71 giera zbieżnym. Ponieważ ciągi częściowe ciągu zbieżnego

są zbieżne do tej samej granicy, więc: lim ^ .„ ^ lim A'„.

ii — > oo n — > co

Widzimy zatem, że ciągi sum {4„} i { X } są zbieżne do tej samej granicy.

Wspólną granicę ciągów {An} odpowiadających cią

gom normalnym podziałów, nazywamy c a ł k ą o k r e ś l o n ą funkcji / (x) w przedziale a b.

Całkę określoną oznaczać będziemy symbolem:

i f (x) dx.

it U w a g a 1.

Niechaj funkcja y — f(x) będzie ciągłą w przedziale zamkniętym (ab). Wykażemy później, że funkcja taka jest funkcją całkowalną. Załóżmy, że / ( x ) > O dla a<\r Oznaczmy przez D obszar zawarty między krzywą, osią x6v i rzędnemi x — a, x = b . (Rys. 2).

Utwórzmy dowolny-podział d odcinka (ab). Niechaj Afi, /«i, M<2, m2, ... oznaczają największe wzgl. naj

mniejsze wartości, jakie funkcja f(x) przyjmuje w od

powiednich odcinkach podziału <5. Oznaczmy przez §j, |2 • • ■

wzgl. §\, f 2 ... punkty, w których funkcja przyjmuje powyższe maxima, wzgl. minima.

Zatem

/(§i>== Afi, f ( § 2) = Ms, ... = / ( ^ ) = m2, ...

Niechaj:

A — f i t i) ^ *14" / (Sa)^ -r2 4". • ■ — -\-M2 zl x2 -p • • •

==/ (I',) ^ *1+ f (§2) 4 4- • • •— mi ^ •ri 4- ¿1 a2 4- • • • Prostokąty o podstawach Axu ¿1.y2... i wysokościach odpowiednio Mu M2 ... pokrywają obszar D.

Prostokąty zaś o tych samych- podstawach, a o wy

sokościach mu m%... mieszczą się w obszarze D.

Ponieważ dla każdego ciągu normalnego podziałów

{<5„} mamy: , *

lim A„ = lim A„ = j f(x) dx,

n — ^ 00 n — > 00 h

więc postąpimy zgodnie z intuicją, określając pole ob

szaru D, jako wartość całki:

i fix) dx.

U w a g a 2.

W całce określonej \ f{x)dx (w przeciwieństwie do całki nieokreślonej!) zamiast x możemy napisać inne litery. a

A więc:

i f(x) dx — \f{t) dt — \f(z) dz i t. d.

/i n h

P r z y k ł a d y :

1. Funkcja g — c jest w każdym przedziale całkowalna i I;

j c dx — c(b — a).

Tworząc bowiem jakikolwiek podział ó i obierając punkty dowolnie po jednym z każdego od

cinka wchodzącego w skład podziału (5, mamy f ( i i) = c, / ( § 2) = c, ...

zatem A = cAxx -\-cAxi -j- ... = c (6 — a).

W myśl zatem definicji:

J c d x = c{b— a).

Obrazem geometrycznem funkcji y = c jest prosta równoległa do osi x6w. Jeżeli e > 0 , całka powyższa przedstawia nam pole zawarte między tą prostą osią xów i rzędnemi x = a. x = b.

2. Funkcja y = x jest w każdym przedziale całkowalną i

Utwórzmy dowolny podział <5 odcinka {ab). Obiera

jąc punkty ... dowolnie po jednym z odcinków-A .V], ¿1j8 ... podziału <5 i kładąc /(x ) = x otrzymamy:

/ ( i i ) = t i , » V v zatem A = A Xj -f- ę2 A x2 “h ■ ■ ■ S ^

xn-Jeśli oznaczymy przez X j, .v2, ... x„ środki odcinków A .Vj, A x2 . . . A x„ , to :

A = .V, A X , -)- X 2 A X 2 -j- . .:- j- .X „ A X „ -)- ( l i — X j ) A X j -j-

-|- (£2-x2) A X 2 -j- (In —X „ ) A x„.

