Macierzowe techniki fizyki teoretycznej w telekomunikacji i innych realnych układach złożonych

Ma ierzowe te hniki zyki teorety znej

w telekomunika ji i inny h realny h

ukªada h zªo»ony h

Grzegorz Šukaszewski

Rozprawadoktorska

opra owana w ZakªadzieTeorii Ukªadów Zªo»ony h

podkierunkiem prof. dr hab. Ma iejaNowaka

4.3. Funk jaGreena1-punktowa-rozkªadWisharta . . . 27

4.4. Funk jaGreena2-punktowa . . . 31

4.4.1. Funk jaGreena2-punktowa,rozkªadGaussa . . . 32

4.4.2. Funk jaGreena2-punktowa,rozkªadWisharta . . . 34

4.5. Wolnekumulanty . . . 36

Rozdziaª 5. Funk ja Greena dla momentów odwrotny h . . . 38

Rozdziaª 6. Zwi¡zki pomidzy momentamima ierzowymi . . . 41

6.1. Zwi¡zekmomentówgrani zny hzobserwowanymi . . . 41

6.2. Zwi¡zekma ierzydyspersjizmomentami1-rzdu . . . 44

Rozdziaª 7. Rekonstruk ja widma -konstruk ja estymatorów . . . 49

7.1. Estyma jawidma -zaªo»eniaogólne. . . 50

7.2. Estymatoranality zny . . . 51

7.2.1. Warto±¢

I

max

westymatorzeanality znym . . . 55

7.3. Estymatorstatysty zny. . . 57

7.4. Estymatorydualne . . . 61

7.4.1. Estymatoranality znydualny . . . 61

7.4.2. Estymatorstatysty znydualny . . . 64

Rozdziaª 8. Rekonstruk ja widma -symula je . . . 66

8.1. Eksperymentwstpny. . . 66

8.2. Istotne parametry . . . 69

8.3. Miaraniedokªadno± iestyma ji . . . 71

8.4. Wnioskowaniezpojedyn zegopomiaru,mapaniedokªadno± i . . . 72

8.5. Minimalna li zbapowtórze« . . . 73

8.6. Eksperyment1-estymatoryanality znyistatysty zny . . . 76

8.7. Porównanieestymatorów . . . 77

8.8. Eksperyment2-estymatoranality znyzwykªyorazdualny . . . 80

8.9. Poziomi enamapieniedokªadno± i . . . 82

8.10. Analizawektorówwªasny h . . . 86

8.11. Przykªad estyma jiprzy

dim Θ = 5

. . . 87

8.12. PorównaniedoestymatoraGirkoprzy

dim Θ = 7

. . . 88

Dodatek A. Konwen je w telekomunika ji izy e . . . 94

A.1. Funk jaGreenaoraztransformataStieltjesa . . . 94

A.2. 1-punktowafunk jaGreenaoraztransformataCau hy'ego . . . 95

A.3. 2-punktowafunk jaGreenaoraztransformataCau hy'ego . . . 95

A.4. Wolnekumulantywpodej± iuVoi ules uorazZee. . . 96

A.5. Pojemno±¢informa yjna, wolnaenergiaorazfunk jaBlue . . . 97

Dodatek B. Przykªady ra hunków FRV . . . 101

B.1. Rela je dlamomentówma ierzykowarian ji . . . 101

B.2. RozkªadMar

˘

henko-Pastura . . . 104

Dodatek C. Tabele momentów ma ierzowy h1-go oraz2-gorzdu . . . 107

Dodatek D. Interpreta ja topologi zna diagramów Feynmana . . . 116

z¡ y h, jakte»poszukiwanie szybko irównie»skute znie dziaªaj¡ y halgorytmów

wykonuj¡ y h niezbdne do pra ysystemów komunika yjny h obli zenia. Wszystko

to skutkuje oraz wy»szymi wymaganiami stawianymi nowym te hnologiom, które

aby mó w efek ie ko« owym zapewni¢ i h u»ytkownikom zadowalaj¡ e rezultaty

musz¡ tym wymaganiom sprosta¢.

Niezwykleatrak yjn¡metod¡przekazywaniainforma jijestkomunika jaza pomo ¡

medium w posta i fal elektromagnety zny h, które w ªatwy sposób mog¡ dotrze¢

prakty znie wszdzie, zapewniaj¡ przy tym u»ytkownikomswobod w posta i

mo-bilno± i. Te podstawowe wªasno±i falE-M de yduj¡o atrak yjno± i telekomunika ji

i sprawiaj¡, »e jest ona obe nie jednym z najbardziej po»¡dany h sposobów

prze-kazywania informa ji. Z drugiej strony ogromnym problemem s¡ ograni zone

za-sobywposta ipasma, którymwraz zrosn¡ ym zapotrzebowaniem naprzesyª oraz

wikszy h ilo± idany h zmuszenijeste±myosz zdniegospodarowa¢. Wtejsytua ji

przedmiotem »ywego zainteresowania staªosi poszukiwanienowy h te hnologii,

e- huj¡ y hsimniejszymzapotrzebowaniemnazajmowanepasmoprzyzadanej

prd-ko± itransmisji. Dostpny hjestwielepozy jiliteraturowy hdoty z¡ y htransmisji

bezprzewodowej,po z¡wszyodpodstawtelekomunika ji[1℄pobardziejwspóª zesne

podr znikidoty z¡ eteorii informa ji,przetwarzania iprzesyªaniasygnaªów

yfro-wy h [2℄.

Na uwag wsposób sz zególny zasªuguje komunika ja wielowymiarowa realizowana

przez kanaª typu MIMO (z ang. Multiple-Input Multiple-Output), a wi kanaª

komunika yjny o wielu wej± ia h oraz wielu wyj± ia h. W przypadku komunika ji

bezprzewodowej wyj± iami kanaªu s¡ sygnaªy nadawane przez ukªad wielu anten,

orazanalogi zniewej± iamis¡sygnaªy odbierane przezukªad wieluanten. Pierwsze

pionierskiepra ewtymzakresie[3,4℄ukazaªysiwlata h1998-1999,awi dopiero

kilkana± ielattemu. Atrak yjno±¢kanaªutypuMIMOpolegaªanatym,»ejak

wyni-kaªozobli ze«,pojemno± i¡kanaªu(zang. Capa ity)rozumianajakomaksymalna

mo»liwa do osi¡gni ia prdko±¢ transmisji pozbawionej jesz zebªdów, byªa

samego pasmawobydwu przypadka h. Wynikaj¡ yz ra hunkówwzrostpojemno± i

byª tym wikszy, im wi ej anten posiadaª rozpatrywany kanaª. Byªy to

o zywi-± ie przesªankiniezwykleobie uj¡ e,tematykakanaªówMIMOstaªasiwi szybko

bardzo atrak yjna. Prakty znie naty hmiast nast¡piª okres dynami znego rozwoju

[5, 6,7,8,9℄,przy zymwieleuwagipo±wi onoprojektowaniu orazanaliziemodeli

komunika jipod k¡temi h wªasno± igrani zny h [10,11 ,12℄.

Wa»nym aspektem staªa si prakty zna umiejtno±¢ wykorzystania mo»liwo± i

ja-kie kryje w sobie komunika ja MIMO. Konstruowano wi oraz skute zniejsze

al-gorytmy detek ji sygnaªu, które pozwalaªy uzyska¢ oraz wiksze prdko± i

trans-misji. Ostate znym elem byªo o zywi± ie zbli»enie si do fundamentalnej

gra-ni y opisywanej przez pojemno±¢ informa yjn¡ kanaªu. Wymieniaj¡ gªówne

me-todydetek jisygnaªuMIMOnale»yprzdewszystkimwspomnie¢odetektora htypu

ZF-DF(Zero-For ingwithDe isionFeedba k)[13℄,SD(SphereDe oding)[14℄,SDR

(Semidenite-Relaxation) [15, 16℄, LR (Latti e Redu tion) [17 ℄, oraz o najbardziej

te hnologi znie zaawansowany h algorytma h detek ji SD (Soft De ision) [18 , 19℄,

pozwalaj¡ y hrealnie uzyska¢ prdko± i transmisji zbli»onedo limitu Capa ity.

Komunika ja poprzez kanaª typu MIMO zostaªa s hematy znie pokazana na

Ry-sunku 1.1,przy zymwogólno± ili zbawej±¢oraz wyj±¢niemusz¡by¢ takiesame.

Istotnym faktem jest za hodz¡ a w kanale transmisyjnym interferen ja pomidzy

posz zególnymi sygnaªami nadawanymi (z tego wzgldu kanaªtego typu nazywany

jestte»kanaªeminterferen yjnym). Ozna zato,»esygnaªyoddziaªujamidzysob¡

w pewien sposób. Dodatkowo sygnaªjest zakªó anyprzez szum addytywny. Warto

zauwa»y¢, »e badania nad ukªadami, gdzie obe ny h jest wiele z¡stek

oddziaªu-j¡ y h wzajemnie rozpo zto w zy e ju» dawno - potramy statysty znie opisa¢

za howanie gazów zy ie zy. Istniej¡ e analogie pomidzy za howaniem sygnaªów

w komunika ji a za howaniem z¡stek w zy e statysty znej pozwalaj¡ zastosowa¢

niektóre narzdzia wywodz¡ e si z zyki do telekomunika ji, dziki zemu midzy

innymi rozwój wtejdziedzinie nastpuje tak szybko.

Rysunek 1.1. Kanaª komunika yjnyMIMO,sygnaªy wej± ioweinterferuj¡zesob¡ pod zas

pro esuprzesyªu.

Ze wzgldów prakty zny h systemy telekomunika yjne projektowane i analizowane

s¡ zsto wzna znie uprosz zonysposób,mianowi iepro eskomunika ji podzielony

jest nakolejneetapy,takjakto pokazanona Rysunku1.2. Wtakim modelusygnaª

po hodz¡ y z wielu ¹ródeª traa do kanaªu MISO (Multiple-Input Single-Output,

Rysunek1.2. Uprosz zonymodel kanaªukomunika yjnego,sygnaªynadawanetraaj¡

naj-pierw dowielodostpowegokanaªuMISO, nastpnieprzezsie¢ przekazywanes¡dokanaªu

rozgªoszeniowegoSIMO.

