Estymator statysty zny

Przedstawimy teraz zupeªne inne podej± ie do estyma ji wektora

Θ

, bazuj¡ e na twierdzeniu o Gaussowskim harakterze uktua ji momentów ma ierzowy h.

Nie-zbdne oka»¡ si tak»e wzory wyra»aj¡ e momenty ma ierzowe drugiego rzdu w

funk ji momentów ma ierzowy h pierwszego rzdu. Metoda ta zostaªa

zapropono-wana w pra y doktorskiej [39℄ a nastpnie w [40 ℄. W porównaniu do estymatora

anality znego konstruk ja estymatora statysty znego jest bardziej skomplikowana a

jego implementa ja wymagazapewnienia zna znie wikszej mo yobli zeniowej.

Rozwa»my zatem uktua je kolejny h momentów ma ierzowy h oraz zdeniujmy

na tejpodstawie niesko« zonywektoruktua ji.

Deni ja11(Wektoruktua jimomentówma ierzowy h) Nie hzespóª

ma- ierzowy

A

N

posiada grani zny rozkªad momentów 2-go rzdu. Fluktua je momen-tów ma ierzowy h pierwszego rzdu zapiszemy w posta i wektora o niesko« zonym

wymiarze w posta i

(v)

_j

=

Tr

A

^j

−

Tr

A

^j



.

Rozkªad rozwa»any h uktua ji momentów ma ierzowy h pierwszego rzdu

przyj-muje dosy¢sz zególn¡posta¢. Okazujesi,»e wprzypadkudu»y hma ierzy

uktu-a jetedadz¡siopisa¢wielowymiarowymrozkªademGaussa. Zapiszemytwªasno±¢

w posta i twierdzenia, któregooryginaln¡ posta¢ orazdowódznale¹¢ mo»naw

Twierdzenie1(Ouktua ja hmomentówma ierzowy h) We¹my pod uwag

zespóª ma ierzy

H

o du»y h wymiara h, posiadaj¡ y grani zny rozkªad momentów 2-go rzdu. Rozwa»myniesko« zonywektor uktua ji dla tego zespoªu

(v

_Θ

)

_j

=

Tr

H

^j

− <

Tr

H

^j

>,

który mo»emy równie» zapisa¢w posta i

(v

_Θ

)

_j

=

Tr

H

^j

− Nα

^Hj

.

Wów zas rozkªadwektora

v

Θ

opisanyjest wielowymiarowymrozkªadem Gaussa,przy zym ma ierz dyspersji tego rozkªadu tworz¡ momentyma ierzowe drugiego rzdu

(v

_Θ

)

_j

∝ N(µ

Θ

, Q

_Θ

),

gdzie

[Q

_Θ

]

_l,m

= α

^H_l,m

.

Indeksy

Θ

ozna zaj¡ zale»no±¢ wektora

v

oraz ma ierzy

Q

od rozkªadu widma gra-ni znego bd¡ egoprzedmiotem naszego zainteresowania. Równo ze±niezauwa»my,

»e Twierdzenie 1 jest wa»ne dlama ierzy o du»y h rozmiara h, ale niekonie znie w

grani y

r → 0

. W prakty e ozna za to, »e mo»emy je z powodzeniem zapisa¢ dla ma ierzy

H

,awi dlama ierzypo hodz¡ ejodsko« zonegowektoraobserwa ji

X

.

Powy»sze twierdzenie peªni z punktu widzenia naszy h rozwa»a« niezwykle wa»n¡

rol, stanowi bowiem punkt wyj± iadla konstruk ji estymatora statysty znego. Na

jegopodstawiefunk jgsto± iprawdopodobie«stwawektora

v

_Θ

zapiszemywposta i

f (v

_Θ

) = µ

_θ

+ ¹

(2π)

n

2

| det Q

Θ

|

¹2

exp



−¹

2^v

†

Θ

Q

⁻¹_Θ

v

_Θ



.

Kieruj¡ si zasad¡ maksymalnej wiarygodno± i bdziemyposzukiwa¢ takiego

wek-tora

Θ

,który maksymalizuje gsto±¢ prawdopodobie«stwa

f (v

_Θ

)

. Zadanie staje si zna znieªatwiejszepozlogarytmowaniuwyra»enia, ojestformalniepoprawne, gdy»

logarytm jest funk j¡ monotoni zn¡ natomiast gsto±¢ prawdopodobie«stwa

przyj-mujewarto± inieujemne. Bdziemyzatemrozwa»a¢pewn¡funk j pomo ni z¡

g

_(Θ)

zdeniowan¡ jako

g

_(Θ)

= v

^†_Θ

Q

⁻¹_Θ

v

_Θ

+ log det Q

_Θ

.

