x — i (0 <C I <C 1) mamy § (1 — §) = co łatwo spraw
dzić bezpośrednio.
2. średnia wartość funkcji f (x) = ,v sin x w prze
dziale (0, n) wynosi
. Wobec ciągłości tej^ funkcji, dla pewnego § prze
działu (0, n) jest £ s i n f = l . (Łatwo bezpośrednio udo
wodnić, że istnieją co najmniej dwie takie wartości %).
Z a d a n i a .
1) Wyznaczyć następujące całki określone:
11
b
o
o
2
o
e) f cos m x cos n . v = 0 przy m ={= n, O
f ) f arc sin x dx 1
= Jt „ m = n
(m, n całkowite, dodatnie), ] arc sin a- dx = -f — 1,
O
96
O
~2n
h> - ¿ ^ - = .1 ,
J 1 + COS .V
0 ii
^ j a3 cos2 * -j- b~ sin2 x
\
dx 2 ab7t a > 0, 6 > 0, Oj) i l/.v2 + 1 rf„v = -L + i log (1 +1/2).
o 2
2) Wykazać, że średnia wartość promienia wodzą
cego elipsy
równa się połowie jej małej osi. (Jak wiadomo
gdzie a, b oznaczają połowę dużej i małej osi). Należy wyznaczyć średnią wartość funkcji
P ___
1 — e cos (p w przedziale (0, 2 n).
3) Obliczyć średnią wartość funkcji
w przedziale (0, —) i sprawdzić bezpośrednio, że wynik wynoszący -J-, jest wartością funkcji f (.v) dla pewnego .v = § tego przedziału.
P 1 — s cos cp
]/a8 — b2 a
sin2 x + 4 cos2 .v
4) Przyjmując w nierówności b
m (b — a ) < J/(x) dx < M (b — a)
za m i M najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) — x (1 — x)2 w przedziale (0,1), wykazać, że
następnie zaś sprawdzić to bezpośrednio, obliczając całkę.
5) Obliczyć w granicach od 0 do x całkę funkcji / (x) określonej w.sposób następujący:
/ (.*) = i _ x dla 0 < x < 1,
i sprawdzić bezpośrednio, że otrzymana funkcja jest ciągła w przedziale (0,3) i że jej pochodna w każdym punkcie wewnętrznym tego przedziału istnieje i równa się f(x).
6) Przy pomocy wzoru na str. 16 (przykład 2) wy
kazać, że:
o j
1x (i — x
)2dx <
o
/ (*) — o
/ (•*) — (2 — x)2 r>
1 < x < 2, 2 < x < 3
dla wszystkich naturalnych n.
Rachunek różniczkowym i całkowy. 7
P r z e k s z t a łc a n ie c a łe k o k r e ś lo n y c h . C a łk o w a n ie c ią g ó w i s z e r e g ó w .
§ 1. Z a m ia n a zm ienn ych w c a łk ach określo
nych. Przypuśćmy, że w całce określonej:
Ś f (-v) dx
a
chcemy użyć podstawienia x = ( p ( t ) .
Wzór na zamianę zmiennych w całkach określonych jest następujący:
S / (.v) dx =
f
f [cp ( t )] <p' (ł) d ł,a a
gdzie <p (a) = a, cp(P) — b.
Wzór powyższy udowodnimy przy założeniach:
1. Funkcje <p (t) i <p'(t) są ciągłe w (a, /?).
2. Funkcja / (.r) jest określona i ciągła dla wszyst
kich wartości, jakie funkcja x — rp (/) przyjmuje w prze
dziale (a, /?).
3. cp (a) = a <p (/?) — b.
D o wó d .
Oznaczmy przez M wzgl. m największą wzgl. naj
mniejszą wartość funkcji
x = <p(t) a < t </?.
Niechaj F (x) = J / (.v) dx m .v M.
R o z d z i a ł VI.
Na mocy twierdzenia o podstawianiu w całkach nie
określonych (str. 7)
F W (ł)l = \f[<P (Ó] (p' (O d t dla a < t < £.
Stąd
f
f[(p(O l
<p’ (0 dt = F[cp (f))] — F[(p (a)] => “ = F{b) — F{a) (1)
b
Ponieważ \ f (,v) dx = F (b) — F (a) (2) H
więc z porównania ostatnich dwóch równości, otrzymu
jemy żądany wzór.
Nieraz nie potrafimy wyznaczyć całki nieoznaczonej danej funkcji, a mimo to zdołamy obliczyć całkę okre
śloną w pewnych granicach przy pomocy stosownej zamiany zmiennych.
Uwa g a .
Gdybyśmy zamiast założenia 3. mieli
<p (0 ) = a cp{a) = b
wówczas, jak łatwo stwierdzić, mielibyśmy zamiast związku (1)
\f{<p(t)\ (p {t) d t = F ( a ) — F(b)
a
Stąd na mocy związku (2)
J/(jc) d x = J f [<p(t)] cp’ (t) dt.
a P r z y k ł a d y :
1. Wyznaczyć całkę
I = ) x ]/1 -j- .v'2 dx.
99
Podstawmy j/l -|- a-2 = t,
Otrzymujemy więc n
\~ 1l+ - v s dx = \ log V
2
d ł = T log2
.O 0
3. Wyznaczyć całkę:
x sin x 1 -j- COS2 X
Mamy O
dx.
, x sin x_ , __ f .v sin x__ f .v sin x ] 1 -j- cos2 x X ' 1 -(- cos2 x 'V j 1 4- cos2
1 o jj
Kładąc w drugiej całce x — jt—t, d x — — dt,
51 o
f -V Sin ,v ____ i" (jt — t) sin (rt — t) J 1 —J— COS2 X X J 1 -)- cos2 {tc — t) ^
2 . T
n
_ f (a — t) sin t J 1 + cos2 t a ' 0
Pisząc znowu x zamiast ł, mamy
- d x .
x
mamy
Obliczając tę całkę w znany sposób, otrzymujemy ostatecznie
Podstawienie = 2 a sin2 cp.
