Współczynniki Christoffela na powierzchni zanurzonej w przestrzeni euklidesowej są symetryczne ze względu na dolne indeksy, tzn

du^l. (30)

Odpowiednie wzory dla bardziej skomplikowanych tensorów czytelnik może wyprowadzić sa-modzielnie. Obowiązuje ogólna zasada mówiąca, że każdy dolny indeks generuje składnik ze współczynnikami Christoffela z minusem a każdy górny indeks z plusem. Na przykład dla φⁱ_jl∂uⁱ⊗ du^j⊗ du^l otrzymamy

(∇^vφ)ⁱ_jl = v^m∂φⁱ_jl

∂u^m + Γⁱ_mnv^mφⁿ_jl− Γⁿmjv^mφⁱ_nl− Γⁿmlv^mφⁱ_jn

Fakt 15 Współczynniki Christoffela na powierzchni zanurzonej w przestrzeni euklidesowej są symetryczne ze względu na dolne indeksy, tzn

Γⁱ_jk = Γⁱ_kj.

Dowód: Weźmy dwa pola wektorowe X i Y na powierzchni M i policzmy ∇XY − ∇YX:

∇XY − ∇YX = DXY − (DXY)^⊥− DYX− (DYX)^⊥=

(DXY − DYX) − (D^XY − DYX)^⊥= [X, Y ] − [X, Y ]^⊥ Pola X i Y są styczne do M, zatem [X, Y ] też jest styczne do M, część prostopadła tego pola znika. Mamy więc

∇XY − ∇YX = [X, Y ].

Weźmy teraz X = ∂_uⁱ oraz Y = ∂_u^j, wówczas oczywiście [X, Y ] = 0 i możemy zapisać 0 = ∇^∂ui∂u^j − ∇∂_uj∂uⁱ = (Γ^l_ij − Γ^lji)∂_u^l.

Ostatecznie

Γ^l_ij − Γ^lji = 0

 Powróćmy na chwile do przykładu hiperboloidy H ze współrzędnymi (a, b). Policzylismy już wcześniej ∇^∂a∂a, tzn znamy współczynniki Γ^a_aa oraz Γ^b_aa

Γ^a_aa = a(1 + b²)

(1 + 2a²+ 2b²)(1 + a²+ b²), Γ^b_aa = b(1 + b²)

(1 + 2a²+ 2b²)(1 + a²+ b²). Parametryzacja jest symetryczna, zatem zapewne

Γ^b_bb = b(1 + a²)

(1 + 2a²+ 2b²)(1 + a²+ b²), Γ^a_bb = a(1 + a²)

(1 + 2a²+ 2b²)(1 + a²+ b²).

Rachunek wyznaczający wyrażenia Γ^a_ab = Γ^a_ba i Γ^b_ab = Γ^b_ba trzeba wykonać oddzielnie. Otrzymu-jemy

Γ^a_ba = − a²b

(1 + 2a²+ 2b²)(1 + a²+ b²), Γ^b_ba = − ab²

(1 + 2a²+ 2b²)(1 + a²+ b²).

Jak widać wzory na wspołczynniki Christofela na hiperboloidzie w tych współrzędnych są dość paskudne. Zastanowimy się więc, czy można znaleźć jakieś lepsze współrzędne, w których będą one prostsze. Zajmiemy się oczywiście ogólnym przypadkiem M ⊂ E. Założymy teraz, że pracujemy na powierzchni M wymiaru n − 1 zanurzonej w przestrzeni euklidesowej E wymiaru n. W takim przypadku, przynajmniej lokalnie mamy do dyspozycji normalne, unormowane pole wektorowe N na M. Trzeba dokonać oczywiście wyboru spośród dwóch możliwości różniących się o znak. Na orientowalnej powierzchni pole normalne istnieje globalnie.

Skoro N jest unormowane, mamy (N|N) = 1, zatem 0 = D_v(N|N) = 2(DvN|N)

Powyższa równość zachodzi dla dowolnego v ∈ T^qN oraz dla dowolnego q. Skoro DvN ⊥ N, to DvN ∈ T^qM. Mamy zatem w każdym punkcie q odwzorowanie

Aq : Tq −→ TqM, Aq(v) = −D^vN.

