Funkcje rozkładu przepływów dobowych i hydrogramy ich prawdopodobieństwa

Kolejny etap statystycznej analizy 30-letnich serii jednoimiennych prze-pływów dobowych rozpoczniemy od zbadania hipotezy o jednorodności bada-nych serii w aspekcie genetycznym i statystycznym – por. podrozdz. 11.1.A. Procedura proponowana w opracowaniu Zasady obliczania… (2001) pozwala na zweryfikowanie wspomnianej hipotezy na podstawie testów: Grubbsa-Bec-ka (polegającego na wykrywaniu elementów odstających), testu serii (pozwa-lającego weryfikować hipotezę o niezależności elementów szeregu) oraz testów

stacjonarności szeregów (test sumy rang oraz badanie istotności trendów śred-niej i wariancji) – por. podrozdz. 11.1.J. W ocenie autorów analiza trendu w ob-rębie średniej – a takie analizy wykonywane są zwykle w celu wykrycia zmian czasowych w szeregu – są dalece niewystarczające, gdyż w seriach hydrolo-gicznych obserwowane zmiany często dotyczą wariancji, nie zaś wartości śred-nich. Przepływ średni nie rośnie ani nie maleje, natomiast zmianie ulegają inne jego cechy, np. zmienność, inercja itd. Bywa również, że przemiany dotykają wielu statystyk łącznie. W wyniku jakiegoś procesu (procesów) systematycz-nej zmianie ulega nie tylko ilość przepływającej korytem wody, lecz także jej zmienność w czasie. Na przykład wzrastający w czasie zrzut pościekowych wód allochtonicznych (pochodzących z innej zlewni) do rzeki (np. z oczyszczalni ścieków) wywoła rosnący trend przepływu w przekroju zlokalizowanym poni-żej, ale jednocześnie wskutek pojawienia się bardzo stabilnej w czasie i coraz wydajniejszej formy „odpływu” taki zrzut jednocześnie może wywołać zmniej-szanie się zmienności tego przepływu. Jeśli jednak do rzeki w coraz większej ilości zaczną spływać wody z kanalizacji burzowej odwadniającej rozrastają-cą się aglomerację, wtedy ilość wody praktycznie się nie zmieni (pomijamy efekt ewentualnego wzrostu parowania), natomiast bardzo wzrośnie dynamika (zmienność) przepływu.

Biorąc pod uwagę wyniki powyższych testów i analiz jednorodności, szeregi średnich i wariancji jednoimiennych przepływów dobowych Pilicy w Przedborzu należy uznać za jednorodne i spełniające postulat losowości na poziomie α = 1%. Zatem 30-letnia seria przepływów tej rzeki nie była „skażona” niejednorodnością statystyczną ani genetyczną.

Potwierdzenie jednorodności i stacjonarności serii jednoimiennych prze-pływów dobowych Pilicy w Przedborzu pozwala na dopasowanie do ich empi-rycznych rozkładów – najlepiej je aproksymujących – funkcji rozkładów teore-tycznych, określenie ich zgodności oraz na oszacowanie dla poszczególnych dni w roku przepływów o zadanym prawdopodobieństwie przekroczenia. Końcowym efektem analizy będą roczne hydrogramy przepływów dobowych o zadanym prawdopodobieństwie przekroczenia – kwantyle: Q_p90%, Q_p50%, Q_p10%, Q_p5% i Q_p1%

(por. podrozdz. 11.2.C). Wartości te należy interpretować jako rzędne przepływu, który w danym dniu roku (np. 1 kwietnia) może wystąpić z zadanym prawdopo-dobieństwem przewyższenia.

Do aproksymacji rozkładów empirycznych zastosowano najczęściej używa-ne funkcje trójparametryczużywa-ne: gamma, Weibulla, log-normalną oraz log-gamma (por. podrozdz. 11.1.I). Co prawda, są one najbardziej użyteczne w analizach roz-kładów przepływów maksymalnych, ale według naszej oceny mogą być też stoso-wane do aproksymacji rozkładów przepływów dobowych. Potwierdzeniem tego założenia będą prezentowane niżej wyniki obliczeń.

