DYNAMICZNY MODEL GWIAZDY TYPU 5 CEPH EI

ATMOc$EPbi nyiibcwpyiomMx 3BE3fl

5. DYNAMICZNY MODEL GWIAZDY TYPU 5 CEPH EI

W poprzednim rozdziale omówiliśmy numeryczne próby zbudowania atmosfe ry gwiazdy pulsującej, którą przemiatają okresowo silne fale uderzeniowe. Były to próby dość uproszczone, oparte o pryijiitywne modele atmosfer. Obecnie, pozornie, sytuacja je st diametralnie różna. Znacznie się posunęła naprzód nasza wiedza o atmosferach gwiazd, mamy do dyspozycji duże maszyny liczące i wiele sprawdzonych schematów rachunkowych pozwalających na otrzymywanie wyrafinowanych modeli. Niestety, wciąż brak odpowiednich metod liczenia ewolucji w czasie nieciągłości typu frontu uderzeniowego. Wszystkie dotych czasowe schematy rachunkowe zabezpieczają się przed przekształceniem się fali dźwiękowej w nieciągłość poprzez wprowadzenie sztucznej lepkości roz mywającej falę uderzeniową. Taka procedura w zupełności wystarcza przy badaniu pulsacji głębszych warstw gwiazdy. Zawodzi jednak zupełnie w atmo sferach takich gwiazd jak W Virginis, czy RR Lyrae. Wiemy, że tam wytwarza j ą się fale uderzeniowe, niekiedy bardzo silne, ze wszystkimi towarzyszącymi im efektami, takimi jak silna dyssypacja energii czy wyświecanie, nie mó\viąc o tym, że fala uderzeniowa przesuwa się — szczególnie w górnych warstwach

210

K. Stępień

atmosfery — z prędkością silnie naddźwiękową względem gazu leżącego przed frontem. A więc w dziedzinie liczenia modeli atmosfer z silnymi falami uderze niowymi nie posunęliśmy s ię zbyt daleko.

Dodatkowym problemem związanym z liczeniem modeli j e s t zagadnienie warunku brzegowego na zewnętrznym ograniczeniu atmosfery. N ajczę ście j przyjmuje s ię warunek, że na brzegu ciśnienie j e s t równe zero, tzn. mamy brzeg swobodny. W efekcie fale uderzeniowe dochodzące do górnego brzegu atmosfery u l e g a ją całkowitemu odbiciu i oddziały wuj ą z kolejnymi falami bieg nącymi od dołu. Wszyscy godzą się na ten warunek, gdyż przyjęcie jak ieg o kolwiek innego, bez rzeczywistego rozeznania warunków istniejących w gór nych warstwach atmosfery, byłoby j e s z c z e bardziej sztuczne.

Przy liczeniu p u lsa c ji nieliniowych gwiazd niezbędne było włączenie do rachunków również atmosfery. Ponieważ jednak głównym celem tych rachunków było zbadanie p u lsa c ji całej otoczki, na atmosferę przeznaczano niewiele warstw w schemacie rachunkowym. W wyniku otrzymywano wprawdzie krzywe bla'sku i krzywe prędkości radialnej, ale trudno było a priori rozstrzygnąć, czy sze re g szczegółów na tych krzywych j e s t realnych, czy też j e s t wynikiem zbyt grubego przybliżenia atmosfery.

Ostatnio wykonano parę prac, w których dokładniej policzono dynamiczne modele atmosfer pulsujących. Ze względu na wspomniane powyżej trudności z traktowaniem fal uderzeniowych autorzy ograniczyli s ię do zbadania atmosfer gwiazd typu 6 Cephei, w których — jak wiemy — nie p o w s ta ją fale uderzeniowe. Zreferujemy tu dwie prace K e l l e r a i M u t s c h l e c n e r a (1970, 1971). Ko rz y stając z modeli cefeid otrzymanych przez C o x a i in. (1967) autorzy od rzucili kilka najwyższych warstw z tych modeli, a zamiast tego tę s a m ą masę podzielili na paręd zie siąt cieńszych warstw. Policzyli następnie p u lsacje tych warstw przy założeniu, że strumień promieniowania i prędkość zmieniają się na dolnej granicy rozpatrywanego obszaru tak, jak w modelach C o x a i in. (1967). P o z a podziałem na w ię k sz ą ilo ść warstw a u t o r ^ uwzględnili j e s z c z e jeden efekt: otóż w modelach pulsacyjnych nie rozwiązywano równania transferu \y zewnętrznych warstwach, ograniczając s i ę w szędzie do przybliżenia dyfu zyjnego:

