WPROWADZENIE prowadzenie DO METOD o rachunku wariacyjnego WARIACYJNYCH

(1)

Wprowadzenie

do rachunku wariacyjnego WPROWADZENIE DO METOD

WARIACYJNYCH

Marek Galewski

Politechnika Łódzka

2020

ISBN 978-83-66287-37-2

(2)

W PROWADZENIE

DO M ETOD W ARIACYJNYCH

Marek Galewski

(3)

Recenzent dr hab. Marek Majewski

© Copyright by Politechnika Łódzka 2020

WYDAWNICTWO POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ 90-924 Łódź, ul. Wólczańska 223

tel. 42 631 20 87, 42 631 29 52 e-mail: zamowienia@info.p.lodz.pl

www.wydawnictwo.p.lodz.pl

ISBN 978-83-66287-37-2

https://doi.org/10.34658/9788366287372

DOI 10.34658/9788366287372

(4)

Spis tre´sci

Wst ˛ep 4

1 Twierdzenie Weierstrassa-kamie ´n w ˛egielny optymalizacji 6

1.1 Wprowadzenie . . . 6

1.2 Półci ˛agło´s´c z dołu i twierdzenie Weierstrassa . . . 8

2 Ró ˙zniczkowanie w przestrzeniach niesko ´nczonego wymiaru 15 2.1 Pierwsza wariacja Lagrange’a i reguła Fermata . . . 15

2.2 Pierwsza wariacja a wypukło´s´c . . . 18

2.3 Pochodna Gâteaux . . . 19

2.4 Pochoda Fréchete’a . . . 24

3 Zasada Wariacyjna Ekelanda 30 3.1 Podstawowe twierdzenie . . . 30

3.2 Warunek Palais-Smale’a i Zasada Wariacyjna Ekelanda . . . 32

3.3 Lemat o przeł˛eczy górskiej . . . 35

3.4 Zastosowanie do odwracalno´sci odwzorowa ´n . . . 37

3.5 Zastosowanie twierdzenia o globalnym dyfeomorfizmie . . . 41

3.6 Zastosowania w równaniach algebraicznych . . . 44

4 Jeszcze o wypuło´sci i poj ˛eciach zwi ˛azanych 47 4.1 Wypukło´s´c a argumenty minimum . . . 47

4.2 Wariacja drugiego rz˛edu i istnienie argumentu minimum . . . 53

5 Twierdzenie Weierstrassa w przestrzeniach niesko ´nczenie wymiarowych 56 5.1 O zbie˙zno´sci słabej . . . 57

5.2 Bezpo´srednia metoda rachunku wariacyjnego . . . 62

(5)

Spis tre´sci

5.3 Przestrzenie funkcyjne . . . 66

5.4 Lemat Lagrange’a i du Bois-Reymonda . . . 70

5.5 Minimalizacja klasycznego funkcjonału działania Eulera . . . 73

5.6 Zastosowanie do zada ´n sterowania optymalnego . . . 76

6 Zagadnienie brzegowe drugiego rz ˛edu typu Dirichleta 79 6.1 Zastosowanie bezpo´sredniej metody rachunku wariacyjnego . . . 80

6.2 Zastosowanie twierdzenia o przeł˛eczy górskiej . . . 87

6.3 Rozwi ˛azania dodatnie . . . 93

6.4 Inne spojrzenie na bezpo´sredni ˛a metod˛e rachunku wariacyjnego . . . 95

7 Zale ˙zno´s ´c od parametru 102 7.1 Sformułowanie zagadnienia Dirichleta i zało˙zenia . . . 102

7.2 Rozwi ˛azywalno´s´c zadania Dirichleta przy ustalonym parametrze . . . 104

7.3 Zale˙zno´s´c rozwi ˛azania zagadnienia Dirichlete’a od parametru . . . 108

Uwagi bibliograficzne 111

Bibliografia 112

Index 114

(6)

Wst ˛ep

Przedkładany Czytelnikowi podr˛ecznik w jakiej´s mierze stanowi odzwierciedlenie wykładów z rachunku wariacyjnego (w uj˛eciu optymalizacyjnym), które prowadziłem od roku 2012 w Instytucie Matematyki Politechniki Łódzkiej, najcz˛e´sciej dla studentów wybieraj ˛acych indywidualny progam studiów. Notatki do wykładów istniały ju˙z wcze´sniej w ró˙znej postaci i postanowiłem je poł ˛aczyć w pewn ˛a cało´sć. Mam ´swiadomo´sć, i˙z wprowadzane przeze mnie podej´scie nie jest nowatorskie, ale wyra´zny brak w polskiej literaturze podr˛eczników nowocze´snie ujmuj ˛acych wst˛epne idee rachunku wariacyjnego budzi nadzieje, i˙z niniejsze opracowanie zostanie choćby w ograniczonym zakresie wykorzystane.