Oznaczmy punkty podziału (t. j. końce odcinków wchodzących w skład podziału Ó) literami

a < < a2 < as ... < an = b.

Zatem .Vj A Xj -j-.v2 A xs -f- • ■ • xn A xn — _ a 2— a 2 . a 2— a 2 , b2— a 2„ _ ,_b'z — a 2

— ' 2 I g 2 — 2

AS__aS

Więc A = —

----gdzie | i? | — | — Xi) A xx + (f 2 — x2) 4 ,r2 | <

< 1 1 — Xj 11 <5! + 1|2 — xs 11 <5 | -Jr ...

Jeżeli zatem obierzemy dowolny ciąg normalny po

działów {<5„}, to

¿ 2_a2

A„ = — ---- f- R n, przyczem |#„ | < £ {b — a) | d„ |.

Ponieważ lim |<$n j = 0, więc lim i?n = 0, zateni

X — ) c c

b2— a2 . i? 62 — a1

lim A„ — — -— i a więc \xax = —

--Ł n £•

Obrazem geometrycznym funkcji y = x jest prosta.

Jeżeli 0 <C a <C b, to całka określona przedstawia pole zawarte między tą prostą osią .y6w i rzędnemi x = a ,

.Y — b\ polem tem jest oczywiście trapez.

3. Jeżeli funkcja f(x) jest w podziale {ab) wszędzie, z wyjątkiem skończonej liczby punktów, identycznie równa zeru, wówczas

I/(* )d * - = 0 .

Niechaj k oznacza liczbę punktów, w których funk

cja jest różna od zera, zaś M maximum funkcji |/,(*)!

w przedziale (ab). Dla dowolnego podziału .ó mamy

oczywiście * * |J|.

Jeżeli więc {ó„} jest. dowolnym ciągiem normal

nym podziałów, zaś {4,,} ciągiem odpowiednich sum, wówczas

| A„ | 2 kM | (5„ | n = 1, 2, ...

Ponieważ lim |<5„| = 0, więc lim 4 „ = 0, zatem

n — > oo n — > cc

i / (■*) rfjr == 0.

§ 2. N ie k tóre w łasności całe k określonych.

Z definicji całki określonej łatwo wynikają następujące twierdzenia :

T w i e r d z e n i e 1.

Suma dwu funkcyj f(x) i <p(x) całkowalnych w prze

dziale (a b) jest funkcją całkowalną i

J [/ Cv) + (P W] dx = j / (x) dx -(- J ip (x) dx.

Dowó d .

Jeżeli (5 jest dowolnym podziałem, wówczas mamy A = /(li) A + / ( f 2) z1a-2 +

...

4 ' = <P(£,)4 + 9 »(| s) 4 jr j + . . .

4 + 4 ' = [ / ( f j ) 4 " ( l l ) ] ^ A j + [ / ( | 2) + 9^ ( ^ ] ^ .<*2 “ I- • • •

Jeżeli więc { ó „ } jest dowolnym ciągiem normalnym podziałów, wówczas

lim (An -|-4'n) = lim 4,, + lim A'n,

n = co n =&© n — oc

więc funkcja /(.v)-f- <p {x) jest całkowalna w (a&) i j [/ W 4- CP W] dx = t f (.r) dx 4- ( rP (x) dx.

n n a

Podobnie udowodnić można następujące twierdzenie:

T w i e r d z e n i e 2.

Przypuśćmy bowiem, że <p (x) jest funkcją całkowalną w (ab). Na mocy przykładu 3, str. 74, mamy:

Utwórzmy dowolny podział <5 odcinka (ab). Oznaczmy

przez Mx, Mit ... największe zaś przez m ,, m2, ... naj

mniejsze wartości, jakie funkcja f(x) przyjmuje, odpo

wiednio w odcinkach ¿1 _vls A x2 ... podziału (5. Połóżmy:

S -= Mi A Xi —|— Ma A A*o —)—...

s = mi Axl Jr mi A .v2 + ... (1) 4 = /(s1)4.v1+ / ( |2)zlx2 +

...

