Formy krzywizny i skręcenia

Niech znowu H będzie koneksją we wiązce P = L(M ) nad rozmaitością M . Dla dowolnej k-formy η na L(M ) i wektorów ξ1, . . . , ξ_k stycznych do L(M ) w pewnym punkcie u przyjmijmy

Dη(ξ₁, . . . , ξ_k) = dη(hξ₁, . . . , hξ_k), (3.3.7) gdzie h : T P → H jest rzutowaniem równoległym do V; krótko,

Dη = dη ◦ (h × · · · × h).

Oczywiście, Dη jest (k + 1)-formą na L(M ), a operator D ma własności analogiczne do różniczkowania zewnętrznego d: jest R-liniowy, D(η1∧ η₂) = Dη₁∧ η₂+ (−1)kη₁∧ Dη₂, gdy η₁ jest k-formą, etc. Dlatego D nazywamy zewnętrznym różniczkowaniem

kowariantnym na L(M ). Oczywiście, w przeciwieństwie do d, D zależy od koneksji H.

Dowolną g-wartościową (g = gl(n, R)) formę η na L(M ) nazywa się

pseudoten-sorową, gdy — tak jak forma koneksji ω —jest G-niezmiennicza w sensie (3.3.5), tj.

gdy równość

(R_a)^∗η = ad(a⁻¹) · η

zachodzi dla wszystkich a ∈ G = GL(n, R). Formę pseudotensorową η nazywa się tensorową, gdy η zeruje się na wszystkich układach wektorów stycznych do P takich, że przynajmniej jeden z nich jest pionowy. Oczywiście, forma koneksji ω jest pseudotensorowa, ale nie jest tensorowa.

Ćwiczenie 3.3.8 Udowodnij, że jeśli η jest formą pseudotensorową na P , to (1)

różniczka dω jest pseudotensorowa, (2) różniczka kowariantna Dω jest formą tenso-rową.

Definicja 3.3.9 Zewnętrzną różniczkę kowariantną Ω = Dω formy koneksji ω

na-zywamy formą krzywizny koneksji H.

Z definicji wynika od razu, że Ω jest g-wartościową 2-formą tensorową na L(M ).

Twierdzenie 3.3.10 Zachodzi równość

dω = Ω − [ω, ω]. (3.3.8) Oczywiście, równość (3.3.8) oznacza, że

gdy ξ₁, ξ₂ ∈ T_uP , u ∈ P , a [·, ·] oznacza nawias Liego w algebrze g.

Dowód. Wystarczy rozważyć trzy przypadki: (i) ξ₁ = X^∗(u) i ξ₂ = Y^∗(u), X, Y ∈ g, są pionowe, (ii) ξ1 = X^∗(u) jest pionowy, zaś ξ2 = V^h(u) jest wartością w u poziomego podniesienia Vh pewnego pola wektorowego V na M , (iii) ξ₁ = Vh(u) i ξ₂ = W^h(u) dla pewnych pól V i W na M . (Oczywiście, poziome podniesienie dowolnego pola wektorowego V na M , to takie pole wektorowe V^h na M , że p∗◦Vh =

V ◦ p i Vh(u) ∈ H(u) dla wszystkich u ∈ P .)

W przypadku (i) — wobec (2.9.4), (3.3.4) i części (1) ćwiczenia 3.3.5 — ma-my dω(X^∗, Y^∗) = [X, Y ]. Oczywiście, Ω(X^∗, Y^∗) = 0, zatem żądana równość jest spełniona.

W przypadku (ii), dω(X^∗, V^h) = 0 ponieważ z G-niezmienniczości (3.3.3) dystry-bucji H i wzoru (2.7.3) wynika, że nawias Liego [X^∗, Vh] jest wektorem poziomym. Podobnie, Ω(X^∗, Vh) = 0 i [ω(X^∗), ω(Vh)] = [X, 0] = 0.

Wreszcie w przypadku (iii), Ω(V^h, W^h) = dω(V^h, W^h) i [ω(V^h), ω(W^h)] = [0, 0] =

0. 