Autorzy rozw iązu ją dla warstw optycznie cienkich równanie transferu:

- - - i A

h

< V H ) = / V (0, M) e “ + /

B v [T(t)]

» " ,

A t m o s f e r y g w i a z d p u l s u j ą c y c h 241

gdzie Ty j e s t grubością, o p t y c z n ą danej warstwy, /(O, |j) — nat ężeni em pa da j ą cym na dolne ogr aniczenie warstwy pod kierunkiem 0 takim, że c os 0 = u,

Bv (T) j e s t funkcj ą P l a n ck a , a / y ( t u , |i) na t ężeni em wychodzącym z warstwy

w kierunku p. W warst wach grubych optycznie ■ autorzy s t osowal i przybliżenie

dyfuzyjne. Warunki na dolnym ogr ani c zeni u badanego obs z a r u omówiliśmy po

przednio, a na górnym autorzy przyjęli / (O, —^) = 0, P = 0, Model w równowa

dze, z którego autorzy korzyst al i miał n a st ę p u j ą c e parametry: ma s ę M = 7 Mo ,

promień R = 80,4 RQ, T e = 5350°K i skł ad chemiczny odpowiadający I populacji.

Okr e s p u l s a c j i własnych modelu wynosił 11,5 dnia.

W t r akci e obl i czeń stało -się j a s n e , że nietiywialny j e s t problem wyboru dolnego o gr a n i c z e n i a badanego o b s za r u . Po c z ą t k o wo do rachunków włączono 1 , 1 9 ' 10's masy gwiazdy. Oka zał o s i ę jedna k, że dolna granica była zbyt blisko strefy j oni z acj i wodoru i w efekcie nie można było o s i ą g n ą ć dobrej powtarzal ności p u l s a c j i . Dopiero wybór dolnej granicy, pośrodku pomiędzy s t r e f ą j o n i zac j i wodoru i strefą, drugiej j on i za c j i helu, dał dobre wyniki. Badany o b s z a r zawierał wówczas 2,11* 10 5 masy gwiazdy.

Przy ws z ys t k i c h p owyżs zych zał oż e ni ac h autorzy pol i c z yl i dwie grupy modeli. W jednej st osowal i na współczynnik a bsorpcji ś re dn i ą R o s s e l a n d a po l i c z o n ą dla całego pr ze d z i ał u widmowego, n at omi a st w drugiej prz e dz i a ł od

2105 A do m podzi el i l i na 10 podpr zedz i ał ów i średnie R os s e l a nd a liczyl i dla

każdego z nich z osobna. St osuj ąc oryginalną, nomenklaturę autorów możemy

usz er e gować modele pu l sa c y j n e

według st opni a ich komplikacji

w n as t ępuj ąc y sposób: modele a n a l o g i cz n e do modeli Coxa i innych — o małej i l o ś c i warstw z przybl i żeniem dyfuzyjnym transferu pro mieniowania — nazwane BK7, mo dele z drobnym podziałem, ale s z a re (CB1) or az modele z drobnym

podziałem, al e uwz gl ędni aj ą c e

zmiany współ czynni ka a b s o r pc j i

z długością, fali (CMI).

Porównajmy najpierw modele

BK7 i CB1. Krzywe bl asku otrzy mane z obydwu modeli s ą bardzo podobne w k s z t a ł c i e i charaktery stycznej asymetrii (rys. 5). Różni ą s i e one jednak w wyglądzie wielu

sz c z e gó łó w drugiego rzędu, takich jak garby, d e p r es j e itp. Większość z ty ch garbów może być po wi ą z a n a z pr z ej ści em strefy j on i z a c j i wodoru z jednej war stwy do drugiej. Strefa j oni z acj i prawie z a w s z e j e s t n a tyle ci enka , że mi e ś c i R y s . 5. T e o r e t y c z n e k r z y w e b l a s k u o t r z y m a n e z m o d e l u BK7 i CB1 p r z e z K e l l e r a i M u t-