Dla każdej z dopasowanych funkcji rozkładu teoretycznego obliczono para-metry: skali, kształtu i tzw. dolne ograniczenie. Estymacji tych parametrów

do-konano metodą największej wiarygodności (por. podrozdz. 11.1.I). Jakość dopa-sowania badano testem Kołmogorowa-Smirnowa i χ2 (por. podrozdz. 11.1.J) oraz przy użyciu kryterium Akaike (por. podrozdz. 11.1.I).

Rys. 9.7. Częstość wybranych rozkładów zmiennej losowej dla jednoimiennych przepływów

dobowych Pilicy w Przedborzu w wieloleciu 1961–1990, grupowanie według kryterium Akaike Objaśnienia: n – liczba dni.

Do 30-letniego szeregu przepływów pochodzących z każdego dnia roku (365 serii) próbowano dopasować każdą z czterech branych pod uwagę funkcji rozkładów teoretycznych, przy czym jako aproksymującą przyjmowano funkcję o statystycznie istotnym poziomie dopasowania (użyto tu testów: χ2 i Kołmogoro-wa-Smirnowa). Za najbardziej wiarygodny rozkład przyjmowano zaś ten, dla któ-rego najmniejszą wartość miało kryterium Akaike. W uzyskanym w toku badań 365-elementowym zbiorze znalazły się wszystkie spośród branych pod uwagę funkcji. Rozkład ich częstości w całym zbiorze dni w roku prezentuje rys. 9.7. Potwierdzenie znajduje więc sugestia S. Węglarczyka (1998), iż rozkłady praw-dopodobieństwa „różnoimiennych” przepływów dobowych są różne, a w konse-kwencji można przyjąć, iż zbiór przepływów dobowych jest populacją zmieniają-cą się cyklicznie, z okresem równym 1 rok (Yule, Kendall 1966).

Funkcjami najczęściej występującymi w tak wyselekcjonowanym zbio-rze były trójparametryczne rozkłady: Weibulla i log-gamma (razem ok. 260 dni w roku), najrzadziej najlepsze dopasowanie uzyskiwano dla trójparametrycznego rozkładu log-normalnego (ok. 25 dni). Warto jednak pamiętać, iż także pozostałe rozkłady teoretyczne bardzo często w wystarczającym stopniu opisywały rozkład empiryczny (test Kołmogorowa-Smirnowa – α = 1%), a tylko kryterium informa-cyjne Akaike wskazywało na określony typ rozkładu.

Rys. 9.8. Sezonowa zmienność występowania dni z przyjętym typem rozkładu zmiennej losowej,

Pilica w Przedborzu (1961–1990)

Interesujące wnioski płyną z analizy rys. 9.8. Przedstawia on rozmieszczenie na „rocznej osi czasu” dni, dla których najlepsze dopasowanie (według kryterium Akaike) uzyskano dla jednej z czterech wyżej wymienionych funkcji teoretycz-nych. Z diagramu jasno wynika, iż dni z najczęściej występującym w zbiorze trój-parametrycznym rozkładem Weibulla koncentrują się w okresach: od II dekady listopada do początku stycznia (wczesną zimą), od początku lutego do I dekady marca (późną zimą) oraz w kwietniu. Fazy z trójparametrycznym rozkładem log- -gamma obejmują zaś środek zimy (dwie pierwsze dekady stycznia) oraz dość dłu-gi okres od końca kwietnia do końca czerwca, natomiast w końcowej części roku hydrologicznego są charakterystyczne dla dwóch ostatnich dekad października. Trzeci z rozkładów (gamma) pojawia się w III dekadzie stycznia oraz w dwóch ostatnich dekadach marca. Latem i wczesną jesienią bardzo trudno dostrzec jakieś prawidłowości, gdy idzie o typ najlepiej aproksymującej funkcji rozkładu. Nie-mal na przemian pojawiają się wówczas dni z rozkładami: Weibulla, log-gamma i gamma. Czwarta z uwzględnionych funkcji teoretycznych występuje w ciągu całego roku, nie tworząc jednak dłuższych i wyraźnych sekwencji.