Jeśli powierzchnia M jest orientowalna i gładka, endomorfizmy Aq zbierają się do gładkiego odwzorowania A : TM −→ TM. Odwzorowanie to jest liniowe we włóknach wiązki stycznej i nazywa się operatorem Weingartena lub operatorem kształtu. Definicja zależy od wyboru znaku przy N. Jeśli powierzchnia jest nieorientowalna, to taki operator istnieje lokalnie. Zanim zaczniemy badać własności operatora Weingartena, wyznaczmy go w naszym przykładzie na hiperboloidzie. Należy policzyć zatem Aq(∂a) = −D^∂aN i Aq(∂b) = −D^∂bN pamiętając, że

N = 1

√1 + 2a²+ 2b²

−a∂x− b∂y+√

1 + a²+ b²∂_z^. Po dość nieprzyjemnych rachunkach otrzymamy, w bazie (∂a, ∂b)

A = 1

√1 + 2a²+ 2b²³

"

(1 + 2b²) −2ab

−2ab (1 + 2b²)

#

. Prawdziwy jest następujący fakt

Fakt 16 Operator kształtu jest samosprzężony, tzn. g(A(v), w) = g(v, A(w)) dla dowolnych v, w∈ TM, τM(v) = τM(w).

Dowód: Weźmy dwa dowolne pola wektorowe X i Y na M spełniające warunek X(q) = v, Y(q) = w. Wiadomo, że ˜g(X, N) = 0 = ˜g(Y, N), podobnie D_Y(˜g(X, N)) = 0 = D_X(˜g(Y, N)).

Mamy więc

0 = D_Y(˜g(X, N)) − DX(˜g(Y, N)) = ˜g(D_YX, N) + ˜g(X, D_YN) − ˜g(DXY, N) − ˜g(Y, DXN) =

˜g(DYX− DXY, N) − ˜g(X, A(Y )) + ˜g(Y, A(X)) =

˜g([Y, X], N)− ˜g(X, A(Y )) + ˜g(Y, A(X)) Niebieski składnik znika, bo [Y, X] jest polem na M, a N jest normalny. Można także opuścić znaki tyldy w pozostałych składnikach bo oba argumenty należą do T M. Otrzymaliśmy więc

0 = −g(X, A(Y )) + g(Y, A(X)),

co pokazuje, że A jest samosprzężony. 

Operator samosprzężony odpowiada, jak wiadomo, pewnej formie dwuliniowej symetrycznej.

Forma b utworzona z operatora A nazywa się drugą formą podstawową na powierzchni M b : TM ×^M TM −→ R, b(v, w) = g(A(v), w). (31) Skoro A jest operatorem samosprzężonym, możemy skorzystać z twierdzenia spektralne-go, które mówi, że A jest diagonalizowalny, ma rzeczywiste wartości własne oraz istnieje baza złożona z ortogonalnych (ortonormalnych) wektorów własnych. Wartości własne operatora A nazywają się krzywiznami głównymi, a wektory własne wyznaczają kierunki główne na po-wierzchni. Wyznaczmy krzywizny główne i kierunki główne na powierzchni H.

Dla ułatwienia rachunków oznaczmy r = √

1 + 2a²+ 2b². Wyznaczamy wielomian charak-terystyczny operatora A:

ω_A(λ) = det(A − λ1) =

" _1+2b2

r³ − λ ^−2ab_r³

−2ab r³

1+2a² r³ − λ

#

= · · · = 1

r⁴ − 1 + r²

r³ λ+ λ²

Wielomian charakterystyczny ma dwa różne pierwiastki – krzywizny główne powierzchni w punkcie (a, b). Są to

k1(a, b) = 1

r³ = 1

√1 + 2a² + 2b²³, k2(a, b) = 1

r = 1

√1 + 2a²+ 2b².

Poza punktem a = 0 i b = 0 w którym operator kształtu jest identycznościowy, kierunki główne wyznaczone są przez pola wektorowe

V1(a, b) = a∂a+ b∂b = a∂x+ b∂y + a²+ b²

1 + a²+ b²∂z, V2(a, b) = b∂a− a∂b = b∂x− a∂y. Obrazy krzywych całkowych pól reprezentujących kierunki główne nazywa się liniami krzywi-znowymi. Na powierzchni H linie krzywiznowe to krzywe tworzące powierzchnię obrotową jaką jest H oraz poziome okręgi leżące w H. Prawdziwe jest następujące twierdzenie

Twierdzenie 9 Jeżeli w punkcie q ∈ M wszystkie krzywizny główne są rózne, to w otoczeniu tego punktu istnieje układ współrzędnych taki, że linie krzywiznowe są liniami współrzędnych.

