Pasma energetyczne modelu kolektywnego

Każdy z modeli kolektywnych, zbudowanych w oparciu o własności symetrii funkcji opisujących jądro atomowe, określa jedynie pewien interesujący nas fragment widma energetycznego obserwowany w eksperymentach [5, 6]. Ce-lem tej pracy są metody badania struktury symetrii niskoleżących stanów jądrowych na przykładzie jądra ¹⁵⁶Gd. Można je przyporządkować trzem pa-smom energetycznym, z których pierwsze jest zbudowane ze stanów 0⁺, 2⁺, 4⁺tworząc pasmo kwadrupolowe, a drugie i trzecie jest zbudowane ze stanów oktupolowych o nieparzystym momencie pędu J = 3⁻, 5⁻ oraz o parzystym momencie pędu J = 2⁻, 4⁻. Oczywiście istnieje możliwość rozszerzenia opi-sanych modeli.

Używane stany do opisania jądra atomowego są określone w 12-sto lub 9-cio wymiarowej przestrzeni kolektywnej. Niestety, nawet przy obecnie ist-niejących komputerach, obliczenia w tylu wymiarach wymagają bardzo dużej

ilości czasu procesora oraz wielkiej pamięci operacyjnej. Z tego powodu ob-liczenia były wykonywane w kilku krokach, które są przedstawione w dalszej części podrozdziału.

Pierwszy model (Z) został skonstruowany w celu opisania jąder atomo-wych, które zgodnie ze wcześniejszymi obliczeniami, mogą posiadać symetrię tetraedralną. Z tego powodu w dalszych rozważaniach przyjęto istnienie peł-nego zbioru wewnętrznych zmiennych oktupolowych, z których można zbu-dować powierzchnię jądrową o symetrii T_d. Również wybór jądra atomowego

156Gd opierał się na możliwości istnienia tej symetrii w jego strukturze.

Ze względu na wybór zmiennych wewnętrznych zachowanie jednoznaczno-ści transformacji pomiędzy układem laboratoryjnym i wewnętrznym narzuca grupa symetryzacji O, która wpływa na postać szukanych stanów. Dodat-kowo w modelu tym zostały wprowadzone następujące założenia dotyczące budowy poszczególnych pasm energetycznych:

(i) Pasmo kwadrupolowe o parzystości dodatniej określone jest przez stany, które opisują wibracje wokół powierzchni zapisanej za pomocą zmien-nych rzeczywistych α₂₀ oraz α₂₂. Powierzchnia ta posiadającą syme-trię elipsoidy trójosiowej, tj. odpowiada grupie D₂. Punkty równowagi wokół których następują wibracje określone są za pomocą kwadru-polowych deformacji statycznych ˚α₂₀, ˚α₂₂ i występują w funkcjach ψ^Γ_vib2^1;κ1({α_2ν}), ν = 0, 2. Poza stanem podstawowym 0⁺ opisanym za pomocą funkcji zerofononowej, pozostałe funkcje opisujące część kwa-drupolową 2⁺ i 4⁺ mogą również zawierać wzbudzenia odpowiadające funkcjom jednofononowym zdeformowanego oscylatora harmonicznego.

Przy założeniu, że w paśmie kwadrupolowym wzbudzenia mogą jedynie pochodzić od części zapisanej za pomocą zmiennych α₂₀ i α₂₂ otrzy-mujemy, że funkcje oktupolowe ψ_vib3^(+);Γ2;κ2({α_3ν}) mają postać zerofo-nonowych funkcji zdeformowanego oscylatora harmonicznego. W tej części przyjmujemy zerowe, oktupolowe deformacje statyczne. Zerofo-nonowość funkcji oktupolowej oraz zerowe wartości deformacji statycz-nych powodują, że musi ona należeć do symetrycznej reprezentacji A₁ grupy symetryzacji O.

(ii) Pasmo oktupolowe o parzystości ujemnej, posiada w części oktupolo-wej ψ_vib3^{(−);Γ2;κ2}({α_3ν}), jedną niezerową deformację statyczną ˚α₃₂⁰⁰ . Dla kwadrupolowej funkcji bazowej ψ_vib2^Γ1;κ1(α₂₀, α₂₂) zostały rozważone dwa przypadki: gdy nie ma deformacji statycznej oraz gdy ˚α20, ˚α22 mają wartości różne od zera. W pierwszym przypadku pasmo oktupolowe opisuje wibracje wokół powierzchni jądrowej opisanej przez zmienną

α₃₂⁰⁰ , której odpowiada szukana symetria T_d. W drugim przypadku po-wierzchnia jądrowa oprócz zmiennej α⁰⁰₃₂ opisana jest przez α₂₀ i α₂₂. Wprowadzenie dodatkowych zmiennych redukuje grupę symetrii do D₂. W obu przypadkach funkcje kwadrupolowe są rozwiązaniem zerofono-nowym dla H_vib;2, zatem, gdy nie ma deformacji statycznej funkcja musi należeć do reprezentacji A₁. Gdy pojawiają się niezerowe deformacje statyczne, wówczas funkcje kwadrupolowe mogą należeć do innej re-prezentacji niż skalarna. Dla konstrukcji funkcji oktupolowej używamy jednofononowego rozwiązania hamiltonianu H_vib;3, co daje kilka możli-wości wyboru reprezentacji grupy symetryzacji O.

Wykorzystane w konstrukcji wartości kwadrupolowych deformacji sta-tycznych przyjęte są zgodnie z oszacowaniami mikroskopowymi: ˚α₂₀= 0, 34,

˚

α22 = 10⁻⁵, [76]. Nie są więc one wolnymi parametrami modeli. Wartości pozostałych parametrów uzyskane są za pomocą metody najmniejszych kwa-dratów, tak aby otrzymane stany najlepiej odtwarzały wartości eksperymen-talne [5, 6].

W efekcie analizujemy jedynie tylko serię stanów przedstawionych na po-niższym rysunku:

Rysunek 2: Stany dla modelu o zmiennych zespolonych (Z)

Model o zmiennych zespolonych (Z) jest konstruowany w trzech krokach.

Pierwszy polega na znalezieniu postaci funkcji bazowych oraz wszystkich możliwych kombinacji stanów dla wybranych trzech pasm energetycznych.

Część ta opiera się głównie na własnościach algebraicznych wektorów bazo-wych. W celu otrzymania jawnej postaci funkcji bazowych napisane zostały odpowiednie programy w Mathematice.

Druga część konstrukcji dotyczy wyliczenia parametrów opisujących po-wyższe funkcje. Znalezienie ich wartości było możliwe dzięki programowi na-pisanemu w Fortranie przez A. Dobrowolskiego. Program ten korzystał z procedury najmniejszych kwadratów i dopasował wyliczone B(E2) do da-nych eksperymentalda-nych.

W trzecim etapie konstrukcji omawianego modelu zostały przeprowa-dzone obliczenia zredukowanych przejść międzypasmowych B(E1) przy ko-rzystaniu ze skonstruowanych wcześniej stanów.

W drugim modelu (R), ze względu na to, że większość obliczeń mikro-skopowych ogranicza się jedynie do rzeczywistych wartości zmiennych α_λµ, zarówno zmienne kwadrupolowe jaki i oktupolowe są rzeczywiste. Taki wy-bór zmiennych powoduje zmianę grupy symetryzacji na D_4;y, co wpłynęło również na postać rozważanych stanów.

W tym modelu analiza prowadzi do następującej struktury wybranych pasm energetycznych:

(i) Pasmo kwadrupolowe, składające się ze stanów 0⁺, 2⁺, 4⁺, posiada niezerowe kwadrupolowe deformacje statyczne identyczne jak w mo-delu wcześniejszym (Z). Oznacza to, że wibracje opisywane przez to pasmo, podobnie jak poprzednio, zachodzą wokół powierzchni jądro-wej opisanej przez symetrię D₂. Funkcje opisujące stany z tego pasma również mogą mieć co najwyżej wzbudzenie jednofononowe w części kwadrupolowej. Takie założenie zawęża wybór reprezentacji opisują-cych oktupolową część wibracyjną do A₁ grupy symetryzacji D_4;y. (ii) Dwa pasma oktupolowe składają się odpowiednio z nieparzystych 3⁻, 5⁻

oraz parzystych momentów pędu 2⁻, 4⁻. Dla tych pasm oprócz statycz-nych deformacji kwadrupolowych mogą potencjalnie istnieć niezerowe statyczne deformacje oktupolowe ˚α⁰₃₀, ˚α⁰₃₁, ˚α⁰₃₂, ˚α⁰₃₃. Odpowiada to powierzchni jądrowej opisanej przez rzeczywiste zmienne α₂₀, α₂₂, α₃₀, α₃₁⁰ , α⁰₃₂, α⁰₃₃ posiadającej symetrię opisaną przez grupę C_s;y. W przy-padku statycznych deformacji oktupolowych ich wartości znajdowane są metodą najmniejszych kwadratów. Dokładniejszy opis ich otrzymy-wania przedstawiony jest w dalszej części.

Analizowana sytuacja przedstawiona jest graficznie na poniższym rysunku:

˚

Rysunek 3: Stany dla modelu o zmiennych rzeczywistych (R)

Model o zmiennych rzeczywistych (R) również został skonstruowany w trzech krokach. W pierwszym zostały znalezione parametry opisujące stany pasma kwadrupolowego i oktupolowego o nieparzystym momencie pędu, które najlepiej odtwarzały przejścia wewnątrzpasmowe. W drugim kroku zostały wybrane takie pasma, które dodatkowo odtwarzały dość dobrze przejścia mię-dzypasmowe. W trzecim etapie zostało skonstruowane pasmo oktupolowe o parzystym momencie pędu.

W każdym z trzech etapów do wszystkich obliczeń zostały wykorzystane moje programy napisane w Mathematice.

Elementy przedstawionych grup znajdują się w dodatku A.