Estymacja jądrowa gęstości jest techniką nieparametryczną, która pozwala na oszacowanie przybliżonego przebiegu badanej funkcji poprzez uśrednianie wartości

(2.4) gdzie: – współczynnik Theila policzony dla państw UE;

– wewnątrzpaństwowy współczynnik Theila równy średniej arytmetycznej współczynników krajowych ważonych wartością dodaną kraju.

W ten sposób możemy ocenić, jaka część międzyregionalnych różnic w Unii Europejskiej wynika z dysproporcji rozwojowych między krajami członkowski-mi, a jaka z dysproporcji wewnątrzkrajowych.

Wszystkie trzy miary rozproszenia zostaną policzone dla dwóch populacji:

państw i regionów UE, a także w poszczególnych sektorach gospodarki, dla lat 1996–2010. zmiany ich wartości pozwolą ocenić, czy w Unii Europejskiej nastę-powała konwergencja, czy dywergencja.

Jak pokazał D. Quah (1993), poleganie tylko na miarach rozproszenia w oce-nie postępowania konwergencji może prowadzić do mylnych wniosków. Współ-czynnik zmienności sprowadza różnorodne właściwości rozkładów statystycz-nych do pojedynczych wartości, co oznacza, że dwa zupełnie różne rozkłady mogą charakteryzować się takimi samymi wartościami tego współczynnika. Dla-tego do opisu rozkładu wydajności pracy wykorzystane zostaną również wykre-sy funkcji gęstości. Metodą estymacji jądrowej (ang. kernel density estimation) zostaną oszacowane funkcje gęstości, które możliwie dobrze odwzorowują prze-bieg rozkładu względnej wydajności pracy. Porównanie przeprze-biegu funkcji dla lat 1996 oraz 2010 dla całej gospodarki i w jej sektorach pozwoli ocenić, jak zmienił się rozkład wydajności pracy w krajach i regionach UE w badanym okresie.

Estymacja jądrowa gęstości jest techniką nieparametryczną, która pozwala na oszacowanie przybliżonego przebiegu badanej funkcji przez uśrednianie warto-ści empirycznych w kroczącym paśmie obserwacji o określonej długowarto-ści. Wy-estymowane wartości funkcji względnej wydajności pracy ( ) będą równe:

(2.5)

gdzie: n – liczebność populacji;

h – parametr wygładzania determinujący długość kroczącego pasma estymacji;

K(u) – tzw. jądro, czyli funkcja wykorzystana do nadania wag obserwacjom, przy czym

Wykresy funkcji gęstości rozkładu opracowano w programie SPSS przy za-stosowaniu funkcji wag Epanecznikowa postaci:

(2.6) Jest to jedna z typowych funkcji wykorzystywanych w podobnych analizach (Quah 1993); przyznaje ona większe wagi obserwacjom leżącym w pobliżu

bada-30 ^{Rozdział 2}

Trzecią miarą rozproszenia wykorzystaną do oceny zachodzenia konwergencji lub dywergencji w sensie σ będzie współczynnik Theila, dany wzorami:

∑

[

_̅

(

_̅

)

] , (2.3a)

∑ [

_̅

(

_̅

)

]

. (2.3b)

Interpretacja wartości współczynnika Theila jest analogiczna do opisanych uprzednio miar rozproszenia. Z punktu widzenia prowadzonych analiz współczynnik Theila ma dodatkową zaletę, która polega na możliwości dekompozycji jego wartości na dwa składniki:

wewnątrzgrupowy i międzygrupowy. Przykładowo, współczynnik Theila dla regionów UE jest równy sumie współczynnika Theila dla państw UE oraz ważonego wewnątrzkrajowego współczynnika Theila, zgodnie z poniższymi zasadami (Bickenbach, Bode 2006):

, gdzie: (2.4)

– współczynnik Theila policzony dla państw UE;

∑

[

] – wewnątrzpaństwowy współczynnik Theila równy średniej arytmetycznej współczynników w poszczególnych krajach, ważonych wartością dodaną kraju.

