W tym rozdziale zadajemy sobie pytanie czy istnieją jądra o wyższej syme-trii punktowej, czyli różnej od sferycznej (SO(3)), osiowej (SO(2), D∞) oraz elipsoidalnej (trójosiowej) (D2, D2h) [3, 4]. Zgodnie z teorią grup symetrii de-generacja widma energetycznego jądra opisanego danym hamiltonianem jest ściśle powiązana (o ile nie występuje tak zwana degeneracja przypadkowa) z wymiarem reprezentacji jego grupy symetrii. Dokładniej mówiąc degeneracja jest na ogół (zależy to od zachowania się reprezentacji względem transfor-macji odwrócenia w czasie) równa wymiarowi odpowiedniej nieprzywiedlnej reprezentacji. Oznacza to także, że symetrie posiadające więcej wymiarowe reprezentacje mogą prowadzić do zwiększenia odległości pomiędzy stanami energetycznymi (grupowanie się stanów związane z degeneracją), co z kolei może prowadzić do powstania większych przerw energetycznych.
Znając symetrię G hamiltonianu jądrowego można znaleźć, niezależnie od szczegółów modelu, reguły wyboru ([1]) dla przejść elektromagnetycznych.
Przyjmujemy, że stan początkowy |νΓai transformuje się względem grupy symetrii G przy pomocy nieprzywiedlnej reprezentacji Γ. Tu ν oznacza do-datkowe liczby kwantowe opisujące stan, a a numeruje wektory należące do bazy reprezentacji Γ. Podobnie oznaczamy stan końcowy |ν0Γ0a0i, a operator przejścia QeΓ niech będzie nieprzywiedlnym tensorem względem grupy syme-trii G:
R(g)QeΓbR−1(g) = X
b0
∆Γbe0b(g)QeΓb0, (181) gdzie ∆Γe(g) oznacza macierz dla elementu g w nieprzywiedlnej reprezentacji
Γ do której należy Qe eΓ, R(g) odpowiada obrotowi o kąt g ∈ G. Elementy ma-cierzowe hν0Γ0a0|QΓe|νΓai mogą mieć wartości różne od 0 wtedy, gdy iloczyn Kroneckera reprezentacji stanu początkowego i operatora można rozłożyć na sumę reprezentacji, która zawiera tę do której należy stan końcowy. Oznacza to, że musi zachodzić:
Γ × eΓ ⊃ Γ0. (182)
W przeciwnym wypadku wiadomo, że taki element macierzowy będzie miał wartość równą zero, czyli otrzymujemy przejścia wzbronione.
Dokładniejszy opis otrzymywania reguł wyboru oraz potrzebne definicje i twierdzenia przedstawione są w podrozdziale 6.3.
Zarówno możliwość pojawienia się większych przerw energetycznych jak i reguł wyboru dla przejść elektromagnetycznych została wykorzystana do badania jąder podejrzewanych o posiadanie wyższych symetrii punktowych.
Hipotezę tę analizowano dla szeregu jąder atomowych takich jak gadolin czy dysproz. Do ich opisu wykorzystano grupy: tetraedralną oraz oktaedralną, za pomocą których skonstruowano stany, dzięki którym próbowano odtworzyć wyniki eksperymentalne.
W badanych modelach udało się znaleźć liczby magiczne inne niż dla jąder mających mniejszą symetrię, niestety grupy tetraedralna i oktaedralna nie pokazują bardzo charakterystycznych, możliwych do wykorzystania w eksperymentach reguł wyboru. Zatem na podstawie otrzymanych wyników pomiaru trudno jest powiedzieć czy dane jądro atomowe posiada symetrię tetraedralną (oktaedralną).