§ 2. C ałk ow anie przez części. Przypuśćmy, że funkcje f(x) i <p (x) są ciągłe wraz z pochodnemi w prze
dziale (a, b).
Niechaj F {x) = f (x) cp (x).
Mamy F ' (x) = f (x) cp' (x) -f- / ' (.v) cp {x).
b h
Ponieważ J F' (x) dx = F (x) | , O
Z a d a n i a :
Wyznaczyć następujące całki oznaczone:
Podstawienie x = sin3 cp.
Podstawienie x = a cos cp.
a
Podstawienie x — a tg cp.
2 a
4) J }/2 ax — .v2 dx O 2
103
Całkując jeszcze raz przez części, otrzymujemy
‘ ( 1 ---,.) 5
104
§ 3. C ałk o w a n ie ciągów i szeregów. Udowod
nimy twierdzenie następujące:
T w i e r d z e n i e 1.
J e ż e l i c i ą g f u n k c y j {u„(.v)} c i ą g ł y c h w prze
d z i a l e (a,b) z d ą ż a w t y m p r z e d z i a l e j e d n o s t a j n i e do f u n k c j i u (jc), w ó w c z a s c i ą g f u n k c y j
| i u„ (t) d/j z d ą ż a j ednost aj ni e do f unkc j i \u(t)dt w p r z e d z i a l e (a, b).
D o w ó d .
Z jednostajnej zbieżności ciągu {«„ (x)} wynika, że funkcja u (x) jest funkcją ciągłą (T. I, str. 215 i 218) i ponadto, że do każdej liczby s > 0 dobierzemy taką liczbę N, że dla każdego n^> N będzie zachodzić nie
równość : | u^ _ u | e clla a b.
Zatem dla n > N na mocy § 6, str. 83 [u„(ć) — u (i)] dt e (x— a)<C&(b — a), czyli j un (t) — J u (t) dt < le (6 — a) dla
Ponieważ e jest dowolną liczbą dodatnią, więc ostat
nia nierówność wskazuje, że ciąg funkcyj: j ś un (t) dt |
x l a '
zdąża jednostajnie do funkcji \u(t)dt.
a Uwa g a .
Z powyższego twierdzenia wynika dla x — b lim \un (t) dt = \ u (i) d t.
n — > 50 a b
A więc przy ciągu jednostajnie zbieżnym możemy znak całki zamienić ze znakiem granicy.
Analogiczne twierdzenie można wypowiedzieć dla
Dowód wynika łatwo z określenia jednostajnej zbież
ności szeregu i twierdzenia 1.
2. Połóżmy: u„(x) = n 2x dla 0 .v-<! —■>
W szczególności dla x = §- oraz .r — n dostajemy:
• it
t / ( f ) = •••
1 / ( 0 dt — O.
0
§ 4. C ałk o w a nie szeregów potęgow ych. Przy
puśćmy, że szereg potęgowy
¿o + <?! -v + a2 .v3 + ... a„ a-" -J-... (1) posiada promień zbieżności R. Zatem szereg powyższy jest zbieżny dla — R < x <C R, zaś jednostajnie zbieżny, w każdym przedziale (a, b), gdzie — R < a < b < R.
Niechaj f(x) będzie sumą szeregu (1). Na mocy twierdzenia 2 mamy:
i[ / ( * ) dx=\ a2.v2 dx-f ... f a n xn dx + ...
o 0 0 0
( - R < x < R).
Zatem
i / (x) dx = a0 x + ^ x2 + ... - xn+1 4-... (2)
o £, n -j- i
(— R < x < R )
Szereg powyższy jest jednostajnie zbieżny w każdym przedziale (a, b), gdzie — R <C a < ib <C R.
U w a g a 1.
Jeżeli F (x) = J / (,v) dx, wówczas j / (.v) dx = F (x) — F (0).
F(x) — j f(x) dx = c + a0x + ~ x 2 + . . . xn+i + ...
Szereg powyższy przedstawia więc całkę nieokre
śloną funkcji f{x) dla — R < ^x <^R.
P r z y k ł a d :
Całkując w granicach od 0 do x znane szeregi po- tęgowe (T. I, str. 235—36)
1 108
Stąd na mocy (2), kładąc F (0) = C otrzymujemy
1 + *'2 = i — t2 + + . . . + (— D " t 2n + ...
' i + ł i * + ^ | i < + . . . + l / l- t 2 ' ' 2 .4
I 1 ■ 3. . . (2 n 1) . 2 „ . 2. 4 ... 2 n ^ zbieżne dla | / 1 <[ 1, otrzymujemy szeregi
v 2 v 5 „ 2 n + l
a r c t g * = + T . . . + ( l)" 2 ;i q r i+ -x . 1 -xs . 1 . 3 -x5 , , arc s m * = r + - - 4 - 2 - 1 - + . . . +
1 . 3 . . . (2/i — 1) -v2 n + l
1 2 . 4 . - . 2 / 2 2 / 2 + 1 ' “ ' zbieżne również dla |.v| <+■
Kładąc w ostatnim szeregu x = 4 , dostajemy
n 1 1 1 1 .3 1 ,
6 — 2 + 2 ' 3 . 2 3 T 2 . 4 5 . 2 5 + ' "
Ten szereg nadaje się dobrze do obliczania liczby K,
Jeżeli dana funkcja f(x) da się rozwinąć na szereg potęgowy, wówczas całkę tej funkcji otrzymamy całku
jąc ten szereg wyraz po wyrazie. Sposób ten otrzy
mania całki dogodny jest wówczas, jeżeli innemi meto
dami wyznaczyć jej nie możemy.