W ten sposób możemy ocenić, jaka część międzyregionalnych różnic w Unii Europejskiej wynika z dysproporcji rozwojowych pomiędzy krajami członkowskimi, a jaka z dysproporcji wewnątrzkrajowych.

Wszystkie trzy miary rozproszenia zostaną policzone dla dwóch populacji: państw oraz regionów UE, a także w poszczególnych sektorach gospodarki, dla lat 1996-2010. Zmiany ich wartości pozwolą ocenić, czy w Unii Europejskiej postępowała konwergencja, czy dywergencja.

Jak pokazał D. Quah (1993), poleganie jedynie na miarach rozproszenia w ocenie postępowania konwergencji może prowadzić do mylnych wniosków. Współczynnik zmienności sprowadza różnorodne właściwości rozkładów statystycznych do pojedynczych wartości, co oznacza, że dwa zupełnie różne rozkłady mogą charakteryzować się takimi samymi wartościami tego współczynnika. Dlatego do opisu rozkładu wydajności pracy wykorzystane zostaną również wykresy funkcji gęstości. Metodą estymacji jądrowej (ang.

kernel density estimation) zostaną oszacowane funkcje gęstości, które możliwie dobrze

odwzorowują przebieg rozkładu względnej wydajności pracy. Porównanie przebiegu funkcji

Trzecią miarą rozproszenia wykorzystaną do oceny zachodzenia konwergencji lub dywergencji w sensie σ będzie współczynnik Theila, dany wzorami:

∑

[

_̅

(

_̅

)

] , (2.3a)

∑ [

_̅

(

_̅

)

]

. (2.3b)

Interpretacja wartości współczynnika Theila jest analogiczna do opisanych uprzednio miar rozproszenia. Z punktu widzenia prowadzonych analiz współczynnik Theila ma dodatkową zaletę, która polega na możliwości dekompozycji jego wartości na dwa składniki:

wewnątrzgrupowy i międzygrupowy. Przykładowo, współczynnik Theila dla regionów UE jest równy sumie współczynnika Theila dla państw UE oraz ważonego wewnątrzkrajowego współczynnika Theila, zgodnie z poniższymi zasadami (Bickenbach, Bode 2006):

, gdzie: (2.4)

– współczynnik Theila policzony dla państw UE;

∑

[

] – wewnątrzpaństwowy współczynnik Theila równy średniej arytmetycznej współczynników w poszczególnych krajach, ważonych wartością dodaną kraju.

W ten sposób możemy ocenić, jaka część międzyregionalnych różnic w Unii Europejskiej wynika z dysproporcji rozwojowych pomiędzy krajami członkowskimi, a jaka z dysproporcji wewnątrzkrajowych.

Wszystkie trzy miary rozproszenia zostaną policzone dla dwóch populacji: państw oraz regionów UE, a także w poszczególnych sektorach gospodarki, dla lat 1996-2010. Zmiany ich wartości pozwolą ocenić, czy w Unii Europejskiej postępowała konwergencja, czy dywergencja.

Jak pokazał D. Quah (1993), poleganie jedynie na miarach rozproszenia w ocenie postępowania konwergencji może prowadzić do mylnych wniosków. Współczynnik zmienności sprowadza różnorodne właściwości rozkładów statystycznych do pojedynczych wartości, co oznacza, że dwa zupełnie różne rozkłady mogą charakteryzować się takimi samymi wartościami tego współczynnika. Dlatego do opisu rozkładu wydajności pracy wykorzystane zostaną również wykresy funkcji gęstości. Metodą estymacji jądrowej (ang.

kernel density estimation) zostaną oszacowane funkcje gęstości, które możliwie dobrze

odwzorowują przebieg rozkładu względnej wydajności pracy. Porównanie przebiegu funkcji

Trzecią miarą rozproszenia wykorzystaną do oceny zachodzenia konwergencji lub dywergencji w sensie σ będzie współczynnik Theila, dany wzorami:

∑

[

_̅

(

_̅

)

] , (2.3a)

∑ [

_̅

(

_̅

)