Na powierzchni H stosowna parametryzacja może wyglądać na przykład tak:

(ϕ, t) 7−→ (cos ϕ sinh t, sin ϕ sinh t, cosh t)

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie N, A, Γ w tych współrzędnych. Dla N powinniśmy otrzymać

N(ϕ, t) = 1

√cosh 2t(sinh t cos ϕ∂x+ sinh t sin ϕ∂y − cosh t∂z)

Wykład na temat powierzchni zanurzonych zakończymy wprowadzając pojęcie krzywizny Gaussa. W tym celu ustalamy n = 3, k = 2, tzn rozważamy dwuwymiarowe powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, może być R³.

Definicja 24 Odwzorowaniem Gaussa nazywamy przyporządkowanie punktowi q ∈ M punktu na sferze S² ⊂ R³ danego przez N(q). Odworowanie Gaussa oznaczymy n:

n : M 3 q 7−→ N(q) ∈ S²

Przedstawimy teraz geometryczną ideę odwzorowania Gaussa nie dbając nadmiernie o szcze-góły techniczne: Niech O będzie oticzeniem punktu q ∈ M na tyle regularnym, aby dało się policzyć jego pole powierzchni vol(O). Wyznaczamy także pole powierzchni obrazu n(O) na S². Może się oczywiście zdarzyć, że n(0) będzie raczej chudy, wtedy jego pole jest 0. Z dokład-nością do znaku krzywizna Gaussa w punkcie q jest granicą ilorazu vol(n(O))/vol(O) gdy O zmniejsza się do punktu q. Oczywiście nie bardzo wiadomo co to znaczy, że otoczenie „zmniej-sza się do punktu”, ale intuicyjnie wiadomo o co chodzi. Jeśłi na małym otoczeniu punktu q kierunek wiektora stycznego bardo się zmienia, to krzywiszna jest duża, jeśli pozstaje niemal stały – to mała. Jeśłi powierzchnia jest płaska, krzywizna jest równa 0. Od intuicli przejdźmy do formalnej definicji.

Niech vol(v, w) oznacza pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na liniowo niezależnych wektorach v, w ∈ T^qM. Krzywizna Gaussa w punkcie q zdefiniowana jest wzorem

KM(q) = sgn det(Tqn)vol(Tn(v), Tn(w)) vol(v, w)

Użycie wyznacznika det(T_qn) może się na pierwszy rzut oka wydać wątpliwe, gdyż T_qn działa z TqM do Tn(q)S². Jednak zarówno M jak i S² są dwuwymiarowymi podrozmaitościami w R³, ich praestrzeni estyczne w q i n(q) odpowiednio sa dwuwymiarowymi podprzestrzeniami wektorowymi w R³ prostopadłymi do N(q), więc mogą być naturalnie utożsamione. Wiadomo także, że

vol(v, w) = det

"

g(v, v) g(v, w) g(v, w) g(w, w)

#!¹

2 = | det Q|^qdet g,

gdzie q jest macierzą, której kolumny są wektorami v i w zapisanymi w wtybranej bazie a g macierzą iloczynu skalarnego w tej samej bazie. Używając tej samej bazy liczymy

vol(Tn(v), Tn(w)) = |detT^qN|| det Q|^qdet g Ostatecznie

Km = sgn det(Tqn)|det Tqn|| det Q|√det g

| det Q|√det g = det Tqn.

Zauważmy, że TqN = −A^q, zatem det Tqn = det Aq = k1k2. Okazuje się więc, że krzywi-zna Gaussa jest lioczynem krzywizn głównych. Łatwo sprawdzić, że krzywikrzywi-zna Gaussa sfery o promieniu R jest równa _R¹2 a krzywizna „naszej” hiperboloidy to _r¹4.

Definicja krzywizny Gaussa na pierwszy rzut oka zależy od zanurzenia powierzchni w R³, okazuje się jednak, że jest to wielkość całkowicie wewnętrzna. Mówi o tym twierdzenie Gaussa zwane wspaniałym (Theorema Egregium)