˛epnie rozszerzymy nieznacznie list˛e Bongartza-Happela-Vossiecka kołczanów Gabriela utajonych algebr typu Euklidesa o koł-czany Gabriela algebr utajonych typu Euklidesa z nietrywialn ˛a waluacj ˛a strzałek o rz˛edzie grupy Grothendiecka nie wi˛ekszym ni˙z 10. Opis tych kołczanów posłu˙zy nam do pokazania, ˙ze algebry tubularne, ró˙zne od wyj ˛atkowej, maj ˛a punkt stały, ze wzgl˛edu na automorfizm, w swoim kołczanie Gabriela, co b˛edzie miało kluczowe znaczenie w rozdziale V.

Celem kolejnego rozdziału jest przybli˙zenie algebr samoinjektywnych oraz algebr orbit algebr powtórze ´n. Prócz definicji podamy tak˙ze niezb˛edne do dalszych rozwa˙za ´n własno´sci tych algebr. Na zako ´nczenie tego rozdziału podamy charakteryzacj˛e tych algebr samoinjek-tywnych, b˛ed ˛acych algebrami orbit algebr powtórze ´n bB , gdzie B jest prawie utajon ˛a algebr ˛a kanoniczn ˛a, których kołczan Auslandera-Reiten zawiera szczególn ˛a rodzin˛e uogólnionych standardowych quasi-rur. Otrzymane wyniki wykorzystamy do udowodnienia jednej z im-plikacji Twierdzenia IV.2.1 z rozdziału IV.

Rozdział IV rozpoczniemy od zebrania podstawowych własno´sci uogólnionych standar-dowych skłastandar-dowych. Nast˛epnie, w zasadniczej cz˛e´sci, sformułujemy i udowodnimy pierwszy z dwóch najwa˙zniejszych wyników rozprawy ([30]). Twierdzenie IV.2.1, bo o nim mowa, cha-rakteryzuje w terminach algebr orbit, algebry samoinjektywne z kołczanem Auslandera-Re-iten zawieraj ˛acym rodzin˛e quasi-rur maj ˛ac ˛a wspólne składniki kompozycyjne, zamkni˛et ˛a na składniki kompozycyjne oraz składaj ˛ac ˛a si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´ n-czonych cyklach w kategorii modułów, tym samym rozszerzymy wyniki A. Skowro ´nskiego i K. Yamagaty z pracy[74] na kolejn ˛aklas˛e algebr.

W ostatnim z rozdziałów zbadamy algebry samoinjektywne, których kołczan składowych nie zawiera krótkich cykli. Twierdzenie V.2.1, b˛ed ˛ace drugim z najwa˙zniejszych wyników tej rozprawy, podaje charakteryzacj˛e tych algebr w terminach algebr orbit i w du˙zej mierze opiera si˛e na wynikach wypracowanych w rozdziale II, rozdziale III i rozdziale IV.

W Dodatku A przedstawimy algorytm, napisany w ´srodowisku Maple 15, który wykorzy-stali´smy w rozdziale II do rozszerzenia listy Bongartza-Happela-Vossiecka.

Podstawowe informacje dotycz ˛ace teorii reprezentacji algebr mo˙zna znale´z´c w ksi ˛a˙zkach [2], [8], [52], [55], [56] oraz [78].

Autor chciałby nade wszystko podzi˛ekowa´c Panu prof. dr hab. Andrzejowi Skowro ´nskiemu za liczne dyskusje i konstruktywne uwagi dotycz ˛ace omawianych w rozprawie zagadnie ´n. Ponadto autor pragnie podzi˛ekowa´c Patrycji Jeszczenko-Karpicz za cierpliwo´s´c, wsparcie i wspaniały wspólny projekt.

Badania, których wyniki zostały przedstawione w niniejszej rozprawie, były cz˛e´sciowo finansowane ze ´zródeł zespołowego grantu badawczego MNiSW numer N N201 263 135 kierowanego przez prof. dr hab. Andrzeja Skowro ´nskiego oraz ze ´srodków Narodowego Centrum Nauki przyznanych autorowi niniejszej rozprawy na podstawie decyzji numer DEC-2011/01/N/ST1/02064.

D

EFINICJE ORAZ WIADOMO ´SCI PODSTAWOWE

1

Algebry artinowskie

Niech k b˛edzie przemiennym pier´scieniem artinowskim. Wówczas k -algebr ˛a A

nazywa-my pier´scie ´n A wraz z homomorfizmem pier´scieni φ: k → A, którego obraz zawiera si˛e w centrum pier´scienia A. Przypomnijmy, ˙ze centrum Z(A) pier´scienia A, to zbiór tych ele-mentów a , dla których a r = ra dla ka˙zdego r ∈ A. Tradycyjnie, b˛edziemy pisali λa w

miej-sceφ(λ)a, gdzie λ ∈ k , a ∈ A. Powiemy, ˙ze k -algebra A jest algebr ˛a artinowsk ˛a nad k , o ile A

jest sko ´nczenie generowanym k -modułem. Wówczas Z(A) jest przemiennym pier´scieniem artinowskim, a A jest algebr ˛a artinowsk ˛a nad Z(A). Od tej pory przez k -algebr˛e b˛edziemy rozumieli algebr˛e artinowsk ˛a nad przemiennym pier´scieniem artinowskim k .

Wszystkie moduły, chyba, ˙ze b˛edzie to zaznaczone, b˛ed ˛a sko ´nczenie generowanymi, pra-wymi A-modułami. Symbolem mod A oznaczamy kategori˛e sko ´nczenie generowanych, pra-wych A-modułów, a przez ind A pełn ˛a podkategori˛e kategorii mod A składaj ˛ac ˛a si˛e z mo-dułów nierozkładalnych. Dodatkowo proj A oznacza´c b˛edzie pełn ˛a podkategori˛e kategorii mod A zło˙zon ˛a ze wszystkich modułów projektywnych.

Dla k -algebry artinowskiej A mamy naturaln ˛a równowa˙zno´s´c kategorii D := Homk(−, E ): mod

∼

−→ mod Aop,

gdzie E jest minimalnym injektywnym kogeneratorem w mod k . Funktor D, którego funktor odwrotny równie˙z oznaczamy przez D, nazywamy dualno´sci ˛a. Ponadto dowolna algebra

A ma rozkład prawego A-modułu AA na sum˛e prost ˛a nierozkładalnych projektywnych

A-modułów AA= nA M i=1 mA(i ) M j=1 ei jA,

gdzie ei j, dla i ∈ {1, . . . , nA}, j ∈ {1, . . . , mA(i )}, s ˛a parami ortogonalnymi prymitywnymi

idempotentami algebry A takimi, ˙ze

oraz

ei jA6∼= ei0_j0A dla i , i0∈ {1, . . . , n_A}, i 6= i0, j ∈ {1, . . . , m_A(i )}, j0∈ {1, . . . , m_A(i0)}. Powy˙zszy rozkład modułu AAindukuje kanoniczny rozkład jedynki 1Aalgebry A

1A= nA X i=1 mA(i ) X j=1 ei j.

Układ Pi = ei 1A, dla i∈ {1, . . . , nA}, jest pełnym układem parami nieizomorficznych,

nieroz-kładalnych, projektywnych prawych A-modułów. Natomiast Ii = D(Aei 1), dla i ∈ {1,...,nA},

jest pełnym układem parami nieizomorficznych nierozkładalnych, injektywnych prawych

A-modułów. Dodatkowo Si = topPi = Pi/radAPi∼= soc Ii, i∈ {1, . . . , nA}, jest pełnym układem

parami nieizomorficznych, prostych prawych A-modułów. Przypomnijmy, ˙ze k -algebra A jest spójna, o ile jedynymi centralnymi idempotentami algebry A s ˛a 1Aoraz 0, za´s A jest

ba-zowa, gdy mA(i ) = 1, dla i = 1,...,nA.

Radykałem Jacobsona rad A algebry A jest ideał b˛ed ˛acy przeci˛eciem wszystkich

mak-symalnych prawych (równowa˙znie lewych) ideałów w A. Podobnie, radykałem Jacobsona

A-modułu M nazywamy podmoduł radAM modułu M , który jest przeci˛eciem wszystkich

maksymalnych podmodułów modułu M . Mo˙zna pokaza´c, ˙ze radAM = M radA. B˛edziemy

pisa´c radykał w miejsce radykał Jacobsona. Dodatkowo cokołem soc M A-modułu M na-zywamy sum˛e wszystkich prostych podmodułów modułu M . Podstawowe własno´sci algebr i modułów, z których b˛edziemy korzysta´c, mo˙zna znale´z´c w[78].

