Geometria wiązki kostycznej

Każda z form ωt jest zamknięta, więc ostatni wyraz w nawiasie znika. Postać ωt jest znana, możemy policzyć pierwszy składnik: _dt^dωt = η − ω. Wzór przyjmuje więc postać

0 = F_t^∗(η − ω + dı(X^t)ωt) ,

a skoro Ftto dyfeomorfizmy, cofnięcie można opuścić. Ostatecznie warunek na zależne od czasu pole wektorowe związane z Ft ma postać

dı(Xt)ωt= ω − η.

Formy symplektyczne ω i η są zamknięte, a więc lokalnie zupełne. Jeśli λ jest taką lokalną formą, że dλ = ω − η, to Xt można poszukiwać w postaci spełniające równanie

ı(X_t)ω_t = λ.

Każda z form ω_t jest niezdegenerowana przynajmniej dla pewnego otoczenia zera w R, zatem wybór formy pierwotnej λ determinuje Xt w sposób jednoznaczny. Dyskutując pola zależne od czasu zauważyliśmy, że każdemu takiemu polu odpowiada lokalna rodzina dyfeomorfizmów.

Zmniejszając ewentualnie otoczenie na którym jest ona określona możemy zapewnić, że rozwią-zanie będzie istniało także dla t = 1. Wybierając λ mamy pewną swobodę. Ustalając λx = 0 zapewnimy, że Xt(x) = 0, wtedy Ft będzie zachowywało punkt x.

Pokazaliśmy zatem, że możliwe jest skonstruowanie odwzorowana F spełniającego nasze wymagania, a co za tym idzie możliwe jest skonstruowanie kanonicznego układu współrzędnych w otoczeniu każdego punktu. 

W dalszym ciągu kwestia kanonicznych współrzędnych nie będzie nam spędzała snu z po-wiek. W mechanice istotna jest struktura symplektyczna na przestrzeni totalnej wiązki kostycz-nej, gdzie współrzędne kanoniczne mamy za darmo. Czasami pojawiają się inne przestrzenie fazowe, n.p. afiniczne wersje wiązki kostycznej, jednak także w tym przypadku nie ma trudności ze skonstruowaniem odpowiednich współrzędnych.

9.1 Geometria wiązki kostycznej

Z podstawowego kursu geometrii różniczkowej wiemy, że πM : T^∗M → M jest wiązką wektorową z włóknem typowym Rⁿ (dim M = n). Wybór układu współrzędnych (qⁱ) w otwartym zbiorze U ⊂ Mpozwala wprowadzić układ współrzędnych w π⁻¹M(U) liniowy we włóknach wiązki. Każdy kowektor p ∈ T^∗qM można zapisać w bazie przestrzeni T^∗_qM składającej się z różniczek funkcji qⁱ: p= p_i(p)dqⁱ(q). Przyporządkowanie punktowi p liczb (qⁱ(q), p_j(p)) jest układem współrzędnych w π_M⁻¹(U).

Najbardziej znaną i najczęściej używaną strukturą geometryczną na wiązce kostycznej jest kanoniczna forma symplektyczna ωM. Poświęcimy teraz chwilę czasu na jej definicję oraz zapre-zentowanie podstawowych własności. Forma symplektyczna na wiązce kostycznej jest odwzoro-waniem dwuliniowym antysymetrycznym działającym na wektorach stycznych do przestrzeni T^∗M. Musimy więc przyzwyczaić się do używania iterowanych funktorów stycznych. Rozma-itość TT^∗M wyposażona jest w dwie struktury wiązki wektorowej: τT^∗M : TT^∗M → T^∗M oraz TπM : Tt^∗M → TM. Struktury te są ze sobą zgodne, tzn pola Eulera związane z obiema wiązkami komutują. Zapiszmy te pola we współrzędnych. Wybór układu współrzędnych (qⁱ) w U ⊂ M umożliwia skonstruowanie współrzędnych (qⁱ, p_j, ˙q^k, ˙p_l) zgodnych ze strukturą po-dwójnej wiązki wektorowej. W tych współrzędnych pole Eulera związane z wiązką τT^∗M ma postać

∇¹(qⁱ, p_j, ˙q^k, ˙p_l) = ˙qⁱ∂_˙qⁱ+ ˙p_j∂˙pj, podczas kiedy pole związane z wiązką TπM to

∇2(qⁱ, pj, ˙q^k, ˙pl) = pi∂pi + ˙pj∂˙pj.

