Elementy optymalizacji dynamicznej - horyzont czasowy optymaliza-

Rozwi ˛azywanie problemów optymalizacyjnych w in˙zynierii zło˙zowej nierozerwalnie

zwi ˛azane jest z przyj˛eciem pewnego horyzontu czasowego, w którym nale˙zy poda´c strate-gi˛e zarz ˛adzania zło˙zem. Wzorce okre´slaj ˛ace podział horyzontu czasowego ze wzgl˛edu na znaczenie optymalizacji przedstawione zostały w pracach Ulsteina [220] czy te˙z Fossa [77]. Podstawowy podział horyzontu czasowego ze wzgl˛edu na rozwa˙zany problem optymaliza-cyjny przedstawiony został na rysunku 2.1. Hierarchia problemów optymalizaoptymaliza-cyjnych dzieli si˛e na sterowanie produkcj ˛a, optymalizacj˛e produkcji, zarz ˛adzanie zło˙zem oraz zarz ˛adzanie aktywami. Decyzje podejmowane w horyzoncie czasowym dwóch i wi˛ecej lat mo˙zna zali-czy´c do decyzji strategicznych, skutkuj ˛acych sukcesem lub pora˙zk ˛a realizowanego projektu. W krótszym interwale czasowym wynosz ˛acym kilka miesi˛ecy podejmowane s ˛a decyzje doty-cz ˛ace zarz ˛adzania zło˙zem. Plan zarz ˛adzania mo˙ze zawiera´c optymalizacj˛e lokalizacji nowych odwiertów, wybór interwałów udost˛epnienia czy te˙z sterowanie odwiertami. W przypadku ho-ryzontu czasowego wynosz ˛acego kilka dni problem sprowadza si˛e do optymalizacji w czasie rzeczywistym jak sugeruje w swojej pracy Foss [76]. Zmiennymi decyzyjnymi mog ˛a by´c wy-datki zatłaczania, a maksymalizowane jest najcz˛e´sciej wydobycie ropy. Skracaj ˛ac horyzont czasowy do sekund przechodzimy do koncepcji odwiertów tzw. inteligentnych w których dane wydobywcze s ˛a permanentnie rejestrowane i analizowane. Pozwala to na reaktywne sterowa-nie produkcj ˛a w czasie rzeczywistym w zale˙zno´sci od dynamicznych warunków otworowych, co technicznie mo˙ze by´c realizowane dzi˛eki automatycznym zaworom wgł˛ebnym.

Rysunek 2.1: Hierarchia problemów optymalizacyjnych ze wzgl˛edu na przyj˛ety horyzont czasowy optymalizacji na podstawie prac [77, 220]

Optymalne sterowanie prac ˛a odwiertów udost˛epniaj ˛acych polega na wyznaczeniu ci ˛agłych w czasie funkcji opisuj ˛acych warto´sci wydatków lub ci´snie´n dennych które ekstremizuj ˛a przy-j˛ety funkcjonał celu. Ramirez [184] zaproponował wykorzystanie teorii sterowania optymal-nego do rozwi ˛azania problemów zwi ˛azanych z zastosowaniem wtórnych i trzecich metod eks-ploatacji ropy naftowej, proponuj ˛ac by problem optymalizacyjny przedstawi´c za pomoc ˛a funk-cjonału [184]: J = Z tf t0 F_Ω(X(Ω, t), g(t)) dt + Z tf t0 Z Ω F (X(Ω, t), u(Ω, t)) dV dt (2.12)

W pracy [184] u reprezentuje funkcje steruj ˛ace zło˙zem np. wydajno´s´c otworów, FΩ() repre-zentuje funkcje opisuj ˛ace zachowanie zło˙za w˛eglowodorów na brzegach rozpatrywanego ob-szaru, a F () funkcje charakteryzuj ˛ace zachowanie zło˙za w˛eglowodorów wewn ˛atrz rozpatrywa-nego obszaru zale˙zne od wektora zmiennych decyzyjnych u. Natomiast poprzez Ω oznaczono dziedzin˛e czaso-przestrzenn ˛a analizowanego zło˙za, definiowan ˛a jako: Ω ∈ R^c× [t₀, t_f], c ∈ {1, 2, 3}. Współczynnik c determinuje wymiar geometryczny rozwa˙zanego przepływu, przy-kładowo dla modeli dwuwymiarowych c = 2. Zaproponowane podej´scie wykorzystane zo-stało w module optymalizacyjnym symulatora zło˙zowego Eclipse [80]. Dla zdefiniowanego czasu ko´ncowego funkcjonał celu (2.12) wi ˛a˙z ˛acy wektor stanu zło˙za² X z wektorem zmien-nych decyzyjzmien-nych³u przyjmuje posta´c sumy, po podziale czasu ht0, tfi na Ntkroków czaso-wych [184]: J = Nt−1 X k=0 Jk(Xk, uk) (2.13)

Warunkami ograniczaj ˛acymi s ˛a równania opisuj ˛ace zachowanie zło˙za w˛eglowodorów, które mog ˛a zosta´c przedstawione w formie zale˙zno´sci [32, 184]:

g(X_k+1, X_k, u_k) = 0 (2.14)

Autor niniejszej pracy doktorskiej testował mo˙zliwo´sci wykorzystania

zaimplementowa-nych w symulatorze zło˙zowym Eclipse metod optymalizacyjzaimplementowa-nych bazuj ˛acych na gradiencie

funkcji celu. W wyniku przeprowadzonych eksperymentów numerycznych autor zauwa˙zył, ˙ze przydatno´s´c wymienionych metod jest ograniczona do prostych przypadków. Przykładowo

2

Szczegółowa interpretacja wektora stanu zło˙za przedstawiona została w rozdziale 3.3.3.