Radykałem Jacobsona radAkategorii mod A nazywamy ideał w mod A taki, ˙ze dla modułów

X i Y w mod A mamy

radA(X,Y ) =

¦

f ∈ HomA(X,Y ) | ∀g∈HomA(Y,X)1X− g f jest odwracalny ©

.

Dalej, dla m ∈ N definiujemy m -t ˛a pot˛eg˛e radm_A radykału radA tak, ˙ze dla modułów X

i Y w mod A zbiór radm(X,Y ) składa si˛e ze sko´nczonych sum homomorfizmów postaci

hmhm−1. . . h2h1, gdzie hi ∈ radA(Xi−1, Xi) oraz X0= X, a Y = Xm. Ponadto

rad∞_A = ∞ \

m=1 radm_A

nazywamy niesko ´nczonym radykałem kategorii mod A.

Auslander pokazał, dla algebry artinowskiej A, ˙ze rad∞_A = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A jest sko ´nczonego typu reprezentacyjnego[6]. Przypomnijmy, ˙ze algebra A jest sko´nczonego

ty-pu reprezentacyjnego, o ile istnieje sko ´nczenie wiele klas izomorfizmów modułów

nierozkła-dalnych w mod A. W przeciwnym wypadku mówimy, ˙ze algebra A jest niesko ´nczonego typu reprezentacyjnego.

2

Warto´sciowany kołczan Gabriela oraz kołczan

Auslandera-Reiten

Wprowadzimy teraz, wywodz ˛ace si˛e od Gabriela, poj˛ecie warto´sciowanego kołczanu

Ga-briela algebry (nazywanego te˙z zwyczajnym kołczanem algebry). Zacznijmy od poj˛ecia grafu

warto´sciowanego. Grafem warto´sciowanym nazywamy graf G = (G0,G1), gdzie G0jest zbio-rem wierzchołków, a G1 zbiorem kraw˛edzi, dla którego mi˛edzy dwoma wierzchołkami ist-nieje co najwy˙zej jedna kraw˛ed´z maj ˛aca dodatkowo przyporz ˛adkowane warto´sciowanie, tj. par˛e dodatnich liczb całkowitych(a,b). Konwencj ˛ab˛edzie pisanie w miejsce kraw˛e-dzi z trywialn ˛a waluacj ˛a (1,1) . Kołczanem warto´sciowanym nazywamy zorientowany graf warto´sciowanyΓ = (Γ0,Γ1), czyli warto´sciowany graf, dla którego ka˙zda kraw˛ed´z ma ustalo-n ˛a orientacj˛e. St ˛ad mamy równie˙z dwie funkcje s , t :Γ1→ Γ0takie, ˙ze dla strzałkiα: a (a,b) b

mamy s(α) = a oraz t (α) = b.

Niech teraz A b˛edzie k -algebr ˛a artinowsk ˛a, a S1, . . . ,Sn pełnym układem parami

nieizo-morficznych A-modułów prostych. Wówczas zwyczajnym kołczanem algebry A nazywamy kołczan warto´sciowany Γ = (Γ0,Γ1), w którym jako zbiór wierzchołków kładziemy zbiór {1, . . . , n}, natomiast istnieje strzałka w Γ1 z i do j wtedy i tylko wtedy, gdy Ext1_A(Si,Sj) 6= 0,

a jako warto´sciowanie tej strzałki kładziemy par˛e liczb € dimEndA(Sj)Ext 1 A(Si,Sj),dimEndA(Si)opExt 1 A(Si,Sj) Š .

Zauwa˙zmy, ˙ze z lematu Schura wynika, i˙z dla ka˙zdego i ∈ {1, . . . , n} algebry EndA(Si) s ˛a k -algebrami z dzieleniem.

Bardzo wa˙znym kombinatorycznym niezmiennikiem algebry, opisuj ˛acym struktur˛e kate-gorii ilorazowej mod A/rad∞_A, jest jej kołczan Auslandera-Reiten, który teraz zdefiniujemy. Przypomnijmy, ˙ze homomorfizmem nieprzywiedlnym f : X → Y w mod A nazywamy homo-morfizm, który spełnia nast˛epuj ˛ace warunki:

(i) f nie jest sekcj ˛a ani retrakcj ˛a w mod A;

(ii) je´sli f = f1f2 dla pewnych homomorfizmów f2: X → Z i f1: Z → Y , to albo f1 jest retrakcj ˛a albo f2jest sekcj ˛a.

Ponadto mówimy, ˙ze homomorfizm g : L → M w mod A jest lewym minimalnym prawie

rozszczepialnym homomorfizmem, o ile:

(i) je´sli h f = f , gdzie h ∈ EndA(M ), to h jest izomorfizmem (lewa minimalno´s´c);

(ii) g nie sekcj ˛a w mod A;

(iii) dla ka˙zdego homomorfizmu u : L→ U w mod A, który nie jest sekcj ˛a istnieje homomor-fizm u0_{: M → U taki, ˙ze u = u}0_{f .}

Podobnie definiujemy prawy minimalny prawie rozszczepialny homomorfizm w mod A. Niech X oraz Y b˛ed ˛a nierozkładalnymi A-modułami, mi˛edzy którymi istnieje homomor-fizm nieprzywiedlny, powiedzmy X → Y . Wówczas przez dX Y oznaczamy krotno´s´c

wyst˛e-powania modułu Y w kodziedzinie M lewego minimalnego prawie rozszczepialnego homo-morfizmu X → M , czyli M = YdX Y _{⊕ M}0 _{oraz Y nie jest składnikiem prostym modułu M}0_. Podobnie, przez d0_{X Y} oznaczamy krotno´s´c wyst˛epowania modułu X w dziedzinie N mini-malnego prawego prawie rozszczepialnego homomorfizmu N→ Y , czyli N = Xd0

X Y⊕ N0oraz

X nie jest składnikiem prostym modułu N0_.

Kołczan Auslandera-Reiten ΓA algebry A jest warto´sciowanym kołczanem z translacj ˛a

zdefiniowanym w nast˛epuj ˛acy sposób:

(i) Wierzchołkami kołczanu ΓA s ˛a klasy izomorfizmów {X } modułów nierozkładalnych

z ind A.

(ii) Dla dwóch wierzchołków{X } oraz {Y } w ΓA, istnieje strzałka{X } {Y } wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje nieprzywiedlny homomorfizm X → Y w ind A. Ponadto strzałce tej przypisujemy warto´sciowanie(dX Y, dX Y0 ).

(iii) Mamy translacj˛eτA= DTr, która wierzchołkowi {X}, gdzie X nie jest modułem

projek-tywnym, przypisuje wierzchołekτA{X } = {τAX}.

(iv) Mamy translacj˛e τ−1_A = TrD, która wierzchołkowi {X}, gdzie X nie jest modułem injektywnym, przypisuje wierzchołekτ−1_A {X } = {τ−1A X}.

Wierzchołki wΓA, które odpowiadaj ˛a klasom izomorfizmów nierozkładalnych modułów

pro-jektywnych, nazywamy projektywnymi, a te, które odpowiadaj ˛a klasom izomorfizmów mo-dułów injektywnych, nazywamy injektywnymi. Dodatkowo, przyj˛eło si˛e uto˙zsamia´c wierz-chołek{X } w ΓAz odpowiadaj ˛acym mu modułem X , czyli b˛edziemy pisa´c

X Y € dX Y, d0X Y Š zamiast {X } {Y } € dX Y, dX Y0 Š .

Ponadto, podobnie jak wcze´sniej, b˛edziemy pomija´c trywialne warto´sciowanie.

Dla algebry artinowskiej prawdziwy jest nast˛epuj ˛acy lemat, który opisuje warto´sciowanie strzałek dla s ˛asiaduj ˛acych wierzchołków (patrz[78]).

Stwierdzenie 2.1. Niech X Y

€ dX Y, dX Y0

Š

b˛edzie strzałk ˛a wΓA. Wówczas prawdziwe s ˛a

nast˛epu-j ˛ace implikacje.

(i) Je´sli Y nie jest wierzchołkiem projektywnym wΓA, toΓAzawiera strzałk˛e

τAY X



dτAY X, d0τAY X 

oraz dτAY X= d 0

X Y i dτ0AY X= dX Y.

(ii) Je´sli X nie jest wierzchołkiem injektywnym wΓA, toΓA zawiera strzałk˛e

Y τ−1_A X  d_Yτ−1 AX, d 0 Yτ−1 AX  oraz d_Yτ−1 A X= d 0 X Y i d_Yτ0 −1 A X= dX Y .

Przypomnijmy, ˙ze operator transpozycji Tr: mod A → mod A definiujemy dla modułu X w mod A nast˛epuj ˛aco: Tr(X) = Coker(HomA(f ,A)), gdzie P1

f

→ P0 → X jest minimalnym nakryciem projektywnym modułu X w mod A. W ogólno´sci operator transpozycji nie jest funktorem.

W całej pracy przez składow ˛a kołczanuΓArozumiemy składow ˛a spójn ˛a. PonadtoτA-orbita

modułu X w kołczanie ΓA jest stabilna, o ile nie zawiera ani modułu projektywnego ani

injektywnego. Wówczas dla składowejC w ΓA symbolem Cs oznacza´c b˛edziemy stabiln ˛a

cz˛e´s´c składowej C , tj. kołczan z translacj ˛a powstały poprzez usuni˛ecie z C wszystkich

τA-orbit modułów projektywnych iτAorbit modułów injektywnych oraz poł ˛aczonych z nimi

strzałek.

Przykładem składowych stabilnych s ˛a stabilne rury. Przypomnijmy, ˙ze je´sli A∞jest grafem zorientowanym

0 1 2 _{· · · ,} to ZA∞jest kołczanem z translacj ˛a postaci

(i − 1,0) (i ,0) (i+1,0) (i + 2,0) (i − 1,1) (i ,1) (i+1,1) (i − 1,2) (i ,2) . . . .. . .. . .. . ._. . ._. . ._. .

gdzie τ(i , j ) = (i − 1, j ) dla i ∈ Z, j ∈ N. Dla r ≥ 1 oznaczmy przez ZA∞/(τr) kołczan z translacj ˛a otrzymany z ZA∞ poprzez uto˙zsamienie ka˙zdego wierzchołka (i , j ) kołczanu ZA∞ z wierzchołkiem τr(i , j ), za´s ka˙zd ˛a strzałk˛e x → y w ZA∞ uto˙zsamiamy ze strzałk ˛a

τr_{x→ τ}r_{y . Kołczan ten nazywamy stabiln ˛a rur ˛a rangi r . Ustami stabilnej ruryΓ nazywamy}

τ-orbit˛e rury Γ tworzon ˛aprzez wszystkie wierzchołki maj ˛ace dokładnie jednego

W pracy [60] Skowro´nski wprowadził wa˙zne poj˛ecie jakim jest uogólniona standardowa

składowaC kołczanu ΓA. Przypomnijmy, ˙ze jest to składowa, dla której rad∞_A(X,Y ) = 0 dla

dowolnych modułów X i Y wC . Ogólniej, powiemy, ˙ze rodzina składowych Γ w kołczanie ΓA

jest uogólnion ˛a standardow ˛a rodzin ˛a składowych, o ile rad∞_A(X,Y ) = 0 dla dowolnych

modu-łów X i Y z rodzinyΓ. Zauwa˙zmy, ˙ze wówczas dowolne składowe w rodzinie Γ s ˛aortogonalne. Jako przykład uogólnionych standardowych składowych mo˙zna poda´c składowe postprojek-tywne, preinjektwyne oraz składowe ł ˛acz ˛ace algebr odwróconych. W kolejnych rozdziałach b˛edziemy sukcesywnie wprowadza´c interesuj ˛ace własno´sci tych składowych.

3

Składniki kompozycyjne modułów

Jednym z klasycznych problemów w teorii reprezentacji algebr jest udzielenie odpowiedzi na pytanie, kiedy moduły w kategorii ind A algebry A s ˛a jednoznacznie wyznaczone przez swoje składniki kompozycyjne (patrz[7]). Na pocz ˛atek, przypomnijmy, ˙ze grup ˛a

Grothen-diecka algebry A nazywamy abelow ˛a grup˛e postaci K0(A) = F /F0_{, gdzieF jest woln ˛a grup ˛a}

abelow ˛a o Z-bazie składaj ˛acej si˛e z klas izomorfizmów {M } modułów w mod A, a F0 _jest podgrup ˛aF generowan ˛a przez elementy{M } − {L} − {N } dla ka˙zdego krótkiego ci ˛agu do-kładnego

0 L M N 0

w mod A. Przez[M ] b˛edziemy oznacza´c obraz klasy izomorfizmów {M } modułu M przez kanoniczny epimorfizm grupF → K0(A). Mo˙zna pokaza´c, ˙ze Z-baz ˛a grupy Grothendiecka

K0(A) algebry A jest zbiór [S1], ..., [Sn], gdzie S1, . . ., Sn jest pełnym układem parami

nieizomorficznych modułów prostych w mod A. Wówczas, dla ka˙zdego modułu M w mod A mamy przedstawienie[M ] = Pn_i=1ci(M )[Si], gdzie ci(M ) jest krotno´sci ˛awyst ˛apienia modułu Si jako składnika ci ˛agu kompozycyjnego modułu M .

Niech A b˛edzie algebr ˛a, aC rodzin ˛a składowych wΓA. Wówczas mówimy, ˙zeC jest wierna,

o ile dowolny prosty A-moduł wyst˛epuje jako składnik kompozycyjny pewnego modułu zC . Mówimy, ˙ze rodzina C jest dokładna, gdy jej annihilator annA(C ) = T_M∈CannA(M )

w A wynosi 0, gdzie annA(M ) = {a ∈ A | Ma = 0}. Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli rodzina C jest

dokładna, to jest wierna. W ogólno´sci annihilator annA(C ) jest ideałem algebry A, a C jest

dokładn ˛a rodzin ˛a składowych w kołczanie Auslandera-ReitenΓ_{A/annA(C )} algebry ilorazowej

A/annA(C ).

Za[64] powiemy, ˙ze rodzina C = (Ci)i∈I składowych wΓA ma wspólne składniki

kompo-zycyjne, o ile dla ka˙zdej pary liczb i oraz j w I istniej ˛a takie moduły Xi ∈ Ci oraz Xj ∈ Cj,

˙ze[Xi] = [Xj]. Dodatkowo C jest zamkni˛eta na składniki kompozycyjne, o ile dla ka˙zdych

nierozkładalnych modułów M i N w mod A takich, ˙ze[M ] = [N ], je´sli M nale˙zy do C , to N nale˙zy doC .

Drog ˛a w mod A nazywamy ci ˛ag

M1 M2 · · · Mn

f1 f2 fn−1 _,

homomorfizmów mi˛edzy nierozkładalnymi A-modułami, w którym fi ∈ radA(Mi, Mi+1), dla i ∈ {1, . . . , n − 1}. Je´sli M1 = Mn, to powy˙zsz ˛a drog˛e nazywamy cyklem w mod A. Cykl, w

którym n = 2 nazywamy krótkim. Dodatkowo powiemy, ˙ze krótki cykl jest niesko´nczony, o ile przynajmniej jeden z homomorfizmów f1 lub f2 nale˙zy do rad∞_A. Ponadto przez krótki

ła ´ncuch w mod A rozumie si˛e (za[7]) ci ˛ag niezerowych homomorfizmów M → N → τAM

mi˛edzy modułami nierozkładalnymi. Wówczas moduł N nazywamy ´srodkiem krótkiego ła ´ncucha.

Przykładem modułów, które s ˛a jednoznacznie wyznaczone przez swoje składniki kom-pozycyjne s ˛a moduły kieruj ˛ace [52], tzn. moduły nierozkładalne, które nie le˙z ˛a na cyklu w mod A. Ogólniej, w pracy[50] pokazano, ˙ze ka˙zdy nierozkładalny modułu w modA, który nie le˙zy na krótkim cyklu jest jednoznacznie wyznaczony (z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu) przez swoje składniki kompozycyjne.

Dla dowolnego k -modułu V przez|V | rozumiemy długo´s´c nad k -modułu V . Na zako ´n-czenie przytoczymy nast˛epuj ˛acy wynik z[62, Proposition 4.1] (patrz równie˙z [7]).

Stwierdzenie 3.1. Niech M , N i X b˛ed ˛a nierozkładalnymi modułami i załó˙zmy, ˙ze[M ] = [N ].

Wówczas

(i) |HomA(X,M )| − |HomA(M ,τAX)| = |HomA(X,N )| − |HomA(N ,τAX)|, (ii) |HomA(M ,X)| − |HomA(τ−1_A X , M)| = |HomA(N ,X)| − |HomA(τ−1_A X N , N)|.