Wymagamy od Czytelnika znajomo´sci podstaw analizy funkcjonalej, podstaw rachunku ró˙zniczkowego funkcji jednej i wielu zmiennych oraz elementarnego kursu teorii miary i całki. Niewielk ˛a cz˛e´s´c materiału pomocnicznego zamie´sciłem w tek´scie, ale oczywi´scie nie wszystko. Czytelnik zechce skorzysta´c z zał ˛aczonego spisu bibliograficznego, na którym wzorowałem si˛e pisz ˛ac ten tekst.

Zawsze inaczej si˛e pisze i inaczej mówi. Starałem si˛e zachowa´c pisz ˛ac pewne intuicyjne podej´scie wykładu, ale jednocze´snie musiałem pami˛eta´c o konieczno´sci zachowania matematycznego formalizmu.

Podr˛ecznik powstał w oparciu o ´zródła bibliograficzne, z których czerpałem z ró˙zn ˛a intensywno´sci ˛a, korzystaj ˛ac zarówno z idei, naprowadze ń, jak i z poj˛eć, twierdze ń i dowodów. Na koniec przedkładam Czytelnikowi list˛e pozycji, z których korzystałem.

Pierwsz ˛a wersj˛e tekstu w okrojonej postaci spisał mój ówczesny student, a pó´zniejszy doktorant, dr Piotr Kowalski. Składam mu za t˛e prac˛e serdecznie podzi˛ekowania. Na tym gruncie postanowiłem nadbudowa´c materiał, który

(7)

Wst˛ep

przedkładam Czytelnikowi. Podzi˛ekowania nale˙z ˛a si˛e równie˙z wielu Studentom cierpliwie słuchaj ˛acym wykładu. Mam nadziej˛e, i˙z forma spisana b˛edzie równie˙z przydatna. W składaniu tekstu do druku otrzymałem wsparcie od Michała Bełdzi ´nskiego.

Chciałbym równie˙z podzi˛ekować Recenzentowi, Profesorowi Markowi Majewskiemu, za wiele cennych uwag, pozwalaj ˛acych ulepszyć tekst i usun ˛ać liczne niedoci ˛agni˛ecia.

(8)

ROZDZIAŁ

1

Twierdzenie Weierstrassa-kamie ´ n w ˛egielny optymalizacji

1.1. Wprowadzenie

Niech E b˛edzie rzeczywist ˛a i refleksywn ˛a przestrzeni ˛a Banacha, E^∗ niech oznacza jak zwykle przestrze ń do niej sprz˛e˙zon ˛a, czyli przestrze ń funkcjonałów liniowych i ci ˛agłych na E o warto´sciach wR. Funkcjonałem nazywać b˛edziemy odwzorowanie okre´slone na przestrzeni E o warto´sciach w zbiorzeR. Głównym zagadnieniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie punktów krytycznych funkcjonałów energii F : E → R, przy zało˙zeniu, ˙ze s ˛a one ró˙zniczkowalne (sens ró˙zniczkowalno´sci w przestrzeniach niesko ńczonego wymiaru doprecyzujemy pó´zniej). Niech _dx^d F = f . Wiedz ˛ac, i˙z punkt krytyczny istnieje, uzyskujemy informacj˛e, i˙z równanie

f (x) = 0, (1.1)

rozumiane jako przyrównane do zera pochodnej f : E → E^∗, posiada rozwi ˛azanie.

Z kursu analizy wiemy, ˙ze je˙zeli funkcja ró˙zniczkowalna posiada minimum, to znadziemy je badaj ˛ac punkty krytyczne. Zatem, aby znale´z´c rozwi ˛azanie równania (1.1) b˛edziemy mieli na my´sli znalezienie argumentu minimum funkcjonału F.

Przez argument minimum funkcjonału J : E → R rozumiemy taki punkt x0∈ X ,

˙ze

J (x) ≥ J (x0) dla wszystkich x ∈ E.