]

. (2.3b)

Interpretacja wartości współczynnika Theila jest analogiczna do opisanych uprzednio miar rozproszenia. Z punktu widzenia prowadzonych analiz współczynnik Theila ma dodatkową zaletę, która polega na możliwości dekompozycji jego wartości na dwa składniki:

wewnątrzgrupowy i międzygrupowy. Przykładowo, współczynnik Theila dla regionów UE jest równy sumie współczynnika Theila dla państw UE oraz ważonego wewnątrzkrajowego współczynnika Theila, zgodnie z poniższymi zasadami (Bickenbach, Bode 2006):

, gdzie: (2.4)

– współczynnik Theila policzony dla państw UE;

∑

[

] – wewnątrzpaństwowy współczynnik Theila równy średniej arytmetycznej współczynników w poszczególnych krajach, ważonych wartością dodaną kraju.

W ten sposób możemy ocenić, jaka część międzyregionalnych różnic w Unii Europejskiej wynika z dysproporcji rozwojowych pomiędzy krajami członkowskimi, a jaka z dysproporcji wewnątrzkrajowych.

Wszystkie trzy miary rozproszenia zostaną policzone dla dwóch populacji: państw oraz regionów UE, a także w poszczególnych sektorach gospodarki, dla lat 1996-2010. Zmiany ich wartości pozwolą ocenić, czy w Unii Europejskiej postępowała konwergencja, czy dywergencja.

Jak pokazał D. Quah (1993), poleganie jedynie na miarach rozproszenia w ocenie postępowania konwergencji może prowadzić do mylnych wniosków. Współczynnik zmienności sprowadza różnorodne właściwości rozkładów statystycznych do pojedynczych wartości, co oznacza, że dwa zupełnie różne rozkłady mogą charakteryzować się takimi samymi wartościami tego współczynnika. Dlatego do opisu rozkładu wydajności pracy wykorzystane zostaną również wykresy funkcji gęstości. Metodą estymacji jądrowej (ang.

kernel density estimation) zostaną oszacowane funkcje gęstości, które możliwie dobrze

odwzorowują przebieg rozkładu względnej wydajności pracy. Porównanie przebiegu funkcji

dla lat 1996 oraz 2010 dla całej gospodarki i w jej sektorach pozwoli ocenić, jak zmienił się rozkład wydajności pracy w krajach i regionach Unii Europejskiej w badanym okresie.

Estymacja jądrowa gęstości jest techniką nieparametryczną, która pozwala na oszacowanie przybliżonego przebiegu badanej funkcji poprzez uśrednianie wartości empirycznych w kroczącym paśmie obserwacji o określonej długości. Wyestymowane wartości funkcji względnej wydajności pracy ( ̃) będą równe:

̂ ̃ ∑ , gdzie: (2.5)

n – liczebność populacji;

h – parametr wygładzania, determinujący długość kroczącego pasma estymacji;

K(u) – tzw. jądro, czyli funkcja wykorzystana do nadania wag obserwacjom; przy czym ^{̃ ̃}.

Wykresy funkcji gęstości rozkładu zostały opracowane w programie SPSS, przy zastosowaniu funkcji wag Epanecznikowa postaci:

{ | |

| | . (2.6)

Jest to jedna z typowych funkcji wykorzystywanych w podobnych analizach (Quah 1993), która przyznaje większe wagi obserwacjom leżącym w pobliżu badanej wartości ̃. Z punktu widzenia kształtu wyznaczonych wykresów najważniejsza jest długość pasma wahań, oznaczona parametrem h. Im dłuższe pasmo, tym więcej punktów jest branych pod uwagę przy kalkulacji wartości ̂ ̃ , a wykres nabiera bardziej wygładzonego kształtu. Z kolei niskie wartości h powodują, że otrzymany kształt wykresu lepiej oddaje lokalne wahania w przebiegu wartości funkcji. W literaturze ekonometrycznej proponowane są różne techniki doboru optymalnej wartości tego parametru. Jednakże w prowadzonych analizach przyjęte zostało arbitralnie pasmo h=0,1, a dla odporności otrzymanych wyników sprawdzono kształt wykresu również dla innych wartości.