109 U w a g a 2.
P r z y k ł a d y : b
1. Całki \ ^- ^d x
nie można wyznaczyć dotąd poznanemi metodami, gdyż sin x
funkcja pierwotna funkcji ■■■ ' nie należy do znanych nam funkcyj elementarnych. Ale bardzo jest łatwo obliczyć ją, korzystając z rozwinięcia na szereg. Mamy bowiem sin x ■
a więc, dla x + 0
^ - £ = 1 _ — — — .. + ( _ i ) " --OLl----L
x 3! 5! ' (2 / 1 + 1)!
Szereg po prawej stronie jest zbieżny również dla x = 0 do granicy 1.
sin x
Funkcja — — przedstawia się wprawdzie dla x — 0 w postaci nieoznaczonej, ale posiada wartość graniczną
sin x
lim --- = 1 (por. T. I, str. 73— 74). Jeżeli więc
przypi-* —> o x
szemy jej w punkcie x — 0 wartość 1, to otrzymamy funkcję ciągłą dla wszystkich x, przedstawioną przez ostatni szereg potęgowy.
110
Całkując wyraz za wyrazem, dostajemy szereg h
a
+ ( - D
¿2n+l __ a2''+'
bardzo szybko zbieżny, przy pomocy którego łatwo obli
czyć całkę z żądaną doldadnością.
2. W teorji wahadła matematycznego dowodzi się, że czas jednego wahnienia dany jest wzorem
w którym / oznacza długość wahadła, g wartość przy
śpieszenia ziemskiego, zaś k — sin y , przyczem a jest kątem zawartym między położeniem pionowem a skraj- nern (0 <] a n).
Występująca po prawej stronie całka nie da się wy
razić przez funkcje elementarne, można ją jednak obli
czyć przy pomocy rozwinięcia w szereg. Zastępując w rozwinięciu funkcji 11 — podanem w przykładzie na str. 108 zmienną t przez k sin <p, otrzymujemy
w przedziale (o, tt). Istotnie, jego ogólny wyraz spełnia nierówność
■ 1 . 3 . 5 . 27I ~6 Sm (p
Szereg po prawej stronie jest zbieżny jednostajnie
111 1. 3. 5. . . (2n — 1)
~ 2 . 4 . 6 . ..2/2 (k sin ęp)1 < sin2"
¿i
t. zn. jego wartość bezwzględna nie przekracza bez względnej wartości wyrazu ogólnego szeregu, otrzyma' nego przez podstawienie w rozwinięciu funkcji
1 — f wartości / = sin Ten ostatni zaś szereg jest zbieżny, bo 0 < sin y 1. Możemy zatem (por. str. 105) całko
wać obustronnie w granicach 0, v :
d(p
l/l k 2 sin2 (p 2 n , 1 . 3
+ \ A2 $ sin (p d(p
-j-2 . 4A'1 j sin4 (p d (p -j- ...
Jak wiadomo (por. str. 93) mamy
1 . 3 . 5 . . . ( 2 n — 1) n J sin2" (p d(p
2 . 4 . 6 . . . 2 / i
Wstawiając to w otrzymany szereg, dostajemy osta
tecznie :
T ~ n l+ (i- )2A2 + 1 , 3 \ 2
2 . 4 k* + •1 .3 .5\2 2. 4. 6
Przez dodanie odpowiedniej liczby wyrazów tego szeregu możemy obliczyć czas T z dowolną dokładnością.
§ 5. C ałk o w a n ie i różn iczko w anie w e d łu g p a ram etru. Niechaj funkcja K(x,t) będzie określona i ciągła w prostokącie
a x b, a i
Ponieważ dla każdej wartości zmiennej t w prze
stajnej ciągłości ciąg funkcyj (zmiennej x) {K (x, tn)} zdąża jednostajnie w (a, b) do funkcji K (.v, /')•
Udowodnimy teraz twierdzenie następujące:
T w i e r d z e n i e 1.
D o w ó d.
Niechaj t' i t' -\- X będą dowolnemi punktami prze
działu (a', b'). Mamy:
/'</ + '■) — f ( f ) f K U J ' -I- f) ,
I--- = )--- X---dr'
a
stąd na mocy twierdzenia o wartości średniej:
Zatem
— \„,t „ ,
Q, _
---^--- = \ /i, (-r, i -f- i>/.) dx.
a
Jeżeli teraz X będzie dążyć do zera, to na mocy jednostajnej ciągłości
K't (ar, /' + 0A) będzie dążyć jednostajnie do
K\ (r, O .
Zatem lim f { l'] = [ K\ (x, f ) dx.
>0 a J
a
Udowodniliśmy tedy nasze twierdzenie.
T w i e r d z e n i e 2.
J e ż e l i (,r, t) j est f u n k c j ą c i ą g ł ą w pr o
stokąci e a ^ x ^ bf wówcz as c a ł k a z f u n k c j i
/(s) = j K (.v, s) d.v
a
Rachunek różniczkowy i całkowy. 8
113
114
w y r a ż a się w z o r e m :
| f(s) ds = J {J K (.v, s) ds} dx {a^C a b')
a a a
t b b t
cz y l i : j {j K (x, s) d x } ds = 5 { J K (x, s) ds} dx.
a a n a
Dowó d .
b t
Połóżmy F (t) = J {f K (x, s) ds} dx (1) a a
Wówczas na mocy twierdzenia 1 i z uwagi na to, że
~ { \ K (x, s) ds) = K (x, t) mamy F ' ( ł ) = ] K (x, t) dx = f { t ) .
a
Zatem F (t) — j / (i) dt + C.
U
Żeby stałą C wyznaczyć, połóżmy t = a, więc F(a) = C. Lecz na mocy (1)
F (a) = i {J K (x, s) d s } dx — 0.
U it
Zatem < 7 = 0 ,
więc F (t) = \f{f) dt,
tt
b t
czyli J f ( s)d s = \ {) K (x, s) ds} dx.
a o Uwaga.