4

Algebry dziedziczne i odwrócone

Mówimy, ˙ze k -algebra artinowska H jest algebr ˛a dziedziczn ˛a, o ile dowolny prawy

(rów-nowa˙znie lewy) ideał w H jest H -modułem projektywnym. Rów(rów-nowa˙znie, k -algebra H jest dziedziczna, o ile ka˙zdy podmoduł modułu projektywnego w mod H jest projektywny.

Warto´sciowany kołczan Gabriela QHalgebry dziedzicznej H jest acykliczny, a jej centrum,

o ile H jest spójna, jest ciałem. Mamy trzy typy warto´sciowanych kołczanów Gabriela spójnych algebr dziedzicznych

(i) Kołczany Dynkina o grafie Dynkina postaci:

An: (n wierzchołków), n≥ 1

Bn:

(1,2)

Cn: (2,1) (n wierzchołków), n≥ 2 Dn: (n wierzchołków), n≥ 4 E6: E7: E8: F4: (1,2) G2: (1,3)

(ii) Kołczany Euklidesa o grafie Euklidesa postaci:

e A11: (1,4) e A12: (2,2) e An: (n+ 1 wierzchołków), n ≥ 2 e Bn: (1,2) (2,1) (n+ 1 wierzchołków), n ≥ 2 e Cn: (2,1) (1,2) (n+ 1 wierzchołków), n ≥ 2 Ý BCn: (1,2) (1,2) (n+ 1 wierzchołków), n ≥ 2 Ý BDn: (1,2) (n+ 1 wierzchołków), n ≥ 3 g CDn: (2,1) (n+ 1 wierzchołków), n ≥ 3 e Dn: (n+ 1 wierzchołków), n ≥ 4

e E6: e E7: e E8: e F41: (1,2) e F42: (2,1) e G21: (1,3) e G22: (3,1)

(iii) Kołczany dzikie o pozostałych grafach spójnych.

Struktura kołczanuΓH algebry dziedzicznej H jest dobrze znana (patrz np.[14], [52], [55]

i[56]). Kołczan ten ma nast˛epuj ˛acy rozkład ΓH = PH∨ RH∨ QH, gdziePH jest składow ˛a,

nazywan ˛a postprojektywn ˛a, zawieraj ˛ac ˛a wszystkie nierozkładalne moduły projektywne oraz ka˙zdy moduł wPH_{jest postaciτ}−i

HP dla pewnego nierozkładalnego modułu projektywnego

P oraz i ≥ 0, QH _{jest składow ˛a, nazywan ˛a preinjektywn ˛a, zawieraj ˛aca wszystkie}

nierozkła-dalne moduły injektywne oraz ka˙zdy moduł w QH _{jest postaciτ}i

HI dla pewnego

nieroz-kładalnego modułu injektywnego I oraz i ≥ 0, a RH _{jest rodzin ˛a składowych regularnych.}

Dokładniej,

• je´sli H jest typu Dynkina, to RH _{jest pusta, aP}H _{= Q}H _{jest składow ˛a zawieraj ˛ac ˛a}

sko ´nczenie wiele modułów.

• je´sli H jest typu Euklidesa o warto´sciowanym kołczanie QH, to PH ∼= (−N)Q op H ,

QH ∼_{= NQ}op

H , a RH jest niesko ´nczon ˛a rodzin ˛a parami ortogonalnych, uogólnionych

standardowych dokładnych stabilnych rur.

• je´sli H jest typu dzikiego o warto´sciowanym kołczanie QH, toPH ∼= (−N)Q op

H ,QH ∼=

NQopH, aRHjest niesko ´nczon ˛a rodzin ˛a regularnych składowych typu ZA∞.

Niech H b˛edzie dowoln ˛a k -algebr ˛a artinowsk ˛a. Moduł T w mod H nazywamy odwracaj ˛acy

[22], o ile Ext1

H(T,T ) = 0, pdHT ≤ 1 oraz T jest sum ˛a prost ˛a n parami nieizomorficznych,

algebr ˛a dziedziczn ˛a, to wówczas, wykorzystuj ˛ac formuły Auslandera-Reiten, pierwsze dwa warunki mo˙zna zast ˛api´c nast˛epuj ˛acym: HomH(T,τHT) = 0.

Algebr˛e B nazywamy algebr ˛a odwrócon ˛a, o ile B= EndH(T ) dla pewnego H-modułu

od-wracaj ˛acego T nad algebr ˛a dziedziczn ˛a H . Je´sli wszystkie składniki proste modułu odwraca-j ˛acego T nale˙z ˛a do składowej postprojektywnejPH_{, to wówczas algebr˛e B nazywamy}

alge-br ˛a utajon ˛a. Je´sli wszystkie składniki proste modułu odwracaj ˛acego T nale˙z ˛a doPH_∨RH_{, to}

algebr˛e B nazywamy algebr ˛a prawie utajon ˛a. Dodatkowo mówimy, ˙ze B jest algebr ˛a odwró-con ˛a typu Dynkina (odpowiednio, Euklidesa, dzikiego) je´sli kołczan algebry dziedzicznej H jest typu Dynkina (odpowiednio, Euklidesa, dzikiego).

5

Jednopunktowe rozszerzenie i korozszerzenia algebr

W tym podrozdziale wprowadzimy poj˛ecie quasi-rurowego rozszerzenia algebr.

Niech A b˛edzie k -algebr ˛a, F k -algebr ˛a z dzieleniem,FMA takim F -A-bimodułem, ˙ze MA

jest w mod A, a k działa centralnie naFMA. Wtedy jednopunktowym rozszerzeniem algebry

A przez moduł M nazywamy algebr˛e macierzow ˛a postaci

A[M ] = – F FMA 0 A ™ = ¨‚ f m 0 a Œ | f ∈ F, a ∈ A, m ∈ M «

ze zwykłym dodawaniem i mno˙zeniem. Podobnie jednopunktowe korozszerzenie algebry A przezFMAdefiniujemy jako algebr˛e macierzow ˛a

[M ]A = – A D(FMA) 0 F ™ .

Opiszemy teraz kombinatoryczne narz˛edzie jakim s ˛a operacje dopuszczalne na kołcza-nach z translacj ˛a. Niech(Γ,τ) b˛edzie kołczanem z translacj ˛a(z trywialn ˛awaluacj ˛a). Dla pew-nego wierzchołka x wΓ, nazywanego osi ˛a, zdefiniujemy dwie operacje dopuszczalne ([4]), które zmieniaj ˛a kołczan(Γ,τ) w nowy kołczan z translacj ˛a (Γ0_,τ0_{), który zale˙zy od kształtu} dróg w kołczanieΓ rozpoczynaj ˛acych si˛e w x. Przypominijmy najpierw, ˙ze drog ˛a sekcyjn ˛a

w kołczanieΓ nazywamy tak ˛adrog˛e

x1 x2 · · · xi−1 xi xi+1 · · · ,

˙zeτxi+16= xi−1dla dowolnego i > 2.

(ad 1) Przypu´s´cmy, ˙ze Γ zawiera niesko´nczon ˛adrog˛e sekcyjn ˛a

zaczynaj ˛ac ˛a si˛e w x oraz załó˙zmy, i˙z ka˙zda droga sekcyjna w Γ, zaczynaj ˛aca si˛e w x, jest poddrog ˛a powy˙zszej drogi. Dla t ≥ 1, niech Γt b˛edzie kołczanem z translacj ˛a, który jest

izo-morficzny z kołczanem Auslandera-Reiten pełnej t × t górnotrójk ˛atnej algebry macierzowej nad ciałem ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ yt ◦ yt−1 ◦ yt−2 ◦ y1 .._{. ..}.

Wówczas, z definicji,Γ0 _{jest kołczanem z translacj ˛a, który zawiera wierzchołki kołczanówΓ} i Γt oraz dodatkowe wierzchołki zi j i x0i (gdzie i ≥ 0, 1 ≤ j ≤ t ), a strzałki w Γ0 s ˛a jak na

rysunku poni˙zej. ◦ ◦ ◦ y1 ◦ ◦ y2 ◦ yt ◦ x0 ◦ x1 ◦ x2 ◦ z01 ◦ z11 ◦ z21 ◦ z02 ◦ z12 ◦ z22 ◦ z0t ◦ z1t ◦ z2t ◦ x0 0 ◦ x10 ◦ x20 ◦ τ−1_x0 ◦ τ−1_x1 .._. .._. .._. .._. .._. .._. .._. .._. ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Translacja τ0 _{kołczanu Γ}0 _{zdefiniowana jest nast˛epuj ˛aco: τ}0_z

i j = zi−1,j −1, o ile i ≥ 1,

j ≥ 2, τ0_z

i 1 = xi−1, o ile i ≥ 1, τ0z0j = yj−1, o ile j ≥ 2, z01 jest projektywny, τ0x0₀ =

yt,τ0xi0 = zi−1,t, o ile 1≥ 1, τ0(τ−1xi) = xi0 pod warunkiem, ˙ze xi nie jest injektywny w Γ,

w przeciwnym przypadku x_i0 jest injektywny w Γ0_{. Dla pozostałych wierzchołków w Γ}0_{, τ}0 pokrywa si˛e odpowiednio z translacj ˛a kołczanu Γ lub Γt. Je´sli t = 0, to nowy kołczan

z translacj ˛aΓ0 _{otrzymany jest zΓ poprzez wło˙zenie tylko jednej drogi sekcyjnej składaj ˛acej} si˛e z wierzchołków x_i0, i ≥ 0.

