Redukcje i holonomia

Niech teraz H będzie koneksją liniową na M , ω jej formą koneksji, zaś ∇ związaną z nią pochodną kowariantną. Ponadto, niech G ⊂ GL(n, R) (n = dim M ) będzie podgrupą domkniętą, zaś P ⊂ L(M ) — G-strukturą na M .

Definicja 3.3.20 Koneksja H jest redukowalna do P , gdy H(u) ⊂ T_uP , dla

wszyst-kich u ∈ P . Koneksja H jest G-koneksją, gdy istnieje G-struktura P ⊂ L(M ) taka, że H jest redukowalna do P .

Warunek redukowalności można wyrazić w terminach przeniesienia równoległego i formy koneksji jak następuje.

3.3. KONEKSJE LINIOWE II 75

Twierdzenie 3.3.21 Następujące warunki są równoważne:

(i) koneksja jest redukowalna do G-struktury P ,

(ii) przeniesienie równoległe w L(M ) wzdłuż dowolnej krzywej przekształca ele-menty P w eleele-menty P ,

(iii) forma koneksji obcięta do wiązki T P przyjmuje wartości w algebrze Liego g grupy strukturalnej G.

Dowód. Jeżeli koneksja H jest redukowalna do P , to każda krzywa pozioma o

początku w punkcie u ∈ P jest cały czas styczna do P , zatem przebiega w P , co dowodzi implikacji (i) ⇒ (ii).

Jeżeli przeniesienia równoległe zachowują P , u ∈ P , ξ ∈ T_uL(M ) jest wektorem

poziomym, x = p(u), v = p∗(ξ) ∈ T_xM i γ[0, 1] → M jest krzywą taką, że γ(0) = x i

˙γ(0) = v, to podniesienie poziome ˜γ krzywej γ o początku w u przebiega całkowicie

w P , zatem ξ = ˙˜γ(0) jest wektorem stycznym do P , co dowodzi, że H(u) ⊂ T P i

daje implikację (ii) ⇒ (i).

Jeżeli koneksja H jest redukowalna do P , ω jest jej formą koneksji i u ∈ P , to

T_uP = H(u) ⊕ {X^∗(u); X ∈ g}, ω|H(u) ≡ 0 i ω(X^∗) = X ∈ g, gdy X ∈ g, a to dowodzi iż ω(T_uP ) ⊂ g i daje implikację (i) ⇒ (iii).

Wreszcie, jeżeli forma koneksji ω przyjmuje na T P wartości z g i u ∈ P , to dim ker(ω|T_uP ) = dim M = dim ker ω(u), a że ker(ω|T_uP ) ⊂ ker ω(u), więc H(u) =

ker ω(u) = ker(ω|T_uP ) ⊂ T_uP i nasza koneksja jest redukowalna do P . Zatem, (iii)

⇒ (i). 

Wybierzmy teraz ustalony element u₀ ∈ L(M ) i oznaczmy przez P₀ zbiór wszyst-kich u ∈ L(M ), które można połączyć z u₀ krzywą poziomą:

P₀ = {γ(1); γ : [0, 1] → L(M ), γ(0) = u₀ i ˙γ(t) ∈ H(γ(t)) dla wszystkich t ∈ [0, 1]}. Ponadto niech H będzie zbiorem wszystkich macierzy a ∈ GL(n, R), dla których ist-nieje u ∈ P₀ takie, że p(u) = p(u₀) i u = u₀· a. Oczywiście, H jest podgrupą grupy

GL(n, R). Można wykazać (dowód tu pomijamy), że H jest podgrupą domkniętą, jest więc grupą Liego. Nazywa się ją grupą holonomii koneksji H. Pojęcie to jest do-brze zdefiniowane: grupy holonomii odpowiadające dwu wybranym punktom wiązki

L(M ) są izomorficzne.

Ćwiczenie 3.3.22 Wykaż, że grupy holonomii H i H⁰ danej koneksji H na M odpo-wiadające dwu punktom u0 i u⁰₀ wiązki L(M ) są sprzężonymi podgrupami GL(n, R):

H⁰ = a · H · a⁻¹ dla pewnego a ∈ GL(n, R).