(9)

1. Twierdzenie Weierstrassa-kamie ´n w˛egielny optymalizacji

Argumentów minimum funkcjonał mo˙ze mieć niesko ńczenie wiele, jak choćby funkcja sinus. Poza minimami globalnymi, czyli poszukiwanymi na całej przestrzeni E, s ˛a równie˙z minima lokalne, czyli takie, ˙ze istnieje otoczenie U punktu x₀ na którym J (x) ≥ J (x0). Je´sli dziedzin˛e funkcjonału J ograniczymy do pewnego podzbioru D ⊂ E, to wówczas powy˙zsze okre´slenia ulegaj ˛a naturalnej zmianie; w przypadku minimum lokalnego trzeba zbiór D przeci ˛ać z U.

Skoncentrujemy si˛e raczej na metodach pozwalaj ˛acych na badanie istnienia mimimów funkcjonałów, ni˙z na sposobach ich wyznaczania. Przez sposoby wyznaczania nie zawsze rozumiemy znalezienie dokładnej warto´sci argumentu minimum. Miejmy na uwadze przykład funkcji kwadratowej

f (x) =e 2x²− π,

która z oczywistych powodów ma dokładnie jeden argument minimum x0=^π_e. Czy mo˙zemy powiedzieć, ˙ze znamy jego warto´sć? Jedynie wiemy tyle, ˙ze znamy j ˛a z pewn ˛a dokładno´sci ˛a, ˙ze jest dodatnia, ˙ze niewielkie zaburzenieπ w nieznaczny sposób zmieni warto´sć argumentu minimum. Zatem znaczenie słowa „rozwi ˛azać”

nie zawsze oznacza: wyznaczyć dokładn ˛a warto´sć. Cz˛esto udaje si˛e stwierdzić, i˙z rozwi ˛azanie jest dodatnie, oddalone od zera o co najmniej pewn ˛a warto´sć, jest wra˙zliwe na małe zmiany parametrów (czyli innymi słowy zale˙zy w sposób ci ˛agły od parametru) i jest wyznaczone w sposób jednoznaczny.

Punktem wyj´scia jest dla nas dobrze znane twierdzenie Weierstrassa i jego liczne uogólnienia i konsekwencje. Aby nabrać pewnych intuicji potrzebnych do zrozumienia przypadku, gdy E jest przestrzeni ˛a niesko ńczenie wymiarow ˛a, rozpoczniemy nasze rozwa˙zania od bada ń dotycz ˛acych funkcjonałów okre´slonych na Rⁿ. Ju˙z sama analiza dowodu twierdzenia Weierstrassa o kresach funkcji ci ˛agłej na zbiorze domkni˛etym i ograniczonym pokazuje, ˙ze wymaganie ci ˛agło´sci minimalizowanej funkcji wydaje si˛e być zbyt mocnym. Pokazuje to te˙z nast˛epuj ˛acy przykład funkcji nieci ˛agłej

f (x) =







x², x ∈ [−1,0) ∪ (0,1],

−1, x = 0,

(1.2)

(10)

któr ˛a ma minimum na [−1,1] osi ˛agni˛ete w x₀= 0. Funkcja ta ma jednak pewn ˛a inn ˛a własno´sć ci ˛agło´sci, zwan ˛a półci ˛agło´sci ˛a z dołu. Potrzebne definicje podamy od razu na przestrzeni Banacha E, tak by w przypadku niesko ńczenie wymiarowym nie formułować ich ponownie. Brzmi ˛a one tak samo w obu przypadkach, zbie˙zno´sć, któr ˛a rozwa˙zamy to zbie˙zno´sć silna, czyli w sensie normy danej przestrzeni (dla prostej rzeczywistej b˛edzie to zwykła zbie˙zno´sć, dla przestrzeni Rⁿ zbie˙zno´sć po współrz˛ednych).

1.2. Półci ˛ agło´s ´c z dołu i twierdzenie Weierstrassa

Jak ju˙z wspomnieli´smy we wst˛epie, ˙z ˛adanie aby funkcja minimalizowana była ci ˛agła jest zbyt silne. Mo˙zna je zast ˛api´c słabszym klasycznym poj˛eciem półci ˛agło´sci z dołu:

Definicja 1.2.1 (Półci ˛agło´s´c z dołu). Funkcjonał f : E → R nazywamy półci ˛agłym z dołu naE wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego x0∈ E

lim inf

x→x0 f (x) ≥ f (x0) (1.3)

gdzie (1.3) rozumiemy w sposób nast˛epuj ˛acy:

∀ε>0∃δ>0∀x∈E0 < kx − x0k < δ =⇒ f (x) + ε ≥ f (x0)

Je´sli relacja (1.3) zachodzi jedynie w punkcie x₀, to mówimy o półci ˛agło´sci z dołu w tym punkcie.