Ćwiczenie 3.3.11 Udowodnij, że wprowadzone w powyższym dowodzie

podniesie-nie poziome pól wektorowych ma następującą własność:

h([V^h, W^h]) = [V, W ]^h,

gdy V i W są dowolnymi polami wektoroymi na rozmaitości M .

Drugą ważną własnością formy krzywizny jest tzw. druga tożsamość Bianchi z poniższego twierdzenia.

Twierdzenie 3.3.12 Dla formy krzywizny Ω dowolnej koneksji mamy

DΩ = 0. (3.3.9)

Dowód. Ponieważ Ω jest formą tensorową, więc i DΩ jest taką formą, w

szcze-gólności DΩ zeruje się na wszystkich układach wektorów zawierających wektory pionowe. Wystarczy więc wykazać, że

dΩ(V₁^h, V₂^h, V₃^h) = 0,

dla dowolnych pól wektorowych V₁, V₂.V₃ na M . Z równania strukturalnego (3.3.8) wynika, że dla dowolnej permutacji (i, j, k) zbioru {1, 2, 3} mamy

Ω([V_i^h, V_j^h], V_k^h) = dω([V_i^h.V_j^h], V_k^h), a z samej definicji formy Ω,

3.3. KONEKSJE LINIOWE II 71 Stąd i z (2.9.4),

dΩ(V₁^h, V₂^h, V₃^h) = d(dω(V₁^h, V₂^h, V₃^h)) = 0,

co należało wykazać. 

Można się spodziewać, że — tak jak dystrybucja H i forma koneksji ω są związa-ne z pochodną kowariantną ∇ — forma krzywizny Ω jest jakoś związana z tensorem krzywizny R z paragrafu 2.10.2. Aby taki związek wyprowadzić i opisać, wprowa-dzimy pewne niezbędne pojęcia.

Dla dowonego elementu α przestrzeni Rni dowolnego u ∈ P = L(M ) istnieje do-kładnie jeden element ξ = B(α)(u) przestrzeni poziomej H(u) taki, że α jest ciągiem współrzędnych wektora p(ξ) w bazie u przestrzeni T_xM , x = p(u). Innymi słowy,

jeżeli dowolną bazę u = (u₁, . . . , u_n) przestrzeni T_xM potraktujemy jako

izomor-fizm liniowy przestrzeni Rⁿ na TxM przypisujący dowolnemu β = (β₁, . . . , βn) ∈ Rⁿ wektorP

iβ_iu_i, to

B(α)(u) = (p∗|H(u))⁻¹(u(α)).

Zatem, B(α)(u) jest podniesieniem poziomym do punktu u wektora u(α). Z gład-kości dystrybucji H wynika od razu, że przyporządkowanie P 3 u 7→ B(α)(u) jest gładkim polem wektorowym na P . Pole takie nazywamy standardowym polem

po-ziomym (odpowiadajacym wektorowi α).

Ponadto, istnieje na P = L(M ) tzw. forma kanoniczna θ, tj. 1-forma o warto-ściach w Rn dana wzorem

θ(ξ) = u⁻¹(π∗(ξ)), gdy ξ ∈ T_uP, u ∈ P. (3.3.10) Z powyższego określenia wynika łatwo, że θ jest formą tensorową w następującym sensie: zeruje się na wektorach pionowych oraz

(Ra)^∗θ(ξ) = θ((R_a)∗(ξ)) = (u · a)⁻¹(π∗((Ra)∗(ξ))) = a⁻¹· u⁻¹(π∗(ξ)) = a⁻¹· θ(ξ),

gdy a ∈ GL(n, R), u ∈ P i ξ ∈ TuP .

Ćwiczenie 3.3.13 Wykaż, że jeżeli α ∈ Rn, a ∈ GL(n, R) i X ∈ gl(n, R), to: (1) θ(B(α)) = α,

(2) (R_a)_#(B(α)) = B(a⁻¹· α),

(3) równość B(α)(u) = 0 dla pewnego u ∈ P implikuje równość α = 0, (4) [X^∗, B(α)] = B(X · α).

(Tu oczywiście X^∗ oznacza fundamentalne pole pionowe odpowiadające elemen-towi X, a X · α jest zwykłym iloczynem macierzy i wektora w Rn.)