Liczbę iS nazywamy g ó r n ą s u m ą , zaś s d o l n ą s u mą , odpowiadającą podziałowi ó.

Mamy oczywiście: s ^ A <1S.

L e m m a t 1.

J e ż e l i f (x) j est f u n k c j ą c i ą g ł ą w p r z e d z i a l e (ab), zaś { <5„} o z n a c z a d o w o l n y n o r  m a l n y c i ą g p o d z i a ł ó w o d c i n k a (ab), w ó w c z a s

lim (S„ — s„) — 0

n ^ co

(Sn, sn oznaczają sumy górne wzgl. dolne odpowiada

jące podziałowi (5„).

D o w ó d.

Niechaj (5 będzie dowolnym podziałem. Zachowując’

poprzednie znakowania mamy na mocy (1):

S — s = (Mi — my) A „Yj -j- (M« — mt) A x2 -(-... (2) Ponieważ funkcja.f(x) jest jednostajnie ciągłą w prze

dziale (ab), więc obierając sobie dowolną liczbę e > 0, znaleźć możemy takie że, jeżeli | £ '— £’'|<Cłi, wówczas |/(|')— /(§") | <C £- Przypuszczając, że | <5 ] <1₇₇ to:

Mi — n ti< ie , Mą — m2<Cs, ...

A więc:

5 — s < e / l A-14-eZl.Y, -f-... = e(zl.Vi -\-Ax2 + ...), czyli: — s O ( £ > — a), jeżeli | ó | <C 77 . . (3)

Ponieważ lim'|<5„| = 0, więc istnieje takie że dla

n — > cc '

każdego n > N będzie | ón | < 't]. Mamy stąd na mocy (3):

s„ < e ( 6 — a) dla n > N . Ponieważ e może być dowolną liczbą dodatnią, więc

lim (S„ — sn) = 0.

n — > cc

L e m m a t 2.

Niechaj <3 i d’ będą dwoma podziałami (ab).

J e ż e l i f(x) j es t f u n k c j ą c i ą g ł ą w (ab), zaś S o z n a c z a g ó r n ą s u m ę o d p o w i a d a j ą c ą po

d z i a ł o w i <5, s d o l n ą s u m ę o d p o w i a d a j ą c ą po

d z i a ł o w i d\ w ó w c z a s S > s

(czyli każda suma górna jest równa lub większa od jakiejkolwiek sumy dolnej).

D o w ó d : Niechaj:

S = Mx A x, M2 A x2-f -..., s = m [ A ^ -j- m2 A x'2 -f-..., Załóżmy na razie, że f ( x ) ^ 0 dla (Rys. 2).

Niechaj w tym wypadku D oznacza obszar między krzywą y = f ( x ) , osią x6v i rzędnemi .v = a i x = b.

Łatwo zauważyć, że prostokąty o podstawach zlxj, Axt ...

i wysokościach Mu Mt ... pokrywają całkowicie obszar D, i że w obszarze D mieszczą się całkowicie wnętrza prostokątów o podstawach A x ' , A .v' ... i wysokościach odpowiednio m[, m'2... Wynika stąd, że prostokąty o pod

stawach zIa-], Ax„ ... pokrywają prostokąty o podstawach A r', A x'2 ... Ponieważ S jest sumą pól pierwszych pro

stokątów, zaś s sumą pól drugich, więc 78

Jeżeli teraz funkcja f(x) nie jest funkcją nieujemną w (ab), to kładąc

f(x) = /(.v ) — m

[m oznacza najmniejszą wartość funkcji /(r)]

mamy : / (x) > 0 dla a < .v < b.

Zatem S (gdzie S oznacza górną sumę funkcji f{x), odpowiadającą podziałowi <5, zaś s dolną sumę, odpowiadającą podziałowi 6').

Lecz S — M^A .Vj -(- M2 A ,v2

= (Mi — m) A .Y j + (^2^— A x2 4 ~ • ■ ■

(M1 oznaczają największe wartości funkcji / (x) w przedziałach ń x u ...).