Ka˙zdy funkcjonał ci ˛agły jest oczywi´scie półci ˛agły z dołu.

Suma funkcjonału ci ˛agłego g : E → R i półci ˛agłego z dołu f : E → R jest półci ˛agła z dołu, gdy˙z

lim inf

x→x0 ( f (x) + g (x)) = lim

x→x0g (x) + liminf

x→x0

f (x).

Je´sli g byłby półci ˛agły z dołu, to powy˙zsza teza jest równie˙z utrzymana, gdy˙z wtedy lim inf

x→x0 ( f (x) + g (x)) ≥ liminf

x→x0 g (x) + liminf

x→x0

f (x).

(11)

Funkcja dana wzorem (1.2) dostarcza przykładu półci ˛agłej z dołu i nieci ˛agłej funkcji. Badanie półci ˛agło´sci z dołu jest nieco trudniejsze ni˙z badanie ci ˛agło´sci.

Niemniej jednak mamy nast˛epuj ˛acy:

Lemat 1.2.2 (domkni˛eto´s´c zbiorów poziomicowych a półci ˛agło´s´c z dołu).

Funkcjonał f : E → R jest półci ˛agły z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego α ∈ R zbiór

f^α= {x ∈ E : f (x) ≤ α}

(o ile niepusty) jest domkni˛ety.

Dowód. Zało˙zmy, ˙ze f : E → R jest półci ˛agły z dołu i we´zmy ci ˛ag (x_n) ⊂ f^αzbie˙zny w E do pewnego x0(tzn. lim_n→∞kxn− x0k = 0). Zatem mamy

f (x₀) ≤ liminf

n→∞ f (x_n) ≤ α.

Czyli f^αjest domkni˛ety.

Załó˙zmy, ˙ze f^α jest domkni˛ety dla ka˙zdego α. Przypu´scmy, ˙ze f nie jest półci ˛agły z dołu w pewnym x₀∈ E. Czyli istnieje ci ˛ag (x_n) ⊂ E zbie˙zny w E do x0∈ E i taki, ˙ze

lim inf

n→∞ f (x_n) < f (x0).

Istnieje taka liczbaα ∈ R, ˙ze lim inf

n→∞ f (x_n) < α < f (x0)

Skoro (x_n) jest zbie˙zny, to ma podci ˛ag zawarty w f^α zbie˙znydo tego samego elementu x0. Z domkni˛eto´sci f^αmamy f (x0) ≤ α, czyli sprzeczno´s´c.

Łatwo sprawdzi´c przy pomocy powy˙zszego lematu, i˙z funkcja

f (x) =







x², x ∈ [−1,0) ∪ (0,1],

2, x = 0,

nie jest półciagła z dołu (mo˙zna zauwa˙zyć, i˙z ponadto nie ma ona argumentu minimum). Wystarczy wzi ˛ać α = 1. Nie nale˙zy jednak s ˛adzić, i˙z funkcje, które

(12)

nie s ˛a półci ˛agłe z dołu nie b˛ed ˛a miały argumentów minimów. Znów wystarczy rozwa˙zy´c prosty przykład

f (x) =







x², x ∈£−1,¹₂¢ ∪ ¡¹₂, 1¤ ,

+2, x =¹₂

funkcji nie b˛ed ˛acej półci ˛agł ˛a z dołu, ale maj ˛acej argument minimum x₀= 0.