2.3. Techniki wykorzystane do opisu β-konwergencji

dla lat 1996 oraz 2010 dla całej gospodarki i w jej sektorach pozwoli ocenić, jak zmienił się rozkład wydajności pracy w krajach i regionach Unii Europejskiej w badanym okresie.

Estymacja jądrowa gęstości jest techniką nieparametryczną, która pozwala na oszacowanie przybliżonego przebiegu badanej funkcji poprzez uśrednianie wartości empirycznych w kroczącym paśmie obserwacji o określonej długości. Wyestymowane wartości funkcji względnej wydajności pracy ( ̃) będą równe:

̂ ̃

∑

, gdzie: (2.5)

n – liczebność populacji;

h – parametr wygładzania, determinujący długość kroczącego pasma estymacji;

K(u) – tzw. jądro, czyli funkcja wykorzystana do nadania wag obserwacjom; przy czym

^{̃ ̃}

.

Wykresy funkcji gęstości rozkładu zostały opracowane w programie SPSS, przy zastosowaniu funkcji wag Epanecznikowa postaci:

{ | |

| | . (2.6)

Jest to jedna z typowych funkcji wykorzystywanych w podobnych analizach (Quah 1993), która przyznaje większe wagi obserwacjom leżącym w pobliżu badanej wartości ̃. Z punktu widzenia kształtu wyznaczonych wykresów najważniejsza jest długość pasma wahań, oznaczona parametrem h. Im dłuższe pasmo, tym więcej punktów jest branych pod uwagę przy kalkulacji wartości ̂ ̃ , a wykres nabiera bardziej wygładzonego kształtu. Z kolei niskie wartości h powodują, że otrzymany kształt wykresu lepiej oddaje lokalne wahania w przebiegu wartości funkcji. W literaturze ekonometrycznej proponowane są różne techniki doboru optymalnej wartości tego parametru. Jednakże w prowadzonych analizach przyjęte zostało arbitralnie pasmo h=0,1, a dla odporności otrzymanych wyników sprawdzono kształt wykresu również dla innych wartości.

2.3. Techniki wykorzystane do opisu β-konwergencji

dla lat 1996 oraz 2010 dla całej gospodarki i w jej sektorach pozwoli ocenić, jak zmienił się rozkład wydajności pracy w krajach i regionach Unii Europejskiej w badanym okresie.

̂ ̃ ∑ , gdzie: (2.5)

n – liczebność populacji;

h – parametr wygładzania, determinujący długość kroczącego pasma estymacji;

K(u) – tzw. jądro, czyli funkcja wykorzystana do nadania wag obserwacjom; przy czym ^{̃ ̃}.

Wykresy funkcji gęstości rozkładu zostały opracowane w programie SPSS, przy zastosowaniu funkcji wag Epanecznikowa postaci:

{ | |

| | . (2.6)

2.3. Techniki wykorzystane do opisu β-konwergencji

dla lat 1996 oraz 2010 dla całej gospodarki i w jej sektorach pozwoli ocenić, jak zmienił się rozkład wydajności pracy w krajach i regionach Unii Europejskiej w badanym okresie.

̂ ̃ ∑ , gdzie: (2.5)

n – liczebność populacji;

h – parametr wygładzania, determinujący długość kroczącego pasma estymacji;

K(u) – tzw. jądro, czyli funkcja wykorzystana do nadania wag obserwacjom; przy czym ^{̃ ̃}.