Kładąc w szczególności a = a , t — b', mamy f { f K (.v, s ) dx} ds = J {J K (,v, s) d s} dx.
af a a a '
Zatem, przy powyższych założeniach, porządek cał
kowania nie wpływa na wynik.
Dotychczas przyjmowaliśmy, że granice całkowania są liczbami stałemi. Zajmiemy się teraz całkami, któ prostokącie cząstkową pochodną względem t, ciągłą.
Otóż przy powyższych założeniach, można wypowie
dzieć następujące:
Opierając się na twierdzeniu o różniczkowaniu funk
cji złożonej, otrzymujemy
/' (i) = F't (ł, u, v) + F[, (f, u, v) u '+ F'„ (f, u, v) v.
115
8*
Ponieważ F't {ł, u, v) = J K\ (x, t) dx, U
F'a (t, u, o) = — K (u, t), F'„ (t, u, v) = IC (v, t),
więc /' (t) — $ K', (x, t) dt-\- K(u, ł) v' — K (u, t) u'.
u
Stąd zaś po podstawieniu u — (f (ł ), v = ip (t), otrzy-
•mujemy nasze twierdzenie.
P r z y k ł a d yr
» 2 n+1__1
1. Mamy: \ xn dx = r • • (« =j= — 0 A więc, różniczkując ze względu na n, otrzymujemy
* , (n -(-1)2 "+1 log 2 — 2 "+I + 1 ).v log x dx = --- ---2. Mamy, jak łatwo sprawdzić:
.T
f dx n . | ^ .
--- r-s— = —j = = = ( o <1) J l + a s m " . r 2 ]/1 + «
Różniczkując ze względu na a, otrzymujemy
sin" x , n
J U 4 - a sin2
x)2
dx —‘ 4 ( 1 + a ) 1 a3. Mamy: \ , ^ J---- = ---= ( M ^ O ) J J 1 + a cos .v i _ as
0
Różniczkując ze względu na a, dostajemy
zaś całkując od 0 do i ze względu na a, mamy po le
118
. Z a d a n i a :
1) Obliczyć całkę i dx O
na 4 miejsca dziesiętne przy pomocy rozwinięcia w szereg.
2) Sprawdzić, że całkując wyraz za wyrazem szereg (1 + .*)- = 1 + (») X + (2) X2 + . . . (;;) .V4 + . . .
a następnie mnożąc obustronnie przez n + 1, otrzymu
jemy analogiczny szereg na (1 + x )n+1.
3) Całkując w granicach od 0 do x szereg Maclaurina funkcji y- wyprowadzić wzór
i
log (-v + |/l + xi) . = 1 x3 , 1 . 3 x5 1 . 3 . 5 x’
x — —
2 3 ‘ 2 . 4 5 2 . 4 . 6 7 ważny dla |x| <C 1.
4) Wykazać, że ciąg f n (x) == xne~nx jest niejedno
stajnie zbieżny do /(x) = 0 w przedziale (0, 1), a ciąg
1 1
całek 1 /„ (x) dx zbieżny do 5 / (x) dx = 0.
Ó O
5) Wykazać, że dla |x| <1 1
d l _ x _j_ 1 x* 1 . 3 xu . 1 . 3 . 5 x16 ,
] / T ^ ~ 1 2 6 + 2 . 4 11 ^ 2 . 4 . 6 16 " ' 6) Wykazać, że dla | x | <1 1
log (i + o
t l 2 22 32 42 1
7) Z następujących całek wyprowadzić nowe przez różniczkowanie i całkowanie względem parametru
i p" — 1 a) \eaxdx — --- j
o 8.
b) J |/2a.v— .v2 d x (por. str. 102, zad. 4),
o 2
119
C ) - ■ a... = ^T~~7 (P01'- Stl’- 9 6 i Z a d ' 1 0 ,
J a2 cos2 x -j- b* sin2 x 2 ab 'O
n &
d) i e cos bx dx = ---r r ~7?(e aT cos & n — !)•
o a1, b~
8) Udowodnić przez różniczkowanie całek względem parametru następujące wzory:
■ . x -j- y
aj arc tg x arc tg y — arc tg -— ---- » i x y
b) arc sin x -j- arc sin y — arc sin (x]/l — y2 -\-y j/l — x2).
9) Dla jakich wartości n wolno różniczkować całkę d* J L - L - ?
o n -j- 1
R o z d z i a ł VII.
C a łk i n ie w ła ś c iw e .
§ 1. C a łk a fu n k c ji nieokreślonej w k ilk u pu n k tach. W rozdziale tym określimy pojęcie całki, w wy
padkach, gdy funkcja podcałkowa jest nieokreślona w kilku punktach, lub gdy jest nieograniczona, lub wreszcie, gdy przedział całkowania jest nieskończony.
Przypuśćmy, że funkcja f (x) jest określona w (a, b) wszędzie poza skończoną liczbą punktów <^x2 <C ■ ■ • •*'*•
Załóżmy, że funkcja / (x) jest funkcją ograniczoną.
Określmy funkcję / (x) dowolnie w punktach x\, .t2) ... xk. Nową funkcję, określoną już w całym prze
dziale (a, b), oznaczmy przez <p (x). Jeżeli funkcja (p (x) jest całkowalna w (a, b), wówczas całkę
h
5 (p (x) dx H
nazywamy c a ł k ą n i e w ł a ś c i w ą funkcji / (x).
Gdybyśmy określili funkcję / (x) inaczej w punktach .Tj, .v2, ... xk, to otrzymalibyśmy inną funkcję (p (.v). Lecz jak łatwo zauważyć
i [(P (x) — cp (-v)] dx — 0,
¿1
gdyż (p (x) — (p (,v) jest wszędzie zerem poza punktami jci, x2, ... xk. Zatem, jeżeli funkcja <p (x) jest całkowalna, to (p (x) jest funkcją całkowalną i
b _ b
\ (p (x) dx = i <p (x) dx.
