Ściśle biorąc oko nie jest osiowosymetryczne, ani rogówka, ani twardówka, jednak założenie takiej symetrii wobec modelu numerycznego, przeznaczonego do badania jego optyki, nie zaburza znacząco wyników i jest akceptowalne w pierwszym przybli-żeniu, a na takim etapie znajduje się opisywany model. Przyjęte tu uproszczenie, dotyczące osiowej symetrii, obejmuje zarówno geometrię modelu, jak również obcią-żenie i zamocowanie, a w konsekwencji także jego właściwości optyczne.
Rys. 4.1. Dwa podstawowe składniki powłoki oka – eliptyczna rogówka i kulista twardówka
Zewnętrzna powierzchnia twardówki aproksymowana jest kulą o promieniu 12,5 mm, jej grubość wynosi 1 mm w osi, około 0,6 mm w strefie równikowej i około 0,8 mm w rąbku. Profil rogówki, zarówno zewnętrzny, jak i wewnętrzny, opisany został elipsą ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − − = R x e R e x y ( 1) 1 1 ) ( 2 2 2 2 y x
[Kasprzak i Jankowska-Kuchta 1996] o mimośrodzie e = 0,5 [Asejczyk-Widlicka i in. 2004, Franklin i in. 2006]. Przekrój podzielony na elementy skończone pokazany jest na rysunku 4.2. W tabeli 4.1 podano podstawowe parametry geometryczne i optyczne modelu nieobciążonego. Zestaw tych parametrów w większości jest zgodny z mode-lem ludzkiej gałki ocznej Gullstranda–Le Granda [Le Grand i El Hage 1980].
Tabela 4.1. Parametry geometryczne i optyczne ludzkiej gałki ocznej
Parametr Wartość
Promień krzywizny powierzchni zewnętrznej rogówki w osi R= 7,80mm Promień krzywizny powierzchni wewnętrznej rogówki w osi Rwewn = 6,49mm Grubość rogówki w osi (central corneal thickness) CCT = 0,520mm Grubość rogówki w pobliżu rąbka (peripheral corneal thickness) PCT = 0,72mm
Średnica rogówki 11,5mm
Średni współczynnik refrakcji cieczy wodnistej i ciała szklistego n≈ 1,336 Moc optyczna soczewki Psoczewka = 22,07 D Ciśnienie wewnątrzgałkowe nominalne p = 16mmHg (2,1 kPa)
Jednym z najważniejszych parametrów geometrycznych gałki ocznej jest grubość rogówki CCT (na osi). Ma ona zasadniczy wpływ na wynik pomiaru ciśnienia we-wnątrzgałkowego dokonywanego wszelkimi klinicznymi technikami, a także na ko-rektę refrakcji po zabiegu chirurgicznym. Z tego względu CCT najmocniej przyciąga uwagę badaczy i zainteresowanie okulistów. Należy podkreślić, że w publikacjach poświęconych modelowi biomechanicznemu i diagnostyce gałki ocznej, równie często jak 0,520 mm, pojawia się średnia grubość CCT = 0,550 mm [Kohlhaas i in. 2006, Hallberg i in. 2006, Wollensak 2003, Kanngiesser i in. 2003]. Ponieważ jednak śred-nia ta wyznaczana jest z odchyleniem standardowym sięgającym kilkudziesięciu mi-krometrów, np. Wollensak [2003] podaje ± 40 μm, wybór między tymi dwiema warto-ściami średnimi wydaje się kwestią osobistych przekonań.
4.3. Układ optyczny
Układ optyczny rozważanego tu modelu gałki ocznej składa się z odkształcalnej rogówki (zewnętrznej soczewki) i z soczewki o stałej mocy optycznej, zawieszonej w płaszczyźnie rąbka. Po deformacji konstrukcji spowodowanej ciśnieniem we-wnątrzgałkowym, przemieszczenie soczewki w kierunku osiowym jest z założenia równe przemieszczeniu rąbka. Schemat układu optycznego w stanie początkowym oraz po obciążeniu powłoki ciśnieniem wewnątrzgałkowym p = 16 mmHg pokazany jest na rys. 4.2. Siatka elementów skończonych modelu numerycznego, osiowosyme-trycznego, jest w obszarze rogówki znacznie gęściejsza niż w obszarze twardówki. Wymiary najmniejszych elementów nie przekraczają 0,02 mm.
Moc optyczna układu rogówki i soczewki n P hP P P
Poko= rogówka+ soczewka− rogówka soczewka , (4.1)
gdzie: Progówka i Psoczewka – moc optyczna rogówki i soczewki, n – współczynnik zała-mania cieczy wodnistej i ciała szklistego, h – odległość między płaszczyzną obrazową rogówki a płaszczyzną przedmiotową soczewki.
Opis szczegółów układu optycznego modelu gałki ocznej, obwarowany założenia-mi, zawarty jest w naszej pierwszej publikacji poświęconej problemom samonastaw-ności optycznej [Asejczyk-Widlicka i in. 2004]; tutaj został on przytoczony bez więk-szych zmian.