Podwójną wiązkę wektorową wygodnie jest prezentować za pomocą diagramu TT^∗M

TπM

""

τ_T∗M

||

T^∗M

πM

##

TM

τM

||M

Odpowiednie rzuty we współrzędnych zapisują się następująco:

τT^∗M : (qⁱ, pj, ˙q^k, ˙pl) 7−→ (qⁱ, pj) Tπ_M : (qⁱ, p_j, ˙q^k, ˙p_l) 7−→ (qⁱ, ˙q^k)

Niech v będzie elementem TT^∗M. Kowektor τT^∗M(v) i wektor TπM(v) są zaczepione w tym samym punkcie rozmaitości M, Można je więc na sobie obliczyć. Odwzorowanie

TT^∗M 3 v 7−→ h τ^T∗M(v), TπM(v) i ∈ R

jest liniowe ze względu na strukturę wektorową nad T^∗M, jest więc jednoformą liniową na T^∗M. Jednoformę tę nazywamy formą Liouville’a i oznaczamy θM. Mamy więc

θM(v) = h τ^T∗M(v), TπM(v) i.

Zwróćmy uwagę, że definicja formy Liouville’a zawiera jedynie naturalne struktury TT^∗M, jest więc kanoniczna. W standardowych współrzędnych (qⁱ, pj) mamy

θM = pidqⁱ.

Różniczkę formy Liouville’a oznaczamy ωM i nazywamy kanoniczną formą symplektyczną na przestrzeni kostycznej:

ωM = dθM, ωM = dpi ∧ dqⁱ = dp1∧ dq¹+ · · · + dpⁿ∧ dqⁿ.

Widzimy przy okazji, że forma ta jest w postaci Darboux. Współrzędne naturalne na T^∗M są współrzędnymi Darboux dla ωM. Forma ωM jest oczywiście zamknięta (bo zupełna) i niezde-generowana (widać z wyrażenia na współrzędnych).

Forma symplektyczna, podobnie jak iloczyn skalarny, definiuje izomorfizm wiązki stycznej do rozmaitości symplektycznej i kostycznej do niej. Ogólnie, jeśli (P, ω) jest rozmaitością sym-plektyczną, to

TP 3 v 7−→ ω^P(·, v) ∈ T^∗P.

W naszym przypadku

βM : TT^∗M −→ T^∗T^∗M

v 7−→ β^M(v) = ωM(·, v)

odwzorowanie to jest liniowym izomorfizmem wiązek wektorowych nad T^∗M, co wynika z samej definicji, ale ma też szereg innych własności. Jest, jak się okazuje także izomorfizmem podwój-nych wiązek wektorowych oraz izomorfizmem struktur symplektyczpodwój-nych (T^∗T^∗M, ωT^∗M) oraz (TT^∗M, dTωM), ale o tym trochę później, albo wcale (bo nie wiadomo czy zdążymy). Zapiszmy β_M we współrzędnych:

v = ˙qⁱ∂_qⁱ+ ˙pj∂pj, ωM = dpk∧ dq^k, βM(v) = −ı(v)ω^M = ˙q^kdpk− ˙p^jdq^j β_M(qⁱ, p_j, ˙q^k, ˙p_l) = (qⁱ, p_j,− ˙pk, ˙q^l)

Odwzorowanie βM służy do produkowania pól wektorowych na T^∗M z funkcji na T^∗M. Niech f : T^∗M → R będzie gładką funkcją. Wtedy Xf jest polem na T^∗M zadanym warunkiem

βM ◦ X^f = df Pisze się też

df = ω_M(·, Xf), −ı(Xf)ω_M = df,

co oczywiście na jedno wychodzi. Użycie odwzorowania βM jest wygodniejsze w bardziej zło-żonych sytuacjach niż przedstawiona powyżej najprostsza. Pole X_f nazywa się polem hamilto-nowskim funkcji f. Pora na pole hamiltonowskie we współrzędnych:

f : T^∗M → R, (qⁱ, pj) 7−→ f(qⁱ, pj), df : T^∗M → T^∗T^∗M, (qⁱ, pj) 7−→ ∂f

∂qⁱdqⁱ + ∂f

∂pj

dpj. Składając z β_M⁻¹ otrzymujemy pole wektorowe

(qⁱ, pj) 7−→ (qⁱ, pj, ∂f

∂pj

,−∂f

∂qⁱ) czyli

X_f = ∂f

∂pj

∂_q^j − ∂f

∂qⁱ∂_pi.