242

K. Stępień

s i e w jednej warstwie. To oznacza w praktyce, że dana warstwa j e s t albo zjonizowana, albo niezjonizowana i p rzejście od jednego stanu do drugie go j e s t niemal skokowe. Gdy więc gwiazda zaczyna ekspandować (co ma miej s c e tuż przed maksimum jasn o ści) front jonizacyjny cofa się względem danego punktu masowego, o jedną strefę w głąb. Oznacza to, że warstwy leżące ponad nią otrzymują nagle dodatkowy strumień energii, pochodzący z rekombinacji. Stąd krótkotrwałe pojaśnienie — pierwszy garb w maksimum. Za chwilę front jonizacyjny opuszcza n astępn ą warstwę i znów warstwy wyższe otrzymują ekstra strumień energii — stą d drugi garb. O czywiście, im głębiej wędruje strefa jo nizacji wodoru, tym mniejsze zafalowania krzywej blasku. Przy drob niejszym podziale na warstwy efekt ten powinien zaniknąć. Podobne garby, też wynikające ze skończonej (tym razem nawet dużo większej) grubości warstw, można zobaczyć na krzywej blasku modelu BK7.

Z rysunku widzimy, że nieco gorsza zgodność między obydwiema krzy wymi panuje w okolicy minimum ja s n o ś c i. Poza tym amplituda krzywej modelu CB1 j e s t nieco za duża, a asymetria za silna, l a k siln ą asymetrię krzywej blasku m ają cefeidy o okresach o połowę krótszych. J a s n o ś ć cefeid z okresami rzędu 11—12 dnia rośnie od minimum do maksimum przez ok. 0 ,4 okresu. Wydaje s i ę , że te kłopoty wynikają z wciąż j e s z c z e zbyt grubego podziału atmosfery na warstwy Ponadto model w równowadze może mieć zbyt dużą masę. Ta c z ę ś ć krzywej wymaga je s z c z e staranniejszego zbadania.

Krzywe prędkości radialnej obydwu porównywanych modeli s ą również podobne do siebie. P rzesu nięcie fazowe między krzywą prędkości radialnej i krzywą blasku j e s t takie jak obserwowane. Badania zachowania s i ę pręd kości w kolejnych warstwach w skazują, że w atmosferze na ogół nie występują znaczne gradienty prędkości z wyjątkiem niewielkiego obszaru związanego z chwilowym położeniem strefy częściowej jo n izacji wodoru, gdzie występuje skok prędkości.

Autorzy porównują następnie szary model C B 1 z modelem CMI różniącym s i ę od CB1 tylko tym, że średnie Hosselanda dla współczynnika absorpcji liczone były w nim niezależnie dla dziesięciu przedziałów c zę sto ści. T a komplikacja znacznie przedłużyła c z a s liczenia — jeden okres modelu CMI liczony był przez 12 godzin na komputerze CDC 6600. Dlatego prowadzono obliczenia tylko przez 1,2 okresu, pod c zas gdy p u lsacje modelu CB1 konty nuowano przez kilk anaście okresów. Na rys. 6 pokazane s ą krzywe blasku modeli CB1 i CMI. Ogólna zgodność j e s t dobra, chociaż krzywa CMI wykazuje więcej zafalowań niż CB1. Autorzy tłumaczą to przejściem danej kolejnej war stwy z traktowania problemu transferu poprzez przybliżenie dyfuzyjne (duża grubość optyczna) do rozwiązywania równania transferu (mała grubość optyczna) i na odwrót. Dla modelu CB1 s ą tylko dwa takie p rz e jśc ia , a dla modelu CMI w każdym z 10 obszarów widmowych p rz e jśc ie j e s t niezależne i w konsekwen cji j e s t ich wiele dla danej warstwy.