Zatem S = S — m (b — a).

Podobnie otrzymamy

s = $ — m (b — a).

Ponieważ S ^ - s ,

więc S — m {b — a) ^ s — m (b — a),

czyli S > s.

T w i e r d z e n i e .

F u n k c j a y = f ( x ) c i ą g ł a w p r z e d z i a l e (ab) jest w t y m p r z e d z i a l e c a ł k o w a l n a .

D o wó d .

Niechaj {ó„ } oznacza dowolny ciąg normalny po

działów, {£„ }, {s„ } sumy górne wzgl. dolne, odpo

wiadające podziałom ó„, zaś {A„ } sumy określone w § 1.

Jeżeli p i q są dowolnemi liczbami naturalnemi, wówczas na mocy lemmatu 2

&p ^ Sq Sp>

Wynika stąd:

- ( £ , - # < S , ^ s ) ^ ' S p T-8r , . (1) Ponieważ na mocy lemmatu (1) lim (Sn — s„) = 0, więc obierając dowolną liczbę s > 0 , znajdziemy takie N, że dla n > N , .

0 < Sn — 8,i < e.

Jeżeli więc p^> N i q ^> N , wówczas na mocy (1)

— e ^ Sp — S Q e,

czyli | S„ — S„ | < e.

Widzimy stąd, że ciąg {S „ } spełnia warunek Cau- chy’ego, jest więc zbieżny.

Ponieważ: sn = Sn — (Sn — sn) , więc na mocy lemmatu 1:

lim s„ = lim Sn ...(2) ii —) oc n —^ oo

Z uwagi na to, że

s n A n S n wynika na mocy (2) istnienie granicy

lim A n.

n —^ oc

A zatem funkcja f(x) jest funkcją całkowalną w prze

dziale (ab).

§ 4. N ie k tóre w a ru n k i całkow alności. W ustę

pie tym podamy (bez dowodu) pewne warunki całko

walności funkcyj nieciągłych.

T w i e r d z e n i e 1.

F u n k c j a o g r a n i c z o n a i p o s i a d a j ą c ą s k o ń c z o n ą l i c z b ę p u n k t ó w n i e c i ą g ł o ś c i w prze

d z i a l e (ab) jest w tym p r z e d z i a l e c a ł k o w a l n ą . Wynika stąd łatwo, że funkcja ograniczona i posia

dająca skończoną liczbę punktów nieciągłości w (ab), 80

jest całkowalna w każdym przedziale częściowym (a, fi) (a < a < /? < & ).

Ważnem jest również następujące:

T w i e r d z e n i e 2. a ponadto jest ograniczona.

3. Funkcja: f(x) = 1 dla 0 x <11,

wówczas:

$ / Cr) dx -f Ś / (x) d.x = J / (a) dx.

a b a

D o wó d .

Utwórzmy ciąg normalny podziałów {¿„} odcinka (a, c) taki jednak, by punkt 6 był punktem podziału każdego <5„. Oznaczamy przez {4n} ciąg sum odpowia

dających podziałowi {¿„}. Sumę- A n możemy przedsta

wić następująco:

= [/(£1) A + / ( §₂) ^ -v2 + ••■] +

+ [ / (§;') * " ) + f ( § " ) ¿1 a " + . . . ] ,

gdzie zlxj, A .v' ..., wzgl. A .v”, A x'! ... oznaczają od

cinki podziału ó„, mieszczące się w (a, b), wzgl. (b, c).

Oznaczając przez A'n sumę zawartą w pierwszym nawiasie, zaś przez A"n sumę w drugim, mamy

A n = A'n -j- ...(1) Jeżeli założymy, że funkcja / (x) jest całkowalna w (a, c), wówczas na mocy twierdzenia 2, § 4, będzie również całkowalna w (a, b) i (b, c), a ponadto:

lim A n = \ f(x) dx, lim A'n = \f{x)dx,

n — > co a n — > 00 «

lim A'ń = f / (a) rf.v.

n — > 00

Stąd na mocy (1) wynika nasze twierdzenie.