Widzimy stąd, że całka niewłaściwa nie zależy od tego, jak funkcję /(.r) określimy w punktach xl5 .r2, ... xk.
Całkę niewłaściwą oznaczać będziemy jak poprzednio:
j / (.v) dx.
Podobnie funkcja — posiada całkę niewłaściwą w każdym przedziale. x
wówczas granicę tę określamy jako c a ł k ę n i e w ł a punktów, w otoczeniu których staje się nieograniczoną, wówczas rozbijamy przedział (a, b) na skończoną liczbę przedziałów takich, by w każdym z nich istniał jeden tylko punkt, w otoczeniu którego funkcja staje się nie
ograniczoną. Jeżeli w każdym z tych przedziałów funk
cja posiada całkę niewłaściwą poprzednio określoną, wówczas sumę tych wszystkich całek nazywamy całką
zbadać czy istnieje całka niewłaściwa w (O, 1), badamy granice całek:
123
i dx ,, i dx
lim \ . . = ) lim
o j j/.t (1 — x) t—> + o J ]/.v (1— ,v)
r dx
iPonieważ \ . — = arc sin (2.v — 1).
J V x ( l - X )
więc granice powyższe wynoszą odpowiednio:
lim [arc sin 0 — arc sin (2e — 1)] = — *TC
e — >4-0 2
lim [arc sin (1 — 2 s) — arc sin 0] = — •71
c—>4-0 2
i
dx = TC.
A ',ięc ]
§ 3. C a łk i w przedziale nieskończonym . Nie
chaj funkcja f (x) będzie określona dla wszystkich x^> a.
Załóżmy, że w każdym przedziale funkcja f{x) jest całkowalna.
b
Jeżeli istnieje lim J / (.v) d x ... (1)
b — >4-°o a
wówczas granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funk
cji f (x) w granicach od a do 4 " 00 i oznaczamy ją
symbolem: +U1
j / (.v) d x ... (2) a
W wypadku tym mówimy również, że całka (2) jest zbieżna. Jeżeli zaś granica (1) nie istnieje, wówczas mówimy, że całka (2) jest rozbieżna.
P r z y k ł a d :
Funkcja y — ^ jest ciągłą dla .v 1.
b
Ponieważ \- 5 dx — 1 124
zatem lim \- 5 d x = 1 , a więc \ —i = 1.
6-» + «,
) x2 J .v
1 . 1
Analogicznie określamy całki niewłaściwe:
i f ( x ) d x = lim [ / (x) dx,
— 00 — > — cc b
f f ( x ) d x = J / (x) ć/.v -j- j f(x )dx . P r z y k ł a d :
_ L 1 -)- x Niechaj / (.v) — 1 ,
Mamy \ — r--¿== lim { = lim arc tg a = J l + . V " «->+M Jl+ A - 2
«-d v f eta n
— — 5 = lim \t—7— | = lim (— arc tg a) = „'
1 -j-*V J 1 - }- .^ «-»-co ° *
-f 00 o + 0 0
)nr?“ Srf?+)TT?=it'
i__1_■ -V" j 1 4-.v§ 4. K ry te rju m is tn ie n ia c a łk i niew łaściw ej.
N i e c h a j f u n k c j a <p (x) n i e u j e m n a pos i ada w (a, b) [a <C 6] c a ł k ę n i e w ł a ś c i w ą . J e ż e l i f u n k
CO| tą
ej a f (x) j est c a ł k o w a l n a w k a ż d y m p r z e dz i al e (a, b) [a<[a'<C&] i j e ż e l i
I / W | < (f (x) a < x < b w ó w c z a s i s t n i e j e c a ł k a n i e w ł a ś c i w a
$ f (x) dx.
H Do wód.
Niechaj {fi,,} będzie dowolnym ciągiem malejącym liczb dodatnich zdążających do zera. Niechaj nadto
a + e„ < b (a < b) Utwórzmy szereg:
b a + ej a-h f*
s (f (.v) dx -j- 5 (p (x) dx + i (p (x) dx + . . . +
a + £j a + to a + fa
a + i/ i- I
-j- J <p (x) dx-j- ...' . . . . (1) Zauważmy, że jeżeli S n oznacza sumę n pierwszych wyrazów tego szeregu, to
S„ — i <P (x) d.x.
a + en
Zatem szereg jest zbieżny i suma jego równa się całce niewłaściwej funkcji (f (x) w (a, b).
Ponieważ wedle założenia
I f (x) | < <p (.y) (a < .y < b) więc
,2 ,1 V
| i f (.y) c/.y| < j \f (.y) I dx < j (p (x) dx (a < « < /? < b),
« a a
125
a zatem szereg:
jest szeregiem bezwarunkowo zbieżnym, gdyż wyrazy jego są co do modułu mniejsze niż odpowiednie wyrazy
Ponieważ granica powyższa istnieje dla każdego ciągu {e„} spełniającego wyżej podane warunki, zatem
Jeżeli s<Cl, wówczas istnieje całka niewłaściwa a
dx
( * >
0
)127
W szczególności, jeżeli istnieje lim / (.v) .y’
Dla całek w przedziałach nieskończonych można wy
powiedzieć analogiczne kryterjum. A mianowicie:
N i e c h a j f u n k c j a g> (x) n i e u j e m n a p o s i a d a cał kę n i e w ł a ś c i w ą :
+ W(p (.y) d.v.
128
Dowód przebiega podobnie, jak przy poprzedniem kryterjum.
