0, gdy x0(t) ≥ 0,
x0(t) , gdy x0(t) < 0.
Skoro x0∈ H01(0, 1), to równie˙z x−0 ∈ H10(0, 1). Zauwa˙zmy, ˙ze z definicji funkcji g wynika, ˙ze g (x0(t)) x−0(t) = 0 dla t ∈ [0,1]. Ponadto skoro x · x−= − |x−|2, to z (6.12)mamy
Z 1
0
¯¯˙x−0(t)¯
¯
2dt = 0.
Od razu wida´c, ˙ze x−0= 0, sk ˛ad x0(t) ≥ 0 dla t ∈ (0,1).
Przypu´scmy teraz, ˙ze zagadnienie (6.11) ma rozwi ˛azanie x0 takie, ˙ze dla pewngo t0mamy x0(t0) = 0. Zauwa˙zmy, ˙ze liniowe zagadnienie pocz ˛atkowe
− ¨x(t) = 0, dla t ∈ (0, 1) ,
x(t0) = ˙x(t0) = 0
ma dokładnie jedno rozwi ˛azanie (klasyczne) x0= 0 dla t ∈ R przy dowolnym t0∈ (0, 1). Wtedy oczywi´scie otrzymujemy sprzeczno´s´c z tym, ˙ze x0jest rozwi ˛azaniem nietrywialnym. Czyli x0(t) > 0 dla t ∈ (0,1).
6.4. Inne spojrzenie na bezpo´sredni ˛ a metod ˛e rachunku wariacyjnego
Przypomnijmy, ˙ze rozwa˙zamy jedynie przestrzenie rzeczywiste, st ˛ad te˙z podawane przez nas definicje s ˛a umieszczane jedynie w tym kontek´scie. Podamy pewne zunifikowane podej´scie do badania nieliniowych zagadnie ´n wariacyjnych, dla których istnienie mo˙zna uzyska´c przy wykorzystaniu bezpo´sredniej metody rachunku wariacyjnego. Niech E b˛edzie refleksywn ˛a, rzeczywist ˛a przestrzeni ˛a Banacha.
6. Zagadnienie brzegowe drugiego rz˛edu typu Dirichleta
Definicja 6.4.1. Ograniczon ˛a form ˛a dwuliniow ˛a naE nazywamy funkcjonał a : E × E → R
maj ˛acy nast˛epuj ˛ace własno´sci:
(i) Dwuliniowo´s ´c. Dla dowolnych u, v, w ∈ E, α,β ∈ R zachodzi a¡
αu + βv, w¢ = αa(u, w) + βa(v, w) a¡w,αu + βv¢ = αa(w, u) + βa(w, v)
(ii) Ograniczono´s ´c. Istnieje stała d > 0 taka, ˙ze dla dowolnych u, v ∈ E :
|a (u, v)| ≤ d kukkvk Form˛ea nazywamy symetryczn ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy
a (u, v) = a (v, u) dowolnychu, v ∈ E.
Form˛ea nazywamy dodatni ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy a (u, v) ≥ 0
dowolnychu, v ∈ E.
Form˛e a nazywamy dodatnio okre´slon ˛a wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stała c > 0 taka, ˙ze
a (u, u) ≥ d kuk2 dowolnegou ∈ E.
Twierdzenie 6.4.2. Je˙zeli a : E ×E → R jest ograniczon ˛a form ˛a dwuliniow ˛a, to jest funkcjonałem ci ˛agłym.
Dowód. We´zmy ci ˛agi (un), (vn) zbie˙zne do u0, v0odpowiednio. Wtedy mamy
|a (un, vn) − a (u0, v0)| ≤ |a (un− u0, vn)| + |a (u0, vn− v0)|
≤ d kun− u0k kvnk + d ku0k kvn− v0k → 0.