Powró¢my domodelukomunika jiprzezkanaªMIMO,pokazanegonaRysunku1.1.

Je±liprzez

x

ozna zymywektorsygnaªunadanego,przez

n

ozna zymywektorszumu, natomiast przez

H

ozna zymy ma ierz kanaªow¡, to wektor

y

sygnaªu odebranego

mo»emy zapisa¢wposta i

y = Hx + n,

(1.1)

lubte» wrównowa»nej posta imo»emy zapisa¢

r = H

†

y = H

†

Hx + H

†

n,

(1.2)

gdzie sygnaªemodebranym jest

r

. Wrezulta ieka»dez wyj±¢(ka»daze skªadowy h

y

lub

r

)zawierainforma jepo hodz¡ ezka»degozwej±¢(skªadowewektora

x

),oraz dodatkowo odbierany sygnaª zakªó ony jest szumem addytywnym. Co wa»ne [20 ℄,

wektor

r

zawieradokªadnie takiesameinforma je natemat

x

o wektor

y

. Ozna za

towprakty e,»einteresuj¡ anasinforma janatematsygnaªunadanego

x

mo»eby¢ dokªadnie wtakim samymstopniu odtworzonanapodstawie

y

lub

r

,awi istotnie kanaªy 1.1oraz1.2 s¡równowa»ne.

W zale»no± i odkonkretnegosystemuzna zenie skªadowy h posz zególny h

wekto-róworaz samejma ierzy

H

jest ró»ne. Wymie«my kilkapodstawowy hzastosowa«, skupiaj¡ uwag na systema hbezprzewodowy h:

 Systemy wieloantenowe MIMO - skªadowe wektorów

x

oraz

y

reprezentuj¡ sy-gnaªy nadawane oraz odbierane przez sie¢

K

anten nadaw zy h oraz

N

anten

odbior zy h. Ma ierz

H

opisujeinterferen j pomidzysygnaªamiza hodz¡ ¡w przestrzeni (nakªadanie sygnaªów, odbi ia itp.). Wprakty e tegotypu systemy

stosowane s¡ do poprawy prdko± i transmisji pomidzy nadajnikiem a

odbior-nikiem,a wi kanaª MIMO 1.1sªu»yw isto iedo realiza jisystemu typuSISO

(Sinle-Input Single-Output, jedno wej± ie, jedno wyj± ie).

 SystemyCDMA(Code-DivisionMultiple-A ess)-maj¡na eluzapewni¢dostp

Konstruk ja tego typu systemu oparta jest o ide wielodostpu oraz

rozgªasza-nia, które realizowane s¡ w prakty e za pomo ¡ tzw. te hniki rozproszonego

widma(zang. spread spe trum). Wkanalewielodostpu (reverselink, uplink)

skªadowe wektora

x

ozna zaj¡ dane wej± iowe po hodz¡ e od

K

u»ytkowników, natomiastwektor

y

stanowipojedyn zewyj± iewielowymiarowegosygnaªu,który

jest nadawany. Po stronie rozgªoszeniowej (forward link) skªadowe wektora

r

to sygnaªodbierany przez

K

u»ytkowników, pod zasgdy wektor

y

jest traktowany jakopojedyn zywielowymiarowysygnaªwej± iowy. Wobydwuprzypadka h

ma- ierz

H

zawiera sekwen je rozpraszaj¡ e dla ka»dego z

K

u»ytkowników (nada-j¡ y h, odbieraj¡ y h), zapisane w kolejny h kolumna h. System CDMA jest

wi formalnie systemem typu MIMO, realizowanym za pomo ¡

wspóªpra uj¡- y hzesob¡kanaªówtypuMISOorazSIMO.(takisystemMIMOniejestkanaªem

MIMO,któryrozumie¢ nale»ywsensieobe nejwkanaleinterferen ji sygnaªów).

 System OFDM (Orthogonal Frequen y-Division Multiple-A ess) - oparty jest

o podziaª no±nika informa ji (zang.  arrier) na wiele sub- arriers (polskie

tªuma zenie jest wtym przypadku maªo zgrabne: pod-no±niki). Skªadowe

wek-torów

x

oraz

y

reprezentuj¡ sygnaªprzesyªanyzapo±redni twemposz zególny h

sub- arriers postronienadaw zejorazodbior zej,natomiastma ierz

H

opisuje interferen jpomidzyposz zególnymi sub- arriers. Systemtegotypuw

zale»-no± iodimplementa ji mo»ezawiera¢ jednolubwiele wej±¢orazjednolubwiele

wyj±¢.

Klu zow¡kwesti¡jest,»ew eluanalizywªasno± istatysty zny hkanaªu1.1lub1.2

mo»emy posªu»y¢ si jego modelem, w którym za ma ierz kanaªow¡

H

we¹miemy

ma ierzlosow¡zrozkªaduookre±lony hwªasno± ia h,wmo»liwienajbardziejwierny

sposób oddaj¡ y h wªasno± i rze zywistego systemu. W ten wªa±nie sposób w

ko-munika jiwielowymiarowej pojawiaj¡ si ma ierze losowe[3, 4 ℄.

Warto zwró i¢ uwag na pewien istotny fakt, mianowi ie kiedyw lata h 1998-1999

u±wiadomionosobiemo»liwo±¢modelowaniakanaªuMIMOzapomo ¡ma ierzy

loso-wy h,matematykaizykadyposponowaªyju»gotowymnarzdziemwposta iTeorii

Ma ierzy Przypadkowy h [21, 22,23℄, idealniepasuj¡ ym do opisurozwa»anego

za-gadnienia. Cowi ej, natamt¡ hwil odokoªodziesi ulatistniaªa zasªuguj¡ ana

sz zególn¡uwagkon ep jaswobodny hzmienny hprzypadkowy h(wskró ieFRV

-zang. FreeRandomVariables),którapojawiªasiporazpierwszywroku1985[24 ℄

a nastpnie wlata h 90-ty h byªa ju» suk esywnie rozwijana [25 , 26℄. Przy

zaªo»e-niu, »e dlarozwa»any h ma ierzyspeªnionyjestjej podstawowy warunek nazywany

freeness dysponujemy narzdziami w posta i transforma ji R oraz S [27℄. Z i h

pomo ¡ mo»liwe jestsprawneprzeprowadzanie wielura hunkówtrudny hlubwr z

niewykonalny h innymimetodami. Narzdzia tewzastosowaniudo telekomunika ji

wielowymiarowej okazaªy si bardzoprzydatne.

Szybki rozwój telekomunika ji w zakresie analizy wªasno± i kanaªów MIMO

nast¡-piª wi w zna znym stopniu dziki zastosowaniu gotowego narzdzia na grun ie

nowy h problemów, doktóry h jakwspomniano teoria pasowaªa wr zidealnie. W

sz zególno± imo»liwestaªosimodelowaniekanaªówkomunika yjny h,zarównoty h

ni¡ rz¡dz¡ e, zwra aj¡ jedynie uwag na eny ak ji w kolejny h hwila h zasu,

to za howanie gieªdy mo»na zapisa¢ w posta i du»ej ma ierzy, a dokªadniej rze z

ujmuj¡ interesuj¡naswzgldne zmiany en ak ji. Podobnie jak wprzypadku

tele-komunika jiza howanie gieªdyzpowodzeniemmo»namodelowa¢przyjmuj¡ pewne

zaªo»enia za temat ma ierzy notowa«. Okazuje si, »e eny ak ji posz zególny h

spóªek nie s¡ niezale»ne, ale wystpuj¡ midzy nimi pewne korela je. Analizuj¡

ma ierz z danymi gieªdowymi mo»emy na przykªad odtworzy¢ sektory gospodar ze

orazwysz zególni¢ konkretnespóªkipowi¡zanegospodar zo. Interesuj¡ ejesttak»e

zjawisko wystpowania tzw. korela ji zasowy h,bd¡ y hz o zywisty hwzgldów

przedmiotem niezwykle »ywego zainteresowania inwestorów. Popularnymi

przykªa-damizastosowaniaTeoriiMa ierzyPrzypadkowy hdogieªdys¡naprzykªadproblem

stworzeniatzw. optymalnegoportfelainwesty yjnego zyobli zenieValue-at-Risk

orazwielepodobny hzagadnie«,bd¡ y hprzedmiotemzainteresowaniaekonozyki

[30 , 31,32 , 33,34,35 ℄.

Innym, dosy¢ zaskakuj¡ ym,przykªadem zastosowania TeoriiMa ierzy

Przypadko-wy h jest analiza dany h neurobiologi zny h. W tym przypadku sygnaª po hodzi

bezpo±rednio z mózgu pa jenta, przy zym aktywno±¢ posz zególny h jego

obsza-rów rejestrowana jest dziki wykorzystaniu te hniki EEG (elektroen efalograa).

Pierwszepra e pionierskie doty z¡ eobserwa ji aktywno± imózgu zapomo ¡ EEG

ukazaªy si w lata h70-ty h [36 , 37℄, kiedyto zaobserwowano, »e w rejestrowany h

sygnaªa hpojawiaj¡sipewne harakterysty zne zstotliwo± i. Dalszyrozwójwtej

dziedzinie polegaª na doskonaleniu instrumentów pomiarowy h, poszukiwaniu

ogól-ny hprawidªowo± i rejestronwanegosygnaªu zyte»jegokorela jizró»negorodzaju

bod¹ ami. Natomiastnie aªedziesi¢ lat temu zauwa»ono, »e sygnaªEEGzapisany

w posta i ma ierzy mo»na w pewny h warunka h modelowa¢ za pomo ¡ ma ierzy

przypadkowy h [38 ℄. Badaniadany h neurobiologi zny h z u»y iemTeorii Ma ierzy

Przypadkowy h s¡jednak na hwil obe n¡wdosy¢ po z¡tkowej fazie.

