Ostatnim z poj˛e´c ró˙zniczkowalno´sci jest poj˛ecie pochodnej Fréchete’a, które tym ró˙zni si˛e od poj˛ecia pochodnej Gâteaux, i˙z gwarantuje ci ˛agło´s´c odzworowania w punkcie, oraz pozwala na pewien rodzaj liniowej aproksymacji wokół punktu ró˙zniczkowalno´sci. Pochodna Gâteaux pozwala jedynie na liniowe aproksymacje po kierunkach.
Definicja 2.4.1 (Pochodna Fréchete’a). Niech X , Y b˛ed ˛a przestrzeniami unormowanymi oraz niech f : X → Y . Powiemy, ˙ze odwzorowanie f jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a w punkciex ∈ X je´sli istnieje operator liniowy i ci ˛agłyf0(x) : X → Y taki, ˙ze
lim
khk→0
k f (x + h) − f (x) − f0(x)hk
khk = 0. (2.6)
Odwzorowanie f jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Fréchete’a, je˙zeli odwzorowanie f0: X 3 x 7→ f0(x) ∈ L (X ,Y ) jest ci ˛agłe wzgl˛edem odpowiednich normowych topologii.
Zauwa˙zmy, i˙z wprowadzenie w przestrzeni X lub Y równowa˙znej normy nie zmieni pochodnej Fréchete’a, tzn. b˛edzie ni ˛a dalej ten sam operator. Odno´snie ró˙zniczkowalno´sci w sensie Fréchete’a mamy jeszcze inne alternatywne podej´scie:
odwzorowanie f0(x) : X → Y , f0(x) ∈ L (X ,Y ), jest pochodna Fréchete’a f w x ∈ X je´sli dla dowolnego h ∈ X zachodzi
f (x + h) − f (x) = f0(x)h + o (h),
2. Ró˙zniczkowanie w przestrzeniach niesko ´nczonego wymiaru
gdzie
lim
khk→0
ko (h)k khk = 0.
Wła´snie powy˙zsza formuła mówi w zasadzie o liniowej aproksymacji odwzorowania w otoczeniu punktu ró˙zniczkowalno´sci. Mo˙zna, podaj ˛ac definicje pochodnej wy˙zszego rz˛edu, wprowadzi´c równie˙z odpowiednik znanego wzoru Taylora. Na gruncie teoretycznym nie sprawia to wi˛ekszych trudno´sci, niemniej jednak stosowalno´s´c takich wyników, ze wzgl˛edu na stopie ´n skomplikowania pochodnych wy˙zszych rz˛edów, nie byłaby (i zreszt ˛a nie jest) trywialna.
Odwzorowanief : X → Y ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a w x ∈ X , jest w tym punkcie ci ˛agłe. Istotnie, wzi ˛awszy ustaloneε > 0, znajdujemy δ > 0 tak ˛a, ˙ze dla khk < δ, h ∈ X , zachodzi
k f (x + h) − f (x)k − k f0(x)hk ≤ kf (x + h) − f (x) − f0(x)hk ≤ εkhk.
St ˛ad
k f (x + h) − f (x)k ≤¡
ε + kf0(x)k¢ khk.
Przechodz ˛ac z khk → 0, otrzymujemy, i˙z f jest ci ˛agłe w x.
Odwzorowanie ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a w pewnym punkcie x jest w tym punkcie ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux i obie pochodne s ˛a to˙zsame. Łatwo to pokaza´c ustalaj ˛ac w (2.6) kierunek h i bior ˛ac w definicji pochodnej Fréchete’a zamiast h element λ · h, gdzie λ > 0. Wtedy mamy (pami˛etaj ˛ac, ˙ze f0(x) jest odwzorowaniem liniowym)
lim
kλhk→0
k f (x + λh) − f (x) − λ f0(x)hk
kλhk = lim
λ→0
k f (x + λh) − f (x) − λ f0(x)hk
λ = 0.
Odwzorowanie f, które jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Gâteaux, jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Fréchete’a, czyli klasy C1. Ci ˛agło´s´c pochodnej Gâteaux rozumiemy nast˛epuj ˛aco:
NiechX , Y b˛ed ˛a przestrzeniami unormowanymi oraz niechf : X → Y . Powiemy,
˙ze odwzorowanie f : X → Y jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Gâteaux na X , je˙zeli jest ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux w ka˙zdym punkcie x ∈ X oraz odwzorowanief0: X → L (X ;Y ) jest ci ˛agłe.
2. Ró˙zniczkowanie w przestrzeniach niesko ´nczonego wymiaru
Głównie z takimi jak powy˙zej odwzorowaniami b˛edziemy mie´c do czynienia.