Można też wykazać (dowód znowu pomijamy), że (P₀, M, H, p|P₀), gdzie p :

L(M ) → M jest naturalnym rzutowaniem, jest H-strukturą na M . Nazywamy ją wiązką holonomii koneksji H. Tak jak grupa holonomii, tak i wiązka holonomii jest

dobrze określona: wiązki holonomii P₀ i P₀⁰ odpowiadające dwu punktom u₀ i u⁰₀ wiązki L(M ) są izomorficzne w tym sensie, że istnieje dyfeomorfizm Φ : P₀ → P0

0

przekształcający jedną z nich na drugą, zachowujący włókna (tzn. taki, iż p ◦ Φ =

p) i działania grup holonomii (tzn. taki, że Φ(u · a) = Φ(u) · h(a) dla wszystkich u ∈ P₀, a ∈ H i pewnego, ustalonego izomorfizmu h : H → H⁰ odpowiednich grup holonomii). Z twierdzenia 3.3.21 wynika od razu następujący

Wniosek 3.3.23 Każda koneksja jest redukowalna do swej wiązki holonomii.

Oznaczmy teraz przez h algebrę Liego grupy holonomii H, zaś przez h⁰ podprze-strzeń liniową algbery gl(n, R) generowaną przez zbiór wszystkich wartości Ω(ξ1, ξ₂), gdzie ξ₁, ξ₂ ∈ H(u), u ∈ P₀.

Twierdzenie 3.3.24 h⁰ = h.

Dowód. Ponieważ Ω jest formą pseudotensorową, podprzestrzeń h⁰ jest ad(H)-niezmiennicza, jest więc ideałem algebry h.

Określmy na wiązce holonomii P₀ dystrybucję D w następujący sposób: jeżeli

u ∈ P₀, , to D(u) jest podprzestrzenią przestrzeni stycznej T_uP₀ generowaną przez wszystkie wektory poziome i wektory postaci A^∗(u), gdzie A ∈ h⁰. Oczywiście,

dim D(u) = dim M + dim h⁰ dla wszystkich u.

Łatwo sprawdzić, że D jest gładka. Wykażemy, że jest też inwolutywna, tzn. że nawias Liego dowolnych dwu pól X₁ i X₂ na P₀ o wartościach w D jest polem o wartościach w D. Jeżeli X₁ = A^∗₁ i X₂ = A^∗₂ dla pewnych A₁, A₂ ∈ h0, to [X₁, X₂] = [A₁, A₂]^∗ i [A₁, A₂] ∈ h⁰. Jeżeli X₁ i X₂ są poziome, to [X₁, X₂] jest sumą pewnego pola poziomego i A^∗, gdzie A = ω([X₁, X₂]) = −Ω(X₁, X₂) ∈ h⁰. Wreszcie, jeśli X₁ jest poziome i X₂ = A^∗₂, to [X₁, X₂] jest polem poziomym wobec R_a-niezmienniczości rozważanej koneksji. We wszystkich trzech przypadkach [X₁, X₂] przyjmuje wartości w D.

Z twierdzenia Frobeniusa wynika, że dystrybucja D jest całkowalna. Oznaczmy przez P₀⁰ jedną z jej maksymalnych podrozmaitości całkowych i wybierzmy dowolny punkt u₀ ∈ P0

0. Jeśli u jest dowolnym punktem wiązki holonomii P₀, to u można połączyć z u₀ krzywą poziomą, a że krzywa ta jest wszędzie styczna do D, więc

u ∈ P₀⁰. W konsekwencji, P₀⁰ = P₀, dim P₀⁰ = dim P₀, dim h⁰ = dim h i h⁰ = h. 