Warto wspomnie¢, »e rozwa»aj¡ dany model (kanaª MIMO, notowania gieªdowe

itd.), pojawiaj¡ e si w nim ma ierze naj z± iej traktujemy jako Gaussowskie, a

wi ma ierz kowarian ji jest ma ierz¡ Wisharta ( ho¢ nie zawsze takie zaªo»enie

jest aªkiemdobre, np. wnansa hrozwa»a site» modele zbudowane wopar iu o

ma ierzeokre±lanemianemma ierzyz i»kimiogonami, jaknaprzykªadma ierze

L

´e

vy'ego [33 ℄, zyte» inne zespoªy o podobny h wªasno± ia h). Zpunktu widzenia analizywªasno± isystemówMIMO,aletak»etak»ekonstruk jikonkretny h

Dokªadniej rze z ujmuj¡ interesuje nas mo»liwo±¢ wnioskowania na temat widma

ma ierzy kowarian ji na podstawie mo»liwego do zmierzenia w wyniku

przeprowa-dzony h obserwa ji (pomiarów) widma tzw. do±wiad zalnej ma ierzy kowarian ji.

Zagadnienietoobe nejestwmatematy eoddªu»szego zasu,przy zymobe nystan

wiedzynajego tematzawieraj¡pra e[39 ,40 ,41,42,43℄. Cowa»ne,wprakty zny h

zastosowania h istotne jest zarówno mo»liwie wierne odtworzenie widma ma ierzy

kowarian ji jak te» wykonanie tego zadania mo»liwie szybko, bowiem naj z± iej

systemytelekomunika ji musz¡dziaªa¢w zasie rze zywistym.

Prezentowana pra a doktorska wpisuje si w zarysowany powy»ej nurt. Poruszane

w niej zagadnienia doty z¡ metod i narzdzi przydatny h pod zas przetwarzania i

obróbki dany h ma ierzowy h. Sz zególny na isk poªo»ony zostaª na

wykorzysta-nie w obli zenia h metod diagramaty zny h, wykorzystaniu kon ep ji swobodny h

zmienny h przypadkowy h oraz na zagadnieniu estyma ji widma zaszumionej

ma- ierzy kowarian ji. Zaproponowana w pra y nowa, nieprezentowana dot¡d metoda

odtwarzania widma (nazwana robo zoanality znym estymatorem widma)wydaje

siby¢atrak yjn¡alternatyw¡dlametodobe niestosowany h,zwªasz zazewzgldu

nabrakkonie zno± iokre±lenianawstpiemultipli ity dlaposz zególny hwarto± i

wªasny h,aletak»e ze wzglduna du»¡ szybko±¢jej dziaªania. Ponadto

zapropono-wana zostaªa prosta i przy tym przejrzysta metoda badania zakresu stosowalno± i

badanego estymatora widma (zakres rozumiany w sensie wymiarów ma ierzy

ob-serwa ji), która przy okazji mo»e sªu»y¢ jako wygodne narzdzie porównaw ze dla

ró»ny h estymatorów. Z tego punktu widzenia spora z±¢ pra y doty zy rozwoju

skute znie i niezawodnie dziaªaj¡ y h metod sªu»¡ y h przetwarzaniu dany h

ma- ierzowy h. Poruszono tak»e wa»ne zagadnienie jakim jest pojemno±¢ systemów

uprasz zaj¡ ew zna z¡ ysposóbra hunki, wktóry h pojawia si rozwini ie

funk- ji Greena. W sz zególno± i przeprowadzonezostaªo wyprowadzenie funk jiGreena

1-punktowej w przypadka h zespoªów Gaussa oraz Wisharta, zego wynikami s¡

odpowiednio póªkole Wigneraoraz rozkªadMar

˘

henko-Pastura. Nastpnie,równie» z u»y iem metod diagramaty zny h, zostaªy obli zone funk je Greena 2-punktowe

wprzypadka hzespoªuGaussaorazWisharta,orazpokazanowyprowadzenie wzoru

deniuj¡ ego wolnekumulanty.

Kolejny Rozdziaª 5 przedstawia ra hunek, którego wynikiem s¡ wzory pozwalaj¡ e

obli zy¢ 1-punktow¡ oraz 2-punktow¡ funk j Greena dla odwrotno± i danego

ze-spoªuma ierzowego, przy zymodwrotno±¢ zespoªurozumianajest jako zespóª

zªo-»onyz odwrotno± ima ierzytworz¡ y h zespóªwyj± iowy.

W Rozdziale 6 pokazany zostaª sposóbuzyskania rela ji wyra»aj¡ y h kolejne

mo-mentyma ierzowe1-rzdudo±wiad zalnejma ierzykowarian ji

S

(gdzie

S

toma ierz kowarian jima ierzyobserwa ji

X

owymiarze

N ×M

)zapomo ¡momentów ma ie-rzykowarian ji

Σ

,orazrela jidoni hodwrotny h. Pokazanotak»ejaknapodstawie

wyniku ra hunku przedstawionego w Rozdziale 4 mo»na wyrazi¢ momenty

ma ie-rzowe2-rzdu zapomo ¡momentówma ierzowy h1-rzdu. Wszystkiewspomniane

ra hunkizostaªyprzeprowadzonetak»edlama ierzyodwrotny h. Nakonie obydwa

wzory (w wersjipodstawowej oraz w wersji dla ma ierzy odwrotny h) wi¡»¡ e

mo-menty ma ierzowe 2-rzdu z momentami 1-rzdu zostaªy numery znie sprawdzone

dla ró»ny h wymiarówma ierzy obserwa ji

X

.

Kolejny Rozdziaª 7 przybli»a problem estyma ji widma ma ierzy kowarian ji

Σ

na podstawie znajomo± i do±wiad zalnej ma ierzy kowarian ji. Przedstawiono

sz ze-góªowo konstruk j dwó h estymatorów, anality znego oraz statysty znego, które

reprezentuj¡ zupeªnieodmienne podej± iadozagadnienia. Rozwa»onyzostaªwpªyw

li zby ró»ny h warto± i wªasny h w hodz¡ y h w skªad widma na dziaªanie

esty-matora anality znego. Dodatkowopokazanyzostaªsposóbkonstruk jidodatkowy h

znajo-Rozdziaª 8 doty zy implementa ji oraz wzajemnego porównania rozwa»any h

es-tymatorów widma. W rama h przygotowania do przeprowadzenia zaplanowany h

symula ji rozwa»onezostaªy zagadnienia takie jak: ustalenie parametrów istotny h

z punktu widzenia dziaªania estymatorów, na tej podstawie zaproponowano miar

pozwalaj¡ ¡ wsposóbilo± iowy opisa¢niedokªadno±¢uzyskany hestyma ji(dla

da-nego estymatora, na podstawie ma ierzy obserwa ji o dany h wymiara h),

wpro-wadzono poj ie mapy niedokªadno± i oraz podjta zostaªa próba osza owania

mi-nimalnej statystyki konie znej dla uzyskania wyników o rozs¡dnej wiarygodno± i.

Nastpnie wykonany zostaª'Eksperyment 1', maj¡ y na elu porównanie dziaªania

estymatora anality znego oraz statysty znego. Kolejny 'Eksperyment 2' sªu»yª

po-równaniu dziaªania estymatora anality znego w wersji podstawowej oraz dualnej,

przy zymzbadanotak»ejakzmienia siró»ni a pomidzy badanymiestymatorami

wraz z przeskalowaniem warto± i wªasny h w hodz¡ y h w skªad widma. Zgodnie

z kon ep j¡ prezenta jiwynikówsymula ji namapa hniedokªadno± i wszystkie

sy-mula jezostaªywykonanewszerokimzakresiewymiarówma ierzyobserwa ji

X

. W

nastpnej kolejno± i podjto prób analizyprzekrojówprzez powierz hniuzyskan¡

jakowynik'Eksperymentu1'orazzbadanoorienta jwektorówwªasny h. Pokazany

zostaª przykªad dziaªania estymatora anality znego dla wikszej li zby stopni

swo-body. WRozdziale8.12wykonanokilkasymula jisªu»¡ y hporównaniuestymatora

anality znego doestymatoraGirko (tzw. G-estymator).

Ostatni Rozdziaª 9 zawiera podsumowanie pra y oraz krótkie omówienie gªówny h

jej wyników.

DodatekAstanowipewnegorodzajusªownik pomidzydeni jamiinazewni twem

stosowanymi przez ±rodowiska zyków, matematyków oraz in»ynierów np.

teleko-munika ji. Pokazano na zym konkretnie polegaj¡ ró»ni e wynikaj¡ e z u»ywania

ró»ny hdeni ji doty hsamy hlubanalogi zny hobiektów. Jednym zprzykªadów

jest obli zenie pojemno± i informa yjnejdlakanaªuMIMO.

WDodatku Bpokazanoprzykªadyra hunkówwykonany hz u»y iem transforma ji

RorazS,awi narzdziwywodz¡ y hsizkon ep jiswobodny hzmienny h

przy-padkowy h.

Dodatek C zawiera tabele rela ji pomidzy kolejnymi momentami ma ierzowymi,

któreze wzgldu nadu»¡ objto±¢ niezostaªy umiesz zonewRozdziale 6.

W Dodatku D przedstawiona zostaªa topologi zna interpreta ja diagramów F

eyn-mana. Rozwa»ano harakterystyk Eulera grafów bez ko« ów. Pokazano zwi¡zek

ty h grafów z grafami stanowi¡ ymi elementy rozwini ia funk ji Greena, ze

sow¡

x

o rozkªadzie prawdopodobie«stwa

p(x)

, dla której zdeniujemy funk j

F

x

(q)

generuj¡ ¡ momentyoraz funk j

C

x

(q)

generuj¡ ¡ kumulanty

F

x

(q) =

Z

e

qx

p(x)dx,

C

x

(q) = log F

x

(q).