Atmosfery gwiazd pulsujących 243

Rys. przez

Autorzy postanow ili ró w n ie ż porównać wyniki otrzymane z m odeli dyna micznych z wynikami dla m odeli statycznych liczonych przy chwilowej war to śc i Tg i g e ff. Modele statyczne, lic zo n e były programem Stroma i Kurucza. Strumień liczony był w 39 punktach w p rzedziale widmowym 1098 — 65 643 A. Z modeli w yłączone zostały efekty konw ekcji. D ane o Tg i g e jj otrzymane były z modelu CMI poprzez równania:

Te

d 2r G M d 2r

e' »

-R ysunek 7 pokazuje w yliczone dla każdej fazy w artości loggeff, logg i Tg. O p ró cz wielu innych szc zeg ó łów krzywe przyśp ie szenia grawitacyjnego poka

z u ją w yraźnie efekt znany ju ż od dawna z obserw acji, ze zmiany g ejj wynika ją c e że zmiany — - s ą zna c zn ie w iększe n iż w ynikające ze zmiany g . Z po-

równania za le żn o śc i m iędzy temperaturą i ciśnie niem , otrzymanej z modeli C B 1, CMI i paru modeli statycznych dla fazy 0,57, autorzy w y c iąg a ją w niosek,

J --- 1--- 1___ I___i I i I__

0 ,2 ,4 ,6 ,8 1,0

F AZ A

6. Porównanie teoretycznych krzywych blasku otrzymanych z modeli CMI i CB1 K e l l e r a i M u t s c h l e c n e r a (1970). L iczby w zdłuż krzywej wskazują, fazy,

w których autorzy p o liczy li modele statyczne 15

244 K. Stępieii ?,0 1,8 «n

8 1,6

1.2 6800

2

5400 5000 <1600 - ,2 O ,2 A Jo A FA7 A

Rys. 7. Zmiany przyśpieszenia grawitacyjnego i temperatury efektywnej otrzymane z modelu CM 1

że o ile model CB1 nie zgadza się zupełnie z modelami statycznymi, o tyle CMI daje zależność między T i P bardzo podobną do tej, jaka istnieje dla modelu statycznego o tej samej temperaturze efektywnej, ale o nieco więk szej wartości przyśpieszenia efektywnego. Autorzy nie są w stanie wskazać czynnika powodującego te różnice w ge^ i wskazują na kilka możliwych po wodów. Na zakończenie dyskusji autorzy porównują zależność między B- V i Te dla cefeid. O ke ze swych prac spektrofotometrycznych znalazł tę za leżność dla dwu gwiazd: 8 Cep i r| Aql. Autorzy wyznaczyli strumień promie niowania w obydwu kolorach emitowany przez model CMI i modele statyczne w oparciu o kalibrację Johnsona. Niestety, zależności znalezione w ten sposób różniły się dość znacznie od obserwowanych. Gdy jednak autorzy uwzględnili w liczeniu otoczek statycznych blanketing effect otrzymali inną zależność, będącą w znacznie lepszej zgodności z obserwacjami.

Podsumowując omówione w artykule prace należy stwierdzić, że w zakresie teoretycznej interpretacji obserwacji, jak i budowy modeli dynamicznych atmo sfer gwiazd pulsujących jest jeszcze dużo do zrobienia. Znamy wiele gwiazd, które wydają się mieć podobne (jeżeli nie identyczne) parametry fizyczne opisujące je, a jednak ich krzywe blasku różnią się w istotny sposób. Co

Atmosfery gw iazd p u lsu jący th 245

w ięcej, istn ieją gwiazdy, takie jak c z ę ś ć gwiazd typu HR Lyrae, które w różny sposób zachowują, się z okresu na ok res, mimo że ich wnętrza nie ulegają w tej skali żadnym zmianom. Nie wykorzystujemy zupełnie, lub tylko w mini malnym stopniu, takich parametrów obserwacyjnych jak k ształt krzywej blasku, je j amplituda, czy asymetria dla wyznaczenia warunków panujących w naj

