2.7.1 Pierścień pól wektorowych
Jeśli M jest rozmaitością gładką, T M jej wiązką styczną i π : T M → M naturalną projekcją, to polem wektorowym na M nazywamy dowolny przekrój wiązki T M , tzn.
2.7. POLA WEKTOROWE 31 dowolne odwzorowanie X : M → T M gładkie i takie, że π ◦ X = idM. Innymi słowy,
X jest gładkie i przyporządkowuje każdemu x ∈ M wektor X(x) styczny do M w
punkcie x.
Wszystkie pola wektorowe na M wraz z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia przez funkcje,
(X + Y )(x) = X(x) + Y (x), (f X)(x) = f (x) · X(x),
tworzą moduł X (M ) nad pierścieniem C∞(M ) funkcji gładkich. Własności pier-ścienia C∞(X) pozwalają pokazać m.in., że każde pole wektorowe X na zbiorze otwartym U ⊂ M może być przedłużone do pola ˜X na całym M w taki sposób, że
˜
X = X na dowolnym, z góry zadanym zbiorze zwartym K ⊂ U . W szczególności, dla
każdego v ∈ TxM , x ∈ M , istnieją takie pola wektorowe X, dla których X(x) = v.
Tak jak w przypadku funkcji rzeczywistych możemy mówić o nośniku pola
wek-torowego X: jest to domknięcie supp X zbioru tych punktów x ∈ M , dla których X(x) 6= 0. Ostatnią obserwację dotyczącą istnienia pól wektorowych można
wzmoc-nić w następujący sposób: dla dowolnego v ∈ TxM , x ∈ M , i dowolnego otoczenia U punktu x istnieje pole wektorowe X takie, że X(x) = v i supp X ⊂ U .
Jeżeli X jest polem wektorowym na M i f ∈ C∞(M ), to pochodną funkcji f w
kierunku pola X nazywamy funkcję Xf określoną wzorem Xf (x) = X(x)f.
Jeśli φ = (φ1, . . . , φn) jest mapą na M i X = P
jXj(∂/∂φj) na dziedzinie U mapy φ, to Xf =X j Xj ∂(f ◦ φ−1) dxj ◦ φ na U , a więc Xf ∈C∞(M ). Oczywiście
X(af + bg) = aXf + bXg oraz X(f g) = Xf · g + f · Xg
dla dowlnych a, b ∈ R i f, g ∈C∞(M ). Zatem, X wyznacza spełniające stosowny warunek Leibniza przekształcenie R-liniowe pierścienia C∞(M ). Mówimy króko, że
X jest różniczkowaniem pierścienia X. Łatwo zauważyć, że każde różniczkowanie
tego pierścienia wyznacza jednoznacznie pole wektorowe na M , a więc pola wekto-rowe na M można utożsamiać z różniczkowaniami pierścienia funkcji gładkich na
M . Istotnie, jeżeli X jest takim różniczkowaniem i x ∈ M , to przyporządkowanie
C∞(M ) 3 f 7→ (Xf )(x)
jest wektorem przestrzeni stycznej TxM ; oznaczając go symbolem X(x)
otrzymu-jemy przyporządkowanie M 3 x 7→ X(x), które jest polem wektorowym w sensie określenia przyjętego na początku tego paragrafu.
2.7.2 Krzywe całkowe i potok pola wektorowego
Krzywą na rozmaitości M nazywamy dowolne odwzorowanie gładkie γ : I → M ,
gdzie I jest przedziałem otwartym lub domkniętym. Jeśli I jest przedziałem do-mkniętym, to gładkość odwzorowania I rozumiemy jako możliwość przedłużenia γ to odzworowania gładkiego ˜γ : ˜I → M , gdzie ˜I jest pewnym przedziałem otwartym
zawierającym γ. Dla dowolnej krzywej γ przyjmujemy oznaczenie ˙γ(s) = dγ(s)(d/dt),
gdzie d/dt oznacza pole wektorowe na R pochodzące od mapy idR. Zatem, ˙γ(s) jest wektorem stycznym do M w punkcie γ(s). Mówimy o nim jako o wektorze stycznym
do krzywej γ w chwili s.