Obraz przedstawiony wyżej znajduje potwierdzenie również na kolejnym diagramie (rys. 9.9). Rozkład Weibulla jest charakterystyczny dla ponad połowy dni: grudnia, lutego i kwietnia. W styczniu, maju, czerwcu i październiku do-minuje rozkład log-gamma, natomiast dla połowy dni marca charakterystyczna jest funkcja gamma. Zauważmy też, że od lipca do września nie dominuje żaden z rozkładów, a w lutym i w marcu ani razu nie pojawia się rozkład log-normalny.

Z analizy obu prezentowanych diagramów wynika dość jasno, że dla okresów niżówek zimowych, późnowiosennych i wczesnojesiennych najbardziej charakte-rystyczny jest rozkład log-gamma. Rozkład Weibulla dominuje zaś w miesiącach zimowych (oprócz stycznia), natomiast funkcja gamma jest typowa dla okresu wiosennych wezbrań roztopowych (marzec). Latem i jesienią trzy wymienione rozkłady występują z podobną częstością i trudno doszukać się tu jakiegokolwiek

porządku. Przedstawione wyniki wskazują na dość wyraźnie zarysowaną sezono-wość procesu przepływów dobowych, potwierdzającą istnienie niestacjonarności procesu odpływu w obrębie cyklu rocznego.

Rys. 9.9. Częstości w poszczególnych miesiącach dni z przyjętym typem rozkładu zmiennej

losowej, Pilica w Przedborzu (1961–1990) Objaśnienia: jak do rys. 9.7.

Rys. 9.10. Roczne hydrogramy przepływów jednoimiennych o zadanym prawdopodobieństwie

przekroczenia, Pilica w Przedborzu (1961–1990) Objaśnienia: Qp% – przepływ dobowy o prawdopodobieństwie p%.

Uzyskany w toku analiz pewien porządek sezonowy funkcji aproksymu-jących rozkłady wieloletnich przepływów w jednoimiennych dobach został potwierdzony przez procedurę testującą. Wykorzystano tu jeden z testów serii wielokrotnych (tu: cztery serie), którego idea jest oparta na statystyce Wal-da-Wolfowitza (por. podrozdz. 11.1.J) i zakłada, że próbki (tu: dni z danym typem rozkładu) zostały wylosowane z populacji o tym samym rozkładzie (Domański 1990).

Każdą z sekwencji dni o takim samym typie rozkładu (gamma, log-gamma, log-normalny i Weibulla) potraktowano zatem jako serię. Te oznaczono literami: A, B, C, D. Uzyskano w efekcie sekwencję k = 159 serii o różnych liczebno-ściach, obejmującą cały rok (365 dni). Otrzymana w toku obliczeń wartość funk-cji testującej Walda-Wolfowitza (T_S = 30,8) jest mniejsza od wielkości krytycznej (T_S(kr) = 94,7), co wskazuje, iż na poziomie α = 5% należy odrzucić hipotezę, że układ serii w ciągu roku jest przypadkowy. Można zatem przyjąć hipotezę prze-ciwną, wskazującą, że dni z określonymi typami rozkładów grupują się w serie, przy czym rozkład tych ostatnich w ciągu roku ma dość wyraźne cechy sezonowe. To zaś stanowi obiektywne, bo statystycznie udokumentowane, potwierdzenie ist-nienia zjawiska sezonowości przepływu.

Tabela 9.1. Korelacje wybranych przepływów charakterystycznych

Przepływy Regresja R α BSy

WQi: Qp1% Qp1% = 94,2·log(WQi) – 107,3 0,833 < 1,0 10,30

SQi: Qp50% Qp50% = 0,815·SQi + 0,366 0,923 < 1,0 1,350

NQi: Qp90% Qp90% = 1,017·NQi + 1,64 0,859 < 1,0 0,798

Objaśnienia: R – współczynnik korelacji; BSy – błąd standardowy estymacji; α – poziom istot-ności korelacji i równania regresji (testy: F-Snedecora i t-Studenta) w [%].