P r z y k ł a d :

Niech dana będzie funkcja f (x) określona w prze

dziale (0, 1) w sposób następujący:

/ (x) = a dla 0 < a <1 i ,

= 1 „ | - < A < 1 . 82

Funkcja ta jest ograniczona i ciągła w całym prze

dziale (0, 1) z wyjątkiem punktu .v = -£, zatem całko

walna. Mamy:

j / (.v) dx = 5 / ( .y) d .r - f f /(.v) d .Y ,

o o I

ł 1

= $ x dx -f- i 1 . dx,

(Por. przykłady do § 1).

§ 6. N ie k tó re nierów ności d la całe k o k re

ślonych.

T w i e r d z e n i e .

J e ż e l i f u n k c j a c a ł k o w a l n a y — f{x) w p r z e  d z i a l e (a, b) s p e ł n i a w a r u n e k :

/n <; / (,y) -< M, dla: a < . Y < & , h

wówczas m (b — a) J / (.y) dx -< M (b — a).

D o wó d .

Dowód wynika z uwagi, że dla każdego podziału ó mamy: m (b — a) ^ A M (b — a).

U w a g a.

Z poprzedniego twierdzenia wynika, że jeżeli /(.y)>-0,

wówczas h

\ f ( x ) d x > 0.

Możemy bowiem przyjąć m — 0.

Wynika stąd łatwo, że jeżeli dla funkcyj / (x) i <p (*) całkowalnych w (a, b) zachodzi nierówność

/ (x|< (x), dla b,

b b

wówczas \ / (x) dx J <p (x) dx . . . . (1)

a a

Mamy bowiem (p (x) — / ( * ) ; > 0, dla a , zatem f [(p (x) — / (.v)] dx 0,

więc J <p (x) dx — J / (.y) dx > 0.

a a

Stąd zaś wynika nierówność (1).

P r z y k ł a d y .

1. Przez wyznaczenie extremów łatwo się przeko

nać, że dla f (x) — x (1 — x) jest

0 < f(x) < i ( 0 < . v < l ) . Przyjmując we wzorze poprzednim //2 = 0, otrzymujemy nierówność

0 < j * (1 — x) dx < i Ó

Istotnie, obliczając całkę w znany sposób, otrzymamy wartość spełniającą tę nierówność.

2. Funkcja f(x) = xx (.v > 0 ) jest ciągła w prze

dziale (0, 1), jeżeli się umówimy, że /(O) = 1 (tom I, str. 192, przykład 1). Jak łatwo sprawdzić (por. tom. I, str. 185, zad. 4), funkcja ta osiąga tam minimum dla

__ 1_

-y = —, wynoszące e e, które jest zarazem jej wartością najmniejszą. Z drugiej strony oczywiście / (x) ^ 1

__ 1_

(0 1). Możemy zatem przyjąć m = e e, M = !•

W ten sposób dostajemy nierówność

__ L i _ _L

e e < f xx dx < 1 (e c =0-692...).

W tym wypadku dokładna wartość całki nie da się elementarnie wyznaczyć.

3. Jeżeli / (x) i (p (a) są funkcjami ciągłemi w (a, b), wówczas dla każdego X

/('.) = i V w + ^ ( .v ) ] 2 0,

stąd I (/.) — A2 J (¡p2 (.v) dx —(- 2 A j f (x) cp (x) dx

a a

+ \ P ( x ) d x > 0 ...(2)

Ponieważ wielomian

aA2 + 2 &A + C

jest tylko wtedy dla każdego A nieujemny, gdy 62— a c < ! 0 , czyli 62< !a c , zatem na mocy (2)

[( / W (.c) d-r]2 < \ f 2 (x) dx. J <p2 {x) dx . (3)

a a a

lub |5/ (x) cp (.?) dx | < 1 / J / 2 (x) d x . j / j <p2 (x) dx (4) Dla (p (x) 5= 1, otrzymujemy

| f / (*) d * | < }' b — a j / 5 / 2 (x) dx.

Nierówność (3) wzgl. (4) (która, jak można udowod

nić, zachodzi dla każdej pary funkcyj całkowalnych)^

nosi nazwę nierówności Schwarza.

§ 7. G ranice caJki. Wprowadźmy następujące określenie: jeżeli funkcja / (x) jest całkowalna w {a, b) a < i b , wówczas połóżmy:

j / (x) dx = — \f (x) dx,

b a

J / (x) dx = 0.

a T w i e r d z e n i e .

J e ż e l i a, 6, c są d o w o l n e m i l i c z b a m i , w ó w c z a s :

S / (.v) c?.v + 5 / (x) dx — \f (x) dx . . (1)

a b a

pod w a r u n k i e m , że w s z y s t k i e p o w y ż s z e c a ł k i i s t n i e j ą .

D o wó d .

Jeżeli a < ib <^c, wówczas związek (1) wynika z twier

dzenia § 5.

Przypuśćmy, że a < ic < ^b . Zatem [ / (*) dx + \ f (x) dx = J / (.v) dx,

a c a

a więc: j / (x) dx — f f (x) dx = \ f (x) d x ,

a c a

stąd: J f (x) dx + \ f (x) dx — ( / (x) dx.

a b a

Jeżeli przypuścimy, że a — c, wówczas twierdzenie jest oczywiste. Mamy bowiem w tym wypadku

J / (x) dx + j / (x) dx = 0 = ] f (x) dx.

a b a

Podobnie, jeżeli b — c, lub a — b.

Wzór powyższy możemy również napisać w nastę

Podobnie możemy rozpatrywać funkcje dolnej gra

nicy całki z funkcji / (x), t. j. funkcję

D o w ó d .

Niechaj a-0 i x0 -J- X będą dowolnemi punktami prze

działu (a, b). Mamy:

F (x0 + X) - F(x0) = L \ f ( t ) d t - \f(t) d ł =

a a

a a o

-f-= \f(t) dt + \f(t) dt,

Ao «

zatem na mocy twierdzenia § 7

Xo + ł

F (x 0 + X ) - F ( x 0) = \ f(t)d t . . . (1)

Przypuśćmy, że | / (.v) | L dla a x b.

Na mocy twierdzenia § 6 str. 83 i (1):

I F (xo "ł- — F (x0) I < Z I a 0 + A a 0 I = L | X |.

Widzimy stąd, że:

lim \F(xo + X) — F(xo)\ = 0.

X —^ o x

A zatem funkcja \ f (t) d i jest funkcją ciągłą.

a Uw a g a .

Oczywiście funkcja (x) = \ f (i) dt jest również funkcją ciągłą, gdyż -v

<P(x) = - F ( x ) . P r z y k ł a d y :

1. Całka F (x) — ^ — jest funkcją ciągłą dla x > 0. Jak l

łatwo się przekonać [por. tw. 3, § 9] jest F (x) = log x.

S

x ^{^}^{d t}^ j03^ funkcją ciągłą dla

Kładąc PU') = j f ( t ) dt zauważymy, że F ( x ) - F ( x 0) __x

1 (

— * 0 •v — -r0 J

.x„

zatem, jeżeli .v spełnia nierówność (1), wówczas na mocy nierówności (2) i twierdzenia z § 6:

v / \ _ ^ F F ("'•o) / f | „ / (x0) — e < --- < / (.v0) -f- e.

x .\0

Ponieważ s obraliśmy dowolnie, więc F ( x ) - F ( x 0) _ f , ^ l i m --- = / U0; ,

* —> *0 x -v0 czyli F'(xo) istnieje i F' (x0) — f (.v„).

Z twierdzenia powyższego wynika odrazu następujące:

T w i e r d z e n i e 2.

F u n k c j a f(x ) c i ą g ł a w p r z e d z i a l e (a, b) po

s i a d a w t y m p r z e d z i a l e f u n k c j ę p i e r w o t n ą . F u n k c j ą p i e r w o t n ą j es t f u n k c j a

F ( x ) = ] f ( t ) d t + c.

n U w a g a.