Wykresy funkcji gęstości rozkładu zostały opracowane w programie SPSS, przy zastosowaniu funkcji wag Epanecznikowa postaci:

{ | |

| | . (2.6)

2.3. Techniki wykorzystane do opisu β-konwergencji

nej wartości . z punktu widzenia kształtu wyznaczonych wykresów najważniej-sza jest długość pasma wahań oznaczona parametrem h. Im dłuższe pasmo, tym więcej punktów bierze się pod uwagę przy kalkulacji wartości , a wykres nabiera bardziej wygładzonego kształtu. z kolei niskie wartości h powodują, że otrzymany kształt wykresu lepiej oddaje lokalne wahania w przebiegu wartości funkcji. W literaturze ekonometrycznej proponuje się różne techniki doboru op-tymalnej wartości tego parametru. Jednakże w prowadzonych analizach przyjęte zostało arbitralnie pasmo h = 0,1, a dla odporności otrzymanych wyników spraw-dzono kształt wykresu również dla innych wartości.

2.3. t

echniKiWyKorzyStanedoopiSu

β-

KonWergencji

Analiza β-konwergencji polega na zbadaniu zależności między stopą wzrostu wydajności pracy państw i regionów, a początkowym poziomem tej zmiennej. Konwergencja zachodzi, gdy wspomniana zależność ma charakter ujemny, co oznacza, że kraje o niskiej początkowej wydajności pracy osiągają przeciętnie wyższe tempo wzrostu. W praktyce sprowadza się to do estymacji parametrów następującego równania:

ln y_i,t–1 – opóźniony logarytm wydajności pracy;

μ_t i ε_i,t oznaczają odpowiednio periodyczne zmienne 0–1 i składnik losowy.

Ujemna wartość β oznacza, że w badanej próbie zachodziła konwergencja.

Dokładna interpretacja parametru β jest następująca: kraj (region) początkowo x-razy bardziej rozwinięty od drugiego, będzie doświadczał przeciętnie stopy wzrostu wydajności pracy (β ln x) razy niższej. Na przykład przy β = 0,02 10-procentowa początkowa różnica w wydajności pracy przekłada się na różnice w tempie wzrostu rzędu (0,02 ln 1,1), czyli ok. 0,19 pkt. proc. – na korzyść kraju słabiej rozwiniętego. β może posłużyć także do obliczenia tzw. półokresu wygaszania (ang. half-life), czyli okresu, w ciągu którego kraj na niższym pozio-mie rozwoju może zredukować lukę wydajności pracy względem innego kraju o połowę.

Namiastkę badań nad konwergencją warunkową będzie stanowić estymacja parametrów równania (2.8) – które stanowi rozwinięcie (2.7) o efekty ustalone:

ze względu na brak regionalnych i sektorowych danych dotyczących kapitału ludzkiego oraz inwestycji nie podejmiemy się oceny zachodzenia konwergencji warunkowej, lecz ograniczymy się do opisu konwergencji absolutnej.

Techniki badawcze...

dla lat 1996 oraz 2010 dla całej gospodarki i w jej sektorach pozwoli ocenić, jak zmienił się rozkład wydajności pracy w krajach i regionach Unii Europejskiej w badanym okresie.

Estymacja jądrowa gęstości jest techniką nieparametryczną, która pozwala na oszacowanie przybliżonego przebiegu badanej funkcji poprzez uśrednianie wartości empirycznych w kroczącym paśmie obserwacji o określonej długości. Wyestymowane wartości funkcji względnej wydajności pracy ( ̃) będą równe:

̂ ̃

∑

, gdzie: (2.5)

n – liczebność populacji;

h – parametr wygładzania, determinujący długość kroczącego pasma estymacji;

K(u) – tzw. jądro, czyli funkcja wykorzystana do nadania wag obserwacjom; przy czym

^{̃ ̃}

.

Wykresy funkcji gęstości rozkładu zostały opracowane w programie SPSS, przy zastosowaniu funkcji wag Epanecznikowa postaci:

{ | |

| | . (2.6)

Jest to jedna z typowych funkcji wykorzystywanych w podobnych analizach (Quah 1993), która przyznaje większe wagi obserwacjom leżącym w pobliżu badanej wartości ̃. Z punktu widzenia kształtu wyznaczonych wykresów najważniejsza jest długość pasma wahań, oznaczona parametrem h. Im dłuższe pasmo, tym więcej punktów jest branych pod uwagę przy kalkulacji wartości ̂ ̃ , a wykres nabiera bardziej wygładzonego kształtu. Z kolei niskie wartości h powodują, że otrzymany kształt wykresu lepiej oddaje lokalne wahania w przebiegu wartości funkcji. W literaturze ekonometrycznej proponowane są różne techniki doboru optymalnej wartości tego parametru. Jednakże w prowadzonych analizach przyjęte zostało arbitralnie pasmo h=0,1, a dla odporności otrzymanych wyników sprawdzono kształt wykresu również dla innych wartości.