(ad 2) Załó˙zmy, ˙ze wierzchołek x w Γ jest injektywny, a Γ zawiera takie dwie drogi sekcyjne zaczynaj ˛ace si˛e w x , jedn ˛a niesko ´nczon ˛a, a drug ˛a sko ´nczon ˛a z co najmniej jedn ˛a strzałk ˛a składaj ˛ac ˛a si˛e z wierzchołków injektywnych,

x= x0 x1 x2 · · ·

y1

y2 · · ·

yt

˙ze ka˙zda droga sekcyjna zaczynaj ˛aca si˛e w x jest poddrog ˛a jednej z tych dróg. WtedyΓ0_, z definicji, jest kołczanem z translacj ˛a zawieraj ˛acym wierzchołki kołczanuΓ oraz dodatkowe wierzchołki oznaczone przez x0

0, zi j, x0i(gdzie i≥ 1, 1 ≤ j ≤ t ), a strzałki w Γ0s ˛a jak na rysunku

• ◦ y1 ◦ y2 ◦ yt x0 ◦ x0 0 ◦ x1 ◦ x2 ◦ x3 ◦ z11 ◦ z21 ◦ z31 ◦ z12 ◦ z22 ◦ z23 ◦ z1t ◦ z2t ◦ z3t ◦ x01 ◦ x02 ◦ x03 ◦ τ−1_x1 ◦ τ−1_x2 ... ... ... ... ... ... ... ... .._. .._. .._. .._. .._. .._. .._. .._. .._.

Translacja τ0 _{kołczanu Γ}0 _{zdefiniowana jest nast˛epuj ˛aco: x}0

0 jest projektywno-injektywny,

τ0_z

i j = zi−1,j −1, o ile i ≥ 2, j ≥ 2, τ0zi 1 = xi−1, o ile i ≥ 1, τ0z1j = yj−1, o ile j ≥ 2,

τ0_x0

i = zi−1,t, o ile i≥ 2, τ0x10 = yt,τ0(τ−1xi) = x 0

i pod warunkiem, ˙ze xi nie jest injektywny wΓ,

w przeciwnym przypadku x_i0 jest injektywny wΓ0_{. Dla pozostałych strzałek wΓ}0_,τ0_pokrywa si˛e z translacj ˛aτ kołczanu Γ.

Przez(ad 1∗_{) oraz (ad 2}∗_{) oznaczamy operacje dopuszczalne, które s ˛a dualne do operacji} dopuszczalnych,(ad 1) oraz (ad 2) odpowiednio.

Kołczan z translacj ˛aΓ nazywamy quasi-rur ˛a, o ileΓ mo˙ze by´c otrzymany z pewnej rury

poprzez iteracyjne zastosowanie operacji dopuszczalnych(ad 1), (ad 2), (ad 1∗_{) lub (ad 2}∗_).

Rura (w sensie [52]) jest quasi-rur ˛a o własno´sci, ˙ze ka˙zda operacja dopuszczalna w ci

˛a-gu operacji dopuszczalnych, które j ˛a definiuj ˛a, jest typu (ad 1) lub (ad 1∗_{). Ponadto} je-´sli zastosujemy tylko operacj˛e dopuszczaln ˛a typu (ad 1) (odpowiednio, typu (ad 1∗_{)), to} quasi-ruraΓ nazywana jest rur ˛a promieniow ˛a (odpowiednio, rur ˛a kopromieniow ˛a).

Zauwa˙z-my, ˙ze quasi-rura bez wierzchołków injektywnych (odpowiednio, projektywnych) jest rur ˛a promieniow ˛a (odpowiednio, rur ˛a kopromieniow ˛a). Quasi-ruraΓ, której wszystkie

niestabil-ne wierzchołki, czyli wierzchołki którychτ-orbity nie s ˛astabilne, s ˛aprojektywno-injektywne nazywana jest gładk ˛a.

Niech A b˛edzie k -algebr ˛a, aΓ uogólnion ˛astandardow ˛askładow ˛aw kołczanie ΓA. Dla

ka˙z-dego nierozkładalnego modułu X w Γ, który jest osi ˛a operacji dopuszczalnej typu (ad 1), (ad 2), (ad 1∗_{) lub (ad 2}∗_{), zdefiniujemy odpowiadaj ˛ac ˛a mu operacj˛e na A w taki sposób, ˙ze} zmieniony kołczan z translacj ˛aΓ0_{b˛edzie składow ˛a kołczanu Auslandera-ReitenΓ}

A0 zmienio-nej algebry A0 _{(patrz[4], [5]). Przypomnijmy, ˙ze A-moduł M nazywamy cegł ˛a, o ile algebra} endomorfizmów EndA(M ) jest algebr ˛a z dzieleniem. Poniewa˙z Γ jest uogólnion ˛a

standar-dow ˛a składow ˛a, to ka˙zda o´s X operacji dopuszczalnej typu(ad 1), (ad 2), (ad 1∗_{) i (ad 2}∗₎ jest cegł ˛a (patrz[60, Corollary 5.3] i jego dowód). Połó˙zmy F = EndA(X). Oczywi´scie X jest

F -A-bimodułem. Przypu´s´cmy, ˙ze X jest osi ˛a operacji dopuszczalnej typu(ad 1) oraz t ≥ 1.

Przez D= Dt oznaczmy pełn ˛a t × t górnotrójk ˛atn ˛a algebr˛e macierzow ˛a nad algebr ˛a z

dzie-leniem F , a przez Y oznaczmy jedyny nierozkładalny projektywno-injektywny D-moduł, który rozwa˙zamy jako F -D-bimoduł. Wtedy A0= (A ×D)[X ⊕Y ] jest poszukiwan ˛azmienion ˛a algebr ˛a. Je´sli X jest osi ˛a operacji dopuszczalnej(ad 2), to zmodyfikowan ˛a algebr˛e A0 defi-niujemy nast˛epuj ˛aco A0 _{= A[X]. Podobnie, wykorzystuj ˛ac jedno punktowe korozszerzenia,} definiujemy algebr˛e zmienion ˛a A0_{, gdy X jest osi ˛a operacji dopuszczalnej typu} (ad 1∗) lub (ad 2∗_{). Wówczas prawdziwy jest nast˛epuj ˛acy lemat (patrz [4, Section 2]).}

Lemat 5.1. Zmieniony kołczan z translacj ˛aΓ0_{kołczanuΓ jest składow ˛a wΓ}

A0.

Niech C b˛edzie algebr ˛a,T uogólnion ˛a standardow ˛a rodzin ˛a stabilnych rur wΓC. Za[5]

mówimy, ˙ze algebra B jest quasi-rurowym rozszerzeniem algebry C u˙zywaj ˛acym modułów z rodzinyT , o ile istnieje taki sko´nczony ci ˛ag algebr A0= C , A1, . . ., Am = B, ˙ze dla ka˙zdego

0≤ j < m algebra Aj+1 otrzymana jest z algebry Aj poprzez ci ˛ag operacji dopuszczalnych

typu(ad 1), (ad 2), (ad 1∗_{) lub (ad 2}∗_{), dla których o´s le˙zy albo w stabilnej rurze z rodziny} T albo w quasi-rurze kołczanu ΓAj otrzymanej ze stabilnej rury z rodziny T poprzez ci ˛ag operacji dopuszczalnych, typu (ad 1), (ad 2), (ad 1∗_{) lub (ad 2}∗_{), ju˙z wykonanych.} Odnotujmy, ˙ze rozszerzenie tubularne (odpowiednio, korozszerzenie tubularne) algebry C (w sensie ksi ˛a˙zki[52]), które u˙zywa modułów z rodziny T jest rozszerzeniem algebry C przez operacje dopuszczalne typu(ad 1) (odpowiednio, typu (ad 1∗_)).