Podobne kryterjum można wypowiedzieć dla prze- działii (— co, 4 “
oc
Jeżeli istnieje całka \f{x)dx, to ciąg sum częściowych
sze-co X
130
Ostatnia nierówność zachodzi dla każdego
Tem samem udowodniliśmy, że ze zbieżności
a więc J f (t) dt — log log x — log log 2.
co
Zatem całka j f ( t ) d ł nie istnieje, z czego, wedle naszego twierdzenia, wynika rozbieżność szeregu
5 - ¡ i - .
„ —2 n log n Uwaga.
Twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeżeli funkcja / (x) jest określona i posiada własności wymienione w za
skończonych jednostajnie zbieżnych. W istocie, całki jed
nostajnie zbieżne posiadają analogiczne własności, któ- remi się teraz zajmiemy.
9*
Mamy oczywiście:
I K (,v, s) dx = f K (x, s) dx +" | 'li (x, s)dx + ... (1)
a Ji n +1
Szei’eg po prawej stronie jest jednostajnie zbieżny, bo z powodu jednostajnej zbieżności całki, do dowolnie zbieżny przedstawiający całkę funkcji, stojącej po lewej strony równości (1) wziętą w tych samych granicach:
Udowodnimy teraz, że istnieje całka niewłaściwa
kowanie jednostajnie zbieżnego szeregu:
00 Kx K;
\ K (x,s) dx = li K (x,s) dx -f- 5' K (x,s) + . . .
a a Kj
w granicach «, ¡8 i przez następną przemianę porządku całkowania. Tem samem udowodniliśmy zbieżność całki
oo /? uczynionych założeń, spełnia jeszcze następujące:
1° Istnieje pochodna K's (x,t) ciągła w każdym punk
oo
niczkowanie wyraz za wyrazem szeregu (1). Zatem jego suma, która z powodu jednostajnej zbieżności jest funk
cją ciągłą, jest, wedle znanego twierdzenia z teorji sze
regów (T. I, str. 223), pochodną sumy szeregu (1), co było do okazania.
Udowodniliśmy więc twierdzenie następujące:
T w i e r d z e n i e 1.
c) J e ż e l i f u n k c j a K (x, s) s p e ł n i a p o p r z e d n i e z a ł o ż e n i a , a p o n a d t o dl a x^> a, a ^ s ¡3 po
s i a d a c i ą g ł ą p o c h o d n ą K's (x,s), dl a k t ó r e j ca ł ka n i e w ł a ś c i w a
I K'. (x,s) dx ii
i s t n i e j e i j est j e d n o s t a j n i e z b i e ż n a , w ó w czas c a ł k a M
J K (x, s) dx
a
p o s i a d a w p r z e d z i a l e (a,/?) c i ą g ł ą p o c h o d n ą ze w z g l ę d u n a s, d a n ą w z o r e m
00 oo
~ \K (.v, s) dx — \ K ’a (x,s) dx.
n n
Do stwierdzenia jednostajnej zbieżności całki wy
starcza często następujące twierdzenie:
T w i e r d z e n i e 2.
J e ż e l i (f{x,s) j es t f u n k c j ą c i ą g ł ą i nie- u j e m n ą z m i e n n y c h x, s w o b s z a r z e x a ,
d l a k t ó r e j c a ł k a
co
! <P (x,s) dx il
i s t n i e j e i j es t j e d n o s t a j n i e z b i e ż n a , w ó w czas d l a k a ż d e j f u n k c j i K (x,s) s p e ł n i a j ą c e j n i e r ó w n o ś ć | K (x, s) | •< <p (x, s) i c i ą g ł e j w t ym s a my m o b s z a r z e , c a ł k a n i e w ł a ś c i w a
00
J K {x, s) dx
r ó w n i e ż i s t n i e j e i j e s t j e d n o s t a j n i e z b i e ż n a . 135
cc
Wobec jednostajnej zbieżności całki 00
istnieje, to całka ta jest oczywiście jednostajnie zbieżna. Przechodząc do granicy dostajemy
J e~x dx = 1.
dziale. Wobec poprzedniej nierówności to samo odnosi się do danej całki. Zatem przedstawia ona funkcję ciągłą
00 s
jak łatwo sprawdzić, istnieje, więc całka otrzymana przez różniczkowanie jest jednostajnie zbieżna, a zatem
7 xe x cos sx dx = — - x ^ d ( s 5 \ l — s2^ •
istnieje i nie zależy od parametru s. Stąd, podobnie jak w poprzednim przykładzie, wynika jednostajna zbieżność danej całki i jej ciągłość w (a, /?).
Całkę tę łatwo wyznaczyć, z uwagi na to, że
dx 1 x
-r—j— 5 = - a r c tg->
X -f- s* s s oo
f d x 1 .V TC
a zatem \— = lim — arc tg — = -—
J .v —|— 5 s s 2 s
0
Całkując w granicach 1, y otrzymujemy
? ® " I arctg — —
arctg--, i/ , 1 arctg--- arctg —
a więc ] ---- 1--- - dx — "~ log ij.
J x *
O
Różniczkując daną całkę, otrzymujemy
cc
- 2s (X2 + s2)2 • O
Całka ta jest również jednostajnie zbieżna w (a, ¡3), bo
■2 s | . 2 0 .. f dx
;.-0..-f-— r, a całka 1
(.v2 + s8)31 (*2 + D2 J (*2 -r Ds
ojak łatwo stwierdzić, istnieje.
Podobnie należy postępować przy rozwiązywaniu poniżej podanych zadań na różniczkowanie i całkowa
nie całek niewłaściwych.
Z a d a n i a :
1) Wyznaczyć następujące całki niewłaściwe:
GO 1
(a > 0) oo
b) | e "x cos bx dx — Jl0
0
o
cc
Nie istnieją. Udowodnić to.
SI0
0
(Użyć podstawienia x — a sin <p).
2) Wykazać istnienie następujących całek:
141
,v2 dx x* + l '
*)
« 5 ( ^ • 0
(Przyjmujemy, że dla .v — 0 funkcja podcałkowa jest równa 1).