2.3. Techniki wykorzystane do opisu β-konwergencji

dla lat 1996 oraz 2010 dla całej gospodarki i w jej sektorach pozwoli ocenić, jak zmienił się rozkład wydajności pracy w krajach i regionach Unii Europejskiej w badanym okresie.

̂ ̃ ∑ , gdzie: (2.5)

n – liczebność populacji;

h – parametr wygładzania, determinujący długość kroczącego pasma estymacji;

K(u) – tzw. jądro, czyli funkcja wykorzystana do nadania wag obserwacjom; przy czym ^{̃ ̃}.

Wykresy funkcji gęstości rozkładu zostały opracowane w programie SPSS, przy zastosowaniu funkcji wag Epanecznikowa postaci:

{ | |

| | . (2.6)

2.3. Techniki wykorzystane do opisu β-konwergencji

g_i,t = α + β ln y_i,t–1 + FE_i + μ_t + ε_i,t, (2.8) gdzie: FE_i (od ang. fixed effects) – efekty ustalone dla kraju (regionu) i.

Przy takiej postaci równania regresji dodatkowo kontrolujemy wpływ czynni-ków krajowych lub regionalnych, niezmiennych w czasie. W kategoriach neokla-sycznej teorii wzrostu wykorzystanie efektów ustalonych można interpretować jako uwzględnienie różnego położenia ścieżki równowagi w badanych krajach i regionach.

2.4. t

echniKiWyKorzyStanedoopiSudynamiKirozKładu

Ostatnia grupa technik badawczych, które znalazły zastosowanie w analizach konwergencji, dotyczy opisu wzorców wewnętrznej dynamiki rozkładu wydaj-ności pracy. O ile porównanie wybranych parametrów rozkładu w różnych mo-mentach niesie za sobą istotne informacje na poziomie zagregowanym, o tyle nie informuje nas o tym, jak zmieniało się położenie poszczególnych jednostek wewnątrz rozkładu. Tymczasem wewnątrz rozkładu obok samego nadganiania gospodarczego może dochodzić do bardzo interesujących zjawisk – takich jak wyprzedzanie czy cofanie się w rozwoju. Dwie techniki powszechnie stosowane w literaturze przedmiotu do identyfikacji takich zjawisk to macierze przejścia Markowa oraz warunkowa estymacja jądrowa.

Badany problem możemy przedstawić matematycznie w następujący sposób.

Jeżeli rozkład wydajności pracy w okresie t jest opisany przez F_t, to szukamy takiej funkcji M_t, by zachodziło:

F_{t + 1} = M_t • F_t, (2.9)

przy czym zarówno F_t, jak i M_t mogą przyjmować postać ciągłą bądź dyskretną.

znajomość M_t pozwala na poznanie charakterystyk dynamiki rozkładu. Przy za-łożeniu stałości dynamiki rozkładu w czasie można spróbować przewidywać, jak wyglądałby rozkład, gdyby tendencje utrzymywały się w kolejnych okresach:

F_{t + s} = (M • M • M • ... • M)F_t = M^s •F_t. (2.10) Przy s → ∞ otrzymujemy tak zwany rozkład ergodyczny. Kumulacja gęsto-ści w centrum tego rozkładu oznacza, że w populacji dominują siły konwergen-cji, podczas gdy kumulacja gęstości na krańcach rozkładu oznacza przewagę sił dywergencji. Wspomniane założenie stałości dynamiki jest bardzo mocne,

W dokumencie Konwergencja w krajach i regionach Unii Europejskiej (Stron 30-34)