0 2 15 , 7 14 , 2 CCT 2 średnie = ⋅ ⋅ = = pR σ kPa.
Nadal nie wiemy, jaki kształt ma krzywa rozciągania, ale mamy chociaż jeden punkt na tej krzywej, bo w płaskim stanie naprężenia i dla ośrodka nieściśliwego:
0009 , 0 8000 2 15 2 = ⋅ = = E σ ε .
(Użyta tu została wartość 0,5 dla ułamka Poissona.) Teraz pozostaje nam szukać mo-dułu Esieczny zmierzonego dla innych jeszcze ciśnień p, aby otrzymać krzywą materia-łową σ(ε).
Przez moduł sprężystości podłużnej E materiału nieliniowego rozumie się całą pro-cedurę, w której domyślnie przyjęta została geometria nominalna rogówki oraz zało-żenie o stanie obciążenia jej wierzchołka.
3.2. Materiał rogówki
3.2.1. Stroma
Moduł sprężystości podłużnej E jest najczęściej podawanym parametrem mate-riału stromy. Próby jego identyfikacji trwają od dziesiątków lat. Wartości tego modułu, uzyskiwane eksperymentalnie, zawierają się w ogromnym przedziale, bo od 0,026 MPa [Sjontoft i Edmund 1987] aż do 57 MPa [Andreassen i in. 1980], a wykresy rozciągania przedstawione przez Uchio i in. [1999] sugerują nawet 115 MPa. Tak duży rozrzut wynika częściowo z tego, że wartość modułu określa-na bywa dla różnych określa-naprężeń. Wzrastające z upływem czasu wymagania okuli-styki sprawiły, że w próbach teoretycznego opisu materiału uwzględniono nowe rodzaje funkcji. Wśród rozmaitych propozycji równań konstytutywnych ośrodka nieliniowego, spotykanych w literaturze, preferowana jest obecnie postać wykład-nicza zaproponowana przez Woo i in. [1972b]. Właściwości tego równania kon-stytutywnego omówiono w podrozdziale 4.4.
Publikowane wyniki pomiaru parametrów rogówki A i
α
są mocno zróżnicowane, podobnie jak mierzony moduł E. Współczynnik A najczęściej nie wykracza poza przedział 102–104 Pa, wykładnik α przyjmuje wartości od kilkunastu do kilkuset. Nash i in. [1982] otrzymali z pomiarów na próbkach wyciętych z rogówek ludzkich wartości zawarte w przedziale od 34 do 82. Woo uzyskał dla rogówki badanej in vitro w pełnej gałce ocznej A = 5,4 kPa i α = 28 [Woo i in. 1972b], co oznacza, że przy naprężeniu 20 kPa moduł sieczny wynosi 0,36 MPa. Później Woo powtórzył ten eks-peryment i uzyskał A = 1,75 kPa i α = 48,3 – [Ethier i in. 2004]. Szczegółowy prze-gląd wartości parametrów materiałowych uzyskanych doświadczalnie, znajdziemy w podręczniku [Fung 1993].Widać, że zakresy wartości obu współczynników są duże. Co więcej, wzrost liczby badań nie zawęża ich zauważalnie. Zainteresowanie mechaniką rogówki inspirowane jest głównie przez chirurgię refrakcyjną i tonometrię. Znajomość parametrów mate-riałowych w połączeniu z możliwościami, jakie daje analiza numeryczna, pozwoliłyby na symulowanie skutków optycznych planowanej ingerencji chirurgicznej w geome-trię rogówki. Także tonometria aplanacyjna zyskałaby narzędzie zwiększające dokład-ność pomiaru ciśnienia wewnątrzgałkowego. Niestety na przeszkodzie do osiągnięcia tych celów stoi nikła wiedza o mechanice gałki ocznej, a publikowane wyniki badań doświadczalnych zbliżają nas do nich bardzo powoli.
Nieco inne podejście do stałych materiałowych rogówki reprezentuje Hjortdal [1996, 1998]. Moduł sieczny sprężystości podłużnej rogówki (podrozdział 3.1 można potraktować jak komentarz do badań Hjortdala) mierzył on in vitro na preparacie całej gałki ocznej, oddzielnie w każdej z trzech wydzielonych stref rogówki – centralnej, paracentralnej, peryferyjnej oraz w rąbku, rozróżniając przy tym kierunki: południko-wy i obwodopołudniko-wy. Moduły sieczne tych stref określone zostały jako średnie w prze-działach ciśnienia: 2–10, 10–25 i 25–100 mmHg.