( e > o ) 1
3) Wykazać, że następujące całki nie istnieją:
00
a) \ -g— -5— -p—§ (a > 0) . J a“ cos" x -f- *
b) i sin x
x dx (Dla x = O j. w.)
00
ej i sin —dx.
1 .v
^ 1
4) Wykazać, że szereg —:— ¡-¡rj— \es^ zbieżny przy każdem « ^ > 0 . « -a 72 /!
°°
1
72 "■j“”1
5) Wykazać zbieżność szeregu yj — — log — -— •
n = ¿ 1
6) Różniczkując i całkując całki: 1) a, ¿>, wyprowadzić nowe całki.
CO __ x 2 __
7) Różniczkując całkę I (a) = \ e x* dx ze względu O
na a, a do otrzymanej całki wprowadzając nową
zmienną y = — > wykazać, że 1 ' {a) = — 2 /, czyli
I ' (a) x
--- — — 2. Całkując obustronnie, otrzymujemy log / (a) = — 2 a -j- C, I (a) = C'e 2 a. Porównując obie strony dla a — 0, dostajemy
I (a) — e ~2a \ e~x1 g?.y.
O
8) Wykazać jednostajną zbieżność całek:
a) $ e~nx' dx dla a 1
O
CC o 2 ____ 1
6,) i e~“x x cos x dx = 7-5—r — dla a ^ 1.
o (a- + l) 2
14*2
R o z d z i a ł VIII.
Z a s t o s o w a n ia r a c h u n k u c a łk o w e g o .
§ 1. O bliczanie pola. Określiliśmy poprzednio pole ograniczone krzywą ciągłą y = f(x), prostemi x — a, x = b i osią .r-ów jako całkę z funkcji f(x) w przedziale (a, b), przy założeniu / (x) ^ 0.
Podamy teraz definicję pola ograniczonego prostemi x = a, x = b oraz dwiema krzywemi ciągłemi, y = f(x), y — g (x), przy założeniu /(.v) ^ g (x). Mianowicie okre
ślamy je jako ,,
j [g(x)-f(x)]dx.
a
Definicję tę można uzasadnić intuicyjnie w sposób na
stępujący:
Jeżeli obie funkcje / (x), g (x), są nieujemne, wów
czas (Rys. 3) pole powyższe jest różnicą pola
ogra-niczonego krzywą y — g(x), prostemi x — a, x = b i osią .y - ó w i pola ograniczonego krzywą y = f ( x ) , pro
stemi x — a, x — b i osią . y - ó w , zatem jest równe f g (.v) dx — \ f(x) d.y.
H <1
Jeżeli zaś funkcje f (.y), g (x) mają dowolny znak, to, wobec ich ograniczoności, istnieje stała c taka, że funkcje /i (.y) = / (x) -f- c, gx (.y) = g (x) -|- c są nie- ujemne. Pole zawarte między krzywemi y — A (-y), U — 9\ (x) i prostemi x = a, x = b jest oczywiście przy
stające do pierwotnego i równe
! IY/i W — A W] dx = i [g (x) — / (!•)] dx. _
ii a
P r z y k ł a d y :
1. Wyznaczyć pole P ćwiartki elipsy. Ćwiartka elipsy i ! 4- £ = 1
a 2 ^ b*
jest ograniczona prostemi .y= 0 , x = a , osią .y-ó w i krzywą y = - ( 0 < .y < a) A więc P = — i ]/a2— .y2 dx, stąd p = ‘— ~—
3. ó
Zatem pole elipsy wynosi abn.
2. Wyznaczyć pole P ograniczone przez proste .y— a, x = b (0 a b) i parabolę y2 = 2 p .Y .
Mamy tu f (x) = — ]/2 px, g(x) = + |/2 p.v, zatem P — \2 ]/ 2 p x g?.y = |/2 p (b~- — a-).
144
145 Dla a — O otrzymujemy, kładąc b = x, ]/2 po
znany wzór na pole odcinka paraboli P = - ^ x y . Z a d a n i a :
Obliczyć następujące pola: 2 1) Pole ograniczone hiperbolą — krzywe mają tylko skończoną liczbę punktów wspól
nych, to pole ograniczone temi krzywemi i prostemi
6) Korzystając ze wzoru zad. 6 obliczyć pole:
a) lemniskaty r2 = a2 cos 2 cp (— ?)> a2>
> ^ , C0S (P S‘n 9 /n / b) liścia Descartesa r — a — -s-- ;— r-s—
7 2 cos3 cp -+- sin3 (p
P = T
7) Obliczyć pole ograniczone osiami współrzędnych i krzywą y = ^ ^ +“ ^ (« > °> b >
°>-§ 2. O bliczanie długości łu k u . Przypuśćmy, że funkcje x = f(t), y = <p(t), z = y ( f i (1) są określone, ciągłe i posiadają ciągłą pochodną dla a i Zbiór wszystkich punktów przestrzeni o współrzędnych (.v, y, z) odpowiadających tej samej wartości zmiennej t, tworzy pewną krzywą.
146
Zmienną t nazywamy parametrem, funkcje (1) przed
stawieniem parametrycznem tej krzywej.
Utwórzmy dowolny podział <5 odcinka («, fi).
Niechaj punkty a < ... < fi będą punktami podziału (5. Oznaczmy przez: A, Alt A2, ... B (Rys.-4X.
punkty krzywej, odpowiadające wartościom parametru a,tu t2 ... fi.
Połóżmy: A xt — f ( tj — f (a),
& 2 = f (4) — fiti).
Podobnie określmy A ylt A y2, A z 1} A z2, ...
Długość cięciwy A >1, wyraża się wzorem A A , = MAx\ + ń y \ + A Ą .
