Badanie przebiegu zmienności funkcji
Przykład 1 rozkład Gaussa
Poprawne wykonanie badania zmienności funkcji przedstawię na dwóch przykładach. Pierwszym jest zbadanie zachowania funkcji danej wzorem:
f (x ) = 1
√
2πe−x 22.
Jest to bardzo istotna w statystyce funkcja znana jako standardowy rozkład normalny (rozkład Gaussa, rozkład dzwonowy), opisująca typowy rozkład cech w populacji (np. wzrostu, wagi, skłonności do ryzyka, rozkład stóp zwrotu z inwestycji itp.).
Dość ciekawym faktem jest, że kluczowe w badaniach zjawisk społecznych własności populacji, poprzez tę funkcję rozkładu wykazują związek z taką matematyczną abstrakcją jaką pozornie są liczby π i e.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 20 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Poprawne wykonanie badania zmienności funkcji przedstawię na dwóch przykładach. Pierwszym jest zbadanie zachowania funkcji danej wzorem:
f (x ) = 1
√
2πe−x 22.
Jest to bardzo istotna w statystyce funkcja znana jako standardowy rozkład normalny (rozkład Gaussa, rozkład dzwonowy), opisująca typowy rozkład cech w populacji (np. wzrostu, wagi, skłonności do ryzyka, rozkład stóp zwrotu z inwestycji itp.).
Dość ciekawym faktem jest, że kluczowe w badaniach zjawisk społecznych własności populacji, poprzez tę funkcję rozkładu
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy: Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 21 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny.
Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy: Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy: Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 21 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy: Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞ f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 21 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞
f (x ) x .
Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0, więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞
f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
x →∞lim f (x ) = lim
x →−∞f (x ) = 0,
więc funkcja posiada asymptotę ukośną (poziomą) obustronną y = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 21 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Zaczynamy od wyznaczenia dziedziny. Oczywiście, jest to R - więc to nie będzie sprawiało żadnych problemów.
Obliczamy:
Taki sam wynik otrzymujemy dla lim
x →−∞
f (x )
x . Łatwo sprawdzić też, że
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 1
√
2πe−x 22)
′
= − x
√
2πe−x 22. i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0; f′(x ) < 0 ⇔ x > 0; f′(x ) = 0 ⇔ x = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 22 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 1
√
2πe−x 22)
′
= − x
√
2πe−x 22. i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0; f′(x ) < 0 ⇔ x > 0; f′(x ) = 0 ⇔ x = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 1
√
2πe−x 22)
′
= − x
√
2πe−x 22. i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0; f′(x ) < 0 ⇔ x > 0; f′(x ) = 0 ⇔ x = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 22 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 1
√
2πe−x 22)
′
= − x
√
2πe−x 22. i porównujemy ją z zerem:
f′ x ) > 0 ⇔ x < 0;
f′(x ) < 0 ⇔ x > 0; f′(x ) = 0 ⇔ x = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 1
√
2πe−x 22)
′
= − x
√
2πe−x 22. i porównujemy ją z zerem:
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0; f′(x ) < 0 ⇔ x > 0;
f′(x ) = 0 ⇔ x = 0.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 22 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Obliczamy pochodną:
f′(x ) = ( 1
√
2πe−x 22)
′
= − x
√
2πe−x 22. i porównujemy ją z zerem:
f′ x ) > 0 ⇔ x < 0; f′ x ) < 0 ⇔ x > 0; f′ x ) = 0 ⇔ x = 0.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. f′(x ) > 0 ⇔ x < 0,
więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, 0). f′(x ) < 0 ⇔ x > 0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0, +∞). f′(x ) = 0 ⇔ x = 0. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na
−), o wartości f (0) = √1
2π.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 23 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, 0).
f′(x ) < 0 ⇔ x > 0,
więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0, +∞). f′(x ) = 0 ⇔ x = 0. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na
−), o wartości f (0) = √1
2π.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, 0).
f′(x ) < 0 ⇔ x > 0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0, +∞).
f′(x ) = 0 ⇔ x = 0.
Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na
−), o wartości f (0) = √1
2π.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 23 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, 0).
f′(x ) < 0 ⇔ x > 0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0, +∞).
f′(x ) = 0 ⇔ x = 0. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na
−),
o wartości f (0) = √1
2π.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′(x ) > 0 ⇔ x < 0, więc funkcja f jest rosnąca w przedziale (−∞, 0).
f′(x ) < 0 ⇔ x > 0, więc funkcja f jest malejąca w przedziale (0, +∞).
f′(x ) = 0 ⇔ x = 0. Ze zmian znaków w tych punktach odczytujemy, że w (0) funkcja f ma maksimum (zmiana znaku pochodnej z + na
−), o wartości f (0) = √1
2π.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 23 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = (− x
√
2πe−x 22)′=
− 1
√
2π(e−x 22 −x ⋅ xe−x 22) =
= e−x 22(x2−1)
√
2π .
i porównujemy ją z zerem:
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1);
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = (− x
√
2πe−x 22)′= − 1
√
2π(e−x 22 −x ⋅ xe−x 22) =
= e−x 22(x2−1)
√
2π .