Wniosek 3.3.25 Grupa holonomii koneksji liniowej H jest dyskretna wtedy i tylko

wtedy, gdy jej forma kryywizny (rónoważnie, jej tensor krzywizny) znika

3.3. KONEKSJE LINIOWE II 77 Na koniec, przypuśćmy, że mamy na M koneksję płaską (R = 0) i dwie krzywe

γ₀ i γ₁ o tym samym początku i końcu: γ_i; [0, 1] → M , γ_i(0) = x i γ_i(1) = y dla

i = 0, 1. Przypuśćmy, że krzywe te są homotopijne, tzn. że istnieje odwozorowanie

ciągłe (homotopia) H : [0, 1] × [0, 1] → M takie, że H(0, t) = γ₀(t), H(1, t) = γ₁(t),

H(s, 0) = x i H(s, 1) = y dla wszystkich s, t ∈ [0, 1]. Wtedy krzywa γ : [0, 1] → M

zdefiniowana wzorami γ(t) = γ0(2t) gdy 0 ¬ t ¬ 1/2 i γ(t) = γ1(2 − 2t) gdy 1/2 ¬ t ¬ 1, jest krzywą zamkniętą o początku i końcu x. Jest ona homotopijna (w powyższym sensie) z krzywą stałą δ, δ(t) = x dla wszystkich t ∈ [0, 1]. Jeżeli

H jest homotopią krzywych γ i δ oraz c_s = H(s, ·) dla s ∈ [0, 1], to — wobec ciągłej zależności rozwiązań układów równań różniczkowych od wpółczynników — przeniesienia równoległe wzdłuż krzywych c_s wyznaczają ciągłą krzywą s → a_s w grupie holonomii H: τcs(u) = as· u, gdy u jest ustalonym elementem wiązki L(M ) i p(u) = x. Ponieważ H jest dyskretna, c₁ = δ i a₁ = e, więc a_s= e dla wszystkich s. W szczególności, a₀ = e, skąd τ_γ = id i τ_γ0 = τ_γ1.

Udowodniliśmy w ten sposób następujący

Wniosek 3.3.26 Jeżeli R = 0, to przeniesienia równoległe wzdłuż krzywych

Rozdział 4

Geometria Riemanna lokalnie

4.1 Tensor Riemanna

Krótko mówiąc, tensor Riemanna na rozmaitości M jest to funkcja g : M 3 x 7→

g(x) przyporządkowująca każdemu punktowi x ∈ M iloczyn skalarny (tj., formę

dwuliniową, symetryczną i dodatnio określoną) w przestrzeni stycznej TxM , przy

czym g(x) zależy gładko od punktu x. Gładkość tego przyporządkowania polega na tym, że jeżeli X i Y są gładkimi polami wektorowymi na M , to funkcja

M 3 X 7→ g(x)(X(x), Y (x))

jest gładka na M . Formalnie, przyjmujemy następującą definicję.

Definicja 4.1.1 Tensorem Riemanna na rozmaitości M nazywamy pole tensorowe

g typu (0, 2) symetryczne i dodatnio określone, tj. takie, że g(X, Y ) = g(Y, X) dla

dowolnych pól wektorowych X i Y na M (symetria) i g(X(x), X(x)) > 0, gdy

X ∈ X (M ), x ∈ M i X(x) 6= 0 (dodatnia określoność).

Przyjęte w rozdziale 2 założenia topologiczne (parazwartość) o rozmaitościach implikują istnienie tensorów Riemanna.

Twierdzenie 4.1.2 Na dowolnej rozmaitości M istnieją tensory Riemanna.

Dowód. Niech A będzie atlasem na M , U pokryciem otwartym wpisanym w

po-krycie dziedzinami D_φ map φ ∈ A, zaś F gładkim rozkładem jedności podporządko-wanym pokryciu U . Dla dowolnego f ∈ F wybierzmy mapę φ^f = (φ^f₁, . . . , φ^f_n) ∈ A taką, że supp f ⊂ D_φf i funkcje g^f_i,j, i, j = 1, . . . n = dim M , określone i gładkie na

D_φf oraz takie, iż macierz [g_ij^f(x); i, j ¬ n] jest symetryczna i dodatnio określona

dla wszystkich punktów x ∈ D_φf. Dla dowolnych pól wektorowych X i Y na M przyjmijmy g(X, Y ) =^X f ∈F n X i,j=1 g_ij^fX_i^fY_j^f, (4.1.1)

gdzie X_i^f i Y_j^f są współrzędnymi X i Y w bazie (∂/∂φ^f_i, i = 1, . . . , n) pól

wekto-rowych na D_φf: X = P

iX_i^f · (∂/∂φ^f_i) i Y = P

jY_j^f · (∂/∂φ^f_j). Łatwo widać, że

powyższy wzór określa tensor Riemanna na M . 