Sprawdźmy co będzie gdy f(q, p) = H(q, p) = _2m¹ g^ijpipj + V (q):

X_H = 1

2mg^ijp_j∂_qⁱ− ∂V

∂q^k∂_pk. Krzywa całkowa t 7→ (q(t), p(t)) powyższego pola spełnia równania

dqⁱ dt = 1

mg^ijpj, dpi

dt = −∂V

∂qⁱ

Pierwsze równanie to związek między pędem a prędkością. Drugie mówi, że zmiana pędu w cza-sie jest proporcjonalna do „minus” różniczki potencjału, czyli do czegoś zazwyczaj rozumianego jako siła. Układ równań

który odpowiada polu pochodzącemu od hamiltonianu nazywa się zazwyczaj równaniami Ha-miltonaukładu mechanicznego opisywanego przez H. Rozwiązaniami tego układu są krzywe w przestrzeni fazowej (T^∗M), czyli w przestrzeni położeń i pędów.

Zadanie 6 Obliczyć

L^XfωM. Rozwiązanie:

LXfωM = dı(Xf)ωM + ı(Xf)dωM = d(−df) + 0 = 0 I jeszcze jeden obrazek do kompletu:

T^∗T^∗M

Geometria wiązki stycznej. Zajmiemy się teraz geometrią wiązki stycznej. Poprzednie do-świadczenia wskazują, że zająć się będzie trzeba bez wątpienia iterowanymi wiązkami TTM oraz T^∗TM. Najpierw jednak przypomnijmy operację podniesienia pionowego, która jest cha-rakterystyczna dla każdej wiązki wektorowej. Niech więc w ogólności τ : E → M będzie wiązką wektorową. Mówiliśmy już, że wektory styczne do E i pionowe względem rzutu τ (tzn takie, że v ∈ T^eE, Tτ(v) = 0) można punkt po punkcie w E utożsamiać z elementami włókna E,

V_eE ' E^τ(e).

Istnienie takiego utożsamienia pozwala na podnoszenie elementów E do wektorów stycznych do E. Niech e, f ∈ E i niech τ(e) = τ(f). Podniesieniem pionowym f do punktu e nazywaliśmy wektor styczny do krzywej

t 7−→ e + tf

w t = 0. Stosowny wektor styczny oznaczamy f_e^v ∈ V^eE. To samo można zrobić dla wiązki stycznej τM biorąc E = TM. Mamy podniesienie

TM ×^M TM 3 (v, w) 7−→ w^vv ∈ VTM ⊂ TTM.

Jeśli E = TM, możemy, używając podniesienia pionowego, skonstruować kanoniczny endor-morfizm

SM : TTM −→ TTM.

Wzór jest prosty (choć wygląda raczej paskudnie):

SM(v) = [TτM(v)]^v_τTM(v)

Endomorfizm SM jest złożeniem rzutów TτM i τTM i podniesienia pionowego. Na dowolnej wiązce wektorowej takiego endomorfizmu nie ma, bo rzuty Tτ i τE mają inne przeciwdziedziny.

We współrzędnych (qⁱ, ˙q^j, δq^k, δ˙q^l) mamy:

v = δq^k∂_q^k + δ ˙q^k∂_˙q^k TτM(v) = δq^k∂_q^k

τTM(v) = ˙q^k∂_q^k SM(v) = δq^k∂_˙q^k czyli

SM(qⁱ, ˙q^j, δq^k, δ˙q^l) = (qⁱ, ˙q^j,0, δq^k).

Odwzorowanie S jest endomorfizmem wiązki τTM. Obrazem tego endomorfizmu jest podwiązka wektorów pionowych. Wiązka τM jest wiązką wektorową, zatem istnieje na niej pole Eulera

∇^TM(v) = v^v_v.

So czego może przydać się endomorfizm kanoniczny SM? Pewnie ma dużo zastosowań. Przytocz-my jedno z nich przydatne w tradycyjnym sformułowaniu mechaniki lagranżowskiej. Równania różniczkowe drugiego rzędu rozwiązujemy często zamieniając je na układ równań pierwszego rzędu na zmienne i ich pochodne. W ujęciu geometrycznym oznacza to, że równanie drugiego rzędu zapisujemy jako pole wektorowe na wiązce stycznej do rozmaitości. Punkty na rozma-itości reprezentują zmienne a wektory styczne zmienne wraz z pochodnymi. Oczywiście w ten sposób dostajemy jedynie niektóre pola wektorowe na TM. Jak sprawdzić, czy pole wektorowe pochodzi od równania drugiego rzędu? Można na przykład sprawdzić, czy

S(X(v)) = ∇^TM(v).

Z grubsza sprowadza się to popatrzenia czy rzuty Tτ_M i τ_TM wektorów stanowiących wartości pola X są takie same. Równanie Eulera Lagrange’a jest drugiego rzędu, można więc próbować

geometrycznie przedstawiać je jako pole wektorowe na wiązce stycznej. Dokładniej zajmiemy się tym w następnym wykładzie. Teraz powróćmy do badania struktury wiązki stycznej.