Takwi estymator

Θb

parametrówwidmagrani znego zdeniowanybdziejako pa-rametr

Θ

ekstremalizuj¡ yzapisan¡ powy»ejfunk jpomo ni z¡

g

_(Θ)

, ozapiszemy jako

b

Θ = Θ

taki, »e:

g

_(Θ)

= v

_Θ^†

Q

⁻¹_Θ

v

_Θ

+ log det Q

_Θ

osi¡ga minimum. (7.11) Zgodnieztre± i¡Twierdzenia1ma ierzdyspersji

Q

_Θ

zdeniowana jestpoprzez mo-menty ma ierzowe drugiego rzdu

α

H

l,m

, natomiast wektor

v

_Θ

zdeniowany jest za pomo ¡ momentów ma ierzowy h pierwszegorzdu

α

^H_k

orazobserwa ji zwi¡zanejz konkretn¡warto± i¡

Θ

wposta ieksperymentalnejma ierzykowarian ji

H

. Zarówno wektor

v

_Θ

orazma ierz

Q

_Θ

maja niesko« zonywymiar.

podstaw konstruk ji u»yte znego narzdzia w momen ie kiedy zdoªamy zapisa¢ je

w posta izawieraj¡ ejwielko± i bezpo±rednio mierzalne, zyli ma ierz

S

, parametr

r

oraz poszukiwane parametry widma, zyli warto± i wªasne

λ

i

wraz z odpowia-daj¡ ymi im prawdopodobie«stwami

p

i

. Jak ju» wspomniano istniej¡ ± isªe wzory pozwalaj¡ ezapisa¢momentyma ierzowedrugiegorzduzapomo ¡momentów

ma- ierzowy h pierwszego rzdu, dziaªaj¡ e zarówno w przypadku ma ierzy

Σ

jak te»

S

. Sposób generowania wzorów zostaª wyja±niony w Rozdziale 6.2, natomiast w Dodatku Czostaªy one wypisanedorzdu

α

_5,5

.

Mo»emywi przyj¡¢,»erela je

α

S

l,m

= f

α

S

k

_2·max{l,m}

k=1



s¡znanedotakiegorzdu

doktóregobdzietopotrzebne,przy zym zaspotrzebnynai hwygenerowaniejest

w tymmomen ie kwesti¡drugorzdn¡. Przy ustalonej warto± i

K

_max

wyra»enie na

g

_Θ

mo»emyzapisa¢ wposta i

g

_Θ

= g

_Θ



α

^S_k

2·Kmax

k=1

, S

.

Pozostaje przej±¢ od zapisu zawieraj¡ ego momenty

α

S

do zapisu zawieraj¡ ego

momenty

α

Σ

. Jest to zabieg podobny do wykonanego przy wyprowadzeniu

me-tody anality znej, jednak zauwa»my, »e tym razem potrzebne bd¡ zwi¡zki

α

S

k

=

f

α

^Σ_m

k

m=1

, r

, a wi wstron odwrotn¡ni» poprzednio. Zakªadamy, »e rela je

tes¡znane. Po skorzystaniu zni h wyra»enie na

g

Θ

przyjmuje posta¢

g

_Θ

= g

_Θ



α

^Σ_i

2·Kmax

i=1

, S, r

.

Kolejnykrokpolegana zaobserwowaniu, »e je±liznamy wymiarwektora

Θ

wów zas momentygrani zne

α

^Σ_i

mo»nazapisa¢za pomo ¡ skªadowy hwektora

Θ

,gdy»

α

^Σ_k

= ¹

N

D

Tr

( ˜Σ)

^k

E

= ¹

N

D

Tr

(Λ

Θ

)

^k

E

= ¹

N

X

i

λ

^Σ_i

k

p

^Σ_i

.

Wogólnymprzypadkuniewszystkieskªadowewektora

Θ

musz¡by¢niezale»ne. Je±li posiadamydodatkow¡wiedznatematwizówª¡ z¡ y hniektóreparametrywidma,

tostosuj¡ powy»sz¡nota jwizytemo»nawniezwykleprostyiprzejrzystysposób

zaimplementowa¢.

Ostate znie rozwa»an¡ funk j

g

_Θ

jeste±my w stanie zapisa¢ expli ite w interesu-j¡ y h naszmienny h

g

_Θ

= g

_Θ



λ

^Σ_i

, p

^Σ_i

Imax

i=1

, S, r

Estyma jawektora

Θ

polega¢ wi bdzie na zapisaniu funk ji

g

_Θ

wpowy»szej po-sta ianastpnieodszukaniuwarto± iskªadowy hwektora

Θ

,któryj¡minimalizuje.

Wartowtym momen ie zauwa»y¢, »eposzukiwanieekstremumfunk jiwielu

zmien-ny h niesie ze sob¡pewn¡u i¡»liwo±¢, mianowi ie konie zno±¢ wystartowania

algo-rytmuzjakiego±punktu,któregopoªo»enieniestetyzrozwa»anejmetodyniewynika.

Na domiar zªego w wielu sytua ja h jego wybór mo»e by¢ de yduj¡ y dla

uzyska-nego wyniku,gdy»funk japomo ni zamo»enieposiada¢ekstremumglobalnegoale

wi ej ekstremów lokalny h. ›eby nasze postpowanie miaªo w takim przypadku

w ogóle sens punkt startowy musi by¢ poªo»ony wystar zaj¡ o blisko 'wªa± iwego'

ekstremum, to zna zy ogólnie mówi¡ na tyle blisko, »eby pro edura poszukiwania

ekstremumnietraaªa dos¡siedniegoekstremum. Jesttoo zywi± ieproblemwa»ny

ju» przez sam fakt zaistnienia. Ponadto im wiksza li zba zmienny h w funk ji

g

_Θ

tym wi ej ekstremów lokalny h mo»e si pojawi¢. W prakty e punkt startowy dla

metodystatysty znej jest bardzo wa»nyi tym samym musi by¢starannie wybrany.

Mo»na na przykªadza punktstartowy przyj¡¢ wynik ko« owy estyma ji wykonanej

inn¡ metod¡, naprzykªad opisan¡ wpoprzednim rozdziale metod¡anality zn¡, lub

te»skorzysta¢ z dodatkowy h informa ji,o ile takieo zywi± ieposiadamy.

Z powodu nietrywialnego problemu wyboru punktustartowego w prakty e w

wik-szo± iprzypadkówestymatorstatysty znynale»ytraktowa¢jakokorektinnego

esty-matora,odktóregopo hodzipunktstartowy. Dokªadnietakasytua jamamiejs ew

naszymprzypadku,estymatorstatysty znysªu»ydoobli zenia poprawkidlawyniku

uzyskanegoza pomo ¡ estymatora anality znego.

Z o zywisty h wzgldów li zba niezale»ny h zmienny h w rozwa»anym modelu nie

mo»e by¢wiksza od li zbyrówna« którejeste±mywstanie zapisa¢, st¡dspeªniony

musi by¢ warunek

dim(v

Θ

) ≥ dim(Θ)

. Zgodnie z sugestiami autorów metody [40 ℄ wprakty zny h zastosowania h najlepiej »ebywymiarwektora

v

_Θ

byªrównyli zbie niezale»ny h zmienny h.

Podsumujmy zatem krótko gªówne kroki konstruk ji estymatora

statysty z-nego.

 wykonujemypomiarotrzymuj¡ ma ierzobserwa ji

X

,  obli zamy

S

orazmomenty

α˜

S

k

,

 zapisujemy funk j

g

_Θ

zgodnie ze wzorem(7.11);  stosujemywzory wyra»aj¡ emomenty

α

S

l,m

przez



α

S

k

_2·max{l,m}

k=1

 anastpnie wzorywyra»aj¡ e

α

^S_k

przez



α

^Σ_m

k

m=1

,

 momenty

α

^Σ_k

zapisujemy zapomo ¡

λ

i

oraz

p

i

,uzyskuj¡ zapis funk ji

g

_Θ

wposta i(7.12),

 ustalamypunkt startowy

Θ

₀

,wpobli»u któregospodziewamysiodnale¹¢ minimum funk ji

g

Θ

,

 szukamy minimum funk ji

g

_Θ

w zmienny h

Θ

uzyskuj¡ estyma j para-metrówwidma

_Θˆ

.

skomplikowana. Wefek ienale»ysi spodziewa¢, »eobli zenia numery zne bd¡

wymagaªy du»ej mo y obli zeniowej. Estymator anality zny

najprawdopodob-niej jest zna znie mniej wymagaj¡ y pod tym wzgldem. Przypusz zenia te w

sposóbzde ydowany potwierdziªy si pod zaswykonywaniasymula jiopisany h

wdalszej z± ipra y.

W dokumencie Macierzowe techniki fizyki teoretycznej w telekomunikacji i innych realnych układach złożonych (Stron 57-61)