Prawdziwe jest nast˛epuj ˛ace stwierdzenie (patrz [4, Lemma 2.2], [4, Lemma 2.3] i [43, Theorem C]).

Stwierdzenie 5.2. Niech B b˛edzie quasi-rurowym powi˛ekszeniem algebry C , które u˙zywa

modułów z uogólnionej standardowej rodziny stabilnych rurT kołczanu ΓC, aC niech b˛edzie

rodzin ˛a składowych w kołczanieΓB otrzyman ˛a z rodzinyT poprzez operacje dopuszczalne

prowadz ˛ace od algebry C do B . WówczasC jest uogólnion ˛a standardow ˛a rodzin ˛a quasi-rur

6

Quasi-rury i ich własno´sci

W tym podrozdziale przypomnimy niektóre ze znanych własno´sci uogólnionych standar-dowych quasi-rur, w szczególno´sci uogólnionych standarstandar-dowych stabilnych rur, jak i rów-nie˙z wyprowadzimy kilka nowych własno´sci, które wykorzystamy w dowodzie Twierdze-nia IV.2.1.

Poni˙zsza charakteryzacja uogólnionych standardowych rur w kołczanie Auslandera-Re-iten została otrzymana w [60, Corollary 5.3] (zobacz tak˙ze [62, Lemma 3.1]).

Stwierdzenie 6.1. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a Γ stabiln ˛a rur ˛a wΓA. Nast˛epuj ˛ace warunki s ˛a równowa˙zne.

(i) Γ jest uogólniona standardowa.

(ii) Moduły na ustach ruryΓ s ˛a parami ortogonalnymi cegłami.

(iii) rad∞_A(X,X) = 0 dla dowolnego modułu X w Γ.

Odnotujmy, ˙ze algebry z dzieleniem wszystkich modułów le˙z ˛acych na ustach uogólnionej standardowej ruryΓ s ˛aizomorficzne.

Wprowadzimy teraz poj˛ecie quasi-długo´sci modułu w stabilnej rurze. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a Γ stabiln ˛a rur ˛a w ΓA. Wówczas Γ ma dwa rodzaje strzałek: strzałki zmierzaj ˛ace

do niesko ´nczono´sci oraz strzałki zmierzaj ˛ace do ust rury Γ. Wobec tego, dla dowolnego modułu Z le˙z ˛acego w rurze Γ, istnieje jedyna droga sekcyjna (składaj ˛aca si˛e ze strzałek zmierzaj ˛acych do niesko ´nczono´sci) X1→ X2 → · · · → Xm = Z w Γ, gdzie X1 le˙zy na ustach

ruryΓ, oraz istnieje jedyna droga sekcyjna (składaj ˛aca si˛e ze strzałek zmierzaj ˛acych do ust)

Z = Y1 → Y2 → · · · → Ym, gdzie Ym le˙zy na ustach rury Γ. Wówczas liczb˛e naturaln ˛a m

nazywamy quasi-długo´sci ˛a modułu Z w rurzeΓ i oznaczamy ql(Z ). Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli Γ jest

rur ˛a rangi 1, a X jedynym modułem le˙z ˛acym na ustach ruryΓ, to dla dowolnego modułu Z , zachodzi[Z ] = ql(Z )[X], a wi˛ec Γ składa si˛e z modułów z parami ró˙znymi obrazami w grupie Grothendiecka K0(A).

W nawi ˛azaniu do dyskusji toczonej w podrozdziale 3 mamy nast˛epuj ˛acy wynik (patrz[62, Theorem 4.3]).

Twierdzenie 6.2. Niech A b˛edzie algebr ˛a,Γ uogólniona standardow ˛a stabiln ˛a rur ˛a wΓArangi

r> 1, a M i N nieizomorficznymi modułami w Γ. Wówczas [M ] = [N ] wtedy i tylko wtedy, gdy

ql(M ) = ql(N ) = cr , dla pewnego c ≥ 1.

Dodatkowo, poniewa˙z interesowa´c nas b˛ed ˛a moduły, które nie le˙z ˛a na krótkich niesko ´ n-czonych cyklach w kategorii modułów, to przypomnijmy nast˛epuj ˛ace twierdzenia (patrz[62, Corollary 4.4] oraz [62, Corollary 4.6]).

Twierdzenie 6.3. Niech A b˛edzie algebr ˛a, Γ stabiln ˛a rur ˛a rangi r > 1 w ΓA składaj ˛ac ˛a si˛e

z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach w mod A, a M modułem wΓ.

Wtedy M jest jednoznacznie wyznaczony (z dokładno´sci ˛a do izomorfizmu) przez[M ] wtedy

i tylko wtedy, gdy r nie dzieli ql(M ).

Twierdzenie 6.4. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a Γ oraz Γ0 _{dwiema ró˙znymi stabilnymi rurami}

wΓA, które składaj ˛a si˛e z modułów nie le˙z ˛acych na krótkich niesko ´nczonych cyklach w mod A.

Ponadto niech r b˛edzie rang ˛aΓ, a r0 _{rang ˛aΓ}0_{. Załó˙zmy, ˙ze[M ] = [N ] dla pewnych modułów}

M wΓ, a N w Γ0_{. Wówczas r dzieli ql(M ), r}0_{dzieli ql(N ), a rury Γ i Γ}0_{s ˛a ortogonalne.}

Mamy równie˙z nast˛epuj ˛acy fakt dotycz ˛acy homomorfizmów do i ze stabilnych rur ([62, Lemma 3.9]).

Lemat 6.5. NiechT b˛edzie stabiln ˛a rur ˛a rangi r wΓA, a N nierozkładalnym modułem, który

nie nale˙zy doT . Wówczas prawdziwe s ˛a nast˛epuj ˛ace implikacje.

(1) Je´sli HomA(X,N ) 6= 0 dla pewnego modułu X w T , to HomA(M ,N ) 6= 0 dla dowolnego

modułu M wT o własno´sci ql(M ) ≥ r .

(2) Je´sli HomA(N ,X) 6= 0 dla pewnego modułu X w T , to HomA(N ,M ) 6= 0 dla dowolnego

modułu M wT o własno´sci ql(M ) ≥ r .

Zauwa˙zmy, ˙ze ze Stwierdzenia 6.1 wynika, i˙z ka˙zda stabilna ruraT w kołczanie Auslan-dera-ReitenΓAskładaj ˛aca si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach

jest uogólniona standardowa. Teraz naszym celem b˛edzie rozszerzenie tego wyniku na gład-kie quasi-rury. W tym celu wykorzystamy poj˛ecie stopnia homomorfizmu nieprzywiedlnego i niektóre wyniki dotycz ˛ace tego poj˛ecia wypracowane przez Liu w[41]. Zaczniemy od przy-pomnienia klasycznego wyniku Igusy i Todorov z[26].

Stwierdzenie 6.6. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a

X0 X1 · · · Xn−1 Xn

f1 f2 fn

drog ˛a homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi A modułami

odpo-wiadaj ˛acych drodze sekcyjnej w ΓA. Wówczas fn. . . f2f1∈ radn_A(X0, Xn) \ radn_A+1(X0, Xn).

Wprowadzimy teraz poj˛ecie stopnia homomorfizmu nieprzywiedlnego. Dla algebry A oraz nieprzywiedlnego homomorfizmu f : X → Y w mod A, pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami X i Y , za [41] mówimy, ˙ze f jest niesko´nczonego lewego stopnia, o ile dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 1 oraz dowolnego homomorfizmu g : M → X w radn_A(M ,X) \ radn_A+1(M ,X) mamy f g ∈ radn_A+1(M ,Y ) \ radn_A+2(M ,Y ). Dualnie, mówimy, ˙ze homomorfizm

n ≥ 1 oraz dowolnego homomorfizmu h : Y → N w radn_A(Y,N ) \ radn_A+1(Y,N ) mamy h f ∈ radn_A+1(X,N ) \ radn_A+2(X,N ).

Poni˙zszy wynik, z którego b˛edziemy cz˛esto korzysta´c, został udowodniony przez Liu w[41].

Stwierdzenie 6.7. Niech A b˛edzie algebr ˛a. Wówczas nast˛epuj ˛ace implikacje s ˛a prawdziwe.

(1) Załó˙zmy, ˙zeΓAzawiera pełny podkołczan z translacj ˛a postaci

· · · Xi+1 Xi · · · X1 X0= X

· · · Yi+1 Yi · · · Y1 Y0= Y

,

gdzie niesko ´nczone drogi, górna i dolna, s ˛a sekcyjne. Wówczas ka˙zdy nieprzywiedlny

homomorfizm f : X→ Y w mod A jest niesko´nczonego lewego stopnia.