bardziej zewnętrznych warstwach gwiazd. Nie rozumiemy, jak to j e s t możliwe, że gwiazda mająca drugi, długi okres zmian inaczej pulsuje w jedn ej, a inaczej w drugiej fazie okresu. Nie znamy żadnego schematu numerycznego, pozwala ją c e g o na liczenie modeli atmosfer z przebiegającymi j ą frontami uderzenio wymi traktowanymi ja k nie ciągło śc i. Sporadycznie ukazujące s ię prace na temat atmosfer gwiazd pulsujących w y jaśn iają wprawdzie niekiedy aspekty zagadnienia, ale daleko im do całkowitego wyjaśnienia zjawisk zachodzących w tych atmosferach. L I T E R A T U R A A b t, H .A ., 1 9 5 4 , A p. J . S u p p l., 1, 6 3 . C o x , J . P . , E i l e r s , D.D ., K i n g , D .S., 1967, A .J ., 74, 294. G o r d o n , K ., K r o n , G .E ., 1949, A p .J., 109, 177. K e l l e r , C .F ., M u t s c h l e c n e r , J . P . , 1970, A p .J., 161, 217. K e l l e r , C .F ., M u t s c h l e c n e r , J . P . , 1971, preprint. L a u t ma n , D .A ., 1957, A p .J., 126, 537. O k e , J .B ., 1961, A p .J., 134, 214. O k e , J . B . , G i v e r , L .P ., S e a r l e , L ., 1962, A p .J., 136, 393. P r e s t o n , G.W., P a c z y ń s k i , B ., 1964, A p .J., 140, 181. P r e s t o n , G.W., S m a k , J . , P a c z y ń s k i , B ., 1965, A p .J.S u p p l., 12, 99. S c h w a r z s c h i l d , M., 1938, Harv. C ite ., 431. S t r o m , S .E ., 1969, A p .J., 156, 177. Wh i t n e y , C ., 1956a, Ann. d’ a p ., 19, 34. Wh i t n e y , C ., 1956b, Ann, d’ ap., 19, 142. 4 — P o s t ę p y a s t r o n o m i i , z . 3

Z PRACOWNI I OBSERWATORIÓW

POSTĘPY ASTRONOMII Tom XIX (1971), Zeszyt 3

O CIŚNIENIU WEWNĄTRZ ROTUJACEJ GWIAZDY M. A. A B R A M O W I C Z

Zakład Astronomii PAN (Warszawa) (Otrzymano dn. 11 stycznia 1971)

S t r e s z c z e n i e — Ciśnienie maleje na zewnątrz w rolującej, relatywistycznej gw ieździe.

0 AABJIEHMM

BHyTPM

BPAIUAIOIHEMCH 3BE3/JH. M. A 6 p a M O B H M . Coflep)KaHKe - ^aaneHMe yMeHbiuaeTCH c p o c t o m paccTOHHMfl o t ueHTpa 3Be3flbi BO B p am a io m e ticfl pejlHTMBMCTCKOfi 3Be3fl&

ON THE PRESSU RE INSIDE A ROTATING STAR. Abstract - The pressure decreases outward inside anyrotating, relativ istic star.

Chcemy w tej notatce dowieść pewnego twierdzenia o monotoniczności ciśnien ia wewnątrz relatyw istycznej, rolującej gwiazdy. W barotropowym przypadku monotonicz- ność ciśnienia jest równoważna m onotoniczności gęstości. Monotoniczność gęstości była podstawową, przesłanką w pracach dotyczących ograniczeń na redshift w widmie promieniowania statycznych, centralnie symetrycznych gwiazd. Dalej będziemy nazy w ali ro lu jącą gw iazdą obiekt o własnościach:

(i). Jego {fole grawitacyjne ma euklidesową topologię i jest asymptotycznie płaskie w dużych odległościach od obszaru, w którym znajduje się materia (,,w nieskończoności0 ).

(ii). Pole grawitacyjne jest stacjonarne, tzn. istn ie je pole wektora K illin ga r|‘ , któiy ma otwarte trajektorie i jest jednostkowym wektorem czasowym w nieskończo ności.

(iii). Pole grawitacyjne jest także osiowo symetryczne, tzn. istnieje pole wektora K llin g a ę‘, który jest typu przestrzennego. Jego trajektorie s ą zamkniętymi krzywymi, które w nieskończoności przechodzą w koła o obwodzie 2tt (ęę)1/ 2*

(iv). Materia, z której zbudowapa jest rotująca gwiazda jest hydrodynamicznie doskonałym, barotropowym £azem, rotującym wokół osi symetrii:

T\. ~ (p + u ‘ uk + p 6^ (1)

P = p(p), (2)

u* = a ii* + p ę ‘, (3)

gdzie u ' je st czterowektorem prędkości, a [5 oraz a pewnymi skalarnymi funkcjami. (v) Powierzchnie o równaniu (ur|)/a = const, oraz powierzchnie o równaniu p = = const, m ają w każdej ustalonej chw ili czasu t (na przestrzennej, momentalnie stacjonarnej hiperpowierzchni, która może byó zdefiniow ana niezm ienniczo — np. B a r d e e n 1971) topologię sfer.