Krzywą γ : I → M nazywamy krzywą całkową pola wektorowego X, gdy ˙γ(s) = X(γ(s))
dla każdego s ∈ I. Jeżeli φ = (φ1, . . . , φm) : U → Rm jest mapą na M , to γ : I → U jest krzywą całkową pola X = Pm
j=1Xj · (∂/∂φj) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje
γj = φj ◦ γ : I → R spełniają układ równań różniczkowych zwyczajnych dγj
dt = Xj ◦ γ, j = 1, . . . , m. (2.7.1) Z teorii równań różniczkowych zwyczajnych zastosowanej do układu (2.7.1) wynika od razu następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.7.1 Dla każdego pola wektorowego X na rozmaitości M i każdego
punktu x ∈ M istnieje krzywa całkowa γ : I → M pola X taka, że 0 ∈ I i γ(0) = x. Dwie takie krzywe pokrywają się na części wspólnej swoich dziedzin, a zatem istnieje dokładnie jedna maksymalna (tj. o maksymalnej dziedzinie) krzywa całkowa γx :
Ix → M spełniająca warunek początkowy γx(0) = x. Przyporządkowanie (x, t) 7→ γx(t)
jest gładkim przekształceniem zbioru otwartego UX = ∪x∈M{x} × Ix ⊂ M × R w M.
Krzywą γx z powyższego twierdzenia nazywamy trajektorią pola wektorowego X. Łatwo sprawdzić, że jeżeli y = γx(s), to γy(t) = γx(s + t) tam, gdzie obie strony równości są określone. Przyjmując oznaczenie
2.7. POLA WEKTOROWE 33 dla wszystkich (x, t) ∈ UX powyższą obserwację można zapisać w postaci
Φt+s = Φt◦ Φs. (2.7.2)
Równość w (2.7.2) oznacza równość wartości przekształceń po obu jej stronach dla wsystkich punktów, dla których obie strony są określone. W szczególnści, z (2.7.2) wynika, że Φ0 = idM, zaś Φ−t = Φ−1t . Wynika stąd, że wszystkie przekształcenia Φt są dyfeomorfizmami otwartych podzbiorów rozmaitości M . Ponadto, przekształcenie Φ : UX → M , Φ(x, t) = Φt(x), jest gładkie.
Jeżeli x ∈ M , U jest otwartym otoczeniem punktu x, ε > 0 i U ×(−ε, ε) ⊂ UX, to Φ|U × (−ε, ε) nazywamy potokiem lokalnym pola X w punkcie x. Jeżeli Ux = M × R, tzn. jeśli każda maksymalna krzywa całkowa pola X jest określona na całej prostej R, to mówimy, że pole X jest zupełne, a odwzorowanie Φ opisane powyżej nazywamy
potokiem pola X. Ogólniej, każdą jednoparametrową rodzinę (Φt, t ∈ R) spełniającą
warunek (2.7.2) i taką, że odpowiadające jej przekształcenie Φ : M × R → M jest gładkie nazywmay potokiem na M . Innymi słowy, potok na M jest gładkim homo-morfizmem grupy addytywnej liczb rzeczywistych w grupę dyfeomorfizmów rozma-itości M . Łatwo wykazać, że każdy potok pochodzi od pewnego pola wektorowego. Istotnie, jeżeli przyjmiemy, że
X(x) = (t 7→ Φt(x))˙(0), x ∈ M,
to X będzie gładkim polem wektorowym na M dla którego krzywe R 3 t 7→ Φt(x)
będą trajektoriami, a więc (Φt) będzie jego potokiem.
Ćwiczenie 2.7.2 Wyznacz potoki następujących pól wektorowych:
(a) X = d/dt na prostej R, (b) X(x1, x2) = x2(∂/∂x1) − x1(∂/∂x2) na płaszczyźnie R2, (c) X(x1, x2, x3) = (x2− x1x2 3)(∂/∂x1) − (x1+ x2x2 3)(∂/∂x2) + x3(1 − x2 3)(∂/∂x3) na sferze S2 ⊂ R3.
Wykażemy teraz, że każde pole wektorowe na rozmaitości zwartej jest zupełne, a co więcej, że zachodzi następujące
Twierdzenie 2.7.3 Każde pole wektorowe o zwartym nośniku jest zupełne.
Proof. Załóżmy, ze nośnik supp X = {x ∈ M ; X(x) 6= 0} pola wektorowego X
jest zwarty, weźmy dowolny punkt x ∈ M i trajektorię γx : Ix → M . Jeśli x 6=
supp X, to X(x) = 0 i γx(t) = x, t ∈ R, jest krzywą całkową pola X, a więc Ix = R. Przypuśćmy więc, że x ∈ supp X, Ix = (a, b) i np. b < ∞. Weźmy dowolny ciąg (tn)
rosnący do b. Ponieważ wszystkie punkty γx(tn) leżą w nośniku pola X, więc ciąg (γx(tn)) ma pewien punkt skupienia x0. Niech U będzie takim otoczeniem punktu
x0, że U × (−ε, ε) ⊂ UX dla pewnego ε > 0. Wybierzmy n na tyle duże by b − tn < ε
i takie, że y = γx(tn) ∈ U . Krzywa ˜γ dana wzorami
˜
γ(t) =
(
γx(t), gdy a < t < b,
γy(b − tn), gdy tn < t < tn+ ε,
jest dobrze określoną krzywą całkową pola X, a jej dziedziną jest przedział(a, tn+ ε) istotnie szerszy niż (a, b). Otrzymana sprzeczność dowodzi, że b = ∞. Podobnie można uzasadnić równość a = −∞. Zatem, Ix = R.
2.7.3 Nawias Liego
Niech X i Y będą polami wektorowymi na M . Dla dowolnej funkcji f ∈ C∞(M ) połóżmy
[X, Y ]f = X(Y f ) − Y (Xf ).
Łatwo sprawdzić, że [X, Y ] jest R-liniowe i spełnia warunek Leibniza. Istotnie, dla dowolnych funkcji f i g mamy
[X, Y ](f g) = X(Y f · g + f Y g) − Y (Xf · g + f Xg) = X(Y f ) · g + Y f · Xg + Xf · Y g + f X(Y g)
− Y (Xf ) · g − Xf · Y g − Y f · Xg − f Y (Xg)
= [X, Y ]f · g + f · [X, Y ]g.
[X, Y ] jest więc różniczkowaniem pierścienia C∞(M ) i wyznacza jednoznacznie po-le wektorowe — oznaczane też symbopo-lem [X, Y ] — na M . Popo-le [X, Y ] nazywamy
nawiasem Liego pól X i Y .
Ćwiczenie 2.7.4 Sprawdź, że
(i) [X, Y ] = −[Y, X],
(ii) [X, Y + Z] = [X, Y ] + [X, Z], (iii) [X, f Y ] = f [X, Y ] + Xf · Y ,
(iv) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0
2.7. POLA WEKTOROWE 35 Warunek (iv) w powyższym ćwiczeniu nosi nazwę tożsamości Jakobiego. Z po-wyższych własności nawiasu Liego oraz z oczywistych równości [∂/∂φi, ∂/∂φj] = 0 spełnionych dla dowolnej mapy φ = (φ1, . . . , φj) na M i dowolnych i, j wynika, że jeżeli X =P iXi(∂/∂φi) oraz Y =P jYj(∂/∂φj), to [X, Y ] = X i,j Xi∂Yj ∂φi − Yi∂Xj ∂φi · ∂ ∂φj.
Pokażemy jeszcze związek nawiasu Liego [X, Y ] z potokiem pola X.
Twierdzenie 2.7.5 Jeżeli (Φt) jest potokiem lokalnym pola X w punkcie x ∈ M ,
to
[X, Y ](x) = lim
t→0
1
t (Y (x) − dΦt(Y (Φ−t(x))) (2.7.3) dla dowolnego pola wektorowego Y na M .
Dowód. Dla dowolnej funkcji f ∈ C∞(M ) przyjmijmy
g(t, y) = f (Φt(y)) − f (y) oraz ht(y) = Z 1 0 g(ts)ds. Wtedy f ◦ Φt− f = t · ht oraz h0 = lim t→0ht= lim t→0 f ◦ Φt− f t = Xf. Zatem dΦt(Y (Φ−t))f = Y (Φ−t(x))(f ◦ Φt) = Y (Φ−t(x))f + tY (Φ−t(x))ht i, w konsekwencji, lim t→0 1 t (Y (x) − dΦt(Y (Φ−t(x)))) f = limt→0 1 t (Y (x)f − Y (Φ−tx))f ) + Y (x)h0 = X(x)Y f − Y (x)Xf = [X, Y ](x)f.
Ćwiczenie 2.7.6 Określmy pola wektorowe X1, X2, X3 na sferze S3 ⊂ R4 wzorami X1(x1, . . . , x4) = x1 ∂ ∂x2 − x2 ∂ ∂x1 + x3 ∂ ∂x4 − x4 ∂ ∂x3, X2(x1, . . . , x4) = x1 ∂ ∂x3 − x3 ∂ ∂x1 + x2 ∂ ∂x4 − x4 ∂ ∂x2, X3(x1, . . . , x4) = x1 ∂ ∂x4 − x4 ∂ ∂x1 + x2 ∂ ∂x3 − x3 ∂ ∂x2.
Wyznacz wszystkie nawiasy Liego [Xj, Xk], gdzie j, k = 1, 2, 3.