(2) Załó˙zmy, ˙zeΓAzawiera pełny podkołczan z translacj ˛a postaci

M= M0 M1 · · · Mj Mj+1 · · ·

N = N0 N1 · · · Nj Nj+1 · · ·

,

gdzie niesko ´nczone drogi, górna i dolna, s ˛a sekcyjne. Wówczas ka˙zdy nieprzywiedlny

homomorfizm g : M→ N w mod A jest niesko´nczonego prawego stopnia.

Poniewa˙z dla algebry A oraz gładkiej quasi-ruryC w ΓA jej stabilna cz˛e´s´cCs jest stabiln ˛a

rur ˛a, wi˛ec mo˙zemy zdefiniowa´c stabiln ˛a quasi-długo´s´c, oznaczan ˛a przez sql(X), modułu X wC jako quasi-długo´s´c ql(X ) modułu X w Cs_{. Dodatkowo, stabilna quasi-długo´s´c modułu}

projektywno-injektywnego wC równa jest, per definitionem, 0.

Lemat 6.8. Niech A b˛edzie algebr ˛a, aC gładk ˛a quasi-rur ˛a wΓA. Dodatkowo niech r b˛edzie

rang ˛a stabilnej ruryCs_{, a m := max{sql(rad}

AP) | P ∈ C ∩ projA}. Wówczas radA(X,Y ) 6= 0 dla

wszystkich modułów X i Y wC o stabilnej quasi-długo´sci wi˛ekszej od m + r .

Dow ´od. Niech X oraz Y b˛ed ˛a takimi modułami wC , ˙ze sql(X ) oraz sql(Y ) s ˛a wi˛eksze ni˙z

m+ r . Wówczas w C istniej ˛adrogi sekcyjne

zło˙zona ze strzałek wCs _{wskazuj ˛acych usta, oraz}

Σ : Z= V0 V1 · · · Vq−1 Vq= Y,

zło˙zona ze strzałek wCs _{wskazuj ˛acych niesko ´nczono´s´c, gdzie sql(Z ) > m. Dodatkowo w C}

mamy nast˛epuj ˛acy pełny podkołczan z translacj ˛a

· · · W_s(j −1)₊₁ Ws(j −1) · · · W1(j −1) W (j −1) 0 = Vj−1 · · · W_s(j )₊₁ Ws(j ) · · · W1(j ) W (j ) 0 = Vj ,

gdzie j ∈ {1, . . . ,q}, uformowany z równoległych, niesko´nczonych dróg sekcyjnych składaj ˛ a-cych si˛e z nierozkładalnych modułów o stabilnej quasi-długo´sci> m. Rozwa˙zmy homomor-fizmy nieprzywiedlne w mod A

ϕi: Ui−1→ Ui oraz ψj: Vj−1→ Vj,

gdzie i ∈ {1, . . . , p } oraz j ∈ {1, . . . ,q}, odpowiadaj ˛ace strzałkom dróg sekcyjnychΘ oraz Σ, odpowiednio. Wtedy, ze Stwierdzenia 6.6, zło˙zenie homomorfizmów ϕ = ϕp. . .ϕ1: X → Z

nale˙zy do radp_A(X,Z )/radp_A+1(X,Z ). Ponadto, ze Stwierdzenia 6.7, wynika, ˙ze homomorfi-zmy nieprzywiedlneψ1, . . . ,ψq s ˛a niesko ´nczonego lewego stopnia. St ˛ad oraz z definicji

le-wego niesko ´nczonego stopnia homomorfizmu nieprzywiedlnego otrzymujemy, ˙ze ψϕ ∈ radp_A+q(X,Y )/radp_A+q+1(X,Y ), gdzie ψ = ψq. . .ψ1∈ HomA(Z ,Y ), a wi˛ec radA(X,Y ) 6= 0. ƒ

Nast˛epuj ˛acy lemat został udowodniony w[61, Lemma 2.1]

Lemat 6.9. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a X i Y takimi nierozkładalnymi modułami w mod A, ˙ze

rad∞_A(X,Y ) 6= 0. Wówczas nast˛epuj ˛ace zdania s ˛a prawdziwe.

(1) Istnieje niesko ´nczona droga

X = X0 X1 X2 · · · Xi−1 Xi · · ·

f1 f2 fi

homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz

homomorfizmy gi ∈ rad∞_A(Xi, Y), i ≥ 1 takie, ˙ze gifi. . . f16= 0 dla wszystkich i ≥ 1.

(2) Istnieje niesko ´nczona droga

· · · Yj Yj−1 · · · Y2 Y1 Y0= Y

homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz

homomorfizmy uj ∈ rad∞_A(X,Yj), j ≥ 1 takie, ˙ze h1. . . hjuj 6= 0 dla wszystkich j ≥ 1.

Stwierdzenie 6.10. Niech A b˛edzie algebr ˛a, a C gładk ˛a quasi-rur ˛a w ΓA składaj ˛ac ˛a si˛e

z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach w mod A. Wówczas C jest

uogólnion ˛a standardow ˛a składow ˛a kołczanuΓA.

Dow ´od. Poniewa˙zC jest gładk ˛a quasi-rur ˛a kołczanuΓA, wi˛ec stabilna cz˛e´s´cCs

składo-wejC jest stabiln ˛a rur ˛a rangi r . Połó˙zmy m := max{sql (radAP) | P ∈ C ∩ projA}. Rozwa˙zmy

dodatni ˛a liczb˛e całkowit ˛a n= m +2r , a przez Γ oznaczmy pełny podkołczan z translacj ˛akoł-czanuC zło˙zony ze wszystkich modułów o stabilnej quasi-długo´sci ≥ n. Ponadto niech M b˛edzie sum ˛a prost ˛a wszystkich nierozkładalnych modułów zC \ Γ. Wtedy M jest modułem w mod A, a EndA(M ) jest algebr ˛aartinowsk ˛anad k .

Załó˙zmy, i˙z istniej ˛a takie moduły X oraz Y w C , ˙ze rad∞_A(X,Y ) 6= 0. Wówczas, z Lema-tu 6.9(i ) wnosimy istnienie niesko´nczonej drogi

X= X0 X1 X2 · · · Xs−1 Xs · · ·

f1 f2 fs

homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz takich homomorfizmów gs ∈ rad∞_A(Xs, Y), s ≥ 1, ˙ze gsfs. . . f1 6= 0 dla wszystkich s ≥ 1.

Ponadto dla ka˙zdego s ≥ 1 moduł Xs nale˙zy doC . Poniewa˙z rad EndA(M ) jest nilpotentny,

a fi ∈ radA(Xi−1, Xi), dla wszystkich i ≥ 1, to istnieje liczba całkowita s0≥ 1, dla której moduły Xs, gdzie s ≥ s0, nale˙z ˛a do Γ. Poniewa˙z rad∞_A(Xs0, Y) 6= 0, wi˛ec z Lematu 6.9 (i i ) wnosimy istnienie niesko ´nczonej drogi

· · · Yt Yt−1 · · · Y2 Y1 Y0= Y

ht h2 h1

homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz takich homomorfizmów ut ∈ rad∞_A(Xs0, Yt), t ≥ 1, ˙ze h1. . . htut 6= 0 dla wszystkich t ≥ 1. Ponadto dla ka˙zdego t ≥ 1 moduł Yt nale˙zy do C . Podobnie jak wcze´sniej wnosimy,

˙ze dla pewnej liczby całkowitej t0 ≥ 1 wszystkie moduły Yt, gdzie t ≥ t0, nale˙z ˛a do Γ.

Z naszego wyboru Γ, moduły Xs0 i Yt0 maj ˛a stabiln ˛a quasi-długo´s´c wi˛eksz ˛a ni˙z m + r . Wówczas, z Lematu 6.8, istnieje niezerowy homomorfizm v ∈ radA(Yt0, Xt0). Podsumowuj ˛ac, wykazali´smy istnienie niesko ´nczonego krótkiego cyklu w mod A postaci

Xs0 Yt0 Xs0,

u v

gdzie u = ut0, a Xs0 i Yt0 nale˙z ˛a do C , sprzeczno´s´c. Zatem quasi-rura C jest uogólnion ˛a

Lemat 6.11. Niech A b˛edzie algebr ˛a, aC quasi-rur ˛a wΓA. Załó˙zmy, ˙ze istniej ˛a nierozkładalne

moduły X , Y i M w mod A takie, ˙ze rad∞_A(X,M ) 6= 0, rad∞_A(M ,Y ) 6= 0 oraz X i Y le˙z ˛a wC .

