Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przykład 2 funkcja logistyczna
Inną ważną funkcją, pojawiającą się w wielu zagadnieniach ekonomicznych, jest tzw. funkcja logistyczna postaci:
f (x ) = a 1 + be−cx
określona dla x ≥ 0 (założenie wynikające z modeli ekonomicznych) i pewnych stałych dodatnich a, b, c.
Zbadamy jej przebieg zmienności dla przykładowych stałych a = 3, b = 9, c = 1.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 29 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Inną ważną funkcją, pojawiającą się w wielu zagadnieniach ekonomicznych, jest tzw. funkcja logistyczna postaci:
f (x ) = a 1 + be−cx
określona dla x ≥ 0 (założenie wynikające z modeli ekonomicznych) i pewnych stałych dodatnich a, b, c. Zbadamy jej przebieg zmienności dla przykładowych stałych a = 3, b = 9, c = 1.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 30 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 30 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 30 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 30 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
x →∞lim f (x )
x = lim
x →∞
3 x (1 + 9e−x)
= [ 3
∞+? (? ≥ 0)] =0.
lim f (x ) − 0 ⋅ x = lim 3 3
3,
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to [0, +∞) -więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) prawostronną y = 3.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 30 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 3 1 + 9e−x)
′
= − 3 (1 + 9e−x)2
⋅ (−9e−x) =
27e−x (1 + 9e−x)2
.
i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x ≥ 0.
Zatem funkcja f jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 3 1 + 9e−x)
′
= − 3 (1 + 9e−x)2
⋅ (−9e−x) =
27e−x (1 + 9e−x)2
.
i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x ≥ 0.
Zatem funkcja f jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 31 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 3 1 + 9e−x)
′
= − 3 (1 + 9e−x)2
⋅ (−9e−x) =
27e−x (1 + 9e−x)2
.
i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x ≥ 0.
Zatem funkcja f jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 3 1 + 9e−x)
′
= − 3 (1 + 9e−x)2
⋅ (−9e−x) =
27e−x (1 + 9e−x)2
.
i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x ≥ 0.
Zatem funkcja f jest rosnąca w swojej dziedzinie.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 31 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 3 1 + 9e−x)
′
= − 3 (1 + 9e−x)2
⋅ (−9e−x) =
27e−x (1 + 9e−x)2
.
i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x ≥ 0.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = ( 27e−x (1 + 9e−x)2
)′=
=
−27e−x(1 + 9e−x)2−27e−x⋅2(1 + 9e−x) ⋅ (−9e−x) (1 + 9e−x)4
=
=
−27e−x(1 + 9e−x)(1 + 9e−x−18e−x) (1 + 9e−x)4
=
−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x) (1 + 9e−x)4
.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 32 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = ( 27e−x (1 + 9e−x)2
)′=
=
−27e−x(1 + 9e−x)2−27e−x⋅2(1 + 9e−x) ⋅ (−9e−x) (1 + 9e−x)4
=
=
−27e−x(1 + 9e−x)(1 + 9e−x−18e−x) (1 + 9e−x)4
=
−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x) (1 + 9e−x)4
.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = ( 27e−x (1 + 9e−x)2
)′=
=
−27e−x(1 + 9e−x)2−27e−x⋅2(1 + 9e−x) ⋅ (−9e−x) (1 + 9e−x)4
=
=
−27e−x(1 + 9e−x)(1 + 9e−x−18e−x) (1 + 9e−x)4
=
−27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x) (1 + 9e−x)4
.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 32 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Drugą pochodną porównujemy z zerem:
f′′(x ) = −27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x) (1 + 9e−x)4
.
f′′(x ) > 0 ⇔
1 − 9e−x <0 ⇔ e−x > 1
9 ⇔ex <9 ⇔ x < ln 9. Analogicznie:
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9; f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Drugą pochodną porównujemy z zerem:
f′′(x ) = −27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x) (1 + 9e−x)4
.
f′′(x ) > 0 ⇔ 1 − 9e−x <0 ⇔
e−x > 1
9 ⇔ex <9 ⇔ x < ln 9. Analogicznie:
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9; f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 33 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Drugą pochodną porównujemy z zerem:
f′′(x ) = −27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x) (1 + 9e−x)4
.
f′′(x ) > 0 ⇔ 1 − 9e−x <0 ⇔ e−x >
1 9 ⇔
ex <9 ⇔ x < ln 9.