Badania były przeprowadzone w ramach modelu średniego pola, gdzie wprowadzając odpowiednie parametry deformacji, modelowano hamiltoniany o różnych symetriach punktowych. Jądra atomowe zostały opisane za pomocą fenomenologicznego hamiltonianu jednocząstkowego z potencjałem Woodsa-Saxona, [52, 53, 54, 55]:
VW S = V0
1 + exp(distΣ(~r)/a), (183) gdzie powierzchnia jądra Σ przedstawiona jest za pomocą standardowego wzoru: Użyty potencjał zależy od dwóch parametrów: od głębokości potencjału V0
oraz rozmycia jego brzegu a. Funkcja distΣ(~r) określa odległość punktu wy-znaczonego przez wektor ~r od powierzchni jądrowej Σ. Kształt jądra atomo-wego, w tym opisie, zależy od wartości parametrów deformacji αλµ. Istotne
jest również to, że grupa symetrii potencjału jest równocześnie grupą symetrii geometrycznych powierzchni jądra atomowego. W pracach [3, 4] wykonano obliczenia, w których powierzchnia Σ była opisana przez tetraedralny para-metr deformacji α32 = α32∗ :
Σ : R(θ, ϕ) = R0[1 + α32(Y32(θ, ϕ) + Y3−2(θ, ϕ))]. (185) Tak otrzymana powierzchnia Σ posiada symetrię opisaną przez grupę TdD, [2].
Co było istotne, w tej grupie istnieją dwie dwuwymiarowe reprezentacje oraz jedna czterowymiarowa. Pamiętajmy, że degeneracja określonego poziomu energetycznego zależy od wymiaru reprezentacji nieprzywiedlnej, dla której ta energia została wyznaczona i prowadzi do grupowania się poziomów jed-nocząstkowych w multiplety względem grupy symetrii. To grupowanie może prowadzić do pojawienia się innych lub dodatkowych liczb magicznych niż zaobserwowane dla jąder sferycznych. W podanych wcześniej artykułach zo-stały policzone numerycznie protonowe i neutronowe widma jednocząstkowe dla grupy TdD. W trakcie tych obliczeń otrzymano duże wartości przerw ener-getycznych dla następujących liczb protonów, [4]:
Z = 16, 20, 32, 40, 56, 58, 70, 90, 94, (186) oraz dla neutronów
N = 16, 20, 32, 40, 56, 58, 70, 90, 94, 112. (187) Grupa TdD nie jest jedyną grupą posiadającą wielowymiarowe reprezenta-cje. W dalszych badaniach, [68], wzięto również pod uwagę większą grupę ODh, posiadającą cztery dwuwymiarowe reprezentacje i dwie czterowymia-rowe. Dla tych dwóch grup skonstruowano niezmienniki powierzchni (184), dla multipolowości λ ≤ 9. Zgodnie z wynikami prac [3, 4] niezmiennikiem grupy TdD o najniższej multipolowości λ = 3 jest sama zmienna α3±2 ≡ t3. W przypadku grupy ODh niezmiennikiem o najniższej multipolowości jest v =
q14
5α40−α4−4−α44, co daje następujący związek pomiędzy parametrami deformacji: α40 ≡ o4, α4±4≡ −q
5
14o4. Oznacza to, że powierzchnie jądrowe mające symetrie TdD lub ODh mają odpowiednio następujące postacie:
R(θ, ϕ) = R0[1 + t3(Y32(θ, ϕ) + Y3−2(θ, ϕ))] (188) oraz
R(θ, ϕ) = R0[1 + r 5
14o4( r14
5 Y40(θ, ϕ) − Y4−4(θ, ϕ) − Y44(θ, ϕ))]. (189)
Ponieważ w prezentowanych wynikach z femenologicznym potencjałem Woodsa-Saxona symetria została narzucona przez dobór odpowiednich para-metrów, zostały dodatkowo wykonane obliczenia samozgodne metodą Hartree-Focka. Nie zawierają one bezpośredniej informacji o symetrii powierzchni ją-drowej. Celem tych rachunków było obliczenie momentów multipolowych dla jąder ziem rzadkich. Związki pomiędzy składowymi momentów multipolo-wych zostały przedstawione w tabeli poniżej, [68]:
Z N Q32 Q40 Q44 −q
5 14Q40 64 86 0.94181 −0.22737 0.13587 0.13588 64 90 1.39465 −0.42825 0.25592 0.25592 64 92 0.00000 −0.44721 0.26726 0.26726 62 86 0.48739 −0.08694 0.05195 0.05195 62 88 0.81210 −0.21880 0.13076 0.13076 62 90 1.20601 −0.38033 0.22729 0.22729
(190)
Porównując liczby występujące w kolumnie 5 i 6, widać, że są one zgodne z zależnościami występującymi pomiędzy α40, α4±2w niezmienniku v. Sugeruje to powierzchnię jądrową o następującym kształcie:
Σ : R(θ, ϕ) = R0n Dodatkowo widać, że dla jąder przedstawionych w tabeli, jednocześnie wystę-pują kombinacje symetrii TdD i OhD. Jedynie dla jądra o liczbie protonów 64 i liczbie neutronów 92,156Gd, otrzymujemy czystą symetrię ODh (ośmiościanu), [2].