Lokalnie, w dziedzinie D_φdowolnej mapy φ na M , dowolny tensor Riemanna ma postać

g =^X

i,j

g_ijdφ_i⊗ dφ_j,

gdzie [g_ij] jest symetryczną i dodatnio określoną macierzą złożoną z funkcji gładkich (współrzędnych tensora Riemanna) g_ij. Innymi słowy,

g(X, Y ) = ^X

i,j

g_ijX_iY_j,

gdy X =P

iX_i· (∂/∂φ_i) i Y =P

jY_j· (∂/∂φ_j) są dowolnymi polami wektorowymi na Dφ. Wynika stąd, że dowolny tensor Riemanna na rozmaitości M jest postaci (4.1.1). W szczególności, wzór g(X, Y ) =^X i,j δijXiYj =^X i XiYi,

gdzie X = (X₁, . . . , X_n) i Y = (Y₁, . . . , Y_n) określa tensor Riemanna na Rⁿ zwany tu standardowym.

Ze względów ”technicznych” będziemy często pisać

hX, Y i

zamiast g(X, Y ). Tak jak w przypadku wektorów w dowolnej przestrzeni euklideso-wej, będziemy pisali kvk =phv, vi i nazywali liczbę kvk długością wektora v ∈ T M. Klasyczna nierówność Schwarza ma więc tu postać

|hv, wi| ¬ kvk · kwk, v, w ∈ T_xM, x ∈ M, (4.1.2) przy czym równość w (4.1.2) zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v, w ∈ T_xM

są liniowo zależne.

Parę (M, g), gdzie g jest tensorem Riemanna na M , nazywamy rozmaitością

riemannowską; mówimy też wtedy, że g jest strukturą riemannowską na M .

4.1. TENSOR RIEMANNA 81 nazywamy izometrycznym, gdy jego różniczka zachowuje iloczyn skalarny wekto-rów, tzn. gdy dla dowolnych wektorów v i w stycznych do M w tym samym punkcie zachodzi równość

hF∗(v), F∗(w)i_N = hv, wi_M, (4.1.3) gdzie — jak łatwo się domyślić — g_M = h·, ·i_M i g_N = h·, ·i_N są tensorami Rie-manna na M i N . Z określenia wynika, że dla dowolnego x ∈ M różniczka F∗(x) przekształcenia izometrycznego ma rząd równy m = dim M nie przekraczający wy-miaru n rozmaitości M , że więc dowolne odwzorowanie izometryczne jest imersją. Jeśli m = n, to dowolne odwzorowanie izometryczne pomiędzy M i N jest lokalnym dyfeomorfizmem: każdy punkt x ∈ M posiada otoczenie otwarte U przekształcane poprzez F dyfeomorficznie na otoczenie otwarte F (U ) punktu F (x). Proste przy-kłady pokazują, że odwzorowania izometryczne nie muszą być (globalnie) różno-wartościowe. Odwzorowanie izometryczne F : M → N nazywamy izometrią, gdy jest dyfeomorfizmem rozmaitości M na N . Oczywiście, złożenie odwzorowań izo-metrycznych jest odwzorowaniem izometrycznym, złożenie izometrii jest izometrią, przekształcenie odwrotne do izometrii jest również izometrią. W konskewencji, zbiór

I(M ) wszystkich izometrii rozmaitości riemannowskiej M na siebie jest grupą

prze-kształceń. Można wykazać (dowód tu pomijamy), że I(M ) posiada strukturę grupy Liego oraz, że

dim I(M ) ¬ ^{n(n + 1)}

2 ^{= n +}

n(n − 1)

2 ^{= n + dim SO(n), (4.1.4)} gdy n = dim M . Równość w powyższej nierówności ma miejsce np. dla M = Rn ze standardowym tensorem Riemanna, tj. tensorem g o współrzędnych g_ijδ_ij w mapie id_Rn.