Można się spodziewać, że określona powyżej forma θ ma też jakieś znaczenie geo-metryczne. Jak się wkrótce okaże, jest ona związana z tensorem skręcenia pochodnej kowariantnej ∇ pochodzącej od koneksji H. Stąd następująca

Definicja 3.3.14 Zewnętrzną różniczkę kowariantną Θ = Dθ formy kanonicznej

nazywamy formą skręcenia koneksji H.

Twierdzenie 3.3.15 Zachodzi równość

dθ = Θ − ω ∧ θ. (3.3.11) Tak jak w przypadku formy krzywizny (por. twierdzenie 3.3.10), wyjaśnijmy, że równość (3.3.11) oznacza, że dla dowolnych wektorów ξ₁ i ξ₂ z T_uP , u ∈ P , mamy

dθ(ξ₁, ξ₂) = Θ(ξ₁, ξ₂) − ω(ξ₁) · θ(ξ₂) + ω(ξ₂) · θ(ξ₁).

Dowód. Tak jak w dowodzie twierdzenia 3.3.10 rozważmy trzy przypadki.

(i) Jeżeli oba wektory ξ₁ i ξ₂ są poziome, to ω(ξ₁) = ω(ξ₂) = 0 i żądana równość wynika wprost z definicji zewnętrznej różniczki kowariantnej.

(ii) Jeżeli oba wektory ξ1 i ξ2 są pionowe, to θ(ξ1) = θ(ξ2) = 0, Θ(ξ1, ξ₂) = 0 (znowu na mocy określenia zewnętrznej różniczki kowariantnej) i dθ(ξ₁, ξ₂) = 0, bo nawias Liego pól pionowych jest polen pionowym. Zatem, w tym przypadku obie strony żądanej równości zerują się.

(iii) Jeżeli ξ₁ = B(α)(u) jest wektorem poziomym, a ξ₂ = X^∗(u) — poziomym, to ω(ξ₁) = 0, θ(ξ₂) = 0, ω(ξ₂) = X, θ(ξ₁) = α, Θ(ξ₁, ξ₂) = 0,

dθ(ξ1, ξ2) = −θ([B(α), X^∗](u)) = θ(B(X · α)(u) = X · α

i znowu żądana równość jest spełniona. 

Równości (3.3.8) i (3.3.11) noszą nazwę równań strukturalnych, podczas gdy po-niższa równość (3.3.12) — pierwszej tożsamości Bianchi.

Twierdzenie 3.3.16 Dla formy skręcenia Θ dowolnej koneksji mamy

DΘ = Ω ∧ θ. (3.3.12)

Dowód. Z równania strukturalnego (3.3.11) otrzymujemy

0 = ddθ = −d(ω ∧ θ) + dΘ, skąd

dΘ = dω ∧ θ − ω ∧ dθ.

a ponieważ forma ω zeruje się na wektorach poziomych, zaś formy θ i Ω zerują się na wektorach pionowych, więc

DΘ(ξ₁, ξ₂, ξ₃) = dΘ(hξ₁, hξ₂, hξ₃) = (dω ∧ θ)(hξ₁, hξ₂, hξ₃) = (Ω ∧ θ)(hξ₁, hξ₂, hξ₃) = (Ω ∧ θ)(ξ₁, ξ₂, ξ₃)

dla dowolnych wektorów ξ1, ξ2 ξ3 ∈ TuP , u ∈ P = L(M ).  Wreszcie, dla dowodu zapowiedzianych zależności pomiędzy tensorami i formami skręcenia i krzywizny potrzebny nam będzie następujący

3.3. KONEKSJE LINIOWE II 73

Lemat 3.3.17 Jeżeli X i Y są polami wektorowymi na M , zaś Xh i Yh — ich podniesieniami poziomymi do P = L(M ), to

(∇_XY )(x) = u(X^h(θ(Y^h))(u)), (3.3.13)

gdzie x ∈ M , u ∈ P i p(u) = x.