Sformułowanie twierdzenia Weierstrassa poprzedzimy jeszcze istotnym dla nas dalej poj˛eciem ci ˛agu minimalizuj ˛acego. Zało˙zmy, ˙ze D ⊆ E oraz, ˙ze f : D → R jest ograniczona z dołu (na D). Wtedy f ma kres dolny na D. Przypomnijmy, ˙ze

a := inf A ⇔







∀x∈A a ≤ x

∀ε>0∃_x∈A x ≤ a + ε

Kład ˛ac powy˙zej a = inf_x∈Df (x), ε := _n¹ otrzymujemy istnienie ci ˛agu (x_n) ⊂ D takiego, ˙ze

n→∞lim f (x_n) = inf

x∈Df (x)

Ci ˛ag ten, nazywamy ci ˛agiem minimalizuj ˛acym. Ci ˛ag taki zawsze istnieje dla funkcjonału ograniczonego od dołu, ale nie musi by´c zbie˙zny Warto podkre´sli´c równie˙z, i˙z istnienie granicy lim_n→∞f (x_n) nie przes ˛adza o zbie˙zno´sci (x_n).

Wystarczy wzi ˛a´c

f (x) = |x|, D = [−3,−1] ∪ [1,3].

Wtedy x_n = (−1)ⁿ jest ci ˛agiem minimalizuj ˛acym rozbie˙znym (ale zawieraj ˛acym podci ˛ag zbie˙zny!). Jest to konsekwencj ˛a zwarto´sci dziedziny. Bior ˛ac przykład funkcji f (x) = e^−x, widzimy, ˙ze ci ˛ag x_n = n jest ci ˛agiem minimalizuj ˛acym rozbie˙znym nie zawieraj ˛acym ˙zadnego podci ˛agu zbie˙znego.

Skoncetrujmy si˛e chwilowo na sytuacji sko ´nczenie wymiarowej, tj. gdy E = R^k dla pewnego k ∈ N. Wtedy oczywi´scie E = E^∗.

Twierdzenie 1.2.3 (Twierdzenie Weierstrassa o istnieniu argumentu minimum funkcji półci ˛agłej z dołu na zbiorze zwartym). Niech f :R^k→ R b˛edzie funkcjonałem

(13)

półci ˛agłym z dołu oraz niechD b˛edzie domkni˛etym i ograniczonym podzbioremR^k. Wtedy problem

minx∈Df (x) (P)

ma co najmniej jedno rozwi ˛azaniex0wD.

Dowód. Zauwa˙zmy, ˙ze funkcjonał f jest ograniczony z dołu na D. Istotnie, gdyby był nieograniczony to znale´zliby´smy ci ˛ag (x_n) ⊂ D, taki, ˙ze limn→∞f (x_n) = −∞.

Ci ˛ag ten le˙zy w zwartej dziedzinie, wi˛ec posiada podci ˛ag ¡x_k_n¢ ⊂ D zbie˙zny do pewnego x₀. St ˛ad i z półci ˛agło´sci z dołu

−∞ < f (x0) ≤ liminf

k→∞ f (x_k_n) = liminf

k→∞ f (x_k_n) → −∞, czyli f (x₀) = −∞, co jest niemo˙zliwe.

Skoro funkcjonał f jest ograniczony z dołu na D, to posiada na D kres dolny, a zatem równie˙z ci ˛ag minimalizuj ˛acy (x_n) ⊂ D. Ze zwarto´sci D mamy zagwarantowane istnienie podci ˛agu (x_k_n), zbie˙znego do pewnego elementu x₀∈ D.

Korzystaj ˛ac z definicji półci ˛agło´sci z dołu oraz oczywistych relacji otrzymujemy, ˙ze inf

x∈Df (x) ≤ f (x0) ≤ liminf

k→∞ f (x_n_k) = inf

x∈Df (x)

Z twierdzenia o trzech ci ˛agach, wnosimy ˙ze f (x₀) = inf_x∈Df (x). Co ko ´nczy dowód.

Zauwa˙zmy, ˙ze powy˙zsze twierdzenie mo˙zna uj ˛a´c równie˙z inaczej: Niech f : R^k→ R b˛edzie funkcjonałem półci ˛agłym z dołu oraz niech D b˛edzie domkni˛etym i ograniczonym podzbioremR^k. Wówczas ka˙zdy ci ˛ag (x_n) minimalizuj ˛acy dlaf na D ma podci ˛ag zbie˙zny oraz istnieje co najmniej jeden punktx₀∈ D taki, ˙ze

minx∈Df (x) = inf

n∈Nf (x_n) = f (x0) .