Ponadto w ten sposób łatwiej sprawdzi´c ró˙zniczkowalno´s´c w sensie Fréchete’a.
Znacznie łatwiej ni˙z szacowa´c zbie˙zno´s´c reszty o (h) . Dokładniej to zagadnienie przeanalizujemy badaj ˛ac dalej problem brzegowy typu Dirichleta.
Przykład 2.4.2. Przykładem odwzorowania, które jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a w x0= 0 ale nie jest tam ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły, jest funkcja
f :R → R dana wzorem
f (x) =
x2, x wymierne,
0, x niewymierne.
Trzeba jeszcze na koniec wspomnie´c o dwóch istotnych zagadnieniach: regule ró˙zniczkowania zło˙zonego oraz twierdzeniu o warto´sci ´sredniej. Odno´snie reguły ró˙zniczkowania obowi ˛azuje nast˛epuj ˛ace prawo, które mo˙zemy wysłowi´c nieformalnie, zanim podamy odpowiednie twierdzenie: mo˙zemy ró˙zniczkowa´c zło˙zenie, je˙zeli odwzorowanie zewn˛etrzne jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a, natomiast odwzorowanie wewn˛etrzne posiada dowoln ˛a inn ˛a z wprowadzonych pochodnych. Wówczas zło˙zenie jest co najmniej tak samo ró˙zniczkowalne, jak odwzorowanie wewn˛etrzne. Poni˙zej sformułowane twierdzenie mo˙zna wypowiedzie´c z łatwo´sci ˛a dla ró˙zniczkowalno´sci w punkcie oraz w przypadku, gdy dziedziny składanych odwzorowa ´n ograniczaj ˛a si˛e do pewnych podzbiorów otwartych rozwa˙zanych przestrzeni. Przestrzenie Banacha mo˙zna równie˙z zast ˛api´c odpowiednio przestrzeni ˛a liniow ˛a przy rozwa˙zaniu istnienia wariacji w sensie Lagrange’a.
Twierdzenie 2.4.3 (Reguła ró˙zniczkowania zło˙zonego). Niech X, Y , Z b˛ed ˛a przestrzeniami Banacha i zało˙zmy, ˙ze odwzorowanief : Y → Z jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a, natomiast odwzorowanieg : X → Y posiada pochodn ˛a Gâteaux lub pochodn ˛a Fréchete’a. Wówczas zło˙zenie f ◦ g jest ró˙zniczkowalne co najmniej w tym samym sensie, co odwzorowanie g. Niech x ∈ X b˛edzie dowolne. Wówczas dla wszystkichh ∈ X zachodzi
( f ◦ g)0(x; h) = f0(g (x)) ◦ g0(x; h) .
2. Ró˙zniczkowanie w przestrzeniach niesko ´nczonego wymiaru
Uwaga 2.4.4. Je˙zeli g jest ró˙zniczkowalne co najmniej w sensie Gâteaux, to powy˙zsz ˛a formuł˛e mo˙zemy zapisa´c formalnie dlax ∈ X
( f ◦ g)0(x) = f0(g (x)) ◦ g0(x) korzystaj ˛ac z liniowo´sci obu pochodnych.
Przykład 2.4.5. Niech X = Y = R2, Z = R oraz ϕ : R2 → R2 niech b˛edzie odwzorowaniem klasy C1danym wzorem
ϕ(x, y) = ¡ϕ1(x, y) ,ϕ2(x, y)¢ = ¡x2, y¢ oraz f :R2→ R jest znan ˛a ju˙z nam funkcj ˛a
f (x, y) =
1, x = y2, y > 0,
0, dla pozostałych,
nieci ˛agł ˛a w (0, 0), ale maj ˛ac ˛a w nim pochodn ˛a Gâteaux. Zło˙zenie g = f ◦ ϕ ma posta´c
g (x, y) = f¡
ϕ1(x, y) ,ϕ2(x, y)¢ =
1, |x| = y > 0,
0, dla pozostałych.
Widzimy, ˙ze g w przeciwie ´nstwie do f nie jest ró˙zniczkowalna w sensie Gâteaux.
Uwaga 2.4.6. Niech H b˛edzie rzeczywist ˛a przestrzeni ˛a Hilberta z iloczynem skalarnym 〈·,·〉. Mo˙zemy teraz wróci´c do przykładu 2.3.2 i rozwa˙zy´c funkcj˛e
f : H → R dan ˛a wzorem
f (x) = 2p
〈x, x〉 = kxk.