Analogicznie:
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9; f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Drugą pochodną porównujemy z zerem:
f′′(x ) = −27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x) (1 + 9e−x)4
.
f′′(x ) > 0 ⇔ 1 − 9e−x <0 ⇔ e−x >
1
9 ⇔ex <9 ⇔
x < ln 9.
Analogicznie:
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9; f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 33 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Drugą pochodną porównujemy z zerem:
f′′(x ) = −27e−x(1 + 9e−x)(1 − 9e−x) (1 + 9e−x)4
.
f′′(x ) > 0 ⇔ 1 − 9e−x <0 ⇔ e−x >
1
9 ⇔ex <9 ⇔ x < ln 9.
Analogicznie:
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9; f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
f′′(x ) > 0 ⇔ x < ln 9,
więc funkcja f jest wypukła w przedziale (0, ln 9).
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9, więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (ln 9, +∞).
f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9. f′′ zmienia tu znak, więc f ma punkt przegięcia. f (ln 9) = 32.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 34 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
f′′(x ) > 0 ⇔ x < ln 9, więc funkcja f jest wypukła w przedziale (0, ln 9).
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9,
więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (ln 9, +∞).
f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9. f′′ zmienia tu znak, więc f ma punkt przegięcia. f (ln 9) = 32.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
f′′(x ) > 0 ⇔ x < ln 9, więc funkcja f jest wypukła w przedziale (0, ln 9).
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9, więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (ln 9, +∞).
f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9.
f′′ zmienia tu znak, więc f ma punkt przegięcia. f (ln 9) = 32.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 34 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
f′′(x ) > 0 ⇔ x < ln 9, więc funkcja f jest wypukła w przedziale (0, ln 9).
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9, więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (ln 9, +∞).
f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9. f′′ zmienia tu znak, więc f ma punkt przegięcia.
f (ln 9) = 32.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
f′′(x ) > 0 ⇔ x < ln 9, więc funkcja f jest wypukła w przedziale (0, ln 9).
f′′(x ) < 0 ⇔ x > ln 9, więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (ln 9, +∞).
f′′(x ) = 0 ⇔ x = ln 9. f′′ zmienia tu znak, więc f ma punkt przegięcia. f (ln 9) = 32.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 34 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Dodatkowo, warto zauważyć, że f (0) =103 i, że pytanie o parzystość nie ma znaczenia gdy badamy funkcję tylko dla x nieujemnych.
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9, +∞) → +∞
f′′(x) + + 0 -
-f′(x) + + + + +
f(x) 103 Ä 32(pp) ¼ → 3
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 36 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9, +∞) → +∞
f′′(x) + + 0 -
-f′(x) + + + + +
f(x) 103 Ä 32(pp) ¼ → 3
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9, +∞) → +∞
f′′(x) + + 0 -
-f′(x) + + + + +
f(x) 103 Ä 32(pp) ¼ → 3
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 36 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9, +∞) → +∞
f′′(x) + + 0 -
-f′(x) + + + + +
f(x) 103 Ä 32(pp) ¼ → 3
Przykład 2 - funkcja logistyczna
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =1+9e3−x dla x ≥ 0.
Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9, +∞) → +∞
f′′(x) + + 0 -
-f′(x) + + + + +
f(x) 103 Ä 32(pp) ¼ → 3
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 36 / 39
Przykład 2 - funkcja logistyczna
x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9, +∞) → +∞
f(x) 103 Ä 32(pp) ¼ → 3
Mając tabelkę, z łatwością naszkicujemy wykres funkcji:
Przykład 2 - funkcja logistyczna
x 0 (0, ln 9) ln 9 (ln 9, +∞) → +∞
f(x) 103 Ä 32(pp) ¼ → 3
Mając tabelkę, z łatwością naszkicujemy wykres funkcji:
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 37 / 39