Poziomi e na mapie niedokªadno± i

Przypu±¢my, »e interesuje nas odpowied¹ na pytanie w jakim zakresie parametrów

rozwa»any estymator daje wyniki o niedokªadno± i poni»ej okre±lonego poziomu.

Informa ja ta jest o zywi± ie zawarta w mapie niedokªadno± i uzyskanej dla tego

estymatora, nie jest jednak w tej formie zbyt przejrzysta. W elu poprawienia

zytelno± i mapy niedokªadno± i mo»na na przykªad nanie±¢ na ni¡ kilka poziomi

zadany hprzezwarunek

η =

onst, zylilinii ª¡ z¡ y h punktyo tejsamejwarto± i niedokªadno± i. Zadanienie wydajesi spe jalnietrudne, natomiast z zastosowania

tego prostego obrazowania wynikaj¡ o zywiste korzy± i. Na przykªad odpowied¹

na pytanie o ksztaªt grani y poza któr¡ niedokªadno±¢ estyma ji wzrasta powy»ej

zaªo»onego poziomu staje si banalna, gdy» bdzie wido znaw bezpo±redni sposób

wªa±nie wposta ijednej ze wspomniany h poziomi . Ztegowzglduksztaªt i

poªo-»enie krzywy htworz¡ y h poziomi e wydaje si iekawympytaniem.

W zwi¡zku z faktem, »e nie stwierdzono istotny h ró»ni pomidzy mapami

nie-dokªadno± i dla estymatorów anality znego oraz statysty znego w rozdziale tym

rozwa»a¢ bdziemy poziomi e na mapie niedokªadno± i uzyskanej dla estymatora

anality znego. W elu wyzna zania punktów tworz¡ y h ostate znie dan¡

pozio-mi  zaªo»ono, »e warto±¢ niedokªadno± i pomidzy s¡siednimi punktami na mapie

8.12.

Rysunek 8.12. Przekroje przezmapniedokªadno± i dla

Θ = (2, 3, 0.5)

. Kolejnepoziomi e wyzna zaj¡obszarywymiarówma ierzy,dlaktóry hniedokªadno±¢estyma jiutrzymujesi

poni»ejustalonegopoziomu

η

.

Analizuj¡ wstpnie uzyskanywykres nasuwasi odrazupewnespostrze»enie,

mia-nowi ie dla wikszy h warto± i

n

wynosz¡ y h mniej wi ej powy»ej100 poziomi e przebiegaj¡ prakty znie poziomo. Šatwo to potwierdzi¢ analizuj¡ na hylenie

ko-lejny h poziomi w rejonie du»y h

n

,które wynosi prakty zniezero. Bezpo±rednim wnioskiemztejobserwa jijestfakt,»ekolejnepoziomi ewyzna zones¡poprzez

wa-runek

B

₁

= r

, gdzie

B

₁

bdzie dodatkowym parametrem numeruj¡ ym poziomi e. Wida¢zatem, »e dladu»y h

n

kolejne poziomi e wyzna zone s¡bezpo±rednio przez wspóª zynnik

r

wydªu»eniama ierzy

X

. Ozna za to,»eo iletylkomniejszywymiar ma ierzy obserwa ji jest wystar zaj¡ o du»y, wów zas niedokªadno±¢ estyma ji nie

zale»ywogóleodkonkretnejwarto± itegowymiaru,aleju»tylkoodpropor jimidzy

wymiarami ma ierzy

X

. Warto podkre±li¢, »e okre±lenie "wymiar

n

wystar zaj¡ o du»y jest dosy¢ niepre yzyjne, w przeprowadzonym eksperymen ie wydaje si, »e

warto± i¡t¡ jestakuratwymiar

n

powy»ej100. Niemniejwarteodnotowaniajest,»e dla

n

powy»ej pewnej warto± i na hylenie wszystki h poziomi wynosi prakty znie zero. Na Rysunku8.13 zostaªopokazaneprzybli»enie prawej stronywykresu

Rysunek 8.13. Przekroje przez map niedokªadno± i dla

Θ = (2, 3, 0.5)

- obszar du»y h ma ierzy.

Kolejna obserwa ja doty zyksztaªtu poziomi wrejoniemaªy hwarto± iparametru

n

. Ponownie nale»y wyja±ni¢, »e okre±lenie maªawarto±¢

n

 jest umowne. Nale»y je rozumie¢w tensposób, »e poni»ej pewnej warto± i

n

obserwujemy,»e ksztaªt po-ziomi przyjmujesz zególn¡ posta¢,przy zymwgrun ie rze zyniewiemydla zego

jest to akurat taka a nie inna warto±¢

n

. Istotne jest, »e warto±¢

n

poni»ej której ksztaªt poziomi mo»na zaklasykowa¢ wpewienokre±lonysposób wogóle istnieje.

Przybli»enie lewej z± i wykresu zostaªo pokazane na rysunku 8.14. Poziomi e w

tym rejonie wydaj¡ siprzebiega¢ wzdªu»linii prosty h,jednak podpewnym

nieze-rowym k¡temdo poziomu. Zrobimy zatem zaªo»enie, »e dla

n < 40

poziomi e s¡w rozwa»any h zmienny h dodatniona hylonymi funk jami liniowymi.

Rysunek 8.14. Przekroje przez map niedokªadno± i dla

Θ = (2, 3, 0.5)

- obszar maªy h ma ierzy.

Jakpamitamyrozwa»anewykresypokazanes¡wzmienny hlogarytmi zny h,gdzie

kolejnewspóªrzdne wyzna zones¡jako

n = 20 · (1.4)

ⁿi

oraz

r = 0, 05 · (1, 4)

^ri

Rozpo znijmyodosza owaniawarto± iparametru

a

,któryprzyjmujemyrówny ±red-niej uzyskanej dla posz zególny h fragmentów poziomi . Wynikiem jest

a = 0.8

, równaniedla poziomi przyjmuje zatem posta¢

r

i

= 0.8 · n

i

+ b.

Mo»emy teraz przej±¢ do interesuj¡ y h nas wspóªrzdny h

n

oraz

r

przepisuj¡ powy»sze równanie doposta i

log

_1.4

(20r) = 0.8 log

_1.4

( ⁿ

20^{) + b,}

którepo pozby iu silogarytmu zapiszemyjako

20r = ( ⁿ

20⁾

0.8

· (1.4)

^b

.

Przybli»ymy

20

^0.8

do 11 oraz przyjmiemy ozna zenie

(1.4)

^b

= B

2

, przy zym na-le»y zauwa»y¢, »e z faktu monotoni zno± i funk ji wykªadni zej wynika, »e

B

₂

jest jednozna znie wyzna zone przez

b

i na odwrót. Wniosek z tego jest taki, »e nowy parametr

B

₂

mo»ezpowodzeniemsªu»y¢donumerowania kolejny h poziomi w ob-szarze maªy hwarto± i

n

,awi jegorolabdzieanalogi znajak

B

₁

wprowadzonego wprzypadku obszaru du»y h warto± i

n

. Powy»sze równanie przyjmie posta¢

B

2

= 220 ^r

n

0.8

= 220ⁿ

0.2

m ^.

(8.3)

Wartozauwa»y¢,»e dla

n ∈< 20, 40 >

wyra»eniewli zniku

n

^0.2

przyjmujewarto± i zzakresuod1.82do2.09, zylijestra zejwolnozmienn¡funk j¡. Przybli»ymywi

n

^0.2

wokóª±rodkarozwa»anegoprzedziaªuzapomo ¡rozwini iaTaylorazapisanego do wyrazuliniowego

n

^0.2

/

_n=30

= n

^0.2

/

_n=30

+ 0.2n

^−0.8

/

_n=30

(n − 30) + . . .

= 1.58 + 0.013n + . . . .

Zgodniez powy»szym równanie8.3zapiszemywposta iuprosz zonejjako

B

₂

∼_{= 345}¹

m ^{+ 2, 86r.}

(8.4)

Sprawd¹my, zyktóry±zparametrówmawyra¹niewikszywkªaddowarto± i aªego

wyra»enia, o pozwalaªo by na pomini ie zna zenia drugiego z ni h. W

m ∈< 100, 800 >

. Zatempierwszyskªadniksumywrównaniu8.4przyjmujewarto± i z zakresu okoªo

< 0.43, 3, 47 >

, natomiast drugi z zakresu

< 0.15, 0.58 >

. Wkªad drugiego skªadnika jest wzgldnie najmniejszy kiedy rozpatrujemy przypadek

ma-ªy h

r

oraz równo ze±nie równie» maªy h

m

, jednak wpozostaªy h sytua ja h taki wniosekprzestajeby¢ju»prawdziwy. Niemo»nazatemmówi¢ owyra¹nejdomina ji

któregokolwiekz parametrów.

W dokumencie Macierzowe techniki fizyki teoretycznej w telekomunikacji i innych realnych układach złożonych (Stron 82-86)