Jeśli F : M → N jest imersją, a g_N jest tensorem Riemanna na N , to wzór

g_M(v, w) = g_N(F∗(v), F∗(w)), v, w ∈ T_xM, x ∈ M,

określa tensor Riemanna na M . Nazywamy go indukowanym z (N, g_N) i oznaczamy symbolem F^∗g_N. Oczywiście F przekształca izometrycznie (M, F^∗g_N) w (N, gN). Podobnie, jeśli (M₁, g₁) i (M₂, g₂) są dwoma romaitościami riemannowskimi i M =

M₁× M₂, to wzór

g(v, w) = g₁(v1, w₁) + g2(v2, w₂),

gdzie v = v1 + v2, w = w₁ + w2 ∈ T_xM , v₁, w₁ ∈ T_x1M₁, v2, w₂ ∈ T_x2M₂ i

x = (x₁, x₂) ∈ M , określa tensor Riemanna g na M zwany strukturą

riemannow-ską produktową i oznaczany często symbolem g₁× g₂; parę (M, g) nazywamy wtedy

produktem riemannowskim rozmaitości riemannowskich (M1, g₁), (M2, g₂). Dla do-wolnych x₁ ∈ M₁ i x₂ ∈ M₂ odwzorowania

M₂ 3 y₂ 7→ (x₁, y₂) i M₁ 3 y₁ 7→ (y₁, x₂)

Ćwiczenie 4.1.3 Wykaż, że grupa izometrii sfery jednostkowej Sn⊂ Rn+1 ze stan-dardowym tesorem Riemanna, tj. tensorem Riemanna indukowanym ze standardo-wego tensora Riemanna na Rⁿ⁺¹ poprzez odwzorowanie tożsamościowe idSn, jest izomorficzna z O(n + 1).

W przypadku dim M > dim N nie ma odwzorowań izometrycznych rozmaitości riemannowskiej M w rozmaitość riemannowską N . Można jednak wyróżnić klasę odwzorowań zachowujących iloczyn skalarny wektorów w następującym sensie.

Definicja 4.1.4 Submersję F : M → N (dim M ­ dim N ) działającą pomiędzy

rozmaitościami riemanowskimi (M, g_M) i (N, g_N) nazywamy riemannowską, gdy równość (4.1.3) zachodzi dla wszystkich wektorów v i w ∈ T_xM , x ∈ M ,

prosto-padłych do jądra ker F∗x różniczki odwzorowania F .

Oczywiście, naturalna projekcja (x₁, . . . x_m) 7→ (x₁, . . . x_n) (m > n) przestrzeni R^m na Rn (obie ze standardowymi tensorami Riemanna) jest submersją riemannow-ską.

Rozważmy teraz dwie sfery S³ ⊂ R4

= C²i S² = C∪{∞} (z tensorami Riemanna wyznaczającymi struktury sfery jednostkowej na S3 i sfery o promieniu 1/2 na S2) oraz odwzorowanie F : S3 → S2 dane wzorem

F (z, w) = z · ¯w. (4.1.5) Odwzorowanie to (a także rozkład sfery S3 na włókna F⁻¹({ζ}) ≈ S1, ζ ∈ S2) nazywamy rowzłóknieniem Hopfa. Odwzorowanie F można opisać w następujący sposób: wprowadźmy na S³ współrzędne

(sin(t)e^iθ1, cos(t)e^iθ2), gdzie t ∈ (0, π/2), θ₁, θ₂ ∈ R, zaś na S2 współrzędne

(¹ 2^cos(2r), 1 2^sin(2r)e iθ), gdzie r ∈ (0, π/2), θ ∈ R; wtedy

F : (sin(t)e^iθ1, cos(t)e^iθ2) 7→ (¹

2^cos(2r), 1

2^sin(2r)e

i(θ2−θ₁)).

Ćwiczenie 4.1.5 Wykaż, że rozwłóknienie Hopfa S³(1) → S²(¹₂) jest submersją riemannowską.

W dokumencie Geometria rózniczkowa 2, P.Walczak (Stron 74-83)