3W przypadku zagadnienia sterowania optymalnego wektor zmiennych decyzyjnych nazywany jest równie˙z

wektorem sterowania obiektu sterowanego. W niniejszej pracy przyj˛eto unitarne nazewnictwo, pozostaj ˛ac przy

optymalizacj˛e sterowania odwiertami produkcyjnymi w celu maksymalizacji wydobycia przy

ograniczeniu na sumaryczne wydobycie wody zło˙zowej. Głównym problemem zwi ˛azanym

z wykorzystaniem metod gradientowych jest konieczno´s´c uruchomienia symulacji w trybie Fully Implict⁴. Przekłada si˛e to na znaczne wydłu˙zenie czasu oblicze´n, według obserwacji au-tora pracy, nawet 20 krotne w przypadku zatłaczania dwutlenku w˛egla do zło˙za ropy naftowej. Przechodz ˛ac do pozostałych prac literaturowych dotycz ˛acych optymalizacji sposobu ste-rowania prac ˛a odwiertów mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze podobnie jak w przypadku lokalizacji, opty-malizacja sterowania mo˙ze zosta´c wykonana przy pomocy metod gradientowych lub bezgra-dientowych. Metody gradientowe optymalizacji sterowania mog ˛a zosta´c podzielone na: (I) metody najszybszego spadku, (II) metody wykorzystuj ˛ace gradient sprz˛e˙zony oraz (III) me-tody sekwencyjnego programowania kwadratowego (SQP - ang. Sequential quadratic pro-gramming) [161]. Ze wzgl˛edu na sposób pozyskania informacji o gradiencie, optymalizacja sterowania prac ˛a odwiertów mo˙ze zosta´c wykonana z wykorzystaniem metody ró˙znic sko´n-czonych [3, 137, 228], wielokrotnych realizacji [210] czy te˙z metody adjoint gradient bazuj ˛ a-cych na teorii sterowania optymalnego [32,64]. Algorytmy oparte na metodzie adjoint gradient s ˛a znacznie efektywniejsze od przedstawionej wcze´sniej grupy, wymagaj ˛a jednak dost˛epu do kodu ´zródłowego symulatora zło˙zowego, co w przypadku profesjonalnych komercyjnych pro-gramów jest niemo˙zliwe. W pracy Aitokhuehia [3] wykorzystana została metoda ró˙znic sko´n-czonych do kalkulacji gradientów oraz algorytm gradientowy do optymalizacji w czasie rze-czywistym sterowania odwiertami inteligentnymi w celu maksymalizacji skumulowanego wy-dobycia ropy poprzez modyfikacj˛e stopnia otwarcia wgł˛ebnych zaworów ICV. Zaproponowane

rozwi ˛azanie zaimplementowano dla jednego odwiertu produkcyjnego. Kumar [127] w

swo-jej pracy zaproponował u˙zycie metody gradientów sprz˛e˙zonych do optymalizacji sterowania

odwiertem w procesie CO2-CCS, gdzie celem optymalizacji było maksymalizacja nasycenia

wod ˛a zło˙zow ˛a w stropowej cz˛e´sci zło˙za. Wektor zmiennych decyzyjnych składał si˛e z ustawie´n

zaworów wgł˛ebnych dla dwóch odwiertów zatłaczaj ˛acych. Metoda sekwencyjnego

programo-wania kwadratowego wykorzystana została w pracach Wanga [225, 228]. Wykorzystanie gra-dientów sprz˛e˙zonych pokazano w pracach [139, 145, 184]. Algorytm genetyczny zastosowano w pracy Hardinga i in. [93], gdzie znalazł zastosowanie do okre´slania wydajno´sci pracy grupy złó˙z wspólnie eksploatowanych. Obliczone za pomoc ˛a algorytmu wydajno´sci odnosiły si˛e do sumarycznej produkcji ze zło˙za. Almeidy i in. [11] wykorzystali binarny algorytm genetyczny do okre´slenia ustawienia zaworów wgł˛ebnych w dwuletnich krokach czasowych. Obliczenia

4

Domy´slnie symulator Eclipse E300 wykorzystywany w niniejszej pracy bazuje na metodzie AIM (ang.

wykonane zostały na uproszczonym modelu zło˙za. Wszystkie z wymienionych prac, bardzo pobie˙znie traktowały o wyst˛epuj ˛acych ograniczeniach technicznych, technologicznych i eko-nomicznych.