Rys. 4.2. Siatka elementów skończonych modelu gałki ocznej przed (po lewej stronie) i po obciążeniu IOP (po prawej). Indeksy r, s i o przy oznaczeniach głównych płaszczyzn optycznych H
dotyczą odpowiednio rogówki, soczewki i oka. Prim oznacza płaszczyznę obrazową
S'H Δl H's Hs H'o Ho Hr H'r h soczewka rąbek l H'r Hr Ho H'o Hs H's al
Współczynniki załamania światła rogówki, cieczy wodnistej i ciała szklistego nie-wiele się różnią, dlatego przyjmujemy dla wymienionych ośrodków taką samą wartość
n = 1,336. (Obliczenia, w których uwzględniono współczynnik nrogówka = 1,377, dają w rezultacie moc optyczną Poko różniącą się o około 1%, jednak zmiany mocy optycznej podczas zwiększania ciśnienia p są dla porównywanych współczynników niemal takie same.) Odległość h między główną płaszczyzną obrazową rogówki H ′r
a główną płaszczyzną przedmiotową soczewki Hs, rys. 4.2, zmienia się podczas obcią-żania i znacząco wpływa na moc optyczną Poko.
Moc optyczna samej rogówki (a dokładnie: jej zewnętrznej powierzchni, gdyż przyjęto, że współczynniki załamania światła rogówki i cieczy wodnistej są sobie równe) zależy od przyosiowego promienia krzywizny R jej zewnętrznego profilu
R n Progówka = −1
. (4.2)
Początkowo, dla ciśnienia p = 0, optyczna długość oka l, rozumiana jako odległość mierzona wzdłuż osi od dna oka do głównej płaszczyzny obrazowej H ′ może zostaćo, utożsamiona z długością ogniskowej oka
oko
P n
f = . (4.3)
Pod obciążeniem, gdy p > 0, gałka ulega ekspansji. Rąbek (z soczewką) przesuwa się do przodu o al, a optyczna długość oka wzrasta o
H l S a l= +Δ ′ Δ (4.4) H S′
Δ jest przyrostem odległości między główną płaszczyzną obrazową soczewki H ′s
a główną płaszczyzną obrazową układu optycznego oka H ′o
oko rogówka P P h SH′ = .
W rezultacie ognisko układu optycznego oka przesuwa się względem dna oka o .
f l
B=Δ −Δ (4.5)
Funkcja B(p) opisuje zmianę położenia ogniska obrazowego względem dna oka.
Staje się ona równa zeru, gdy przyrost długości optycznej oka po zwiększeniu ciśnie-nia p jest taki sam jak przyrost ogniskowej. (Oczywiście zmiany funkcji B nie pochodzą wyłącznie od zmian ciśnienia, może je wywoływać na przykład zmiana geometrii
rogówki w rozwiązaniu symulującym skutki zabiegu chirurgicznego.) Analityczny warunek samonastawności optycznej daje się zapisać następująco:
0 d d = p B . (4.6)
Oko samonastawne optycznie, w przypadku narastającego ciśnienia p, utrzy-muje ognisko obrazowe w stałym położeniu względem dna oka, bez użycia akomodacji. Z tego względu funkcja B(p) lepiej opisuje ostrość obrazu na siat-kówce niż ogniskowa f(p), określająca położenie ogniska względem głównej
płaszczyzny obrazowej układu optycznego rogówka-soczewka. Ta zmiana układu
współrzędnych, w którym opisywane jest położenie ogniska optycznego, wynika z uwzględnienia odkształcalności twardówki. Powszechne w literaturze ogranicze-nie obliczeń do śledzenia jedyogranicze-nie zmian ogniskowej jest równoznaczne z założe-niem sztywnej twardówki.
Analiza konstrukcji metodą elementów skończonych dostarcza przemieszczenia rąbka (a więc soczewki) al, przemieszczenia wierzchołka rogówki oraz zmiany konfi-guracji jej zewnętrznego profilu po obciążeniu ciśnieniem p. Ta część obliczeń wyko-nywana była za pomocą komercyjnego oprogramowania COSMOS/M (Structural
Research & Analysis Corporation), przeznaczonego do wymiarowania konstrukcji
metodą elementów skończonych.
Otrzymane w ten sposób współrzędne węzłów, leżących na linii zewnętrznego pro-filu rogówki po deformacji, w odległości do 0,7 mm od osi symetrii (15 węzłów), były następnie aproksymowane okręgiem (metodą najmniejszych kwadratów) w celu wy-znaczenia promienia krzywizny R jej wierzchołka. Te i kolejne obliczenia, obejmujące analizę optyki modelu obciążonego ciśnieniem p, w tym zmian odległości S′ i h,H
aż do uzyskania funkcji B(p), prowadzone były z użyciem oprogramowania własnego autora.