Momentami zmiennej losowej

x

nazywamy wspóª zynniki

m

n

rozwini ia funk ji generuj¡ ej momentyw posta i

F

x

(q) =

∞

X

n=0

q

n

n!

Z

x

n

p(x)dx =

∞

X

n=0

q

n

n!

m

n

,

natomiastkumulantamibdziemynazywa¢wspóª zynniki

κ

k

rozwini iafunk ji ge-neruj¡ ej kumulanty, o mo»emy zapisa¢w posta i

F

x

(q) =

∞

X

n=0

q

n

n!

m

n

= exp

"

_∞

X

k=0

q

k

k!

κ

k

#

Powy»sza deni ja kumulant pozwala w sposób rekuren yjny wyrazi¢ moment

m

n

za pomo ¡ kumulant

κ

k

,gdzie

k = 1, . . . , n

. Kilkapierwszy hrela jiwygl¡da nast-puj¡ o

m

1

= κ

1

m

2

= κ

3

+ κ

2

1

m

3

= κ

3

+ 3κ

2

κ

1

+ κ

3

1

Deni ja 2 (‘rednia ma ierzowa) Rozwa»my zespóª ma ierzy

M

o wymiara h

N × N

wraz zmiar¡ ma ierzow¡

dM

orazpewnympoten jaªem

V (M )

deniuj¡ ym rozkªad prawdopodobie«stwa dla tego zespoªu jako

P (M ) = exp[−N

Tr

V (M )]

. Dla

funk ji

F (M )

mo»emyzdeniowa¢ ±redni¡

hF (M)i

po zespolema ierzowym

M

jako aªk

hF (M)i =

Z

dM P (M )F (M ) =

Z

dM exp[−N

Tr

V (M )].

Deni ja 3 (‘rednia ma ierzowa  onne ted) Rozwa»my zespoªy ma ierzy

A

oraz

B

o wymiara h

N × N

oraz przyjmijmy, »e speªnione s¡ zaªo»enia Deni ji

2. Wów zas dla zespoªów ma ierzy

A

oraz

B

mo»emy zdeniowa¢ ±redni¡ ma ie-rzow¡  onne ted w posta i

hABi

c

= hABi − hAi hBi

Deni ja4 (Funk ja Greena) Dlazespoªuma ierzowego

H

zdeniujemyfunk j

Greena (rezolwent) w posta i

G(z) =



1

N

Tr

1

1

N

z − H



.

Deni ja 5 (Momenty ma ierzowe) Nie h

A = (A

N

)

N

∈N

ozna za zespóª ma- ierzowy o rze zywisty h warto± ia h wªasny h. Wów zas zdeniujemy momenty

ma ierzowe pierwszego rzdu wposta i

α

A

j

= lim

N

_→∞



₁

N

Tr



A

j

_N



orazmomenty ma ierzowe drugiego rzdu jako

α

A

i,j

= lim

N

_→∞

D

Tr

A

i

N

,

Tr



A

j

_N

E

on

,

przy zym

< AB >

on

=< AB > − < A >< B >

.

Deni ja 6(Szeregi potgowe) Rozwa»my zespóªma ierzowy

A

o rze zywisty h

warto± ia h wªasny h, posiadaj¡ y momenty ma ierzowe pierwszego oraz drugiego

rzdu. Zdeniujemy szereg potgowy pierwszego rzdujako

M

A

(x) = 1 +

X

j

≥1

α

A

_j

x

j

(3.1)

orazszereg potgowy drugiego rzduw posta i

M

A

(x, y) =

X

i,j

_≥1

α

A

_i,j

x

i

y

j

.

(3.2)

Deni ja7(Swobodne kumulanty ) Swobodnekumulantyzgodniezterminologi¡

wprowadzon¡przezVoi ules u[25℄deniujemywsposóbpo±rednipoprzezi hfunk j

tworz¡ ¡

R(x)

oraz funk j Greena

G(x)

jako

R(x) =

X

n

≥1

κ

n

x

n

−1

,gdzie

1

jest speªniony dla wszystki h

j ≥ 3

oraz wszystki h

i(1), . . . , i(r) ∈ N

, gdzie

κ

r

ozna- za r-t¡ kumulant klasy zn¡.

Deni ja 9 (Wektor uktua ji momentów ma ierzowy h) Nie h zespóª

ma- ierzowy

A

N

posiada grani zny rozkªad momentów 2-go rzdu. Fluktua je momen-tów ma ierzowy h pierwszego rzdu zapiszemy w posta i wektora o niesko« zonym

wymiarze w posta i

(v)

_j

=

Tr

A

j

−

Tr

A

j



_.

3.2. Podstawowe narzdzia ra hunkowe

Ra hunki w bazie diagonalnej

Zapisuj¡ rozwa»any problem w bazie diagonalnej pojawiaj¡ si takie poj ia jak

spektralna gsto±¢ prawdopodobie«stwa

ρ(λ)dλ

orazrównowa»ne z Deni j¡ 5 mo-menty spektralnewyra»one jako

m

k

=



1

N

Tr



A

k

_N



=

Z

ρ(λ)λ

k

dλ.

Wprzypadku kiedywidmojestdyskretnezapiszemyodpowiednio

prawdopodobie«-stwo

p

i

pojawieniasiwwidmiewarto± i wªasnej

λ

i

,natomiastmomentyspektralne wynosi¢bd¡

m

k

=

P

i

(λ

i

)

k

p

i

.

Ponadtomamymo»liwo±¢skorzystaniarela ji wposta i

lim

ǫ

_→0

1

λ ± ǫ

=

P



1

λ



∓ iπδ(λ),

oraz zezwi¡zku ª¡ z¡ ego gsto±¢prawdopodobie«stwa

ρ(λ)

z funk j¡ Greena

ρ(λ) = −

1

_π

lim

ǫ

_→0

ℑG(z)|

z=λ+iǫ

.

Mo»emy te» o zywi± ie wyrazi¢ funk j Greena za pomo ¡ warto± i wªasny h w

posta i

G(z) =



1

N

Tr

1

1

N

z − H



=

∞

X

k=0

1

z

k+1



1

N

Tr

H

k



=

∞

X

k=0

1

z

k+1

m

k

=

∞

X

k=0

1

z

k+1

Z

ρ(λ)λ

k

dλ.

Freeness

Kon ep ja Swobodny h zmienny h przypadkowy h (z ang. Free Random

Varia-bles,wskró ieFRV)doty z¡ ara hunkuma ierzyprzypadkowy hjest

odpowied-nikiem niezale»no± i zmienny h losowy h w klasy znej teorii prawdopodobie«stwa.

Termintenpojawia sizamiennie z równowa»nym okre±leniemSwobodne ma ierze

przypadkowe. W ±rodowisku matematyków mo»na spotyka¢ si te» z okre±leniem

Wolnema ierze przypadkowe.

TerminFreeness porazpierwszyzostaªu»ytyprzezVoi ules u[24 ℄,[25 ℄apre yzuje

go nastpuj¡ a

Deni ja 10 (Swobodne zespoªy ma ierzowe - warunek Freness) Nie h

bd¡ dane zespoªy ma ierzowe

H

1

, H

2

, . . . , H

m

oraz wielomiany

P

jednej zmiennej zdeniowanedlaka»degozzespoªów,przy zymzmienn¡ka»degozwielomianówjest

inny zespóª ma ierzowy

P

1

(H

i(1)

), . . . , P

k

(H

i(k)

),

i(1) 6= i(2) 6= . . . 6= i(k).

Zakªadamy ponadto, »e ±rednia ma ierzowa dla ka»dego z wielomianówwynosizero

∀

j=1,...,k

< P

j

(H

i(j)

) >= 0.

Mówimy, »e zespoªy ma ierzy

H

1

, H

2

, . . . , H

m

s¡ swobodne (lubte» równowa»nie,»e zespoªy tespeªniaj¡ warunekFreeness), je±li za hodzi

< P

1

(H

i(1)

) · · · P

k

(H

i(k)

) >= 0

Przykªady obli zenia momentów mieszany h

Z te hni znego punktuwidzenia warunek Freeness jestsposobem na poli zenie

mo-mentów mieszany h zespoªów

H

1

,

H

2

,

. . .

,

H

m

oile tylkoznanes¡kolejnemomenty

H

i

. Ideprzeprowadzaniara hunkówzaprezentujemynakilkuprosty hprzypadka h.

Przykªad 1

Dane s¡ dwa zespoªy ma ierzowe

A

oraz

B

, przy zym zaªo»enia Deni ji 10 speª-nione s¡ przez zespoªy

A = A −

˜

1

< A >

oraz

B = B −

˜

1

< B >

(dla wygody

ra hunkubdziemypomija¢ wzapisiema ierzow¡ jedynk). Ch ¡ obli zy¢moment

< AB >

zapiszemy

0 =< ˜

A ˜

_{B >=< (A− < A >)(B− < B >) >=< AB > − < A >< B >,}

a wi

< AB >=< A >< B >

.

Przykªad 2

Dla ty h samy h zespoªów o w powy»szym przykªadzie h emy poli zy¢ moment

< AB

2

>

. Rozwa»mywyra»enie

które po wymno»eniu wszystki h skªadników i skorzystaniu z wyniku Przykªadu 1

zapiszemywposta i

< ABA >=< A

2

>< B > .

Przykªad 4

Postpuj¡ wpodobnysposób, zylimno»¡ wszystkieskªadnikiodpowiedniego

wy-ra»enia orazposªuguj¡ siwynikiemPrzykªadu 1,otrzymujemymoment

< A

2

_B

2

_>

wposta i

< A

2

B

2

>=< A

2

>< B

2

> .

Przykªad 5

Obli zmy moment typu

< ABAB >

. Wtym elu nale»yzapisa¢wyra»enie

0 =< ˜

A ˜

B ˜

A ˜

_{B >=< (A− < A >)(B− < B >)(A− < A >)(B− < B >) >,}

którepo krótkimra hunku przeksztaª amydo posta i

< ABAB >= − < A >

2

< B >

2

+ < AB

2

>< A > + < ABA >< B >

+ < A >< BAB > − < A >

2

< B

2

> + < A

2

_{B >< B > − < A}

2

>< B >

2

.

Skorzystamynastpnie zrezultatów przedstawiony hwPrzykªadzie 2oraz

Przykªa-dzie 3. Otrzymujemy

< ABAB >=< A

2

>< B >

2

+ < A >

2

< B

2

_{> − < A >}

2

< B >

2

.

3.3. Transforma je R,S (lub B, N)

Transforma ja R - funk ja Blue

Dane s¡zespoªy swobodny h ma ierzy hermitowski h

H

1

oraz

H

2

, dlaktóry h mo-»emyzapisa¢funk je Greena

G

H

1

(z)

oraz

G

H

2

(z)

. Interesujenasobli zenie momen-tówdlarozkªadubd¡ egosum¡

H

1

oraz

H

2

, zyli innymisªowy h ieli by±myzna¢ posta¢ funk jiGreena

G

H

1

+H

2

(z)

. Zauwa»my, »e funk ja Greena nie jest w prosty sposób addytywna, przez o zadanie jest nietrywialne. Sposobem na obli zenie

po-szukiwanej funk jiGreena jest zastosowanie transforma ji R[25 ℄. Dlama ierzy

H

1

oraz

H

2

zapiszmyfunk j Bluespeªniaj¡ ¡

która zwi¡zana jestz transforma j¡R zale»no± i¡

R

H

i

(z) = B

H

i

(z) −

1

z

.

Takobli zona funk ja

R

H

i

(z)

, nosz¡ a miano transformaty R,jest addytywna i za- hodzi

R

H

1

+H

2

(z) = R

H

1

(z) + R

H

2

(z)

. Jej zastosowanie pozwala w prosty sposób obli zy¢poszukiwan¡funk jGreena

G

H

1

+H

2

(z)

. Wi ejinforma jinatematfunk ji Blue orazfunk ji

R

znajduje siwDodatku A.4.

Transforma ja S - transforma ja N

Rozpatrujemyponownieprzypadekdwó hswobodny hzespoªówma ierzy

hermitow-ski h

H

1

oraz

H

2

,dlaktóry h mo»emyzapisa¢funk jeGreena

G

H

1

(z)

oraz

G

H

2

(z)

. Tym razem interesuje nas obli zenie momentów dla rozkªadu bd¡ ego ilo zynem

H = H

1

· H

2

, a wi poszukiwa¢ bdziemy funk ji Greena

G

H

1

·H

2

(z)

. Zauwa»my, »e ma ierz

H

nie jestwogólno± i hermitowska, tym samymjej widmonie musiby¢ rze zywiste. Rozwi¡zaniem tak postawionego problemu jest transforma ja S [25℄.

Znaj¡ funk je

G

H

i

(z)

wyli zamy najpierw funk je pomo ni ze

χ

i

(z)

rozwi¡zuj¡ równania

1

χ

i

(z)

G

H

i



1

χ

i

(z)



= z + 1.

(3.3)

Wów zastransforma ja Szadanajest wzorem

S

i

(z) =

1 + z

z

χ

i

(z),

(3.4)

która jestobiektemmultiplikatywnym,awi za hodzi

S

H

1

·H

2

(z) = S

H

1

(z) · S

H

2

(z)

. Tak wi h ¡ uzyska¢ funk j Greena

G

H

2

·H

2

(z)

nale»y najpierw obli zy¢ funk- je

G

H

1

(z)

oraz

G

H

2

(z)

, nastpnie na i h podstawie funk j

S

H

1

·H

2

(z)

a nastpnie postpuj¡ w kolejno± i odwrotnejdo powy»szej otrzymujemy poszukiwana funk j

Greena

G

H

2

·H

2

(z)

.

Wartowspomnie¢,»ezast¡pieniezaprezentowanejpowy»ejfunk ji

χ(z)

jej odwrotno-± i¡

N (z) =

1

χ(z)

[44 ℄niesiepewnewymiernekorzy± i,wobe zegojejwprowadzenie jest uzasadnione. Mianowi ie z jednej strony podstawienie takie uprasz za nie o

ra hunki, z drugiej strony zwi¡zek funk ji

N (z)

z funk j generuj¡ ¡ momenty jest

zna znie bardziej intui yjny ni» w przypadku pierwotnej funk ji

χ(z)

. Zapiszemy zatem deni j transforma ji

N

jako

N

H

(z)G

H

(N

H

(z)) − 1 = z,

(3.5)

przy zymwynikaj¡ ezwªasno± imultiplikatywno± itransforma ji

S

prawo mno»e-niadla transforma ji

N

przyjmie posta¢

N

H

1

·H

2

=

z

z + 1

N

H

1

(z)N

H

2

(z).

(3.6)

Jakwspomniano,transforma ja

N

jestwbardzoprzejrzystysposóbzwi¡zanaz

funk- j¡ generuj¡ ¡ momenty,która jestzdeniowana jako

zG

H

(z) − 1 = M

H

(z) =

X

n

≥1

m

n

H

z

n

.

(3.7)

Funk ja Greena, wolne kumulanty

-diagramatyka

Podej± ie diagramaty zne pozwala na stosunkowo szybkie i przejrzyste

wyprowa-dzenie wielu przydatny h w dalszej z± i pra y rela ji. W poni»szym rozdziale

w pierwszejkolejno± i zostan¡ przybli»one ogólnereguªy zwi¡zane z posªugiwaniem

sidiagramamiFeynmana. Nastpniepokazanezostan¡wyprowadzenia1-punktowej

oraz2-punktowejfunk jiGreenabazuj¡ ewªa±nienametodziediagramaty znej,przy

zymrozwa»onezostan¡osobnoprzypadkizespoªuGaussaorazWisharta. Pokazana

zostanie tak»e diagramaty zna konstruk ja wolny h kumulant.

4.1. Diagramy Feynmana - podstawowe informa je

Abyposªugiwa¢ sisprawnie diagramami Feynmanaprzybli»ymy najpierwreguªyz

nimi zwi¡zane (patrz np. [23 ℄ rozdziaª 3). Na Rysunku 4.1 pokazano podstawowe

elementy skªadowe z który h bd¡ budowane grafy. Reguªy budowania grafów w

przypadku zespoªów GaussaorazWishartazostan¡ omówione osobno.

Rozwa»ymynajpierwnajprostszyprzypadekzespoªuGaussa,kiedytopodstawowym

skªadnikiemrozwa»any h funk jiGreenas¡fragmentytypu

H

2

,awi propagatory.

Ma ierze

H

s¡kwadratoweo wymiarze

N × N

. Reguªy budowaniagrafóws¡

nast-puj¡ e:

 Ka»demu propagatorowi odpowiada zynnik

1

N

,  Ka»dej utworzonejptliodpowiada zynnik

N

.

 Istotny wkªad po hodzi tylko od grafów planarny h (bez prze i¢, komentarz

poni»ej).

 Je»eli rozpatrujemy funk j od dwó h zmienny h, wów zas ka»dejzmiennej

od-powiadaj¡ osobnelinie, który hniemo»naze sob¡miesza¢ (komentarz poni»ej).

W przypadkuzespoªuWishartareguªy ulegaj¡pewnej modyka ji. Przede

wszyst-kim dla rozkªadu Wisharta podstawowy skªadnik z którego bd¡ budowane grafy

wygl¡da ina zej,mamybowiemma ierze

V

wystpuj¡ ewpara hjako

H = V

†

_V

,a

zatem podstawowymskªadnikiembdziewtymprzypadkuniepropagator alera zej

werteks, przy zym wymiar

V

to

N × M

oraz

M/N = m

. Dodatkowo w tym

przypadku nale»yrozró»nia¢ linienios¡ e

N

oraz

M

skªadników, o jest zwi¡zanez tym,po którejkrawdzi ma ierzy

V

li zymy. Wprakty e rysujemylinie nios¡ e

M

skªadnikówlini¡ kreskowan¡, linienis¡ e

N

skªadnikówlini¡ i¡gª¡.

Wymie«my reguªybudowaniagrafów dlazespoªuWisharta

 Ka»demu werteksowiodpowiada zynnik

q

1

N

.

Rysunek4.1. Reguªy dlagrafówFeynmana-przypadekrozkªaduGaussaorazWisharta

 Linie odpowiadaj¡ e krawdzi ma ierzy

V

o wymiarze

N

rysujemylini¡ i¡gª¡, dlakrawdzio wymiarze

M

lini¡przerywan¡.

 Ka»dej ptliutworzonej z linii i¡gªejodpowiada zynnik

N

,ptliutworzonej z liniiprzerywanej zynnik wynosi

M

.

 Istotny wkªadmaj¡tylko grafyplanarne (bez prze i¢, komentarz poni»ej).

 Je»eli rozpatrujemy funk j od dwó h zmienny h, wów zas ka»dej zmiennej

od-powiadaj¡ osobnelinie, który h niemo»naze sob¡miesza¢. Doty zytozarówno

linii i¡gªy hjakrównie» przerywany h (komentarz poni»ej).

Grafy planarne

Wyja±nijmy dla zego bierzemy pod uwag tylko grafy planarne. Nale»y pamita¢,

»e rozwini ie funk ji Greenarozpatrujemyw grani ydu»y h

N

. Jakzostaªo

wspo-mniane ka»dy propagator / werteks daje zynnik

1

N

/

q

1

N

lub

M

, natomiast ka»da

ptla to zynnik

N

lub

M

. Je±lizatem wrozpatrywanym graeli zba utworzony h ptlijestzbytmaªawstosunkudoli zbypropagatorów/werteksów,wów zasw

gra-ni ydu»y h

N

takigrafbdziedawaªwkªadd¡»¡ ydozera. Jakªatwosiprzekona¢, wprakty e s¡to to grafy,wktóry h po narysowaniulinieprze inaj¡ si,nazywamy

je grafami nieplanarnymi. Grafy tego typu po prostu pomijamy jako nie daj¡ e

w grani y du»y h

N

istotnego wkªadu do rozpatrywanego wyra»enia, rozwa»amy tylko grafy planarne a wi bez prze i¢. Rysunek4.2pokazujekilkanajprostszy h

przykªadówgrafówplanarny h oraznieplanarny h. Dodatkowe informa jenatemat

interpreta ji topologi znej diagramów Feynmanaznajduj¡ si wDodatkuD.

Rysunek4.2. Przykªadygrafów: grafya)orazb)planarne,graf )nieplanarny

Grafy funk ji dwó h zmienny h

Nakonie nale»yjesz zewspomnie¢otymjakrysowa¢grafyje±lirozpatrujemy

funk- je od dwó h zmienny h. W takim przypadku nale»y pamita¢ o rozró»nieniu linii

jaki±innywyró»nik. Wnaszymprzypadkugrafybdziemyrysowa¢napier± ienia h

odwó hkrawdzia h,przy zymka»dejkrawdzibdzieodpowiada¢jednazmienna.

Naprzykªadmo»naustali¢,»ezewntrznejkrawdzipier± ieniaodpowiadaj¡linie

1

z

, natomiast wewntrznejkrawdzi odpowiadaj¡ linie

1

w

.

4.2. Funk ja Greena 1-punktowa - rozkªad Gaussa

Rozwa»myrównanie 1-punktowej funk jiGreenawposta i

G(z) =



1

N

Tr

1

1

N

z − H



,

gdzie 1

N

ozna za ma ierz jednostkow¡ o wymiarze

N × N

. W dalszej z± ipra y zgodniezpowsze hnapraktyk¡wzapisiefunk jiGreenabdziemyzwyklepomija¢

je-dynk1

N

, ouprasz zanie onota jnieprowadz¡ równo ze±niedonieporozumie«. Powy»sze równanie funk jiGreenarozwiniemywszereg wokóª

z = ∞

otrzymuj¡

G(z) =

1

z

+

1

z

2



1

N

Tr

H



+

1

z

3



1

N

Tr

H

2



+

1

z

4



1

N

Tr

H

3



+ . . . .

(4.1)

WjzykugrafówFeynmanafunk jGreenabdziemyrysowa¢wposta i

zakreskowa-nego sko±nie koªa. Zgodnie z reguªami przedstawionymi w Rozdziale4.1 Równianie

(4.1) wygl¡da¢ bdzietak jakto pokazanona Rysunku4.3.

Rysunek4.3. Funk jaGreenawprzypadkuzespoªuGaussa. Niektóreztworz¡ y hj¡grafów

s¡typu 1PI,natomiastinnenie.

Zauwa»my nastpnie, »e w zapisie funk ji Greena pojawiaj¡ si zasadni zo dwa

ro-dzaje diagramów, mianowi ie niektóre z grafów niedaj¡ si rozdzieli¢ po prze i iu

dowolnej z linii wewntrzny h. S¡ to tzw. grafy 1- z¡stkowo nieredukowalne

(dia-gramy t zowe), które w skró ie nazywane s¡ te» 1PI (z ang. 1PI = 1 parti le

irredu ible). Zgrupujmy ze sob¡wszystkie grafy 1- z¡stkowo nieredukowalne

nazy-waj¡ i hsum

Σ

,tak jakto pokazanona Rysunku4.4. Tak zdeniowany szereg

Σ

Rysunek4.4. Sumagrafów1PIwprzypadkurozkªaduGaussa

pozwalazapisa¢funk jGreenawnowysposób. Šatwobowiemzauwa»y¢,»ejedynie

poza pierwszym skªadnikiem wynosz¡ ym

1

z

, ka»dy z grafów w hodz¡ y h w skªad funk jiGreenajestalbojednymzeskªadnikówszeregu

Σ

,albojestpoª¡ zeniemkilku skªadników

Σ

. Mo»emyzatem zapisa¢funk j Greena wposta iprzedstawionejna

=

1

z

X

n=0

Σ

z

=

1

z

1

1 −

Σ

z

,

którezapiszemyostate zniew posta i

G(z) =

1

z − Σ(z)

.

(4.2)

Warto w tym momen ie wspomnie¢, »e symbol

Σ

pojawia si w niniejszej pra y w dwó h konteksta h. W odniesieniu do grafów Feynmana ozna za on sum

wszyst-ki h grafów 1- z¡stkowo nieredukowalny h, tak jakto zostaªopokazanepowy»ej. Z

drugiej stronywodniesieniudowidmama ierzyma ierzyprzypadkowy h (Rozdziaª

6 orazkolejne)ozna za¢ bdzie prawdziw¡ ma ierzkowarian ji. Stosowanie tego

sa-megosymboluniejestwbrewpozorommyl¡ eitymsamymnieprowadzido»adny h

problemów zypomyªek, gdy»wkonkretnymprzypadku zawszedokªadniewiadomo

o które zna zenie hodzi. W tej sytua ji zde ydowano, »e nie ma wikszego sensu

zmienia¢ ogólnieprzyjtejterminologiiipozostawiono wspólnysymbol

Σ

wobydwu przypadka h.

Póªkole Wignera

Rozpatrujemy przypadek, kiedy poten jaª w mierze

< ... >

wynosi

V (H) = H

2

, a

wi przypadekGaussowski. Funk je Greenaoraz

Σ

zostaªyju» oprawdapokazane

na Rysunka h4.3oraz4.4, jednakdopieroi hzestawieniebezpo±redniooboksiebie,

tak jakto pokazanona Rysunku4.6, pozwalazauwa»y¢ pewn¡zale»no±¢.

Rysunek4.6. Funk ja

Σ

wprzypadkuGaussa,ªatwozauwa»y¢du»epodobie«stwodofunk ji Greena

Widzimyterazwyra¹nie,»eka»dyzdiagramówskªadowy hfunk ji

Σ

utworzonyjest zjednegozdiagramówtworz¡ y hfunk jGreen'aprzezdodaniepropagatora

ª¡ z¡- egoko« etegodiagramu,przy zymwykorzystane wtensposóbzostan¡wszystkie

Rysunek4.7. RównanieS hwingera-Dysona

Σ

to ni innego jak funk ja Greena obªo»ona jednym dodatkowym propagatorem (równanieS hwingera-Dysona). Fakttenmo»nazapisa¢zapomo adiagramówF

eyn-mana takjakto pokazano naRysunku4.7, o ozna za, »e mo»emyzapisa¢

Σ =

1

N

Tr

G

1

N

=

1

N

GN = G,

a zatem Równanie S hwingera-Dysona (4.2) w rozwa»anym przypadku rozkªadu

Gaussa przyjmuje ostate znieposta¢

G =

1

z − G

,

(4.3)

którego rozwi¡zaniem jest

G(z) =

1

2

[z ±

p

z

2

_{− 4],}

przy zymdlaodtworzenia poprawnego za howaniafunk jiGreenadlaargumentów

z → ∞

nale»ywybiera¢rozwi¡zanie ze znakiem -. Istotniemo»emysprawdzi¢,»e

G(z) =

1

2

[z −

p

z

2

_{− 4] =}

1

2

(z −

√

z

2

_{− 4)(z +}

√

_z

2

_{− 4)}

z +

√

z

2

_{− 4}

=

1

2

4

z +

√

z

2

_{− 4}

z

_→∞

−→

1

_z

,

tak wi zapiszemyostate znie

G(z) =

1

2

[z −

p

z

2

_{− 4].}

(4.4)

Znaj¡ posta¢funk jiGreenajeste±mywstaniewyli zy¢rozkªadwarto± i wªasny h

wwidmie. Zapiszemy zatemrównanie

ρ(λ) = −

_π

1

lim

ǫ

_→0

ℑG(z)|

z=λ+iǫ

= ℑ

1

2

[z −

p

z

2

_{− 4]|}

z=λ+iǫ

,

którego rozwi¡zaniem dla

x

2

_{− 4 ≥ 0}

jest

0

, natomiast dla

x

2

_{− 4 < 0}

otrzymujemy

ρ(λ) =

1

2

(z −

p

z

2

_{− 4).}

(4.5)

Jest toznanywyniknazywanypóªkolem Wignera, któryprzedstawiono naRysunku

4.3. Funk ja Greena 1-punktowa - rozkªad Wisharta

Rozpatrzmyponownie 1-punktow¡ funk j Greena

G(z) =



1

N

Tr

1

z − H



,

któr¡ rozwiniemy wszereg wokóª

z = ∞

,przy zymdla rozkªadu Wisharta mamy

H = V

†

V

,zapiszemy zatem

G(z) =

1

z

+

1

z

2



1

N

Tr

V

†

_V



+

1

z

3



1

N

Tr

(V

†

_{V )}

2



+

1

z

4



1

N

Tr

(V

†

_{V )}

3



+ . . . .

Podstawowym elementem w powy»szym równaniu s¡ werteksy

H = V

†

_V

, który h

sposób rysowania zgodny z nomenklatur¡ diagramów Feynmana zostaª pokazany

gra znie naRysunku4.1. Nale»ypamita¢, »e prostok¡tnema ierze

V

w prakty e

ozna zaj¡,»esumowaniepoptliutworzonejzlinii i¡gªejdaje zynnik

N

,natomiast dlasumowaniapoliniiprzerywanejmamy zynnik

M

. Równanie1-punktowejfunk ji Greena zapisaneza pomo ¡ diagramów FeynmanapokazanonaRysunku4.9.

Rysunek4.9. Funk jaGreen'adlazespoªuWisharta.

Zgrupujmy nastpnie ze sob¡ wszystkie grafy 1- z¡stkowo nieredukowanle, który h

sum ozna zymy symbolem

Σ

. Postpuj¡ analogi znie jakw przypadku

Gaussow-skim, funk j Greenamo»na wyrazi¢wposta iniesko« zonego szeregu

geometry z-nego wktórym pojawi¡ sikolejne potgi

Σ

, o zapiszemyw posta i

G(z) =

1

z

∞

X

n=0



1

z

Σ



n

=

1

z − Σ(z)

.