Wówczas istnieje taki niesko ´nczony krótki cykl N→ M → N w mod A, ˙ze N nale˙zy do C .

Dow ´od. Poniewa˙z rad∞_A(X,M ) 6= 0, wi˛ec z Lematu 6.9 (i ) wnosimy, i˙z istnieje niesko´nczona droga

Θ : X = X0 X1 X2 · · · Xs−1 Xs · · ·

f1 f2 fs

homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz takie homomorfizmy gs ∈ rad∞_A(Xs, M), s ≥ 1, ˙ze gsfs. . . f1 6= 0 dla dowolnego s ≥ 1. Przypu´s´cmy, ˙ze istnieje sko ´nczona rodzina{Zi}i∈I modułów nierozkładalnych wC , które s ˛a izomorficzne z niesko ´nczon ˛a ilo´sci ˛a modułów z rodziny{Xs}s≥0. Niech Z b˛edzie sum ˛a prost ˛a wszystkich modułów z rodziny{Zi}i∈I. Wówczas Z jest modułem w mod A, a st ˛ad EndA(Z )

jest algebr ˛a artinowsk ˛a nad k . Poniewa˙z dla wszystkich s ≥ 1 mamy fs ∈ radA(Xs−1, Xs),

to dostajemy dowolnie du˙ze, niezerowe zło˙zenie homomorfizmów z rad EndA(Z ), a st ˛ad,

poniewa˙z rad EndA(Z ) jest nilpotentny, sprzeczno´s´c. Co wi˛ecej, poniewa˙z rad∞_A(M ,Y ) 6= 0,

to stosuj ˛ac Lemat 6.9(i i ), wnosimy, ˙ze istnieje niesko´nczona droga

Σ : · · · Yt Yt−1 · · · Y2 Y1 Y0= Y

ht h2 h1

homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami w mod A oraz takie homomorfizmy ut ∈ rad∞_A(M ,Yt), t ≥ 1, ˙ze h1. . . htut 6= 0 dla dowolnego t ≥ 1.

Podob-nie jak wy˙zej wnosimy, i˙z Podob-nie istPodob-nieje sko ´nczona rodzina{Zi}i∈I modułów nierozkładalnych zC , o tej własno´sci, ˙ze moduły Zi s ˛a izomorficzne z niesko ´nczenie wieloma modułami z

ro-dziny{Yt}t≥0. Wobec tego drogaΘ przecina drog˛e Σ.

Niech N b˛edzie modułem w cz˛e´sci wspólnej drógΘ oraz Σ. Wówczas istniej ˛a takie s ≥ 0 oraz t ≥ 0, ˙ze Xs = N = Yt, a wi˛ec otrzymujemy niesko ´nczony krótki cykl

N gs M ut N .

ƒ Przypomnijmy, ˙ze przez zewn˛etrzn ˛a krótk ˛a drog˛e w mod A, w stosunku do rodzinyΓ

skła-dowych kołczanuΓA, nazywamy ci ˛ag niezerowych nieizomorfizmów X → Y → Z pomi˛edzy

nierozkładalnymi modułami, gdzie X oraz Z nale˙z ˛a doΓ, ale Y nie nale˙zy do rodziny Γ [46].

Lemat 6.12. Niech A b˛edzie algebr ˛a, aC oraz C0 _{dwiema ró˙znymi rurami promieniowymi}

w ΓA maj ˛acymi niesko ´nczenie wiele modułów z wspólnymi składnikami kompozycyjnymi

oraz składaj ˛acymi si˛e z modułów, które nie le˙z ˛a na niesko ´nczonych krótkich cyklach. Wówczas

Dow ´od. Załó˙zmy, ˙ze istnieje zewn˛etrzna krótka droga M → L → M0_{, gdzie M nale˙zy do} C , M0 _{nale˙zy do C}0_{, a L nie nale˙zy ani doC ani do C}0_{. Najpierw poka˙zemy, ˙ze istnieje} zewn˛etrzna krótka droga M→ L → N , gdzie N jest modułem w C . Z Lematu 6.9 (i) wynika, i˙z istnieje niesko ´nczona droga

Θ : · · · Xs Xs−1 · · · X2 X1 X0= M0

hs h2 h1

homomorfizmów nieprzywiedlnych pomi˛edzy nierozkładalnymi modułami zC0 _{oraz takie} homomorfizmy us ∈ rad∞_A(L,Xs), s ≥ 1, ˙ze h1. . . hsus 6= 0, dla s ≥ 1. Załó˙zmy, ˙ze istnieje sko

´n-czona rodzina{Zi}i∈I modułów nierozkładalnych wC0, które s ˛a izomorficzne z niesko ´ ncze-nie wieloma modułami z rodziny{Xs}s≥1. Niech Z b˛edzie sum ˛a prost ˛a wszystkich modułów rodziny{Zi}i∈I. Wówczas Z jest A-modułem, a st ˛ad EndA(Z ) jest algebr ˛a artinowsk ˛a nad k .

Poniewa˙z dla s ≥ 1 mamy hs ∈ radA(Xs, Xs−1), wi˛ec otrzymujemy dowolnie du˙ze, niezerowe

zło˙zenie homomorfizmów z rad EndA(Z ), a st ˛ad sprzeczno´s´c z nilpotentno´sci ˛a radEndA(Z ).

Wobec tego drogaΘ przecina ka˙zdy promie´n w C0_{przynajmniej raz. Co wi˛ecej, z zało˙zenia} wynika, ˙ze istnieje wC0_{promie ´n, który zawiera niesko ´nczenie wiele modułów N}0_{takich, ˙ze} [N ] = [N0_{] dla modułu N w C . Wykorzystuj ˛ac fakt, ˙ze homomorfizmy nieprzywiedlne} le-˙z ˛ace na promieniach rury promieniowejC0 _{s ˛a monomorfizmami, stwierdzamy, ˙ze istnieje} zewn˛etrzna krótka droga M→ L → M0_{, gdzie M jest wC , M}0_{jest wC}0_{, a L ani wC ani w C}0 oraz istnieje moduł N wC taki, ˙ze [M0_{] = [N ].}

Poniewa˙z[M0_{] = [N ], stosuj ˛ac Stwierdzenie 3.1, otrzymujemy równo´s´c}

| HomA(L,N )| − |HomA(N ,τAL)| = |HomA(L,M0)| − |HomA(M0,τAL)|.

Je´sli HomA(M0,τAL) 6= 0, to z [50, Theorem 1.6], otrzymujemy, ˙ze M0jest ´srodkiem krótkiego

ła ´ncucha, wi˛ec le˙zy na krótkim cyklu M0 _{→ E → M}0_{, gdzie E jest nierozkładalnym} składni-kiem prostym ´srodka ci ˛agu prawie rozszczepialnego o lewym ko ´ncu L. Zatem E nie nale˙zy doC0_{. Wobec tego cykl jest niesko ´nczony, co przeczy zało˙zeniu. St ˛ad Hom}

A(M0,τAL) = 0,

wi˛ec HomA(L,N ) 6= 0. Otrzymujemy zatem zewn˛etrzna krótk ˛a drog˛e M → L → N , gdzie M

i N nale˙z ˛a doC . Wówczas zarówno rad∞_A(M , L) 6= 0 jak i rad∞_A(L,N ) 6= 0, a st ˛ad, stosuj ˛ac Le-mat 6.11, wnosimy, ˙ze istnieje niesko ´nczony krótki cykl X→ L → X w mod A, gdzie X nale˙zy

doC , sprzeczno´s´c z zało˙zeniem o składowej C . ƒ

Lemat 6.13. Niech A b˛edzie algebr ˛a,Λ = A/I algebr ˛a ilorazow ˛a algebry A, aT stabiln ˛a rur ˛a

wΓΛ. Załó˙zmy, ˙ze moduły z ruryT nale˙z ˛a do stabilnej ruryC kołczanu ΓA. WówczasC = T .

Dow ´od. W celu wykazania równo´sciC = T wystarczy pokaza´c, ˙ze ka˙zdy moduł M nale˙z ˛ a-cy doC jest Λ-modułem. Poniewa˙z T ⊆ C oraz stabilna rura T składa si˛e z niesko ´nczenie wieluΛ-modułów, wówczas dla ka˙zdego A-modułu M w C istniej ˛aA-modułowy monomor-fizm f : M→ N , gdzie N jest modułem le˙z ˛acym na promieniu ruryC zawieraj ˛acym M , oraz