Pochodna kowariantna na powierzchniach zanurzonych

W tym rozdziale zajmiemy się drugim sposobem na porównywanie wartości pól tensorowych w różnych punktach na rozmaitości, tzn. wprowadzimy jakiś rodzaj związku między przestrze-niami stycznymi w różnych punktach. Nie oznacza to jednak globalnej trywializacji, czyli utoż-samienia przestrzeni stycznej w każdym punkcie z jedną wybraną przestrzenią wektorową. To się może w ogóle nie dać zrobić. Nawet dla tak nieskomplikowanych powierzchni jak sfera dwu-wymiarowa, globalna trywializacja wiązki stycznej nie istnieje. Dla innych rozmaitości globalne trywializacja mogą istnieć, ale żadna z nich może nie być wyróżniona. Rozważania zaczniemy od wprowadzenia odpowiedniej struktury na powierzchniach zanurzonych. W następnym rozdziale podejdziemy do sprawy znacznie bardziej ogólnie.

Zauważmy, że wiązka styczna do przestrzeni afinicznej jest trywialna: TA = A × V jeśli V jest modelową przestrzenią wektorową dla przetrzeni afinicznej A. Na przestrzeni afinicznej mamy także wyróżnioną klasę układów współrzędnych – tzw. afiniczne układy wspołrzędnych.

Łatwo sprawdzić, że różniczkowanie funkcji, pól wektorowych czy ogólniejszych pól tensorowych zapisanych w układzie wspołrzędnych należącym do tej wyróżnionej klasy ma charakter geome-tryczny, tzn. nie zależy od tego w jakich wspołrzędnych afinicznych różniczkowanie przeprowa-dziliśmy. Własność ta nie przenosi się jednak na powierzchnie zanurzone. Powód jest oczywisty - wynik różniczkowania nie musi wcale należeć do przestrzeni stycznej do powierzchni. Istotnie:

załóżmy, że powierzchnia Ziemi jest sferą dwuwymiarową zanurzoną w R³. Podróżnik wędruje wzdłuż równika. Jego prędkość reprezentowana jest w każdym punkcie przez wektor styczny do równika. Prędkości w różnych punktach równika są elementami R³, tworzą więc krzywą w R³. Wektor styczny do tej krzywej (pochodna po czasie w ustalonym punkcie t) może być rozumia-ny jako przyspieszenie poróżnika. Wektor ten nie będzie jednak styczrozumia-ny do Ziemi w punkcie w którym podróżnik był w czasie t. Mając do dyspozycji iloczyn skalarny indukowany z R³, możemy nawet powiedzieć jaka część przyspieszenia „odpowiada” za pozostawanie podróżnika na powierzchni Ziemi (część normalna do sfery) a jaka za zmianę wartości prędkości wzdłuż równika (część styczna). Jeśli długość prędkości podróżnika wzdłuż równika pozostaje stała, całe przyspieszenie będzie skierowane do środka sfery.

W dalszym ciągu tego rozdziału założymy, że pracujemy na powierzchni wymiaru k zanu-rzonej w afinicznej przestrzeni euklidesowej wymiaru n. Mamy więc do dyspozycji afiniczną strukturę zewnętrznej przestrzeni wraz z wyróżnioną klasą układów współrzędnych oraz w każ-dej przetrzeni stycznej do przestrzeni zewnętrznej mamy iloczyn skalarny. Iloczyn ten jest stały (tzn. wyraża się stałą macierzą) jeśli zapisano go w bazie związanej z afinicznym układem współrzędnych. Jest to temat zaliczany do klasycznej geometrii różniczkowej. Wszytkie pojęcia ilustrować będziemy rachunkami dla górnej powłoki H hiperboloidy dwupowłokowej zanurzonej w R³:

H = {(x, y, z) : z²− x²− y² = 1, z > 0}.

Początkowo używać będziemy globalnej parametryzacji H:

R² 3 (a, b) 7−→ (a, b,√

1 + a²+ b²) ∈ H

W R³ będziemy korzystać ze współrzędnych ortonormalnych (x, y, z). Mówiąc o ogólnej po-wierzchni M zanurzonej w afinicznej przestrzeni euklidesowej E używać będziemy parametry-zacji postaci

R^k ⊃ U 3 (u¹, . . . , u^k) 7−→ (x¹(u), . . . , xⁿ(u)) ∈ M.

Założymy, że współrzędne (x¹, . . . , xⁿ) w E są ortonormalne. Wektory styczne do M zapisywać mozna w bazie (∂u¹, . . . , ∂_u^k) wektorów stycznych do M ale także w bazie zewnętrznej prze-strzeni (∂x¹, . . . , ∂xⁿ). W szczególności przestrzeń styczna do H w punkcie q o współrzędnych (a, b) rozpięta jest przez

∂a = ∂x+ a

√1 + a²+ b²∂z, ∂b = ∂y+ b

√1 + a²+ b²∂z. Ogólnie

∂_uⁱ = ^Xn

α=1

∂x^α

∂uⁱ∂x^α.

Zauważmy najpierw, że iloczyn skalarny można obciąć do powierzchni M. Mówiąc precyzyj-niej, przestrzeń styczna TqM w każdym punkcie powierzchni jest podprzestrzenią w TqE ' V , wobec tego iloczyn skalarny na E można obciąć do każdej przestrzeni stycznej.

Definicja 23 Pierwszą formą podstawową na M nazywamy obcięcie iloczynu skalarnego z TE do TM .