Pierwsze modele próbujące oszacować przejścia elektromagnetyczne dla hipotetycznego jądra atomowego opisanego przez grupę Td zostały przedsta-wione w artykulach [68, 69]. Przedstawiony w nich model kolektywny opisy-wał część wibracyjną w rzeczywistych zmiennych kwadrupolowych α2µ, µ = 0, 2 i zespolonych oktupolowych α3µ, µ = 0, ±1, ±2, ±3, co łącznie daje dziewięć zmiennych wibracyjnych. Powierzchnia jądrowa opisana przez taki dobór zmiennych ma postać:
Przedstawiony model składa się z sumy niesprzężonych pomocniczych hamil-tonianów oscylatora harmonicznego, dla których część wibracyjna dzieli się
na część kwadrupolową Hvib;2 i oktupolową Hvib;3: a B(k) jest parametrem masowym, ω(k)λµ - określa częstość drgań, r- oznacza część rzeczywistą oraz i- część urojoną α3µ = α3µ(r)+ iα(i)3µ (co jest równoważne zapisowi używanemu w dalszej części pracy: α3µ = α03µ+ iα003µ). Parametry deformacji statycznych ˚α(k)λµ określają minima potencjału, a zatem również powierzchni jądrowej wokół której następują drgania. Konstrukcja hamilto-nianu posiadającego symetrię Td została również przedstawiona w [70].
W omawianym modelu rozważany jest mały fragment widma energetycz-nego, który można schematyczne przedstawić jako:
D2h
Rysunek 1: Fragment widma energetycznego dla modelu kwadrupolowo-oktupolowego
Pierwsze pasmo, jest rotacyjnym pasmem kwadrupolowym. Ta część sta-nów posiada deformację tylko w części kwadrupolowej, co odpowiada syme-trii elipsoidy trójosiowej D2h. Stany, dla tego pasma, opisane są za pomocą funkcji oscylatora harmonicznego mających zero fononów.
Drugie pasmo jest rotacyjnym pasmem oktupolowym. Jedyną niezerowa deformacją statyczną w tym paśmie jest deformacja tetraedralna, co daje symetrię Td3. Dla tego pasma oktupolowego stany opisane są za pomocą jednofononowych funkcji oscylatora harmonicznego.
3W obliczeniach przedstawionych w [68, 69] osie układu wewnętrznego są obrócone
Ogólnie przedstawiona przez autorów metoda otrzymania funkcji jedno-fononowej o odpowiedniej symetrii składa się z następujących kroków:
(1) Funkcje opisujące część wibracyjną składają się z iloczynu dziewięciu funkcji jednowymiarowego zero lub jednofononowego oscylatora har-monicznego. Każda z funkcji wchodząca w skład iloczynu opisana jest przez jedną ze zmiennych: zmienną kwadrupolową α2µ, µ = 0, 2 i zmienną oktupolową α3ν ν = 0, ±1, ±2, ±3. Zależą one od parame-tru ηλ, który jest miarą szerokości potencjału odpowiednio w kierunku kwadrupolowym i oktupolowym:
ηλ = s
Bλµ(k)ωλµ(k)
~
, λ = 2, 3. (195)
Chcąc uzyskać funkcję o odpowiedniej symetrii trzeba część kwadrupo-lową i okrupokwadrupo-lową powyższej funkcji, zrzutować na reprezentacje grupy Td. Otrzymana funkcja nie posiada deformacji statycznych, zatem wi-bracje opisane przez tę funkcję zachodzą wokół powierzchni sferycznej.
Chcąc otrzymać ruch wibracyjny względem powierzchni mającej syme-trię Td trzeba wprowadzić do opisu parametry przesunięć (deformacje statyczne) ˚α32. W tym celu wprowadzony jest odpowiedni operator ko-mutujący z operatorem rzutowym, dzięki czemu nie zmienia on symetrii otrzymanych funkcji.
(2) Dla funkcji jednofononowych użyty jest operator:
T (˚ˆ α32(i)) = exp − ˚α(i)32 ∂
∂α(i)32. (196)
Powoduje on przesunięcie w kierunku zmiennej α(i)32 o wartość określoną przez deformację statyczną ˚α(i)32.
(3) W paśmie oktupolowym mamy mieć funkcje jednofononowe o parzysto-ści ujemnej. W tym celu użyty jest operator rzutujący na parzystość ujemną 12(1 − ˆI), gdzie ˆI jest operatorem inwersji przestrzennej.
Budowa stanów dla pasma o parzystości dodatniej jest prostsza od pa-sma o parzystości ujemnej. Wynika to z tego, że część wibracyjna opisana w
względem osi przedstawionych w [2]. Różnica ta powoduje, że grupą symetrii dla zmiennej rzeczywistej α32jest grupa Td. W dalszej części pracy moje obliczenia opierają się na osiach przedstawionych w [2], co daje dla tej zmiennej odpowiednio grupę symetrii O. Obie grupy są równoliczne, posiadają identyczne nieprzywiedlne reprezentacje, klasy i charaktery.
zmiennych oktupolowych składa się funkcji zerofononowych, bez deformacji statycznej ˚α32(i). W tym przypadku parametry deformacji statycznej pojawiają się w części kwadrupolowej i otrzymywane są przez operator ˆT (˚α20, ˚α22). W ten sposób uzyskana funkcja posiada symetrię grupy D2h, która opisuje to pasmo.
Przedstawiona konstrukcja stanów dla omawianego modelu, pozwoliła uzyskać odpowiednie stany, które później zostały użyte do oszacowania przejść elektrycznych wewnątrz pasm i pomiędzy nimi. Jest ona również istotna dla obecnej pracy, ponieważ ten sam schemat budowy odpowiednich sta-nów, poza pewnymi szczegółami, został użyty przy tworzeniu nowych modeli przedstawionych w dalszej części.
Krótki opis wczesnej historii poszukiwań symetrii tetraedralnej w opisie jąder atomowych można znaleźć w [71]. Dodatkowo w [72] zostało opisane zastosowanie grupy Td do opisu jądra 156Dy, gdzie zmiennymi użytymi do opisu powierzchni jądrowej są zmienne rzeczywiste: kwadrupolowa α20 oraz oktupolowa α32. Oprócz dwóch głównych jąder atomowych: 156Dy i 156Gd, do których zastosowano opis zawierający symetrię tetraedralną, pojawiły się również modele, które wprowadzały tę symetrię do opisu innych jąder. Jed-nym z przykładów jest artykuł [73], gdzie symetria Td wykorzystana jest do obliczeń średniego pola z potencjałem Woodsa-Saxona dla izotopów 110Zn.
W dalszej części pracy zostaną przedstawione dwa skonstruowane przeze mnie testowe modele kolektywne próbujące odtworzyć wyniki eksperymen-talne dla gadolinu 156. Modele te oprócz części wibracyjnej są rozszerzone dodatkowo o funkcje rotacyjne. Ważną rolę w konstrukcji nowych modeli odgrywa grupa symetryzacji wynikająca z postaci zmiennych wewnętrznych użytych do opisu stanów. Główną różnicą odróżniającą te modele jest wy-bór zmiennych oktupolowych {α3µ}. Dla pierwszego modelu zmienne te mają postać zespoloną (Z) co daje łącznie siedem zmiennych oktupolowych. Dla drugiego podejścia zmienne oktupolowe są ograniczone jedynie do zmien-nych rzeczywistych (R), co zmniejsza ich liczbę do czterech. Dokładniejszy opis oraz schemat kolejnych kroków prowadzących do konstrukcji każdego z modeli jest przedstawiony w następnym rozdziale.