Twierdzenie (1) można również wypowiedzieć dla funkcji $ (x) — \ f (t) dt.

Mamy bowiem

] f { t ) d t = - ] f ( t ) d t .

x a

Należy jednak zauważyć, że 3>'(x) = —f{x).

91 T w i e r d z e n i e 3.

J e ż e l i F(x) j es t f u n k c j ą p i e r w o t n ą f u n k c j i f (.v) c i ą g ł e j w p r z e d z i a l e (a, b), w ó w c z a s

] f i t ) d ł = F ( x ) — F(a), a ^ a ^ b , a < .v < b.

D o w ó d.

Ponieważ F(x) i \ f (t) d ł są funkcjami pierwotnemi

funkcji f(x ), więc różnią się tylko o stałą. Zatem

\f{t) dt = F ( x ) + c.

Kładąc x = a, otrzymamy 0 = F (a) -f- c. Wynika stąd, że c = — F(a), zatem:

I f ( x ) d x = F ( x ) — F(a).

Uwaga.

Kładąc w poprzednim wzorze x — b, a — a otrzy

mamy : h

\f(t) dt = F{b) — F{a) . . . . (1) a

Wzór powyższy pozwala nam obliczyć całkę okre- śl°ną, gdy znamy funkcję pierwotną, t. j. całkę nie

określoną.

Dla krótkości piszemy wzór (1) często w innej postaci:

N p . "\f{t)dt = F{t)\

r-t dr-t ~ 2 P r z y k ł a d y :

1. Wyznaczyć całkę: ²j sin .v dx.

Ponieważ \ sin x dx — — cos x, Jt

więc I sin x dx = — cos ^ -j- cos 0 = 1.

2. Wyznaczyć całkę f .vn dx n ^> — o

Ponieważ i xn dx x n+l ' n + l '

i 1

więc i x" dx = — j—- ■

Y o n + 1

3. Wyznaczyć całkę ^

r

dx a >

iż ( T T - sdx = ^ loS te3 + A'3)’ wi?c J a -j— .v dx — ^ log 2 a3 — i- log a3 = £ log 2.

Ponieważ

a3 -f~ .v3

f sin4 .v 4. Wyznaczyc całkę \ ■ -6-- dx.

J COS A

sin4 x tg4 .V . .. . • 2 . Mamy -- =- = — — = tg4 x (1 + tg2 x).

C O S b X C O S " X

Kładąc więc tg x = t otrzymujemy

* n

T w i e r d z e n i e (całkowe o wartości średniej).

J e ż e l i f u n k c j a / (.v) j est o g r a n i c z o n a i ci ą

g ł a w e w n ą t r z p r z e d z i a ł u (a, b), w ó w c z a s i s t n i e j e t a k i p u n k t £ w e w n ą t r z tego pr ze

d z i a ł u (t. zn. a <[ i b), że:

D o wó d . Połóżmy:

F(x) = j f ( t ) d t dla a < * < b . . (1) U

Funkcja F (x) jest funkcją ciągłą w (a, b) i na mocy

§ 9, posiada wewnątrz tego przedziału wszędzie pochodną:

F' (x) = / (.r) a < x < b . . . (2) Zatem z twierdzenia o wartości średniej poznanego w rachunku różniczkowym wynika, że istnieje liczba i, spełniająca związek:

F ( b ) ~ F(a) = {b — a ) F '( i ) a < £ < b . (3) Ponieważ na mocy (1)

F(b) = \f (O d t, F ( a ) = ] f ( ł ) d t = 0,

a a

więc na mocy (2) i (3)

1 / ( 0 d ł = ( b - a ) f a ) . a

Stąd otrzymujemy nasze twierdzenie.

P r z y k ł a d y :

1. Średnia wartość funkcji / (.v) = .v (1—x) w prze

dziale (0, 1) wynosi

1 / (x) dx = 94

W dokumencie Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2 (Stron 73-97)