Korzystaj ˛ac z wcze´sniej wyprowadzonego wzoru oraz reguły ró˙zniczkowania zło˙zonego mamy, ˙ze f0jest nast˛epuj ˛acej postaci dla x 6= 0H
h 7→ 1
p〈x, x〉〈x, h〉 . Twierdzenie o warto´sci ´sredniej ma nast˛epuj ˛ac ˛a posta´c
2. Ró˙zniczkowanie w przestrzeniach niesko ´nczonego wymiaru
Twierdzenie 2.4.7 (Twiedzenie o warto´sci ´sredniej). Niech X , Y b˛ed ˛a przestrzeniami Banacha i zało˙zmy, ˙ze f : X → Y jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a. Wówczas dla dowolnego przedziału [a, b] ⊂ X zachodzi
k f (b) − f (a)kY≤ sup
ξ∈(a,b)
°
°f0(ξ)°°L(X ;Y )kb − akX.
Nie ma odpowiednika klasycznego Twierdzenia Lagrange’a na przypadek przestrzeni innych ni˙z prosta rzeczywista. Istotnie, bior ˛ac f :R → R2dane wzorem
f (t) = [sin t,−cos t] na przedziale [0,2π] widzimy, ˙ze f (2π) − f (0) = 0 oraz dla dowolnego c ∈ (0,2π) mamy
f0(c) (2π − 0) = [2πcos t,2πsin t] 6= 0.
Brak takiego odpowiednika nie jest przeszkod ˛a w stosowaniu twierdzenia o warto´sci ´sredniej. Liczba c nie jest znana, st ˛ad i tak w oszacowaniach pojawiaj ˛a si˛e najcz˛e´sciej nierówno´sci w postaci omawianej powy˙zej.
Poniewa˙z Reguła Fermata (twierdzenie 2.3.7) dla pochodnych Fréchete’a ma tak ˛a sam ˛a posta´c, jak dla pochodnej Gâteaux, nie b˛edziemy jej wi˛ec przytacza´c.
Zako ´nczymy ten paragraf opisem metody badania ci ˛agło´sci pochodnej Gâteaux.
Uwaga 2.4.8. Niech X, Y b˛ed ˛a przestrzeniami unormowanymi oraz odwzorowanie f : X → Y ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux na X . Odwzorowanie f0: X → L (X ;Y ) jest ci ˛agłe w punkcie x0∈ X (czyli jest ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux w sposób ci ˛agły wx0) je˙zeli dla dowolnego ci ˛agu (xn) takiego, ˙ze xn→ x0zachodzi
f0(xn; h) 7→ f0(x0; h) przy n → ∞
w Y jednostajnie wzgl˛edem h ze sfery jednostkowej w X . Ka˙zde odzworowanie ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Gâteaux jest ró˙zniczowalne w sposób ci ˛agły w sensie Fréchete’a.
2. Ró˙zniczkowanie w przestrzeniach niesko ´nczonego wymiaru
Przykład 2.4.9. Wró´cmy do przykładu 2.3.2. Mo˙zemy teraz uzasadni´c, ˙ze funkcjonał x 7→12〈x, x〉, którego pochoda Gâteaux w dowolnym punkcie jest postaci
h → 〈x, h〉
jest klasy C1, czyli ró˙zniczkowalny w sposób ci ˛agły. We´zmy dowolny ci ˛ag (xn) ⊂ H taki, ˙ze xn→ x0. Z nierówno´sci Schwarza mamy skoro khk = 1
|〈xn− x0, h〉| ≤ kxn− x0k khk ≤ kxn− x0k → 0.
St ˛ad mamy, ˙ze funkcjonał
x 7→1 2〈x, x〉
jest klasy C1.
Przykład 2.4.10. Korzystaj ˛ac z powy˙zszego przykładu łatwo znale´z´c pochodn ˛a funkcjonału
f (x) = kxkp
dla p ≥ 2 okre´slonego na pewnej rzeczywistej przestrzeni Hilberta. Istotnie, wystarczy f zapisa´c nast˛epuj ˛aco:
f (x) = 〈x, x〉p2
i skorzysta´c z reguły ró˙zniczkowania zło˙zonego oraz przykładu 2.3.2. Mamy wtedy dla dowolnych x, h ∈ E
f0(x; h) = 〈x, x〉p2−1〈x, h〉 = kxkp−2〈x, h〉 .
Z powy˙zszej formuły jasno wynika, ˙ze ci ˛agło´s´c pochodnej jest oczywista.