248 Z pracowni i obserwatoriów

Założenie (v) w newtonowskiej granicy odpowiada warunkowi, aby powierzchnie jednakowego potencjału siły cieżenia oraz powierzchnie jednakowego cienienia miały topologię sfer. Osłabia to oczywiście ogólność wyprowadzonych n iże j twierdzeń. Istnieje jednak ważne powody, przemawiające za tym ograniczeniem. Jednym z nich je s t nadzieja na zastosowanie udowodnionego w tej notatce twierdzenia do badania ograniczeń na redshift w widmie promieniowania rotującej gw iazdy. Można mieć uzasadnione obawy, że dostatecznie niezwykłe konfiguracje, podobne do dysku B a r d e e n a i W a g o n e r a (1969), zawsze m ają nieskończony redshift w widmie. Obawy te w ią ż ą się z usytuowaniem w przestrzeni Kerra horyzontu i powierzchni nieskończonego redshiftu ( Ke r r 1965). W konfiguracjach takich założenie (v) nie jest spełnione.

Różniczkow o rotujące białe karły O s t r i k f e r a (1968) sp ełn iają założenie (v). Będziemy używ ali oznaczenia d& na pochodną cząstkow ą, V fc na pochodną ko- w ariantną, <£ na pochodną Liego, LXY) na iloczyn skalarny wektorów X i Y, Małe w skaźniki łacińskie (prócz wskaźnika t) przebiegają liczby 0, 1, 2, 3, małe wskaż* n ik i łacińskie przebiegają liczby 1, 2. W używanym przez nas układzie jednostek:

c = 8 ir k - 1, (4)

gdzie c jest prędkością św iatła, a k s ta łą grawitacji. T h o r n e (1969) pokazuje, że:

«Cęn o . (5)

Łatw o dowieść, że je ż e li spełniony je st warunek (5), to

-ydi (nn) = n4 n».

(6)

=

V * = n i

-Zdefiniujemy teraz następujące wielkości skalarne:

(8)

(U T) )

Q jest prędkością kątow ą rotacji, która nie musi być stała w całej gw ieździe. Z równania (3) oraz:

( u u ) = -1 (10)

łatw o policzyć, że:

Z pracowni i obserwatoriów 249

Na osi obrotu jest:

( R ) = 0, (12)

skąd, ponieważ:

| ( S n ) | < l € S ) | | ( n n ) | = o (13)

wynika, że:

(ę n )= o. (14)

Równanie (3) może być zapisane przy użyciu symbolu kl na jednostkowy wektor w kierunku & , w postaci:

u* = an* + P (§5)1/2 k*. (15)

Na osi obrotu r|‘ jest więc wektorem czasowym, czyli:

(nn) < 0- (16)

Z równań (11), (14) i (16) wynika, że na osi obrotu:

(-£/) > 0. (17)

Sformułujemy teraz bez dowodu następujący lemat:

Powierzchnie Q - const., I - const., (£§) = const., (£r|) = const, mają topologię walców, jeżeli nie są identyczne z osią obrotu . (§§) = 0.

Z lematu tego wynika, że:

d k <2 = dk g ę ) = dk (§n )= o (is)

na osi obrotu. Istotnie, udowodnijmy np. równość O k fr| 5) = 0. Na osi obrotu jest (r|£) = 0, a zgodnie z wyżej sformułowanym lematem istnieje taki walec obejmujący oś obrotu, w którym funkcja (r|£) nie zmienia znaku. Istnieje więc dla każdego punktu 3ca na osi obrotu takie jego otoczenie V, że dla każdego y a e V:

<Sn> a < <£n) _ (19)

* “ y

albo, że dla każdego ya e V zachodzi:

(Sn) >(gn) „• (20)

ifl ya

W obu tych przypadkach mamy z definicji ekstremum: djfc (5*1) =

0-Przystępujemy obecnie do dowodu następującego twierdzenia:

W każdej ustalonej chwili ciśnienie wewnątrz rotującej gwiazdy osiąga na osi obrotu dokładnie jedno ekstremum — maksimum. Aby uniknąć nieporozumień podkreśli

my, że nie chodzi tu o ekstremum funkcji p(z), gdzie z jest parametrem na osi obrotu, lecz o ekstremum funkcji p[x, y, z) wszystkich zmiennych przestrzennych.