Pamiętamy także, że TTM jest podwójną wiązką wektorową. Stosowne pola Eulera mają postać

∇1 = δq^k∂_δq^k+ δ ˙q^k∂_δ˙q^k

∇2 = ˙q^k∂_˙q^k + δ ˙q^k∂_δ˙q^k

Pole ∇¹ związane jest ze strukturą τTM a pole ∇² ze strukturą TτM. TTM

TτM

!!

τTM

}}TM

τM

!!

TM

τM

}}M

Iterowana wiązka styczna wyposażona jest także w kanoniczne odwzorowanie κM, które poja-wiło się już na tym wykładzie, ale nie było omówione dokładnie. Ma ono źródło w rachunku wariacyjnym. Załóżmy, że M jest przestrzenią położeń jakiegoś układu mechanicznego nie-relatywistycznego. Ruch tego układu opisany będzie krzywą γ : R → M. Badając układ w sposób wariacyjny zazwyczaj deformujemy nieco trajektorię układu wzdłuż nowego parametru rzeczywistego s, co możemy zapisać jako odwzorowanie

R² 3 (s, t) 7−→ χ(s, t) ∈ M

takie, że χ(0, t) = γ(t). Przyda nam się także ustalenie punktu q ∈ M, q = χ(0, 0). Lagranżjan określony jest zazwyczaj na położeniach i prędkościach, czyli na wiązce stycznej. Żeby obliczyć wariację działania musimy umieć zwariować także prędkości. Podnosimy więc odwzorowanie χ do wiązki stycznej biorąc wektory styczne względem parametru t. Parametr s mierzy wariację:

R² 3 (s, t) 7−→ t^(0,1)χ(s, t) ∈ TM.

Zazwyczaj interesują nas wariacje infinitezymalne. Geometrycznie reprezentujemy je jako wek-tory styczne do krzywych parametryzownaych przez s. W szczególności wariacja prędkości w punkcie q (t = 0), to wektor styczny do krzywej

s7−→ t^(0,1)χ(s, 0),

będącej krzywą w TM. Infinitezymalna wariacja prędkości jest więc elementem TTM. Z drugiej strony całkując przez części przy wyprowadzeniu równań Eulera-Lagrange’a chcemy traktować wariację prędkości raczej jako pochodną po czasie t wariacji położenia. Oznacza to, że najpierw bierzemy wektory styczne wzgledem parametru s:

R² 3 (s, t) 7−→ t^(1,0)χ(s, t) ∈ TM, a potem ustalamy s = 0

t7−→ t^(1,0)χ(0, t),

i różniczkujemy względem t otrzymując inny wektor styczny do TM. Jest on zaczepiony w innym punkcie TqM! Odwzorowanie, które przypisuje wariacji prędkości podniesienie styczne wariacji położenia jest szukanym κ_M. Opowiedzieliśmy o κ_M poglądowo, teraz pora na precy-zyjne wzory. Wygodnie jest ustalić pewną konwencję: Niech v = (q, ˙q, δq, ˙δq). Mówimy, że χ jest reprezentatntem v jeśli v = tt^(0,1)χ(0, 0), to znaczy między innymi, że

(q, ˙q) = t^(0,1)χ(0, 0), (q, δq) = t^(1,0)χ(0, 0).

W ten sposób na poziomie reprezentantów κ_M realizuje się jako χ7−→ ˜χ, χ(s, t) = χ(t, s).˜ Analizując przykładowe χ dla v = (q, ˙q, δq, ˙δq):

χⁱ(s, t) = qⁱ+ t ˙qⁱ+ sδqⁱ+ stδ ˙qⁱ. Widzimy, że

κ_M(q, ˙q,δq, ˙δq) = (q,δq, ˙q, ˙δq).

Okazuje się, że tak proste odwzorowanie ma bardzo istotne zastosowania zarówno w geometrii wiązki stycznej jak i w mechanice.

Zadanie 7 Posługując się rachunkiem na współrzędnych wykazać, że jeśli X i Y są dwoma polami wektorowymi na rozmaitości M , to zachodzi wzór

κM(TY (X)) − TX(Y ) = [X, Y ]^vX.

Odwzorowanie κM zamienia rzuty związane ze strukturą podwójnej wiązki w TTM. κM jest izomorfizmem podwójnych wiązek wektorowych:

TTM

TτM

!!τTM



κM //TTM

τTM

!!TτM



TM

τM



TM

τM



TM

τM

!!

T^∗M

τM

""

M M

W dokumencie Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa (Stron 134-140)