Wyniki otrzymane w przedziale ciśnienia 10–25 mmHg, zawierającym wartość przeciętną 16 mmHg, można streścić następująco: średni moduł E rogówki (w po-szczególnych strefach różnice są niewielkie) jest zbliżony do 8 MPa, zarówno w kie-runku południkowym, jak i obwodowym, natomiast dla rąbka wyniki różnią się istot-nie – w kierunku południkowym E = 6 MPa, a w kierunku obwodowym E = 13 MPa.
Hjortdal podał równanie konstytutywne za pomocą funkcji potęgowej, takiej samej jakiej użyli Hoeltzel i in. [1992]. Obliczony według niej moduł sieczny
αβ σ −β
= 1
E ,
α i β to stałe materiałowe (mniejsze od jedności). Stała α jest tutaj inna niż w równaniu wykładniczym. Funkcja ta obowiązuje powyżej pewnego, skończo-nego poziomu naprężenia (wstępskończo-nego), nie jest zatem określona dla odkształcenia równego zeru.
Funkcja potęgowa nie przyjęła się w opisie materiału rogówki. Zasadniczy jej mankament staje się widoczny na samym początku procesu obciążania modelu gałki ocznej, poniżej ciśnienia 2 mmHg. Gdy odkształcenie zdąża do zera, także pochodna tej funkcji dσ/dε zdąża do zera, czyli moduł E. Dla eksperymentatora nie ma to zwykle większego znaczenia, ale w obliczeniach numerycznych jest akurat odwrotnie. Moduł E = 0 oznacza bowiem zerowy przyrost naprężenia po niewielkim zwiększeniu odkształcenia, gdy ε = 0, i oczywiście brak jednoznacznej zależności między naprę-żeniem a odkształceniem. Rozwiązanie takiego zadania jest wówczas niemożliwe. Funkcja wykładnicza (4.7) jest pozbawiona tej wady.
3.2.2. Błona Bowmana i błona Descemeta
Anderson i in. [2004] piszą, że błony Bowmana i Descemeta, razem z pokrywają-cymi je warstwami nabłonka, mają większą sztywność niż stroma, nie podają jednak źródła tej wiedzy. Prawdopodobnie jest to przekaz wcześniej ukształtowanych prze-konań, wyrażonych także w pracy Woo i in. [1972a], którzy błonę Descemeta w swoim modelu utworzyli z materiału przyjętego dla sklery (twardówki), a więc o module sprężystości pięć razy większym od modułu stromy.
Globalnie błona Descemeta, podobnie jak stroma, jest izotropowa w kierunkach do niej stycznych, ale o jej parametrach mechanicznych wiemy jeszcze mniej niż o para-metrach stromy. Badania wytrzymałościowe tej warstwy rogówki, bardzo nieliczne, są trudne do interpretacji. Najczęściej cytowany jest Maurice [Jue i Maurice 1986, Maurice 1988]. Niestety nie można na podstawie podanych przez niego wyników określić wartości liczbowych parametrów materiałowych.
Parametry błony Descemeta mierzył Danielsen [2004]. Otrzymał moduł sprężysto-ści E zbliżony do 2 MPa przy odkształceniu zdążającym do zera – taki sam jak dla stromy. Wynik ten uzyskał na wyizolowanej z rogówki błonie, utwierdzonej na obwo-dzie i obciążonej ciśnieniem po wewnętrznej stronie. Przy obliczaniu odkształceń autor analizował geometrię obciążonej błony, a naprężenia wyznaczał z równania Laplace’a.
Kontrowersje wokół roli biomechanicznej, jaką pełni w rogówce błona Bowmana, zdają się być coraz słabsze. Obecnie w opinii większości badaczy warstwa ta nie od-różnia się wytrzymałościowo od stromy. Jeszcze w 1966 Schwartz i in. [1966] uzna-wali ją za najsztywniejszą w rogówce, jednak późniejsze pomiary zmieniły tę opinię [Hoeltzel i in. 1992, Seiler i in. 1992, Bryant i McDonnel 1996]. Ostatnio badania wytrzymałościowe błony Bowmana prowadzili Elsheikh i in. [2008a]. Porównywali przemieszczenie wierzchołka wypreparowanej rogówki, poddanej działaniu ciśnienia na wewnętrznej powierzchni, z przemieszczeniami rogówki pozbawionej tej warstwy. Opracowane na tej podstawie krzywe materiałowe dla 24 rogówek, podzielonych po połowie na dwie wymienione grupy – z błoną Bowmana i bez niej, nie różniły się istotnie (sztywność rogówki z tą błoną okazała się nieco mniejsza od sztywności
rogówki pozbawionej błony Bowmana). Mając na względzie ten rezultat, błona Bowmana nie będzie dalej, w modelu numerycznym rogówki, wyróżniana jako oddzielna warstwa.