6. Zagadnienie brzegowe drugiego rz˛edu typu Dirichleta
Twierdzenie 6.4.3. Załó˙zmy, ˙ze a : E×E → R jest dodatnio okre´slon ˛a, symetryczn ˛a ograniczon ˛a form ˛a dwuliniow ˛a orazb : E → R funkcjonałem liniowym i ci ˛agłym.
Wówczas funkcjonał działaniaJ : E → R dany wzorem J (u) =1
2a (u, u) − b (u) jest klasyC1jego pochodna jest postaci:
J0(u) ; h®
E∗,E= a (u0, h) − b (h) dlah ∈ E.
Ponadto,J posiada dokładnie jeden argument minimum u0taki, ˙ze a (u0, h) = b (h) dla h ∈ E.
Dowód. Niech x ∈ E b˛edzie dowolnie ustalonym punktem. Ustalmy kierunek h ∈ E. Tworzymy funkcj˛e pomocnicz ˛a g :R → R dan ˛a wzorem
g (t) =1
2a (x + th, x + th).
Zauwa˙zmy, ˙ze skoro a jest form ˛a dwuliniow ˛a (symetryczn ˛a), to g (t) =1
2a (x, u)2+ ta (x, h) +1
2t2a (h, h) . St ˛ad mamy, ˙ze pochodna Gâteaux funkcjonału J jest postaci:
J0(u) ; h®
E∗,E= a (u, h) − b (h)
dla h ∈ E. Korzystaj ˛ac z uwagi 2.4.8 widzimy, ˙ze pochodna Gâteaux jest odwzorowaniem ci ˛agłym na E. Istotnie, je˙zeli un→ u0oraz khk ≤ 1, to
|a (u − u0, h)| ≤ d kun− u0k khk ≤ d kun− u0k → 0.
Zatem J jest klasy C1.
Funkcjonał J jest koercytywny. Istotnie, mamy skoro forma a jest dodatnio okre´slona oraz b jest funkcjonałem liniowym i ci ˛agłym (czyli b (u) ≤ kbkkuk dla dowolnego u)
J (u) =1
2a (u, u) − b (u) ≥1
2c kuk2− kbk kuk
6. Zagadnienie brzegowe drugiego rz˛edu typu Dirichleta
dla dowolnego u ∈ E. St ˛ad koercytywno´s´c wynika od razu.
Funkcjonał J jest ´sci´sle wypukły, a zatem wypukły. Istotnie, obliczaj ˛ac, skorzystawszy z uprzednio wyznaczonego funkcji pomocniczej g, wariacj˛e drugiego rz˛edu widzimy, ˙ze
J(2)(u; h) = a (h, h) ≥1
2c khk2> 0 dla h 6= 0, h ∈ E.
Podsumowuj ˛ac: funkcjonał J jest ci ˛agły i wypukły a zatem ci ˛agowo słabo półci ˛agły z dołu oraz koercytywny. St ˛ad posiada argument minimum u0, który na podstawie Reguły Fermata spełnia zale˙zno´s´c:
a (u0, h) = b (h) dla h ∈ E.
Skoro J jest ´sci´sle wypukły, to nie istnieje inny ni˙z u0argument minimum.
Przykład 6.4.4. Przykładem dodatnio okre´slonej dwuliniownej symetrycznej formy mo˙ze by´c iloczyn skalarny w rzeczywistej przestrzeni przestrzeni Hilberta H.
Przykład 6.4.5 (Zastosowanie do rozwi ˛azalno´sci równa ´n z ustalon ˛a prawa stron ˛a). Niech E = H10(0, 1). Rozwa˙zmy liniowe zagadnienie Dirichleta
− ¨x(t) = h (t) , dla p.w. t ∈ (0, 1) ,
x(0) = x(1) = 0,
, (6.13)
gdzie h ∈ L2(0, 1) jest pewn ˛a ustalon ˛a funkcj ˛a. Przypomnijmy, ˙ze funkcja h definiuje pewien funkcjonał liniowy i ci ˛agły b : E → R dany wzorem
b (v) = Z 1
0
v (t) h (t) dt.