Funkcje, które zgodnie z zastosowanym kryterium Akaike najlepiej aproksy-mują empiryczne rozkłady przepływów w poszczególnych dniach roku, posłuży-ły do obliczenia przepposłuży-ływów o zadanych prawdopodobieństwach przekroczenia (kwantyli): Q_p90%, Q_p50%, Q_p10%, Q_p5% i Q_p1%. Obraz ich zmienności w ciągu roku prezentuje rys. 9.10. Hydrogramy ilustrujące zmienność przepływów w odnie-sieniu do trzech ostatnich prawdopodobieństw przekroczenia wykazują znaczne wzajemne podobieństwo w przekroju całego roku i w dużym stopniu są podob-ne do prezentowapodob-nego wcześniej obrazu roczpodob-nej zmienności WQ_i (por. rys. 9.1). Przebieg hydrogramu Q_p50% (mediany przepływów dobowych) jest z oczywistych powodów wysoce zbieżny z obrazem rocznej zmienności SQ_i, natomiast Q_p90% zmienia się podobnie jak NQ_i. Obliczone dla powyższych par zmiennych współ-czynniki korelacji (por. podrozdz. 11.1.G) są bardzo wysokie, a uzyskane równa-nia regresji statystycznie istotne na poziome α = 1% (tab. 9.1).

Uzyskane podczas analiz przepływy dobowe o zadanym prawdopodobień-stwie przekroczenia w danym dniu (Q_p%) oczywiście nie mogą być porównywa-ne z maksymalnymi przepływami rocznymi o zadanym prawdopodobieństwie przekroczenia (WQ_p%) – por. podrozdz. 11.2.C, gdyż oba zbiory wyjściowych zmiennych losowych pochodzą z różnych populacji, przy czym szereg wartości dobowych należy uznać za zbiór złożony, a więc niejednorodny (Węglarczyk 1998, Mitosek 2003). Zauważmy przy tym, że empiryczne prawdopodobień-stwo przewyższenia zadanej wartości przepływu w którymkolwiek dniu roku

jest średnią ze wszystkich dobowych prawdopodobieństw przewyższenia, a równocześnie jest równe ilorazowi sumy przewyższeń we wszystkich dobach danego wielolecia odniesionego do łącznej liczby dób w wieloleciu. Jest jednak charakterystyczne, iż rozkładem, który najlepiej aproksymuje serię 30 mak-simów rocznych (WQ_j) jest funkcja trójparametrycznego rozkładu Weibulla, a więc ta sama, która pojawiała się najczęściej w przypadku przepływów dobo-wych (tab. 9.2).

Tabela 9.2. Wyniki dopasowania rozkładu Weibulla do serii maksymalnych

rocznych przepływów Pilicy w Przedborzu (WQj)

εW3 αW3 βW3 Tχ2 TKS AIC

14,6 63,1 1,395 2,399 7,97 303,11

Objaśnienia: εW3 – dolne ograniczenie; αW3 – parametr skali; βW3 – parametr kształtu; Tχ2 – wartość funkcji testu zgodności χ2; TKS – odległość maksymalna (test Kołmogorowa-Smirnowa); AIC – kryterium Akaike.

Wyznaczone za pomocą wyżej wymienionego rozkładu przepływy maksy-malne: WQ_p1%,WQ_p5%, WQ_p10% wynoszą odpowiednio: 203,4 m3·s–1, 153,3 m3·s–1, 129,4 m3·s–1. Wszystkie są więc wyraźnie wyższe od maksymalnego przepły-wu dobowego o prawdopodobieństwie 1% – Q_p1% (por. rys. 9.10). Warto przy okazji podkreślić, iż absolutne maksima przepływu Pilicy pojawiły się w latach: 1953 – 258 m3·s–1 i 1960 – 248 m3·s–1. Po ich uwzględnieniu maksymalny roczny przepływ o prawdopodobieństwie 1% będzie równy 279 m3·s–1, a błąd szacunku ok. 57 m3·s–1 (Fal i in. 1997).