(4.6)

Zastanówmy si teraz jak w rozwa»anym przypadku zespoªu Wisharta wygl¡da

Σ

. Odpowiednie diagramy dla wyrazów najni»szy h rzdów jak

H

1

,

H

2

zy

H

3

bar-dzo ªatwonarysowa¢, takjakpokazanowgórnej z± iRysunku4.10. Rysuj¡ grafy

grafu wy»szegorzdu narysujemywewn¡trz mniejszej t zy,wów zas obserwujemy,

»e wewn¡trz wspomnianej mniejszej t zyza zynaj¡ pojawia¢sikolejnefragmenty

funk jiGreena,awi pozsumowaniuprzy zynkówodwszystki hrzdówostate znie

pojawia si tam aªa funk ja Greena. Pro esten nazywamy ubieraniem poziomej

linii i¡gªej. Zdrugiejstrony,rysuj¡ grafywinnejkongura ji,wewn¡trz

zewntrz-nejpodwójnejt zyalerówno ze±nienazewn¡trzmniejszy h,wów zasotrzymujemy

kolejne mniejsze t ze uªo»one jedna za drug¡. Zgodnie z pierwsz¡ obserwa j¡

we-wntrzna linia i¡gªadla ka»dejz wewntrzny h t zyjestzawszeubrana dopeªnej

funk jiGreena,tak jakto pokazanowdolnej z± iRysunku4.10.

Rysunek 4.10. Szereg

Σ

dla zespoªuWisharta,pokazanopro es ubierania linii wewn¡trz mniejszy h t zy.

Dla poprawienia przejrzysto± i dalszego ra hunku wprowadzamy dwa pomo ni ze

ozna zenia. Wyobra¹my sobie najpierw, »e ze wszystki h grafów w hodz¡ y h w

skªad

Σ

usuwamy zewntrzn¡ lini i¡gª¡ oraz prze inamy domykaj¡ ¡ je od góry

lini przerywan¡. Otrzymujemy szereg skªadaj¡ y si z grafów, które za zynaj¡ i

ko« z¡ si lini¡przerywan¡. Sum wszystki htaki h grafówozna zymyza pomo ¡

pogrubionej linii poziomej. Po drugie szereg

Σ

z prze it¡ zewntrzn¡ podwójn¡

t z¡ ozna zymy liter¡

F

,takjakpokazanona Rysunku4.11.

Rysunek 4.11. U góry ozna zenie pomo ni ze F, zdoªu równanieS hwingera-Dysonaw

przypadkuzespoªuWisharta.

Wartozauwa»y¢,»edorysowaniedo

F

brakuj¡ ejdo

Σ

zewntrznejpodwójnejt zy ozna za uzupeªnienie linii i¡gªejorazdomkni ie ptliutworzonejz linii

przerywa-nej, awi otrzymujemyrela j

Σ =

M

Rysunek4.12. RównanieS hwingera-DysonadlazespoªuWisharta,wwynikuzwini ia

sze-reguFotrzymujemyrela j

F = 1 + F G

.

Zwró¢my uwag na fakt, »e obserwujemy tu pewn¡ analogi otrzymany h grafów

do równania

B = 1 + A + AA + AAA + . . .

, które mo»na zapisa¢ w posta i

B =

1 + A(1 + A + AA + AAA + . . .) = 1 + AB

. W podobny sposób postpujemy z rozwa»anymi grafami, o pozwala nam na wyra»enie szeregu

F

w posta i sko« zo-negowyra»enia. Rezultatemotrzymanegorównaniawposta igrafówFeynmanajest

rela ja

F = 1 + F G.

(4.8)

Z (4.6),(4.7) oraz(4.8) otrzymujemynaty hmiast równanie

zG

2

_{(z) + G(z)(m − z − 1) + 1 = 0,}

którego rozwi¡zaniem jest

G(z) =

1

2z

h

z − m + 1 ±

p

(m − z − 1)

2

_{− 4z}

i

_,

przy zymdlapoprawnegoodtworzeniaza howaniafunk jiGreenadla

z → ∞

nale»y wybra¢ rozwi¡zanie ze znakiem -. Mo»emy szybko sprawdzi¢, »e jest to poprawny

wybór. Wprowad¹my ozna zenie pomo ni ze w posta i

z + 1 − m = k

, zapiszemy wów zas

G(z) =

1

2z

h

k −

p

k

2

_{− 4z}

i

₌

(k −

√

k

2

_{− 4z)(k +}

√

_k

2

_{− 4z)}

2z(k +

√

k

2

_{− 4z)}

=

k

2

_{− k}

2

_{+ 4z}

2z(k +

√

k

2

_{− 4z)}

=

2

(k +

q

k

2

_{(1 −}

4z

k

2

))

,

przy zymdla

z → ∞

za hodzi

k → ∞

oraz

4z

k

2

→ 0

,awi otrzymujemy

G(z)

z

_−→

→∞

1

z

.

A zatem ostate znym rozwi¡zaniem wynikaj¡ ym z równa« (4.6), (4.7) oraz(4.8) o

poprawnym za howaniuasymptoty znym jestfunk ja

G(z) =

1

2z

h

z − m + 1 −

p

(m − z − 1)

2

_{− 4z}

i

_.

Obli zmy jesz zerozkªadwarto± i wªasny h wwidmie, zapiszemy

ρ(λ) = −

_π

1

lim

ǫ

→0

ℑG(z)|

z=λ+iǫ

=

= −

_2π

1

lim

ǫ

_→0

ℑ

"

1 +

1 − m

z

−

p

(m − z − 1)

2

_{− 4z}

z

# 







z=λ+iǫ

=

=

1

2π

ǫ

lim

→0

ℑ

p

(m − z − 1)

2

_{− 4z}

z











z=λ+iǫ

.

Wyra»eniepodpierwiastkiemprzeksztaª imydo posta i

(m − z − 1)

2

− 4z = z

2

− 2z(m + 1) + (m − 1)

2

.

Jego miejs azerowe to

z

_±

_{= m + 1 ± 2}

√

m = (

√

_{m ± 1)}

2

,

zapiszemyzatem

ρ

M P

(λ) =

1

2π

ǫ

lim

_→0

ℑ

p

(z − z

+

)(z − z

−

)

z











z=λ+iǫ

,

tak wi ostate znierozkªad warto± i wªasny h wprzypadku zespoªuWisharta

opi-sanybdzie wzorem

ρ

M P

(λ) =

1

2π

p

(λ

₋

_{− λ)(λ − λ}

+

)

λ

,

(4.10) gdzie

m =

M

N

oraz

λ

±

= (

√

m ± 1)

2

, przy zym dla

λ /

∈< λ

−

, λ

+

>

za hodzi

ρ

M P

(λ) = 0

. Równanie (4.10) to wynik znany jako wzór Mar

˘

henko-Pastura [47℄. Na Rysunku 4.13 zostaª pokazany wykres ilustruj¡ y rozwa»any rozkªad warto± i

wªasny h dlakilkuprzykªadowy h warto± i parametru

m

.

Wartowspomnie¢,»ewzórMar

˘

henko-Pasturapojawiasi zstowliteraturzetak»e w nie o odmiennej ni» (4.10) posta i, o wynika z posªugiwania si parametrem

r =

_M

N

zamiast

m =

M

N

. Ró»ni a jest o prawda banalna, jednak warto pokaza¢ na zym polega. Rozwa»my prawdopodobie«stwo

ρ

M P

(λ)dλ

, które zapiszemy w zmienny h

Λ = rλ

,gdzie

r =

1

m

. Otrzymujemywów zas

λ

_±

= (

√

_{m ± 1)}

2

=

(1 ±

√

r)

2

r

=

Λ

_±

r

oraz

dλ =

1

r

dΛ

. Interesowa¢ nasbdzieprawdopodobie«stwo

ρ

′

M P

(Λ)dΛ

,o zywi± ie musi za hodzi¢

ρ

M P

(λ)dλ = ρ

′

M P

(Λ)dΛ

,mo»emyzatem zapisa¢

ρ

M P

(λ)dλ =

1

2π

q

(

λ

−

r

−

Λ

r

)(

Λ

r

−

λ

+

r

)

Λ

r

1

r

dΛ = ρ

′

M P

(Λ)dΛ.

Rysunek4.13. Ilustra jawzoruMar

˘

henko-Pastura,rozkªadwarto± iwªasny hdlazespoªu Wishartawzaleno± iodwarto± i

m =

M

N

.

Ostate znie wzór Mar

˘

henko-Pastura przyjmie posta¢

ρ

′

_{M P}

(Λ) =

1

2π

p

(Λ

₋

_{− Λ)(Λ − Λ}

+

)

Λr

,

(4.11) gdzie

r =

N

M

oraz

Λ

±

= (1 ±

√

r)

2

, przy zym dla

Λ /

∈< Λ

−

, Λ

+

>

za hodzi

ρ

′

_{M P}

(Λ) = 0

. Wzory (4.10) oraz(4.11) s¡o zywi± ierównowa»ne.

Nakonie rozwa»a«doty z¡ y hrozkªaduMar

˘

henko-Pasturawartou±wiadomi¢ so-bie,»egsto±¢prawdopodobie«stwa

ρ

M P

(Λ)

opisanawzorem(4.10)doty zysytua ji, kiedyma ierz

V

†

_V

jestwymiaru

N × N

itymsamymniezawieramodówzerowy h. Mo»na jednak równie dobrze rozwa»a¢ ma ierze

V V

†

, które bd¡ miaªy wymiar

M × M

,awi bd¡toma ierzewiksze,przy zymzwikszeniewymiaruwi¡za¢si bdziezpojawieniemsimodówzerowy h. Dokªadnierze zujmuj¡ wwidmietaki h

ma ierzypojawisi

N

warto± iwªasny hniezerowy horaz

M −N

modówzerowy h. I hobe no±¢niewnosi o prawda»adny hdodatkowy hinforma ji, którewpªywaªy

byw istotnysposóbna ksztaªt funk jigsto± i prawdopodobie«stwa, jednak nale»y

pamita¢, »e po wy aªkowaniu daj¡ one niezerowy wkªad do normy. Tak wi ze

wzgldu na konie zno±¢ utrzymania prawidªowej normaliza ji w obe no± i modów

zerowy hrozwa»ana funk jamusi ule modyka jido posta i

ρ

0

_{M P}

(λ) =

M − N

M

δ(0) +

N

M

ρ

M P

(λ),

która powy aªkowaniu dajeprawidªow¡ norm równ¡ jedno± i.