Połó˙zmy a : H01(0, 1) × H10(0, 1) → R wzorem
a (x, v) = Z 1
0
˙x (t) ˙v (t) dt.
6. Zagadnienie brzegowe drugiego rz˛edu typu Dirichleta
Korzystaj ˛ac z przykładu 6.4.4 wiemy, ˙ze a jest dodatnio okre´slon ˛a symetryczn ˛a form ˛a dwuliniown ˛a. Zauwa˙zmy, ˙ze gdy x ∈ H2(0, 1) ∩ H10(0, 1), to
Z 1
0 ˙x (t) ˙v (t) dt = Z 1
0 (− ¨x(t)) v (t) dt.
St ˛ad obserwacja i˙z argument minimum funkcjonału J okre´slonego w twierdzeniu 6.4.3 jest słabym rozwi ˛azaniem zagadnienia Dirichleta (6.13), czyli
Z 1
0 ˙x (t) ˙v (t) dt = Z 1
0
v (t) h (t) dt
dla v ∈ E. Lemat du Bois Reymonda (lemat 5.4.2) gwarantuje, i˙z ka˙zde słabe rozwi ˛azanie (6.13) jest rozwi ˛azaniem silnym. Powołuj ˛ac si˛e na twiedzenie 6.4.3 wiemy, ˙ze funkcjonał J ma dokładnie jeden argument minimum sk ˛ad wnioskujemy o jednoznacznej rozwi ˛azalno´sci zgadnienia Dirichleta (6.13).
Pozostaje odpowiedzie´c na pytanie, czy mo˙zemy skonstruowa´c podobne abstrakcyjne podej´scie do zagadnie ´n typu (6.1). Poni˙zsze twierdzenie jest jedn ˛a z mo˙zliwych odpowiedzi na to pytanie, aczkolwiek istniej ˛a nieco ogólniejsze i mniej restrykcyjne podej´scia.
Twierdzenie 6.4.6. Załó˙zmy, ˙ze a : E × E → R jest dodatnio okre´slon ˛a, symetryczn ˛a ograniczon ˛a form ˛a dwuliniow ˛a orazb : E → R słabo pólci ˛agłym z góry funkcjonałem klasyC1, takim, ˙ze
(i) istniej ˛a stałeα < c, b,γ ∈ R takie, ˙ze
b (x) ≤1
2αkxk2+ β kxk + γ dla dowolnegox ∈ E;
(ii) funkcjonałb jest wkl˛esły na E.
Wówczas funkcjonał działaniaJ : E → R dany wzorem
J (u) =1
2a (u, u) − b (u) jest klasyC1jego pochodna jest postaci:
J0(u) ; h®
E∗,E= a (u0, h) −b0(u0) ; h®
E∗,E
6. Zagadnienie brzegowe drugiego rz˛edu typu Dirichleta
dlah ∈ E.
Ponadto,J posiada dokładnie jeden argument minimum u0taki, ˙ze a (u0, h) =b0(u0) ; h®
E∗,E dlah ∈ E.
Dowód. Nale˙zy wykaza´c, ˙ze funkcjonał J jest słabo półci ˛agły z dołu i korecytywny, gdy˙z ró˙zniczkowalno´s´c wynika z przyj˛etych zało˙ze ´n. Zastosowanie twierdzenia 5.2.1 pozwoli nam otrzyma´c tez˛e. Skoro funkcjonał u → −b (u) jest słabo ci ˛agowo półci ˛agły z dołu, to z twierdzenia 6.4.3 wiemy, ˙ze t˛e własno´s´c ma funkcjonał J. Zauwa˙zmy, i˙z z twierdzenia 6.4.3 wiemy, ˙ze 12a (u, u) ≥12c kuk2dla dowolnego u ∈ E. St ˛ad z i zało˙zenia (i) mamy, ˙ze u ∈ E zachodzi
J (u) ≥1
2(c − α)kuk2− β kuk − γ,
sk ˛ad widzimy, ˙ze J jest koercytywny. Poniewa˙z J jest słabo ci ˛agowo półci ˛agły z dołu, to posiada argument minimum. Skoro u → a (u, u) jest ´sci´sle wypukły oraz u → −b (u) jest wypukły, to argument minimum istnieje dokładnie jeden. Skorzystawszy raz jeszcze z twierdzenia 6.4.3 i zró˙zniczkowawszy J, otrzymujemy tez˛e.
Przykład 6.4.7 (Zastosowanie do rozwi ˛azalno´sci równa ´n ze zmienn ˛a prawa stron ˛a). Niech E = H10(0, 1). Rozwa˙zmy nieliniowe zagadnienie Dirichleta
− ¨x(t) = f (t, x(t)) + h (t) , dla p.w. t ∈ (0, 1)
x(0) = x(1) = 0,
, (6.14)
gdzie
H6 h ∈ L2(0, 1), h nie jest to˙zasmo´sciowo równe zeru na [0, 1], f : [0, 1] × R → R jest funkcj ˛a L2−Caratheodory’ego; f (t, 0) 6= 0 dla p.w. t ∈ [0, 1] ;
H7 F : [0, 1] × R → R jest funkcj ˛a L1− Caratheodory’ego oraz istniej ˛a funkcjea ∈ L∞(0, 1), kakL∞ < π2, b, c ∈ L1(0, 1) takie, ˙ze dla p.w. t ∈ [0,1] oraz dla ka˙zdego x ∈ R zachodzi
F(t, x) ≤1
2a (t) x2+ b (t) x + c(t)
6. Zagadnienie brzegowe drugiego rz˛edu typu Dirichleta
H8 dla p.w. t ∈ [0,1] funkcja x → f (t, x) jest nierosn ˛aca naR.
Powtarzaj ˛ac rozumowanie prowadz ˛ace do dowodu twierdzenia 6.1.9 wiemy, i˙z zagadnienie Dirichleta (6.14)posiada dokładnie jedno rozwi ˛azanie niezerowe.
Poka˙zemy, ˙ze mo˙zemy zastosowa´c twierdzenie 6.4.6 Z przykładu 6.4.5 wiemy, i˙z wystarczy sprawdzi´c zało˙zenie (i). Kładziemy
b (u) = Z 1
0
F (t, u (t)) dt.
Z dowodu lematu 6.1.7 otrzymujemy, ˙ze
b (u) ≤ 1
2π2a1kuk2H1
0(0,1)+ b1kukH01(0,1)+ c1, gdzie
a1= kakL∞(0,1), b1= Z 1
0 |b (t)| dt, c1= Z1
0
c(t)dt.
Zatem zało˙zenie (i) jest spełnione. Z dowodu lematu 6.1.5 wynika, ˙ze b jest słabo ci ˛agowo ci ˛agły. Skoro x → f (t, x) jest nierosn ˛aca naR, to b jest wkl˛esły.
ROZDZIAŁ
7
Zale ˙zno´s ´c od parametru
Teraz zajmiemy si˛e takimi równaniami ró˙zniczkowymi z warunkami brzegowymi typu Dirichleta, które prócz szukanej funkcji zale˙z ˛a równie˙z od pewnego funkcyjnego parametru. Zagadnienia takie s ˛a istotne w badaniu modeli w których pojawi ˛a si˛e pewne zaburzenia. Sformalizujemy to od strony matematycznej, wprowadzaj ˛ac niezb˛edne uproszczenia. Znane s ˛a z tradycyjnych kursów równa ´n ró˙zniczkowych zwyczajnych wyniki dotycz ˛ace zale˙zno´sci od parametru.
Prezentowane przez nas rezulataty w jakiej´s mierze s ˛a ich daleko id ˛acymi odpowiednikami. Zachowuj ˛a jednak zasadniczy sens zale˙zno´sci od parametru.
Mamy ci ˛ag parametrów zbie˙zny w pewnej przestrzeni funkcyjnej. Wybieramy ci ˛ag rozwi ˛aza ´n równania odpowiadaj ˛acych temu ci ˛agowi parametrów. Interesuje nas pytanie: kiedy granicy ci ˛agu parametrów odpowiada granica ci ˛agu rozwi ˛aza ´n równania.
7.1. Sformułowanie zagadnienia Dirichleta i zało ˙zenia
Niech u ∈ L2(0, 1) b˛edzie ustalon ˛a funkcj ˛a (tzw. parametrem funkcyjnym).
Rozwa˙zamy, podobnie jak poprzednio równie˙z w przestrzeni H01(0, 1), zagadnienie Dirichleta postaci
¨x(t) = f (t, x(t), u(t))
x(0) = x(π) = 0.
(7.1)
7. Zale˙zno´s´c od parametru
Przypominamy, ˙ze funkcja F : [0, 1] × R → R jest zdefiniowana nast˛epuj ˛aco
F (t, x, u) = mamy na my´sli, i˙z równanie jest sprowadzone do postaci słabej, czyli szukamy x ∈ H10(0, 1), takiego, ˙ze
dla dowolnego h ∈ H10(0, 1). Zatem poszukiwanie rozwi ˛aza ´n polega na znalezieniu rozwi ˛azania słabego, a nast˛epnie wykazaniu, i˙z jest ono rozwi ˛azaniem klasycznym rozumianym w tym sensie, i˙z dla ustalnego u ∈ L2(0, 1) funkcja x jest elementem H10(0, 1) takim, ˙ze ˙x : [0, 1] → R jest funkcj ˛a absolutnie ci ˛agł ˛a oraz x spełnia (7.1).
Interesuje nas zale˙zno´s´c rozwi ˛aza ´n od parametru funkcyjnego u, a dokładniej zbadanie nast˛epuj ˛acej zale˙zno´sci:
Dany jest jest ci ˛ag parametrów (un) ⊂ L2(0, 1). Czy istnieje odpowiadaj ˛acy mu ci ˛ag (xn) ⊂ H01(0, 1) rozwi ˛aza ´n zagadnienia Dirichleta (7.1)? Czy je´sli ci ˛ag (un) jest zbie˙zny w L2(0, 1) do pewnego u0, to odpowiadaj ˛acy mu ci ˛ag rozwi ˛aza ´n te˙z jest zbie˙zny (równie˙z w odpowiednim sensie, oraz by´c mo˙ze co do podci ˛agu) do pewnego x0oraz czyx0jest rozwi ˛azaniem odpowiadaj ˛acym elementowiu0?
Przy ustalonym u ∈ L2(0, 1) funkcjonał działania zwi ˛azany z (7.1) jest postaci Ju: H01(0, 1) → R:
Nało˙zymy nast˛epuj ˛ace dodatkowe zało˙zenia:
7. Zale˙zno´s´c od parametru
H10 dla dowolnego r > 0 istnieje funkcja fr∈ H01(0, 1) taka, ˙ze dla dowolnych x ∈ H10(0, 1), u ∈ L2(0, 1), kxkH1
0(0,1)≤ r, kukL2(0,1)≤ r zachodzi
| fr(t, x(t), u(t))| ≤ fr(t) dla p.w.t ∈ [0,1];
H11 dla p.w. t ∈ [0,π] oraz dla ka˙zdego u ∈ R funkcja x → F(t, x, u) jest wypukła naR;
H12 dla ka˙zdego u ∈ L2(0, 1)
F(·,0, u(·)) ∈ L1(0, 1)
Przykładem funkcji F spełniaj ˛acej powy˙zsze zało˙zenia jest F(t, x, u) = f (t)x + x exp¡−u2¢ +G(x)
gdzie f ∈ L1(0, 1), a G :R → R jest wypukła, ró˙zniczkowalna oraz jej pochodna jest ograniczona naR, czyli np.
G (s) = s · arctg s −1
2ln¡s2+ 1¢ . Wtedy G0(s) = arctg s jest rosn ˛aca i ograniczona naR.