2 5 0 Z pracow n i i ob serw atoriów

Z auw ażm y, ż e przy dow odzie teg o tw ie rd z e n ia nie m ożna u ży w ać n atu raln ie n a rz u c a ją c e g o s ię układu o d n ie s ie n ia , w którym :

(2I>

a w sz y stk ie sk ła d o w e ten so ra m etry czn ego n ie z a l e ż ą od t o ra z if , p on iew aż w tym u k ła d z ie w y zn aczn ik t e n so r a m etry czn ego j e s t p roporcjon aln y do w y raż en ia :

(nś)2 -(n n ) (55) <22)

i zn ik a na o s i ob rotu. W ielkości (r|r)), (r| £ ) , (£ £ ) o raz r e la c je (21) są , n iezm ien n icze w zględem tran sfo rm a cji * :

<f= +,

= r , (23)

yB = yB (*1, *2),

n ie m ożna w ięc m ieć n a d z ie i, ż e tra n sfo rm a c je typu (2 3 ) m o g ą u su n ą ć n ied o g o d r i ś ć teg o u k ładu n a o s i r o t a c ji. D a le j będziem y p o słu g iw a li s i ę w ięc układem w sp ó łrzęd n y ch , w którym sp e łn io n a j e s t jed y n ie p ie r w sz a z ró w n ości (21), a w sz y stk ie sk ład o w e te n sd r a m etry czn ego n ie z a l e ż ą od t. O dpow iedni w ybór w sp ółrzęd n y ch x a g w aran tu je, ż e w y zn aczn ik te n so r a m etry czn ego n ie zn ik a n a o s i obrotu. Z ałoży m y , ż e d ok on aliśm y t a k ie g o wyboru.

T o ż sa m o ść R ic c i:

V [ * v ę , = (24)

d a je s i ę p r z e k s z ta łc ić z w y k orzy stan iem sy m etrii te n so r a R iem anna i te n so r a K illin g a V k t; i do p o s t a c i ( F i s e n h a r t 1961):

a po zw ężen iu we w sk aź n ik ach i, k:

(25)

* Można pokazać, że w ielkości te transformują, s ię liniowo jak składowe 2 X 2 tensora przy bardziej ogólnych transformacjach:

t - F j ( * 1, x2) + A x *> + A2 T ,

<f - f2 ( * i , * 2 ) + -43 ł> + /»4 r ,

y B . y B *2)^

dla dowolnych stałych Ai oraz dowolnych, dostatecznie w iele razy 16żniczlcowalnych funkcji

F , y B ( B o y e r 1966).

Z pracowni i obserwatoriów 251

Pomnożymy teraz równania pola E insteina:

« ' * = Tlu - ± T l ‘i (27)

przez u,- r|fc. Wykorzystując równania (2) i (3) łatwo pokażemy, że prawa strona równa n ia (27) staje się po tej operacji równa:

" j ( « n ) <3p + p ) , (28)

natomiast lewa strona:

n* + P rffc n* = «n‘ v, v* n i + Pn* ^ 7 ^ *

-= a V ; (n* v k t f ) + p v j ( r f V j ę ‘ ) - (v* nM (Vi n * ) - ( V * ę ‘ ) (7i n fc) . (29) Wykorzystując fakt, że <£ ę *1 - 0, zapiszemy to w postaci:

- f V i t f ' d . M -f-V( U ‘3,(n§)] + a’(2).* (30)

gdzie A'^

2

) oznacza pewną jednorodną formę kwadratową w ielkości

d

j (~U), d^ Q ,

^ k (nn). d k (n9- się przekonaó, że:

A '(2) = “( V ^ V X V j Tifc)-(V*

V)VJi

Tl*) (31) najłatw iej obliczyć wartość prawej strony tej skalarnej równości w konkretnym układzie odniesienia (np. w układzie opisywcmym przez (21), gdzie jest (t|T)) = gt t , (r|§) = g<ft, (ęę) = Dalsze rachunki pokazują, że równanie (27) po opisanej wyżej operacji daje ostatecznie:

g is

dt ds

_{(-(/) - *‘ * (11}

0 dt ds

Q + A (1) + A (2) = (-(/) (3p + p ) , (32) gdzie A i A . . s ą jednoirodnymi formami (lin io w ą i kwadratową) tych samych argumen

tów, co forma A '^) ■ Zapiszemy teraz równanie (32) na osi obrotu. Z równań (12\ (14) i (18) wynika, że:

di ds

_{(-{/) +}

n(1)

n(2)

= (-£/) (3p + p), (33) gdzie n u , i n (2) są jednorodnymi formami d ^ (-U). Zauważmy, że zgodnie ze wzorem (17) prawa strona tego równania:

(-{/) (3 p + p) > 0. (34)

252 Z pracowni i obserwatoriów

g i s di d s (-{/) = g a P d a d p (- t/X (35) gdzie g a P je st formą określona dodatnio. Je ż e li funkcja (-{/) osiąga maksimum w pew nym punkcie osi obrotu, to oczywiście:

^ (

) = ^ (

) =

0 oraz, ponieważ forma je s t określona dodatnio:

g a P d a d ?> (- t/)< 0 , (37)

co je s t sprzeczne z (34). Funkcja (-[/) nie osiąga zatem maksimum na osi obrotu. Ponieważ założenie topologicznej odpowiedniości pomiędzy powierzchniami (-£/) = = const, i sferami wyklucza m ożliwość istn ie nia punktu siodłowego funkcji (-£/), a łatwo w idzieć, że musi istn ie ć na osi obrotu taki punkt, w którym d i (-{/)- 0 widzimy, że funkcja (-{/) osiąga co najmniej jedno minimum na osi obrotu. A naliza przypuszcze n ia , że (-U) ma więcej n iż jedno minimum lub jest stała na o s i obrotu prow adzi do

sprzeczności — zatem

funkcja (-{/) ma dokładnie jedno minimum na osi obrotu (38) Relatywistyczne równania ruchu V ^ T\~ 0 można zapisać w postaci:

1 di (-U) l 1 1

- --- + --- d i i 2 --- d i (I Q ) = (p + p) 1 d i p . (39) 2 (-[/) 1 + / Q 2 1 + / Q

Zgodnie z równaniami (12), (14), (9) i (8) daje to na osi obrotu: 1 da (-{/)

(-(/)

^{(p + p) 1 d a p} ⁽⁴⁰⁾

Zgodnie ze wzorami (17) i (40) twierdzim y, że na osi obrotu ciśnienie osiąga ekstrema tam, i tylko tam, gdzie osiąga je funkcja (-{/) oraz ze minimum funkcji (-{/) odpowiada maksimum ciśnienia. (Łatwo pokazać, że założenie (v) wyklucza możliwość punktu siodłowego ciśnienia). To zaś, łączn ie z (38) kończy dowód twierdzenia.

Z udowodnionego twierdzenia wynika następujący wniosek:

Niech p będzie n ajw ię k szą w artością ciśnienia w rotującej gw ieżdzie, a p , p

liczb am i, spe& iającym i nierówność: 1 2

0 < p i < p 2 <pmax (41)

Powierzchnia p - p wewnątrz powierzchni p - p j .

Ilekroć w tej notatce dokonywaliśmy różniczkow ania funkcji skalarnej, wektorowej itp. zakładaliśm y, że jest to wykonalne. Z ałożenia takie nie zawsze jednak s ą koniecz ne — przez odpowiednie przejścia graniczne można było ich uniknąć, nie sądzimy

jednak, aby taka m ożliwość była interesująca i warta szczegółowego opisu.

Dziękuję Dr Markowi D e m i a ń s l d e m u za in sp iru jącą rozmowę na temat tej pracy.

W dokumencie Postępy Astronomii nr 3/1971 (Stron 45-59)