Wyjaśnijmy najpierw, że θ(Y^h) jest tu układem n = dim M funkcji gładkich na P i Xh(θ(Yh)) — układem ich pochodnych kierunkowych w kierunku pola Xh. Zatem,

Xh(θ(Yh))(u) jest elementem przestrzeni Rn, a że bazę u przestrzeni T_xM

traktuje-my (jak już to robiliśtraktuje-my) jako izomorfizm liniowy Rⁿ→ TxM , więc u(X^h(θ(Y^h))(u)) jest (tak jak i (∇_XY )(x)) wektorem stycznym do M w punkcie x.

Dowód. Rozważmy funkcję f : P → Rn daną wzorem

f (v) = v⁻¹(Y (p(v))), v ∈ P,

oraz krzywą γ : (−ε, ε) → M taką, że γ(0) = x i ˙γ(0) = X(x). Niech γ^h : (−ε, ε) →

P będzie takim poziomym podniesieniem krzywej γ, że γ^h(0) = u. Wtedy ˙γ^h(0) =

Xh(u), X^h(u)f = lim t→0 1 t ^{f (γ} h(t)) − f (u)
= lim t→0 1 t ^γ h(t)⁻¹(Y (γ(t))) − u⁻¹(Y (x))
oraz

u(X^h(u)f ) = lim

t→0

1

t ^{(u ◦ γ}

h(t)⁻¹)(Y (γ(t))) − Y (x)
.

Ponadto, z określenia przeniesienia równoległego w T M i L(M ) wynika, że

τ_γ|[0,t]⁻¹ (Y (γ(t))) = u ◦ γ^h(t)⁻¹(Y (γ(t))). Wobec wzoru wzoru (2.10.16) otrzymujemy, że

∇_X(x)Y = u(X^h(f )). (3.3.14) Ponieważ bezpośrednio z określenia formy kanonicznej θ wynika, że f = θ(Y^h), więc równość (3.3.14) jest równoznaczna z tezą lematu. 

Twierdzenie 3.3.18 Formy i tensory krzywizny i skręcenia dowolnej koneksji

li-niowej związane są wzorami

T (v₁, v₂) = u(Θ(v₁^h, v₂^h)), (3.3.15)

R(v₁, v₂)v₃ = u(Ω(v₁^h, v₂^h) · u⁻¹(v₃)), (3.3.16)

gdzie v₁, v₂, v₃ ∈ T_xM , x ∈ M , u ∈ P = L(M ) jest bazą przestrzeni stycznej T_xM , zaś v^h_i, i = 1, 2, są podniesieniami poziomymi wektorów vi do przestrzeni TuP .

Dowód. Udowodnimy tu wzór (3.3.16) pozostawiając Czytelnikowi (analogiczny

i nieco łatwiejszy) dowód wzoru (3.3.15) jako ćwiczenie.

Przedłużmy wektory vi, i = 1, 2, 3, do gładkich pól wektorowych Xi na M i oznaczmy przez Z_i ich podniesienia poziome na P . Oczywiście, vh

i = Z_i(u).

Określmy funkcję f : P → Rn wzorem f = θ(Z₃). Na mocy określenia (2.10.7) tensora krzywizny i lematu 3.3.17 mamy

R(v1, v2)v3 = R(X1, X2)X3   x = ∇X1∇X2X3 − ∇X2∇X1X3− ∇_[X1,X2]X3   x = u(X₁^hX₂^hf − X₂^hX₁^hf − h[X₁^h, X₂^h]fu) = u(v[X₁^h, X₂^h]fu), gdzie — jak zwykle — hξ i vξ oznacza odpowiednio część poziomą i część pionową wektora ξ ∈ T P .

Przyjmijmy

A = ω([Z₁^h, Z₂^h](u))

i niech (a_t) będzie jednoparametrową podgupą grupy strukturalnej G = GL(n, R) generowaną przez A. Wtedy — na mocy równania strukturalnego (3.3.8) — zachodzi równość A = −Ω([Z₁^h, Z₂^h])(u). Ponadto, A^∗f (u) = lim t→0 1 t^{(f (u · at) − f (u))} = lim t→0 1 t^(a −1

t · f (u) − f (u) = −A · f (u).

Zestawiając powyższe równości otrzymujemy (3.3.16). 

Ćwiczenie 3.3.19 Wyprowadź wzór (3.3.15).