Zatem długość linji łamanej A Af A2 . . . wynosi L = lA x l+ A y \ + A z* + Ux\ + Ay\+Az\ + . . . (2)
Na mocy twierdzenia o wartości średniej
A x1 = f ' (l1) A t 1 (a < l i <
Jeżeli więc położymy:
/ ' * (li) = / ' * % ) + Pi wówczas: (<d xx)2 = f ' - ^ ) A t\ + Qt A ł~.
Postępując podobnie dla A y, A z , otrzymamy MAx\-\-Ay\-\-Az\ =
= ¡ W 2 (4) + 9 " 2 tfi) + V '2 (i,)] ¿Tii + (0i + + *i) Zl t l Opierając się na nierówności:
n7i<l/|a + 6|<]/|Ti + l/]6],
i kładąc: ] //'2 (f) + ę /2 (t) + ip’ 2(ł) = F(ł), otrzymamy:
F | ) ¿1 4 < |/zl + ¿1 y; + Z ^ < F (/,) z l^ + + y i Sl +01 + ^ l| A ty... (3) Postępując podobnie dla A x2, A y2, A z 2 ... i kładąc
P = F ( i 1) A i 1 + F ( L ) A t 2 + ...,
^ ==Vli?i + (Ti At x +]/| q2 + cr2 + r2 |zl i2 + ... (4) otrzymamy na mocy (2) i (3) nierówność:
147
10*
Oznaczmy przez Q największą z liczb: Q 2 , • • • ; podobnie określmy er, t.
Ze względu na (4) mamy wówczas
1*1 < ] / e + ó - f - r (P— a). . . . (6) Obierzmy teraz dowolny ciąg normalny podziałów
Oznaczmy, podobnie jak poprzednio, dla podzia
łów <5„ liczby P n, R „ , L n, Qn,a,„ vn. Mamy więc wobec
(5) i (6): ---- _ --- —
Pn < I ' n < P n + I i n, (7)
Z jednostajnej ciągłości funkcyj f'-(ł), cp'2(l), y>'s(f) i z uwagi na (3) wynika
lim {?„ = 0, lim o„ = 0, lim r„ = 0.
n — ) oo n — > oo n — > o°
A więc według (7)
lim R n = 0.
n — >co
Ponieważ, jak łatwo widać, lim Pn = i F(t) d t,
n — > oo a
zatem na mocy (7) ciąg {i,,} jest zbieżny i
lim L„ = \ F (t) d t = \ Yf'- (O + (p'~ (i) + V '2 (t) d t
n — > co a a
Granicę ciągu {Ln} nazywamy długością danej krzy
wej ; oznaczając długość literą s, widzimy, że s =
f
Yf'Ht)-\-<p'2(t) + V '2(t) dt.a U w a g a 1.
Przypuśćmy, że funkcje f (t), (f(t), ty (f) posiadają w przedziale (a, fi) pochodne ciągłe, poza skończoną 148
liczbą punktów. Jeżeli całka (w znaczeniu zwyczajnem lub niewłaściwem):
i y r « + <p'2(ó“+ y 2 (o d i
a
istnieje, wówczas wartość tej całki nazywamy również długością danej krzywej. Można wykazać, że ciąg liczb [Ln} określonych jak poprzednio, zmierza przy każdym ciągu normalnym podziałów {r)„} do wartości tej całki.
U w a g a 2.
Często krzywa dana jest wzorami y — a (x), z = fi(x), przyczem funkcje a (.v), fi (x) posiadają ciągłe pochodne.
Jest to pewien rodzaj przedstawienia parametycznego, jak odrazu widzimy, pisząc
x = t, i/ = a (t), z = fi (t). (xt < t < .v2)
Xo
Zatem s — J |/l -(- a '2 (.v) -(- fi'2 (x) dx.
•Ti
W szczególności, dla krzywych płaskich (fi — 0), otrzymujemy często używany wzór
•*2
s = f |/l / 2 dx.
Xi P r z y k ł a d y :
1. Obliczyć długość łuku paraboli y2 — 2 px od wierzchołka aż do punktu (x, y).
Przedstawienie parametryczne otrzymamy kładąc
2. Obliczyć długość łulcu cykloidy
x = a (t — sin ł), y — a ( 1 — cos t), to _________________ .____ h ■___ ____
s = j ]la~ (1 — cos f)2 -j- a2 sin2td t = a\ ]/2 (1 — cos t) dt — 1
= 2 a i sin ^ dt = 4 a ^cos ~ — cos (0 t i t 2 ^ 2 Jt) W szczególności, kładąc tt = 0, t2 — 2 n otrzymujemy długość całego łuku 8 a.
3. Obliczyć długość łuku linji śrubowej x — r cos t, y = r sin t, z — a t w granicach t1, t2.
s — i |//’2 sin21 + r2 cos21 -(- a2 dt = j ]//'2 + a2 dt,
11 ______ 'i
zatem L — ]/r§ -f" a2 (f2 — 4).
Z a d a n i a :
Obliczyć długość łuku następujących krzywych:
1) Cyssoida x — 2 v sin2 t, y — 2 r sin2 i tg i w grani
cach 0, t. —
---1-(s ! 2 r cos t
1^3 log (]/ 3 cos t -f- ]/l -j- 3 cos21) — 2 -J- ]/ 3 log (2 -j- ]/ 3)| 1 2) x = t 2, y — t — j j t 5 w granicach 0, ]/3 (s = 2 ]/3).
3) Linja łańcuchowa
y '■
w granicach .v1? .v2.
( „ w * )
151
X^ x^
y — 7.— ’ z — 7T-5 w granicach O, x.
i a o a"
( s = .y + z)
5) Krzywa przekroju walca parabolicznego (y -f- z)2 — 4 a.x
ze stożkiem eliptycznym. § ,v2 -(- ij~ — z2 — 0 od po
ze stożkiem eliptycznym. § ,v2 -(- ij~ — z2 — 0 od po