i porównujemy ją z zerem:
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1);
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 24 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = (− x
√
2πe−x 22)′= − 1
√
2π(e−x 22 −x ⋅ xe−x 22) =
= e−x 22(x2−1)
√
2π .
i porównujemy ją z zerem:
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1);
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = (− x
√
2πe−x 22)′= − 1
√
2π(e−x 22 −x ⋅ xe−x 22) =
= e−x 22(x2−1)
√
2π .
i porównujemy ją z zerem:
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞);
f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1);
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 24 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = (− x
√
2πe−x 22)′= − 1
√
2π(e−x 22 −x ⋅ xe−x 22) =
= e−x 22(x2−1)
√
2π .
i porównujemy ją z zerem:
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1);
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Teraz obliczamy drugą pochodną:
f′′(x ) = (− x
√
2πe−x 22)′= − 1
√
2π(e−x 22 −x ⋅ xe−x 22) =
= e−x 22(x2−1)
√
2π .
i porównujemy ją z zerem:
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞); f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1);
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 24 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞),
więc funkcja f jest wypukła w przedziale (−∞, −1) i w przedziale (1, ∞). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!
f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (−1, 1).
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}. W każdym z tych punktów f′′ zmienia znak, więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.
f (−1) = f (1) = √1
2πe.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞), więc funkcja f jest wypukła w przedziale (−∞, −1) i w przedziale (1, ∞).
Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!
f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (−1, 1).
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}. W każdym z tych punktów f′′ zmienia znak, więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.
f (−1) = f (1) = √1
2πe.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 25 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞), więc funkcja f jest wypukła w przedziale (−∞, −1) i w przedziale (1, ∞). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!
f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1),
więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (−1, 1).
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}. W każdym z tych punktów f′′ zmienia znak, więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.
f (−1) = f (1) = √1
2πe.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞), więc funkcja f jest wypukła w przedziale (−∞, −1) i w przedziale (1, ∞). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!
f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (−1, 1).
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}.
W każdym z tych punktów f′′ zmienia znak, więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.
f (−1) = f (1) = √1
2πe.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 25 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞), więc funkcja f jest wypukła w przedziale (−∞, −1) i w przedziale (1, ∞). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!
f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (−1, 1).
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}. W każdym z tych punktów f′′ zmienia znak, więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.
f (−1) = f (1) = √1
2πe.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
f′′(x ) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞), więc funkcja f jest wypukła w przedziale (−∞, −1) i w przedziale (1, ∞). Nie można powiedzieć jednak, że jest wypukła w sumie tych przedziałów!
f′′(x ) < 0 ⇔ x ∈ (−1, 1), więc funkcja f jest wklęsła w przedziale (−1, 1).
f′′(x ) = 0 ⇔ x ∈ {−1, 1}. W każdym z tych punktów f′′ zmienia znak, więc w każdym z tych punktów f ma punkt przegięcia.
f (−1) = f (1) = √1
2πe.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 25 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Dodatkowo, warto zauważyć, że f (x ) = f (−x ), czyli funkcja jest parzysta i zawsze dodatnia.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22.
Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x → −∞ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) → +∞
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 27 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x → −∞ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) → +∞
f′′(x) + + 0 - - - 0 + +
f′(x) + + + + 0 - - -
-f(x) → 0 Ä √1
2πe (pp)
¼ √1
2π (maks)
¿ √1
2πe (pp)
Ç → 0
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x → −∞ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) → +∞
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 27 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x → −∞ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) → +∞
f′′(x) + + 0 - - - 0 + +
f′(x) + + + + 0 - - -
-f(x) → 0 Ä √1
2πe (pp)
¼ √1
2π (maks)
¿ √1
2πe (pp)
Ç → 0
Przykład 1 - rozkład Gaussa
Zadanie
Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x ) =√1
2πe−x 22. Teraz możemy uzupełnić całą tabelkę:
x → −∞ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) → +∞
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 27 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
x → −∞ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) → +∞
f(x) → 0 Ä √1
2πe (pp)
¼ √1
2π (maks)
¿ √1
2πe (pp)
Ç → 0
Mając tabelkę, z łatwością naszkicujemy wykres funkcji:
Wykres ten znany jest jako krzywa Gaussa lub krzywa dzwonowa.
Przykład 1 - rozkład Gaussa
x → −∞ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) → +∞
f(x) → 0 Ä √1
2πe (pp)
¼ √1
2π (maks)
¿ √1
2πe (pp)
Ç → 0
Mając tabelkę, z łatwością naszkicujemy wykres funkcji:
Wykres ten znany jest jako krzywa Gaussa lub krzywa dzwonowa.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)5a. Badanie przebiegu zmienności funkcji - asymptoty i przykłady 28 / 39
Przykład 1 - rozkład Gaussa
x → −∞ (−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞) → +∞
f(x) → 0 Ä √1
2πe (pp)
¼ √1
2π (maks)
¿ √1
2πe (pp)
Ç → 0
Mając tabelkę, z łatwością naszkicujemy wykres funkcji: