Zredukowane prawdopodobieństwa przejść elektro- elektro-magnetycznych

Dalszym etapem próby znalezienia opisu ¹⁵⁶Gd korzystając tylko z własno-ści algebraicznych stanów, jest obliczenie zredukowanych prawdopodobieństw przejść elektromagnetycznych wewnętrz i międzypasmowych. Opierając się

jedynie na pojęciu iloczynu Kroneckera dla każdego z omawianych modeli, można uzyskać dużą liczbę schematów, które mogłyby opisywać wybrany fragment widma ¹⁵⁶Gd. Okazało się jednak, że nie wszystkie są w stanie od-tworzyć wartości przejść elektrycznych uzyskanych w eksperymentach [5] i [6].

Do obliczeń potrzebne są operatory multipolowe ˆQ^lab_λµ, które jednocześnie są tensorami sferycznymi rzędu λ, tzn. przenoszą moment pędu λ o różnych wartościach rzutu momentu pędu µ na oś kwantowania OZ. W ogólności tensory sferyczne w układzie laboratoryjnym można zdefiniować na dwa spo-soby:

1. Wprowadzając odpowiednie komutatory momentu pędu i zbiór okre-ślonych operatorów, [21, 49, 75]:

Definicja 3 (Tensor sferyczny). Sferycznym (nieredukowalnym) ten-sorem ˆT_λ^lab rzędu λ, gdzie λ = n lub λ = ⁿ₂ dla n ∈ Z, nazywamy zbiór 2λ+1 liniowych operatorów ˆT_λµ^lab, µ = −λ, −λ+1, · · · , λ−1, λ odwzoro-wujących przestrzeń Hilberta na siebie oraz spełniających następujące związki komutacyjne ze sferycznymi laboratoryjnymi składowymi ope-ratora momentu pędu ˆJ_ν^lab, ν = 0, ±1:

[ ˆJ_±1^labTˆ_λµ^lab] = ∓^√1₂e^±iδpλ(λ + 1) − µ(µ ± 1) ˆT_λµ±1^lab , (295a) [ ˆJ₀^labTˆ_λµ^lab] = µ ˆT_λµ^lab. (295b) Występująca w definicji δ ∈ R oznacza dowolną fazę.

2. Częściej można spotkać inną definicję sferycznego tensora, która określa transformację jego składowych względem działanie grupy obrotów, [8, 21, 49, 74, 75]:

Definicja 4 (Tensor sferyczny). Zbiór operatorów ˆT_λµ^lab, µ = −λ, −λ + 1, · · · , λ − 1, λ tworzy tensor symetryczny jeśli pod działaniem grupy obrotów SO(3) przekształca się zgodnie z równaniem

R(Ω) ˆT_λµ^labR⁻¹(Ω) =X

µ⁰

D_µ^λ0_µ(Ω) ˆT_λµ^lab0. (296)

Zgodnie ze wzorem (296) z definicji 4 związek pomiędzy składowymi ope-ratora multipolowego w układzie laboratoryjnym ˆQ^lab_λµ i wewnętrznym ˆQλµ

jest, następujący, [54]:

Qˆ_λµ(α_λµ) = R(Ω) ˆQ^lab_λµR⁻¹(Ω) =X

µ⁰

D_µ^λ0µ(Ω) ˆQ^lab_λµ0(α_λµ^lab), (297)

gdzie α_λµ, Ω są zmiennymi wewnętrznymi.

Zredukowane prawdopodobieństwo przejść elektrycznych B(Eλ) przy emi-sji lub absorpcji fotonu o momencie pędu λ, pomiędzy stanem początkowym o momencie pędu J₁ i rzucie M₁ a stanem końcowym o momencie pędu J₂ i wszystkich możliwych dla tego stanu rzutach, opisane jest za pomocą wzoru, [55, 74]:

B(Eλ; J₁ → J₂) = X

M2,µ

|hJ₂M₂| ˆQ^lab_λµ|J₁M₁i|². (298) Sumowanie po wszystkich możliwych stanach końcowych wynika z braku możliwości eksperymentalnych, które wymagałyby kontrolowania polaryza-cji zarówno stanów jądrowych jak i fotonów. Element macierzowy dowolnego sferycznego tensora ˆT_λ^lab, a zatem operatora multipolowego ˆQ^lab_λ , można rozło-żyć na dwa czynniki: opisujący geometrię lub własności symetryczne układu oraz przedstawiający część fizyczną [8, 21, 53, 75]:

Twierdzenie 1 (Wigner-Eckart). Każdy element macierzowy sferycznego operatora w bazie momentu pędu hJ⁰M⁰| ˆT_λν^lab|JM i jest iloczynem dwóch czyn-ników zależnego jedynie od momentu pędu i własności stanów układu oraz niezależnego od rzutu momentu pędu:

hJ⁰M⁰| ˆT_λµ^lab|JM i = JM λµ|J⁰M⁰
hJ⁰|| ˆT_λ^lab||Ji. (299) Pierwszy czynnik opisany jet przez współczynniki Clebscha-Gordana, ([49, 75, 8]), i określa własności geometryczne, drugi przez zredukowany element macierzowy przedstawiający część fizyczną.

Dowód twierdzenia 1 można znaleźć między innymi w [21, 75].

Korzystając z twierdzenia Wignera-Eckarta wzór na zredukowane praw-dopodobieństwo przejść (298) można przedstawić następująco, [8, 21, 55, 75]:

B(Eλ; J1 → J2) = |hJ₂|| ˆQ^lab_λ ||J₁i|²

√2J₁+ 1 . (300)

Do obliczeń wartości zredukowanego prawdopodobieństwa przejść, dla dwóch omawianych modeli kolektywnych, zostały wykorzystane programy napisane przeze mnie w Mathematice.

W tym celu potrzebne były wyprowadzenia wzorów użytych do znalezie-nia odpowiedniej wartości B(Eλ; J₁ → J₂), λ = 1, 2 dla funkcji opisujących stany każdego z modeli (dodatek H).

Znajomość przynależności stanu początkowego ψ = ψ_vib2^Γ1 ψ_vib3^Γ2 R^{J M}_Γ3 , koń-cowego ψ⁰ = ψ

0Γ⁰₁ vib2ψ

0Γ⁰₂

vib3R⁰_Γ^J0^0M0

3 oraz operatora ˆQ_λµ do reprezentacji grupy sy-metryzacji Gs pozwala szybko ustalić możliwe przejścia wzbronione.

Dodatkowo poza tak wyznaczonymi przejściami wzbronionymi mogą ist-nieć również stany dla których mimo, że jest spełniona zależność Γ×Γ^Q ⊃ Γ⁰, gdzie Γ, Γ^Q, Γ⁰oznaczają nieprzywiedlne reprezentacje grupy G_sodpowiednio dla stanu początkowego ψ, operatora multipolowego ˆQ_λµ oraz stanu końco-wego ψ⁰. W takim przypadku zerowanie się zredukowanego prawdopodobień-stwa przejść B(E2; J → J⁰) wynika z budowy stanów, które po obliczeniu i zsumowaniu elementów macierzowych dają wartość zerową.

Wiadomo, że w układzie laboratoryjnym zredukowane prawdopodobień-stwo jest proporcjonalne do elementów macierzowych operatora ˆQ^lab_λµ. Prze-kształcając wzór (297) tak, aby otrzymać odwrotny związek, tj. przedstawie-nie operatora ˆQ^lab_λµ za pomocą zmiennych wewnętrznych ˆQ_λµ mamy zależność od sprzężonych funkcji Wignera, [54]:

Qˆ^lab_λµ =

λ

X

µ⁰=−λ

Qˆ_λµ⁰D_µµ^{λ ∗0}(Ω). (301)

Znając powyższą transformację do układu wewnętrznego można obliczyć element macierzowy hψ⁰|Pλ

µ⁰=−λD^λ∗_µµ0(Ω) ˆQ_λµ⁰|ψi. Operator ˆQ_λµ wchodzi w skład elementu macierzowego obliczonego w układzie wewnętrznym, o prze-noszonym momencie pędu λ, dla funkcji początkowej ψ = ψ_vib2^Γ1 ψ_vib3^Γ2 R^{J M}_Γ3

gdzie ogólna postać operatora multipolowego w układzie wewnętrznym jest dana wzorem [52]: W zależności od budowy składowych operatora multipolowego oraz od wyboru grupy symetryzacji G_s = O, D_4;y, podane powyżej wzory będą się różniły.

Dokładna postać otrzymanych składowych operatorów multipolowych dla λ = 1, 2 oraz rozkład ich na części należące do odpowiednich reprezentacji przedstawiony jest w dodatku G.

Ze względu na różną budowę w zmiennych kwadrupolowych i oktupo-lowych operatorów ˆQ_1µ i ˆQ_2ν zostały wprowadzone różne sposoby ich roz-kładu na podprzestrzenie niezmiennicze względem grupy symetryzacji G_s= O, D_4;y.

Operator dipolowy ˆQ_1µ. W przypadku tego operatora można sprawdzić jak rozkłada się on na reprezentacje grupy wewnętrznej rzutując jego pełną postać opisaną zgodnie ze wzorem (303). Niestety informacja ta nie wystarcza do znalezienia reguł wyboru korzystając tylko z iloczynów Kroneckera. Wynika to z jego postaci, która składa się z kombinacji liniowych iloczynów zmiennej kwadrupolowej i oktupolowej (dodatek G), co można ogólnie zapisać:

Qˆ_1µ = X

µ2,µ3

c^µ_1µ^2µ3α_2µ2α_3µ3, (304)

gdzie c^µ_1µ^2µ3 oznaczają wpółczynniki stojące przy poszczególnych iloczy-nach zmiennych α_2µ2α_3µ3. Ponieważ nie uwzględniamy deformacji dipo-lowej α1µ, zatem w operatorze dipolowym nie występuje człon liniowy pojawiający się we wzorze (303).

Zatem rozkładamy operator dipolowy ˆQ_1µ na tensory względem grupy symetryzacji G_s = O, D_4;y zgodnie z łańcuchem grupowym G_s ⊂ Gα2 × Gα3 × SO(3)_Ω.

Każdą ze zmiennych kwadrupolowych α_2µ2 i oktupolowych α_3µ3 można rozłożyć odpowiednio na reprezentacje grupy G_α2 = O, D_4;y oraz G_α3 = O, D_4;y, co przedstawiamy w postaci:

gdzie Γ są reprezentacjami grupy G_s, na które rozkłada się zmienna α_λµ, a a_Γ numerują wektory bazowe reprezentacji Γ.

Poniżej przedstawiony jest rozkład na reprezentacje grupy symetryzacji operatora ˆQ_1µ.

W modelu (Z) korzystając ze wzorów (304-305) oraz z rozkładu na reprezentacje zmiennych α_2µ2, α_3µ3 (dodatek G) mamy:

Qˆ_1µ=P

Zatem część opisana zmiennymi kwadrupolowymi należy do re-prezentacji dwuwymiarowej E, a oktupolowa rozkłada się na dwie reprezentacje trójwymiarowe T₁ i T₂.

W modelu (R) analogicznie jak dla modelu (Z) ˆQ₁₀, ˆQ_1±1 można rozłożyć zgodnie ze wzorami (304-305):

Qˆ_1µ =P

µ2,µ3c^µ_1µ^2µ3n

α^A_2µ¹₂ + α^B_2µ¹₂o

× α^E_3µ3, (307) µ = 0, ±1,

gdzie część kwadrupolowa rozkłada się na dwie reprezentacje jed-nowymiarowe A₁ i B₁, a część oktupolowa należy do reprezentacji dwuwymiarowej E.

Przynależność poszczególnych zmiennych wibracyjnych do odpowied-nich reprezentacji grup wewnętrznych jest przedstawiona w dodatku G.

Korzystając ze wzorów (788-795) można elementy macierzowe opera-tora ˆQ^lab_1µ pomiędzy funkcjami ψ = ψ_vib2^Γ1 ψ^Γ_vib3² R^{J M}_Γ

Powyższy wzór został użyty do znalezienia reguł wyboru dla przejść międzypasmowych przedstawionych w dalszej części pracy.

Operator kwadrupolowy ˆQ_2µ. Dla grup wewnętrznychO, D_4;yoraz zmien-nych kwadrupolowych i oktupolowych otrzymujemy ogólną postać ope-ratora przejść kwadrupolowych (dodatek G):

Qˆ2µ⁰ = c2µ⁰α2µ⁰ + X W tym przypadku wygodniej jest podzielić operator (309) na dwa człony: człon zależny jedynie od zmiennych kwadrupolowych oraz człon opisany przez zmienne oktupolowe oznaczone jako:

Qˆ^kw_2µ0 = c_2µ⁰α_2µ⁰ +P

Do każdego z podanych członów używamy operatora rzutowania uzy-skując w ten sposób rozkład na reprezentacje części operatora opisa-nego tylko przez zmienne kwadrupolowe ˆQ^kw_2µ0 oraz oktupolowe ˆQ^ok_2µ0. Otrzymane rozkłady możemy ogólnie zapisać następująco:

Qˆ^kw_2µ0 =P

Γ⁽²⁾Qˆ^Γ_2µ⁽²⁾0 ^kw, Qˆ^ok_2µ0 =P

Γ⁽³⁾Qˆ^Γ_2µ⁽³⁾0 ^ok, (311) gdzie Γ⁽²⁾ jest reprezentacją względem, której transformuje się część operatora ˆQ_2µ⁰ zapisana w zmiennych kwadrupolowych, a Γ⁽³⁾w zmien-nych oktupolowych.

W zależności od wyboru grupy symetryzacji otrzymujemy następujące rozkłady operatora kwadrupolowego na reprezentacje:

W modelu o zmiennych zespolonych (Z), z grupą symetryzacji O, Qˆ_2µ ma rozkład:

(a) Dla ˆQ₂₀niezerowy rzut istnieje jedynie dla reprezentacji dwu-wymiarowej E:

Qˆ₂₀= ˆQ^{E kw}₂₀ + ˆQ^{E ok}₂₀ . (312) (b) Dla ˆQ_2±2 mamy oprócz reprezentacji dwuwymiarowej E

rów-nież jedną trójwymiarową T2:

Qˆ22= ˆQ^{E kw}₂₂ + ˆQ^{E ok}₂₂ + ˆQ^T₂₂^2ok, (313) Qˆ₂₋₂= ˆQ^{E kw}₂₋₂ + ˆQ^{E ok}₂₋₂ + ˆQ^T₂₋₂^2ok. (314) Część opisana przez zmienne kwadrupolowe należy do repre-zentacji dwuwymiarowej E, zaś część określona przez zmienne oktupolowe rozkłada się na dwa składniki, z których pierwszy należy do reprezentacji E a drugi do reprezentacji trójwymia-rowej T2.

(c) Dla ˆQ2±1 występuje jedynie reprezentacja trójwymiarowa T2: Qˆ₂₁ = ˆQ^T₂₁^2ok, (315) Qˆ₂₋₁= ˆQ^T₂₋₁^2ok. (316) W tym przypadku jedynymi zmiennymi opisującymi ˆQ_2±1 są zmienne oktupolowe i całość należy do jednej reprezentacji.

W modelu o rzeczywistych zmiennych (R) z grupą symetryzacji D_4;y mamy:

(a) Dla ˆQ₂₀ otrzymujemy następujący rozkład na reprezentacje:

Qˆ₂₀= ˆQ^A₂₀^1kw+ ˆQ^B₂₀^1kw+ ˆQ^A₂₀^1ok+ ˆQ^B₂₀^1ok. (317) Zarówno część opisana przez zmienne kwadrupolowe jak i oktupolowe rozkłada się na dwa człony, które należą do re-prezentacji jednowymiarowych A₁ i B₁.

(b) Dla ˆQ_2±2 mamy rozkład:

Qˆ_2±2= ˆQ^A_2±2^1kw+ ˆQ^B_2±2^1kw+ ˆQ^A_2±2^1ok+ ˆQ^B_2±2^1ok. (318) Jak widać ten rozkład na reprezentacje jest identyczny jak dla Qˆ₂₀.

(c) Dla ˆQ_2±1 mamy:

Qˆ_2±1= ˆQ^B_2±2^2ok. (319) W tym przypadku jedynymi zmiennymi tworzącymi ten ope-rator są zmienne oktupolowe, które dają jedną reprezentację jednowymiarową B₂.

Korzystając z powyższych wyników otrzymujemy, że ogólna postać ele-mentów macierzowych dla operatora kwadrupolowego ˆQ^lab_2µ jest nastę-pująca:

hψ⁰| ˆQ^lab_2µ|ψi = P2

µ⁰=−2

nhψ_vib2^0Γ01 |P

Γ⁽²⁾Qˆ^Γ_2µ^(2)kw|ψ^Γ_vib2¹ ihψ⁰_vib3^Γ02 |ψ^Γ_vib3² i +hψ_vib2^0Γ01 |ψ_vib2^Γ1 ihψ_vib3^0Γ02|P

Γ⁽³⁾Qˆ^Γ_2µ^(3)ok|ψ_vib3^Γ2 io

×hR^J_Γ⁰0^M0

3 |D²_µµ0(Ω)^∗|R^{J M}_Γ3 .i (320) Powyższa postać elementów macierzowych dla operatora kwadrupolo-wego użyta jest do wyznaczenia reguł wyboru dla przejść wewnątrzpa-smowych.

Otrzymane wyniki dotyczą postaci operatora kwadrupolowego i dipolo-wego opisanego za pomocą zmiennych wewnętrznych. Ponieważ celem jest ob-liczenie wartości zredukowanych prawdopodobieństw przejść elektromagne-tycznych, które zostały wyznaczone eksperymentalnie w układzie laborato-ryjnym, zatem zgodnie ze wzorem (302) przedstawione operatory pomnożone są jeszcze przez sprzężone funkcje Wignera. Ta część jest odpowiedzialna za ruch rotacyjny. Chcąc mieć pełną analizę pod względem algebraicznym trzeba

również sprawdzić jak zachowuje się rotacyjny element macierzowy. W tym celu trzeba znaleźć rozkład sprzężonych funkcji Wignera na reprezentacje grupy symetryzacji.

Reprezentacje otrzymane dla sprzężonych funkcji Wignera występujących w (300) są następujące:

W modelu (Z):

(i) dla przejść wewnątrzpasmowych mamy:

(a) dla funkcji D_µ±2² (Ω)^∗ otrzymujemy rozkład na dwie reprezen-tacje: dwuwymiarową E oraz trójwymiarową T₂,

(b) funkcja D_µ±1² (Ω)^∗ należy do jednej z reprezentacji trójwymia-rową T2,

(c) funkcja D²_µ0(Ω)^∗ należy do reprezentacji dwuwymiarowej E, (ii) dla przejść międzypasmowych i funkcji D¹_µµ0(Ω)^∗, dla µ, µ⁰ =

0, ±1, mamy tylko jedną reprezentację trójwymiarową T₁. W modelu (R):

(i) dla przejść wewnątrzpasmowych mamy:

(a) dla funkcji D²_µ±2(Ω)^∗ otrzymujemy rozkład na trzy reprezen-tacje: dwuwymiarową E oraz dwie jednowymiarowe A1, B1, (b) funkcja D_µ±1² (Ω)^∗ należy do jednej z reprezentacji

jednowy-miarowej B₂ oraz dwuwymiarowej E,

(c) funkcja D_µ0² (Ω)^∗ należy do dwóch reprezentacji jednowymia-rowych A₁, B₁,

(ii) dla przejść międzypasmowych mamy:

(a) dla funkcji D¹_µ±1(Ω)^∗ mamy rozkład na reprezentacje jedno-wymiarową A₂ oraz dwuwymiarową E,

(b) dla funkcji D¹_µ0(Ω)^∗ mamy rozkład na reprezentację dwuwy-miarową E.

W dalszej części przedstawiona jest analiza elementów macierzowych uży-tych do obliczeń zredukowanego prawdopodobieństwa B(E1) i B(E2). Jak zostało to wcześniej wspomniane, będzie się ona opierać na własnościach algebraicznych operatorów multipolowych. Celem jest określenie reguł wy-boru dla przejść elektromagnetycznych bez wyliczania wartości zredukowa-nego prawdopodobieństwa.

Przejść wzbronionych może być o wiele więcej niż te, które zostały zna-lezione na podstawie iloczynów Kroneckera dla reprezentacji. Stany takie

pojawiły się zarówno dla grupy O jaki dla D₄, ale są tutaj pomijane. Dla nich zerowanie się B(E1) i B(E2) wynika z sumowania się elementów macie-rzowych i ciężko jest przewidzieć ich pojawienie się.

Jeśli wiadomo z danych eksperymentalnych, że zredukowane prawdopo-dobieństwa są różne od zera, wówczas korzystając z tej metody można szybko wyeliminować stany, które dają przejścia wzbronione. W przypadku, gdy wia-domo jakie przejścia są wzbronione i są charakterystyczne dla danego jądra atomowego, wówczas można szukać takich stanów dla których nie zachodzi (182).

Korzystając z informacji przedstawionych we wcześniejszym podrozdziale można określić, które stany trzeba brać pod uwagę podczas budowy schema-tów opisujących pasma energetyczne jądra atomowego. W naszym przypadku próba odtworzenia tych pasm dotyczy ¹⁵⁶Gd, dla którego wiadomo, że dla najniższych stanów pasm energetycznych o momencie pędu i parzystości:

0⁺, 2⁺, 4⁺ oraz 3⁻, 5⁻, 2⁻, 4⁻, wartości B(E1) i B(E2) są niezerowe.

6.3.1 Międzypasmowe przejścia dipolowe

W zależności od wyboru modelu oraz korzystając ze wzoru (308) otrzymu-jemy następujące postacie elementów macierzowych:

Dla modelu (Z) postać elementu macierzowego operatora ˆQ^lab_1µ w układzie wewnętrznym jest następująca:

hψ⁰| ˆQ^lab_1µ|ψi =P1

µ⁰=−1hψ⁰|D_µµ¹ 0(Ω)^∗Qˆ_1µ⁰|ψi

=P1

µ⁰=−1hψ⁰_vib2^Γ01 |α^E_2µ

2|ψ^Γ_vib2¹ in

hψ_vib3^0Γ02 |α^T_3µ¹₃|ψ_vib3^Γ2 i + hψ⁰_vib3^Γ02 |α_3µ^T2₃|ψ^Γ_vib3² io

×hR^J_Γ⁰0^M0

3 |(D¹_µµ0(Ω)^∗)T1|R^{J M}_Γ3 i. (321) Korzystając z tabel przedstawiających możliwe stany dla modelu (Z)⁶ oraz z postaci elementów macierzowych (321), znajdujemy trzy roz-łączne sytuacje pojawienia się przejścia wzbronionego. Jest to przypa-dek, gdy zeruje się jedna z trzech części:

(a) Element macierzowy opisany przez zmienne kwadrupolowe:

hψ_vib2^0Γ01 |α^E_2µ

2|ψ_vib2^Γ1 i = 0. (322) W tym przypadku kwadrupolowe funkcje bazowe dla początko-wych stanów z pasma oktupolowego 3⁻, 5⁻ i 4⁻ należą do jednej

6Ze względu, na to że mamy dwa modele o zmiennych zespolonych przedstawiona ana-liza jest przeprowadzona dla przypadku zawierającego większą liczbę możliwych stanów.

z reprezentacji A₁, A₂, E. Iloczyn Kroneckera reprezentacji A₁, A₂ i E oraz dwuwymiarowej reprezentacji E rozkłada się nastę-pująco, [9, 10]:

A1× E = E, (323)

A₂× E = E, (324)

E × E = A₁+ A₂+ E. (325) Zatem w zależności od wyboru stanu 4⁺ otrzymujemy:

Dla A1A1A1 element macierzowy (322) może być różny od zera, gdy iloczyn Kroneckera Γ₁× E zawiera Γ⁰₁ = A₁⁷. Dotyczy to jedynie przypadku (325), czyli gdy kwadrupolowa funkcja ba-zowa stanu początkowego należy do reprezentacji E. Zatem wzbronione są przejścia B(E1 : 5⁻→ 4⁺), B(E1 : 3⁻→ 4⁺) i B(E1 : 4⁻ → 4⁺), gdy stany 5⁻, 3⁻, 4⁻ zbudowane są z kwa-drupolowej funkcji bazowej nie należącej do dwuwymiarowej reprezentacji E, tj.:

5⁻: A₁T₁T₁, A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, A₂T₂T₁, 3⁻: A₁A₂A₂, A₁T₁T₁, A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, A₂T₂T₁, 4⁻: A₁T₁T₁, A₁T₂T₂, A₂A₂A₁, A₂T₁T₂, A₂T₂T₁. (326) W powyższym zapisie stanów, niezależnie od oznaczeń uży-tych dla iloczynów Kroneckera występujących w omawianych elementach macierzowych, interesuje nas tylko informacja do jakich nieprzywiedlnych reprezentacji należą poszczególne funk-cje bazowe, tzn. Γ1Γ2Γ3 oznacza, że kwadrupolowa funkcja ba-zowe należy do reprezentacji Γ₁, oktupolowa funkcja bazowa do Γ₂ a rotacyjna do Γ₃. Podany sposób oznaczania stanów jest wykorzystywany w dalszej części pracy.

Dla EA₁E element macierzowy (322), dla każdego z możliwych stanów może mieć wartość różną od zera. Wynika to z tego, że reprezentacja E opisująca część kwadrupolową stanu koń-cowego 4⁺ występuje w każdym rozkładzie iloczynów Kronec-kera (323)-(325).

Dla przejść B(E1 : 3⁻→ 2⁺) oraz B(E1 : 2⁻ → 2⁺) każdy wybór stanu początkowego i końcowego może dać niezerowe elementy macierzowe (322).

7Metoda otrzymania reguł wyboru przedstawiona jest w rozdziale 5.

(b) Drugi element macierzowy przedstawiony w (321) opisany jest przez zmienne oktupolowe:

hψ_vib3^0Γ02 |α^T_3µ¹₃|ψ_vib3^Γ2 i + hψ⁰_vib3^Γ02 |α^T_3µ²₃|ψ^Γ_vib3² i = 0. (327) W tej sytuacji, aby zaleźć przejścia wzbronione dla operatora di-polowego w części oktupolowej, trzeba rozważyć dwie reprezenta-cje T1 i T2. Ponieważ operator składa się z sumy dwóch elemen-tów, zatem ta część zeruje się, gdy oba składniki mają wartość zero. Jedynymi stanami dla których nie ma przejścia B(E1) są:

dla 5⁻: EA2E, 3⁻: A1A2A2 oraz dla 4⁻: A2A2A1, EA2E. Jest to związane, tak samo jak dla części kwadrupolowej, z iloczynem Kroneckera T₁ × A₂ = T₂ oraz T₂ × A₂ = T₁, który nie zawiera reprezentacji Γ⁰₂ = A1, do której należy funkcja oktupolowa stanu 4⁺, [9, 10].

Dla pozostałych wyborów stanów początkowych oktupolowa funk-cja bazowa należy do reprezentacji T₁ lub T₂. W iloczynie Kro-neckera z reprezentacjami opisującymi elementy macierzowe (327) zawierają one reprezentację A₁ tylko dla jednego z dwóch elemen-tów macierzowych (327). W przypadku, gdy mamy tylko pierwszy składnik (327) wówczas jest on niezerowy dla stanu początkowego należącego do reprezentacji T₁, a gdy mamy tylko drugi element macierzowy dotyczy to stanu początkowego należącego do repre-zentacji T2, [9, 10]:

T₁× T₁ = A₁+ E + T₁+ T₂, (328) T₁× T₂ = A₂+ E + T₁+ T₂, (329) T₂× T₁ = A₂+ E + T₁+ T₂, (330) T₂× T₂ = A₁+ E + T₁+ T₂. (331) Wyniki przedstawione dla części oktupolowej elementów macie-rzowych dotyczą każdego wyboru stanu 4⁺. W obu przypadkach oktupolowa funkcja bazowa należy do tej samej reprezentacji ska-larnej A₁.

Dla przejść B(E1 : 3⁻ → 2⁺) jest identyczna sytuacja jak dla B(E1 : 3⁻ → 4⁺), gdy 4⁺: EA₁E.

W przypadku przejścia B(E1 : 2⁻→ 2⁺) przejście wzbronione jest dla stanu 2⁻: EA₂E.

(c) Element macierzowy opisany przez zmienne rotacyjne:

hR⁰_Γ^J0^0M0

3 |(D¹_µµ0(Ω)^∗)_T1|R^{J M}_Γ

3 i = 0. (332)

Ponieważ każda sprzężona funkcja Wignera D_µµ¹ 0(Ω)^∗, µ, µ⁰ = 0, ±1 należy do reprezentacji trójwymiarowej T₁, zatem nasza ana-liza sprowadza się jedynie do następujących iloczynów Kroneckera, [9, 10]:

T1× A1 = T1, (333)

T₁× A₂ = T₂, (334)

T₁× E = T₁+ T₂, (335) T₁× T₁ = A₁+ E + T₁+ T₂, (336) T₁× T₂ = A₂+ E + T₁+ T₂. (337) Korzystając z (333)-(337) możemu otrzymać następujące przejścia wzbronione:

- dla stanu 4⁺: A₁A₁A₁:

– B(E1 : 5⁻ → 4⁺) może mieć wartość równą zero, dla sta-nów początkowych:

5⁻ : A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, EA₂E, ET₁T₂, ET₂T₂, (338) – B(E1 : 3⁻ → 4⁺) może mieć wartość równą zero, gdy

sta-nami początkowymi są:

3⁻ : A₁A₂A₂, A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, ET₁T₂, ET₂T₂, (339) – podobnie B(E1 : 4⁻ → 4⁺) może mieć wartość równą

zero, dla 4⁻ postaci:

4⁻ : A₂A₂A₁, A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, EA₂E, ET₁T₂, ET₂T₂, (340) - dla stanu 4⁺: EA₁E:

– B(E1 : 5⁻ → 4⁺) może mieć wartość równą zero, gdy:

5⁻ : EA2E, (341)

– B(E1 : 3⁻ → 4⁺) może mieć wartość równą zero, gdy:

3⁻: A₁A₂A₂, (342) – B(E1 : 4⁻ → 4⁺) może mieć wartość równą zero w

przy-padku, gdy:

4⁻ : A₂A₂A₁, EA₂E. (343)

- dla stanu 4⁺: A₁A₁A₁, EA₁E:

– dla B(E1 : 3⁻ → 2⁺) jedynym przejściem wzbronionym jest przypadek, gdy 3⁻ : A1A2A2.

– dla B(E1 : 2⁻ → 2⁺) również mamy tylko jedno przejście wzbronione dla 2⁻ : EA2E.

Jak widać, w przypadku, gdy stanem końcowym jest 4⁺: EA₁E otrzy-mujemy mniej przejść wzbronionych niż dla 4⁺: A1A1A1. Zatem więk-sza liczba schematów, które mogłyby opisać jądro atomowe mające nie-zerowe przejścia międzypasmowe odpowiada wyborowi stanu 4⁺: EA₁E.

Dla modelu (R) elementy macierzowe ˆQ^lab_1µ wchodzące w skład zredukowa-nego prawdopodobieństwa przejść można rozłożyć na następujące sumy dla dowolnego µ: Część rotacyjna będzie zerować B(E1), gdy wszystkie składowe sumy po µ będą miały wartość zero.

Korzystając z iloczynów Kroneckera, [9, 10]:

A1× A1 = A1, (346)

oraz z tabel przedstawiających możliwe stany dla modelu (R) widać, że każdy z elementów macierzowych może mieć wartość różną od zera.

Jedynym wyjątkiem jest hR⁰_Γ^J0^0M0

3 |(D_µ±1¹ (Ω)^∗)_A2|R^{J M}_Γ

3 i. Dla tego elementu macierzowego z (348) otrzymujemy, że końcowa funkcja bazowa w części rotacyjnej powinna należeć do reprezentacji dwuwymiarowej E. W na-szym przypadku w przejściach międzypasmowych pomiędzy pasmami oktupolowymi i kwadrupolowymi mamy w stanie końcowym reprezen-tacje jednowymiarowe. Zatem ten element macierzowy będzie miał war-tość równą zero. Ponieważ oprócz niego istnieje jeszcze jeden człon, który może mieć wartości różne od zera, zatem nie powoduje on zero-wania się całości wyrażenia (345).

Ponieważ każdy ze składników sumy potrzebnej do wyliczenia B(E1) w części rotacyjnej może mieć wartości różne od zera, zatem nie wystę-pują międzypasmowe przejścia wzbronione wynikające z przynależności sprzężonych funkcji Wignera do reprezentacji nieprzywiedlnych.

Oczywiście B(E1) może uzyskać wartość zero z więcej niż jednej części opisującej ruch kolektywny.

Schematy pasm energetycznych posiadające niezerowe warto-ści B(E1). Korzystając z wcześniejszych rozważań można utworzyć na-stępujące modele pasm energetycznych, dla których wartości przejść mogą mieć niezerowe wartości zredukowanych prawdopodobieństw przejść między-pasmowych B(E1). Cały czas trzeba pamiętać, że są to jedynie schematy, które zostały wybrane korzystając tylko z własności algebraicznych stanów.

Otrzymane wyniki mogą dotyczyć dowolnych funkcji bazowych, pod warun-kiem, że należą do odpowiednich reprezentacji grup wewnętrznych O lub D_4;y.

Dla modelu (Z) z grupą symetryzacji O, mamy dwa zbiory schematów pasm energetycznych, podzielonych względem budowy pasma kwadru-polowego:

(i) pierwszy zbiór schematów posiada stany:

(a) pasmo kwadrupolowe

4⁺: A₁A₁A₁,

2⁺: EA₁E, (353)

0⁺: A1A1A1,

(b) pasmo oktupolowe o nieparzystym momencie pędu:

3⁻, 5⁻: ET₁T₁, ET₂T₁, (354) (c) pasmo oktupolowe o parzystym momencie pędu:

2⁻: A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, ET₁T₂, ET₂T₂

4⁻: ET1T1, ET2T1, (355) (ii) drugi zbiór schematów ma postać:

(a) pasmo kwadrupolowe

4⁺: EA₁E,

2⁺: EA₁E, (356)

0⁺: A₁A₁A₁,

(b) pasmo oktupolowe o nieparzystym momencie pędu:

5⁻: A₁T₁T₁, A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, A₂T₂T₁, ET1T1, ET1T2, ET2T1, ET2T2, 3⁻: A₁T₁T₁, A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, A₂T₂T₁,

ET₁T₁, ET₁T₂, ET₂T₁, ET₂T₂,

(357) (c) pasmo oktupolowe o parzystym momencie pędu:

2⁻: A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, ET₁T₂, ET₂T₂ 4⁻: A₁T₁T₁, A₁T₂T₂, A₂T₁T₂, A₂T₂T₁,

ET1T1, ET1T2, ET2T1, ET2T2.

(358) Dla modelu (R) nie ma wzbronionych przejść międzypasmowych wynika-jących z budowy algebraicznej stanów. Schematy pasm energetycznych jakie można utworzyć w tym przypadku z następujących stanów:

(i) pasmo kwadrupolowe:

4⁺: A₁A₁A₁, B₁A₁B₁,

2⁺: A₁A₁A₁, B₁A₁B₁, (359) 0⁺: A₁A₁A₁,

(ii) pasmo oktupolowe o nieparzystym momencie pędu:

5⁻: A₁EE, B₁EE,

3⁻: A₁EE, B₁EE. (360) (361) (iii) pasmo oktupolowe o parzystym momencie pędu:

2⁻: A1EE, B1EE, (362) 4⁻: A₁EE, B₁EE. (363) 6.3.2 Wewnątrzpasmowe przejścia kwadrupolowe

W tej części przedstawione są wyniki dotyczące wzbronionych wewnątrzpa-smowych przejść B(E2). Dalsze obliczenia dotyczą schematów otrzymanych we wcześniejszym podrozdziale, gdzie wartości B(E1) mogą być niezerowe.

Oczywiście można te obliczenia rozszerzyć na wszystkie możliwe stany, które zostały otrzymane dla dwóch grup symetryzacji O i D_4;y. W naszym przy-padku, ze względu na nasz cel, czyli próbę odtworzenia wartości ekspery-mentalnych B(E1) i B(E2) dla ¹⁵⁶Gd, rozważanie wszystkich stanów nie jest potrzebne. Z danych otrzymanych z [5] i [6] wynika, że interesują nas jedynie stany opisujące poszczególne pasma, dla których zredukowane prawdopodo-bieństwo przejść międzypasmowych jest różne od zera.

Podobnie jak dla B(E1), będą wykorzystane odpowiednie iloczyny Kro-neckera, w których występuje nieprzywiedlna reprezentacja, do której należy operator ˆQ_2µ, µ = 0, ±1, ±2.

Ogólna postać elementów macierzowych dla operatora kwadrupolowego Qˆ^lab_2µ jest następująca:

hψ⁰| ˆQ^lab_2µ|ψi = P2

µ⁰=−2

n

hψ_vib2^0Γ01 | ˆQ^kw_2µ0|ψ_vib2^Γ1 ihψ⁰_vib3^Γ02 |ψ^Γ_vib3² i + hψ_vib2^0Γ01 |ψ_vib2^Γ1 ihψ_vib3^0Γ02 | ˆQ^ok_2µ0|ψ_vib3^Γ2 io

×hR^J_Γ⁰0^M0

3 |D²_µµ0(Ω)^∗|R^{J M}_Γ3 i. (364) Analogicznie jak dla przejść międzypasmowych, zostały rozważone osobno trzy części opisujące otrzymane elementy macierzowe w zależności od rodzaju zmiennych wewnętrznych.

W modelu o zmiennych zespolonych (Z) mamy następujący rozkład składowych operatora kwadrupolowego na reprezentacje grupy O:

(a) dla ˆQ₂₀ mamy:

Qˆ20= ˆQ^{E kw}₂₀ + ˆQ^{E ok}₂₀ , (365) (b) dla ˆQ_2±2:

Qˆ_2±2= ˆQ^{E kw}_2±2 + ˆQ^{E ok}_2±2 + ˆQ^T_2±2^2ok, (366) (c) dla ˆQ_2±1:

Qˆ_2±1 = ˆQ^T_2±1^2ok. (367) W omawianym modelu mamy dwa zbiory schematów wynikające z postaci stanu 4⁺: A₁A₁A₁, EA₁E. Do dalszych obliczeń będą potrzebne następujące iloczyny Kroneckera, [2, 9, 10]:

A₁× E = E, (368)

A2× E = E, (369)

E × E = A₁+ A₂+ E, (370)

T₁× E = T₁+ T₂, (371)

T₂× E = T₁+ T₂, (372)

A₁× T₂ = T₂, (373)

T₁× T₂ = A₂+ E + T₁+ T₂, (374) T2 × T2 = A1+ E + T1+ T2. (375) (376) W ten sposób otrzymujemy:

Dla elementu macierzowego hψ_vib2^0Γ01 | ˆQ^{E kw}_2µ |ψ_vib2^Γ1 i oraz

Dla elementu macierzowego hψ_vib2^0Γ01 | ˆQ^{E kw}_2µ |ψ_vib2^Γ1 i oraz

W dokumencie Teoriogrupowa analiza wybranych dyskretnych grup symetrii wewnętrznych w kwadrupolowo-oktupolowym jądrowym modelu kolektywnym - Biblioteka UMCS (Stron 108-129)