ROZDZIAŁ
3
Zasada Wariacyjna Ekelanda
Zasada wariacyjna Ekelanda jest jednym z kluczowych narz˛edzi współczesnego rachunku wariacyjnego. Mo˙zna w zasadzie powiedzie´c, i˙z jest on na niej zbudowany. Samo sformułowanie jakkolwiek intuicyjnie oczywiste umiejscowione jest w przestrzeni, w której z zasady nie mo˙zna ró˙zniczkowa´c, a mianowicie w przestrzeni metrycznej. Ma to gł˛ebsze znaczenie. Wiadomo, ˙ze domkni˛eta kula w przestrzeni Banacha nie jest podprzestrzeni ˛a liniow ˛a tej przestrzeni, ale przestrzeni ˛a metryczn ˛a ju˙z jest. A jak ju˙z wiemy, argumentu mimimum szukali´smy najcz˛e´sciej albo na kulach (zbiorach ograniczonych po prawdzie, ale to na jedno wychodzi) albo na całej przestrzeni.
3.1. Podstawowe twierdzenie
Sformułowanie zasady wariacyjnej Ekelanda jest nast˛epuj ˛ace:
Twierdzenie 3.1.1 (Zasada wariacyjna Ekelanda). Niech (X, d) b˛edzie zupełn ˛a przestrzeni ˛a metryczn ˛a. Załó˙zmy, ˙zef : X → R∪{+∞} jest funkcjonałem wła´sciwym półci ˛agłym z dołu oraz ograniczonym od dołu. Niechε > 0 i niech uε∈ X b˛edzie elementem takim, ˙ze
f (uε) ≤ inf
u∈Xf (u) + ε.
Wtedy dla dowolnegoδ > 0, istnieje yεtaki, ˙ze (E1) f ( yε) ≤ f (uε),
(E2) d (uε, yε) < δ,
3. Zasada Wariacyjna Ekelanda
(E3) f ( yε) < f (u) +εδd(u, yε) dla wszystkich u ∈ X takich, ˙ze u 6= uε.
Dowód mo˙zna znale´z´c w licznych monografiach i podr˛ecznikach, np. Mawhina [9] lub Yabriego [5]. Bezpo´srednie stosowanie powy˙zszej zasady mo˙ze by´c uci ˛a˙zliwe, ale mamy, w przypadku funkcjonału ró˙zniczkowalnego, a taki nas interesuje, nast˛epuj ˛acy wniosek.
Wniosek 3.1.2. (Zasada wariacyjna Ekelanda dla funkcjonału ró˙zniczkowalnego).
Załó˙zmy, ˙ze funkcjonał f ∈ C1(E,R) jest ograniczony z dołu. Wtedy dla dowolnego ε > 0 oraz u ∈ E takiego, ˙ze
Dowód. W dowodzie wykorzystuje si˛e Zasad ˛e Wariacyjn ˛a Ekelenada (twierdzenie 3.1.1) w sposób nast˛epuj ˛acy. Kładziemyδ =p
ε. St ˛ad od razu mamy,
˙ze istnieje v takie, ˙ze warunki (ER1) oraz (ER2) s ˛a spełnione. Z warunku (E3) mamy korzystaj ˛ac z ró˙zniczkowalno´sci dla dowolnych w ∈ E oraz t > 0
f (v) − f (v + tw) oraz bior ˛ac −w zamiast w równie˙z
f0(v) , w®
Uwzgl˛edniaj ˛ac fakt, ˙ze f0jest odwzorowaniem liniowym i ci ˛agłym mamy
°°f0(v)°
3. Zasada Wariacyjna Ekelanda
Uwaga 3.1.3. W powy˙zszym twierdzeniu o funkcji f wystarczy zało˙zy´c, ˙ze jest ró˙zniczkowalna w sensie Gâteaux (pochodna jest wtedy równie˙z odwzorowaniem liniowym i ci ˛agłym) oraz półci ˛agła z dołu.
Uwaga 3.1.4. Powy˙zsze twierdzenie dostarcza informacji o zachowaniu si˛e pochodnej funkcjonału f na ci ˛agu minimalizuj ˛acym. Precyzyjniej mówi ˛ac bior ˛ac dowolny ci ˛ag minimalizuj ˛acy (vn) jeste´smy w stanie uzyska´c taki ci ˛ag minimalizuj ˛acy (xn) dla f na D ⊆ E, ˙ze ( f (xn)) jest zbie˙zny do infx∈Df (x), natomiast ci ˛ag ¡ f0(xn)¢ jest zbie˙zny do 0. Ale to nie przes ˛adza w ˙zadnym razie o zbie˙zno´sci ci ˛agu (xn).
Niech nast˛epuj ˛acy przykład posłu˙zy jako swego rodzaju przestroga.
Przykład 3.1.5. Dana jest funkcja
f (x) = exp(x), wtedy (xn) = (−n) oraz
f (xn) → 0 = inf
x∈Rf (x) i f0(xn) → 0.
Przy tym nie istnieje punkt x0taki, ˙ze infx∈Rf (x) = f (x0) .