Iloczyn skalarny na TE ' E × V jest stały, tzn nie zależy od punktu w E, natomiast obcięcie zależy od punktu, bo podprzestrzeń T_qM zależy od punktu. Macierz pierwszej formy podstawowej we współrzędnych otrzymamy licząc iloczyny skalarne wektorów bazowych gij = (∂uⁱ|, ∂u^j). W naszym przykładzie we współrzędnych (a, b) otrzymujemy

(∂a|∂^a) = 1 + a²

1 + a²+ b², (∂b|∂^b) = 1 + b²

1 + a²+ b², (∂a|∂^b) = ab 1 + a²+ b²

[g] = 1

1 + a²+ b²

"

1 + 2a²+ b² ab ab 1 + a²+ 2b²

#

.

Używając notacji tensorowej napisalibyśmy

g = 1

1 + a²+ b²

h(1 + 2a²+ b²)da ⊗ da + ab(da ⊗ db + db ⊗ da) + (1 + a²+ 2b²)db ⊗ dbⁱ. Jak już wspomnieliśmy pola wektorowe na E można różniczkować w kierunku wektorów stycz-nych do E „po współrzędstycz-nych”, używając globalnego afinicznego układu współrzędstycz-nych. Na przykład, jeśli Y = Y^α(x)∂x^α i TqE 3 v = v^α∂x^α, wyznaczyć możemy DvY według wzoru

(DvY)^α∂x^α = v^β∂Y^α

∂x^β

!

∂x^α.

Innymi słowy, każdą współrzędną pola Y różniczkujemy oddzielnie. Wynik jest wektorem stycz-nym do E w punkcie q. Wzór ma sens, mimo że wyrażony jest we współrzędnych, ponieważ używamy układu współrzednych z wyróżnionej klasy oraz wzór zachowuje postać przy zmianie współrzędnych w ramach danej klasy. Sprawdźmy, że tak rzeczywiście jest. Wprowadźmy nowe afiniczne wspołrzędne w E. Nie muszą one być ortogonalne, wystarczy, że są afiniczne. Zmiana współrzędnych ma postać

y^β = c^β + A^β_αx^α

gdzie c^β są stałe, a macierz A jest macierzą liczbową. Mamy wówczas

Y = Y^α∂x^α = A^β_αY^α∂x^β = Z^β∂x^β, v = v^α∂x^α = A^β_αv^α∂x^β = u^β∂x^β, tzn.

Z^β = A^β_αY^α, u^β = A^β_αv^α, ∂x^α = A^β_α∂_y^β. Zamiana zmiennych w różniczkowaniu zachodzi w następujący sposób

D_vY =u^β∂Z^α

∂y^β∂_y^α = A^β_γv^γ∂(A^α_νY^ν)

∂y^β ∂_y^α = v^γA^β_γ∂Y^ν

∂y^βA^α_ν∂_y^α =

Zielone wyrażenia zastępujemy przez różniczkowanie po zmiennych x i otrzymujemy

=v^γ∂Y^ν

∂x^γ∂x^ν

Jak widać, oba niebieskie wyrażenia mają tę samą postać. Różniczkowanie możemy więc pro-wadzić w dowolnym afinicznym układzie współrzędnych. Kluczowe jest, że macierz A jest stałą macierzą liczbową, wobec tego można ją „wyjąć” spod różniczkowania.

Na powierzchni M pola wektorowe można różniczkować jedynie w kierunku wektorów stycz-nych do M. Można to robić we wspołrzędstycz-nych jedynie wtedy, kiedy pola te zapisane są w bazie zewnętrznej przestrzeni TqE. Wtedy wektory bazowe pozostają stałe i nie podlegają różnicz-kowaniu. Na hiperboloidzie H możemy na przykład zróżniczkować pole ∂^a w kierunku wektora będącego wartością tego pola w punkcie (a, b):

∂a = ∂x+ a

√1 + a² + b²∂z, D∂a(∂a) = ∂

∂a(1)∂x+ ∂

∂a

√ a

1 + a²+ b²

!

∂z = · · · = 1 + b²

√1 + a²+ b²³

!

∂z

Wektor D∂a(∂a) ma składową jedynie w kierunku ∂z, nie może więc być styczny do H. W ogólnym przypadku powierzchni M zanurzonej w E najprawdopodobniej także tak będzie.

Pochodne pola wektorowego na M w kierunku wektorów stycznych do M nie bedą styczne do M.

W tej sytuacji możemy skorzystać z iloczynu skalarnego w TqE i rozłożyć wynik różniczkowania na część w TqM i część w (TqM)^⊥. Piszemy więc

DvX= (DvX)^||+ (DvX)^⊥. Część należącą do TqM oznaczamy ∇vX, tzn

∇vX = D_vX− (DvX)^⊥ (25)

i nazywamy pochodną kowariantną pola X w kierunku wektora stycznego v.

Policzmy ∇^∂a∂a w naszym przykładzie. W rachunkach przyda nam się znajomość pola N normalnego do powierzchni H. Pole to spełniać musi warunki (∂a|N) = 0, (∂b|N) = 0, (N|N) = 1. Wyznaczają one N z dokładnością do znaku. Stosowne rachunki wskazują, że jako N można wziąć

N = 1

1 + 2a²+ 2b²

−a∂x− b∂y+√

1 + a²+ b²∂_z^ Wyznaczamy teraz pochodną kowariantną:

∇∂a∂a = D∂a∂a− (N|D∂a∂a)N = · · · = 1 + b²

(1 + a²+ b²)(1 + 2a² + 2b²)(a∂a + b∂b).