4.4. Funk ja Greena 2-punktowa

Przedstawionyponi»ejra hunek, maj¡ yna eluzapisfun jiGreena2-punktowejza

obowi¡zuj¡ y dlazespoªu Gaussaotrzymanyprzez [48℄zostaª uogólniony[49℄ tak»e

dla przypadku zespoªu Wisharta. Zapiszmy najpierw ogóln¡ deni j 2-punktowej

funk jiGreen'a

G(z, w) =

1

N

2



Tr

1

z − H

Tr

1

w − H



c

,

któr¡ mo»emy przeksztaª i¢do równowa»nejposta i

G(z, w) =

1

N

2

1

z

1

w

*

Tr

1

1 −

H

z

Tr

1

1 −

H

w

+

c

,

przy zym nale»y zwró i¢ uwag, »e funk ja Greena 2-punktowa zdeniowana jest

poprzez ±rednia ma ierzow¡  onne ted, zgodnie Deni j¡ 3. Wyra»enie powy»sze

rozwijamy doposta iszeregu geometry znego

G(z, w) =

1

N

2

1

z

1

w

*

Tr

∞

X

n=0



H

z



n

Tr

∞

X

k=0



H

w



k

+

c

=

=

∞

X

n=0

∞

X

k=0

1

z

n+1

1

w

k+1



1

N

Tr

H

n

1

N

Tr

H

k



c

,

mo»emy jetak»e zapisa¢wrównowa»nejposta i

G(z, w) = ∂

z

∂

w

∞

X

n=0

∞

X

k=0

1

z

n

1

w

k



1

N n

Tr

H

n

1

N k

Tr

H

k



c

.

(4.12)

Wyra»eniefunk jiGreenawtejformiepozwalanaposªu»eniesizapisemzapomo ¡

diagramów Feynmana. Zgodnie z ogólnymi reguªami wymienionymi w Rozdziale

4.1 grafybdziemyrysowa¢ napier± ienia h o dwó h krawdzia h. Dalsza z±¢

ra- hunkuprzebiega¢bdzieina zejwzale»no± iorozwa»anegorozkªaduma ierzowego,

rozpatrzymy osobnorozkªadGaussa orazrozkªadWisharta.

4.4.1. Funk ja Greena 2-punktowa, rozkªad Gaussa

Rozwa»my najpierw fragment wyra»enia (4.12) po hodz¡ y od zªonów dla

n = k

,

które mo»na w pewnym sensie nazwa¢ ' zªonami diagonalnymi'. Odpowiadaj¡ e

takim przypadkomgrafy Feynmanamo»na narysowa¢ wposta ipier± ienia, tak jak

to pokazanonaRysunku4.14 po lewejstronie.

Otrzymany graf rozdziela si na

n

rozª¡ zny h ptli, przy zym li zba propagato-rów oraz li zba utworzony h ptli jest w tym przypadku równa i wynosi

n

, zatem

h

Tr

H

n

Tr

H

n

i

c

= n

. Zapiszemy

G(z, w)|

diag

=

1

N

2

∂

z

∂

w

∞

X

n=0



1

zw



n

1

n

,

(4.13)

przy zymskªadniksumydla

n = 0

wynosi

1

n

o sprawia,»e znika onpowykonaniu ró»ni zkowania. Wyra»enie przyjmuje posta¢

G(z, w)|

diag

=

1

N

2

∂

z

∂

w

∞

X

n=1



1

zw



n

1

n

.

Rysunek 4.14. Dwupunktowafunk jaGreen'a dla rozkªadu Gaussa, po lewej zªon

diago-nalnydla

n = k = 6

,poprawejpokazanoubieranie linii

Pomnó»mynastpniewszystkieskªadnikiszereguprzezjedno±¢wposta i

(−1

n

)(−1

n

)

otrzymuj¡

G(z, w)|

diag

= −

1

N

2

∂

z

∂

w

∞

X

n=1

(−1)

n+1



−

_zw

1



n

1

n

,

o pozwoli na bezpo±rednie zastosowanie rozwini ia Ma laurina logarytmu

log(1 +

x) =

P

∞

_n=1

(−1)

_n

n+1

x

n

obowi¡zuj¡ ego dla

−1 < x ≤ +1

i zapisanie wyra»enia w posta i

G(z, w)|

diag

= −

1

N

2

∂

z

∂

w

ln



1 −

_zw

1



.

(4.14)

Pozostaje zastanowi¢ si o si dzieje w przypadka h kiedy

n 6= k

. W takiej sy-tua ji nie jest mo»liwe narysowanie grafów z u»y iem tej samej li zby elementów

jak dla

n = k

i z tego powodu grafy bd¡ wygl¡daªy ina zej, pojawi¡ si pewne modyka je. Wty h fragmenta h grafów, gdzieuprzednio wystpowaªy linie

1

z

oraz

1

w

pojawi¡ siró»nego rodzaju rozgaªzienia, przy zymnale»yo zywi± ie pamita¢ o uwzgldnieniu wszystki h mo»liwy h kombina ji dla dany h

n

oraz

k

. W efek ie ko« owym prowadzi to do tego, »e zamiast ka»dej z linii pojawi¡ si 1-punktowe

funk je Greena

G(z)

oraz

G(w)

. Pro es ten nazywamy ubieraniem linii.

Skut-kuje on w prakty e zast¡pieniem linii

1

z

funk jami Greena

G(z)

oraz analogi znie linie

1

w

zastpowane s¡ funk jami Greena

G(w)

. Drugim efektem wynikaj¡ ym z

n 6= k

bd¡ modyka je doty z¡ e samego propagatora, który w ogólno± i bdzie nale»aªo zast¡pi¢ 2- z¡stkowo nieredukowalnym j¡drem

Γ(z, w)

. Przykªadowy graf Feynmana opisuj¡ y ten przypadek pokazano na Rysunku 4.14 po prawej stronie.

Funk j Greenazapiszemy

G(z, w) = −

_N

1

₂

∂

z

∂

w

ln [1 − G(z)G(w)Γ(z, w)] .

W przypadku rozkªadu Gaussa, kiedy poten jaª

V (H)

jest kwadratowy, a wi nie zawiera oddziaªywa« o stopniu wy»szym ni» 2, j¡dro

Γ(z, w)

mo»na zapisa¢ jako

Γ

abcd

=

_N

1

δ

cb

δ

ad

, azatem ostate zniewyra»enie nafunk jGreen'a przyjmie posta¢

Przeksztaª¢my jesz zepowy»szy wzór (4.15) donie o innej posta i. Skorzystamy w

tym elu z równania S hwingera-Dysona dla zespoªu Gaussa (4.3) zapisanego jako

1

G(x)

= x − G(x)

,gdzie

x

jest równe

z

lub

w

. Rozwa»mynastpnieto»samo±¢

1

G(z)

−

1

G(w)

=

G(w) − G(z)

G(w)G(z)

,

któr¡ poskorzystaniuz równania S hwingera-Dysona mo»emyzapisa¢w posta i

G(z)G(w) =

_z

_−w

1

G

_(w)−G(z)

+ 1

.

Zatem argument logarytmuze wzoru (4.15) mo»emyzapisa¢ jako

1 − G(z)G(w) =

z − w

G(z) − G(w)

G(z)G(w),

natomiast aªy logarytmwyniesie

ln[1 − G(z)G(w)] = ln[G(z)] + ln[G(w)] + ln



z − w

G(w) − G(z)



.

Wkolejny hkrokuwykonamypodwójneró»ni zkowaniepowy»szegowzoru,zktórego

jako niezerowy pozostanie tylko ostatni skªadnik. Mo»emy zatem zapisa¢ funk j

Greena wposta i

G(z, w) =

1

N

2

∂

z

∂

w

ln



G(w) − G(z)

z − w



,

(4.16)

która jak si niedªugo przekonamy (patrz ra hunek pokazany w Rozdziale 4.4.2)

jest posta i¡uniwersaln¡. Na konie wykonajmyjesz zew sposób jawny podwójne

ró»ni zkowaniepo

∂

z

∂

w

, o pozwalazapisa¢2-punktow¡funk j Greenadlazespoªu Gaussa wposta i

G(z, w) =

1

N

2



G

′

(z)G

′

(w)

[G(z) − G(w)]

2

−

1

(z − w)

2



,

(4.17)

przy zymdlawygodyzapisu

G

′

_(x)

ozna za

∂

x

G(x)

, gdzie

x

to

z

lub

w

.

4.4.2. Funk ja Greena 2-punktowa, rozkªad Wisharta

Po z¡tkowa z±¢ra hunkuprzebiegaanalogi zniejakwprzypadku zespoªuGaussa

- wy hodzimy z deni ji funk ji Greena 2-punktowej przeksztaª aj¡ j¡ do posta i

(4.12). W tym momen ie dokªadamy informa j o zespole Wisharta zapisuj¡

ma- ierze

H

jako

H = V

†

_V

,rozwa»anerównanieprzyjmujezatem posta¢

G(z, w) = ∂

z

∂

w

∞

X

n=0

∞

X

k=0

1

z

n

1

w

k



1

N n

Tr

(V

†

_{V )}

n

1

N k

Tr

(V

†

_{V )}

k



c

.

(4.18)

Rozpatrzmy najpierw jak wygl¡daj¡ zªony dla

n = k

, które ponownie nazwiemy umownie ' zªonamidiagonalnymi'. Graf Feynmanailustruj¡ y tenprzypadek