Czytelnik spyta, czemu powy˙zsze twierdzenie (i dowód) podane zostały w przypadku sko ńczenie wymiarowym. Odpowied´z jest do´sć prosta - kula w przestrzeni niesko ńczonego wymiaru nie jest zwarta. Klasycznego przykładu z przestrzeni`²szeregów sumowalnych z kwadratem z norm ˛a

kxk = s∞

X

n=1

|xi|²

(14)

dostarcza ci ˛ag

(1, 0, 0, ...) , (0, 1, 0, ...) , (0, 0, 1, 0, ..) , ...

który nie ma podci ˛agu zbie˙znego (odległo´sci mi˛edzy kolejnymi elemenatmi s ˛a równe 1, wi˛ec nie spełnia on, ani ˙zaden jego podci ˛ag, warunku Cauchy’ego koniecznego, by zbie˙zno´sć zachodziła). Zatem przypadek niesko ńczenie wymiarowy b˛edzie du˙zo trudniejszy, a wi˛ec i tym samym ciekawszy. Zajmiemy si˛e nim pó´zniej, poznawszy lepiej sytuacj˛e sko ńczenie wymiarow ˛a.

W przypadku, gdy zbiór D nie jest ograniczony, np. gdy D = R^kistnieje równie˙z pewna wersja twierdzenia Weierstrassa, które pozwala na udowodnienie istnienia argumentu minimum przy okre´slonym wzro´scie funkcjonału. Oczywi´scie łatwo wskaza´c funkcje na prostej, które nie s ˛a półci ˛agłe z dołu i, mimo to, posiadaj ˛a argument minimum, np.

f (x) =







x², x 6=¹₂,

4, x =¹₂.

Wtedy x₀= 0 jest argumentem minimum, f nie jest półci ˛agła z dołu naR, ale jest półci ˛agła z dołu w x₀.

Definicja 1.2.4 (Funkcjonał koercytywy). Mówimy, ˙ze funkcjonał f : E → R jest korecytywny, je˙zeli

lim

kxk→+∞f (x) = +∞.

Definicja koercytywno´sci mówi jedynie o zachowaniu funkcjonału w obszarze odległym od 0, i niczego nie wnosi odno´snie jej ci ˛agło´sci. Łatwo sprawdzi´c, ˙ze

f1:R × R → R

f₁(x, y) = x²+ y²− x y jest koercytywna. Z drugiej strony f₂:R × R → R

f2(x, y) = x²+ y²− 2x y nie jest koercytywna.

(15)

Koercytywno´s´c jest istotna przy minimalizacji funkcjonałów okre´slonych na zbiorach nieograniczonych.

Twierdzenie 1.2.5 (Twierdzenie Weierstrassa dla funkcji koercytywnej półci ˛agłej z dołu). Załó˙zmy, ˙ze f :R^k→ R jest półci ˛agła z dołu oraz korecytywna. Wówczas f posiada co najmniej jeden argument minimum (inaczej - zadanie P posiada co najmniej jedno rozwi ˛azanie, o ileD = R^k).

Dowód. Niech x0∈ R^k. Połó˙zmyα0= f (x0). Rozwa˙zmy zbiór f^α⁰. Poniewa˙z f jest półci ˛agła z dołu, to zbiór ten jest domkni˛ety. Skoro funkcjonał f jest koercytywny, to, korzystaj ˛ac z definicji granicy niewła´sciwej, istnieje taka liczba rzeczywista r > 0, ˙ze

∀x ∈ R^k kxk > r ⇒ f (x) > f (x0).

Jako, ˙ze f^α⁰ jest ograniczony i domkni˛ety to jest zwarty. Zatem z Twierdzenia Weierstrassa istnieje a ∈ f^α⁰takie, ˙ze

∀s ∈ f^α⁰ f (a) ≤ f (s).

We´zmy teraz dowolny x ∈ R^k. Je´sli x ∈ f^α⁰to oczywi´scie f (a) ≤ f (x). W przeciwnym wypadku mamy f (x) > f (x0) ≥ f (a).

Znów mo˙zna powy˙zsze twierdzenie wysłowić w j˛ezyku ci ˛agów minimalizuj ˛acych: koercytywno´sć powoduje, i˙z ka˙zdy ci ˛ag minimalizuj ˛acy jest ograniczony, własno´sci przestrzeni sko ńczenie wymiarowej skutkuj ˛a tym, i˙z ka˙zdy ci ˛ag ograniczony ma podci ˛ag zbie˙zny, natomiast półci ˛agło´sć z dołu pozwala zachować odpowiedni ˛a nierówno´sć. Twierdzenie Weierstrassa dostarcza wi˛ec równie˙z pewnego ogólnego schematu post˛epowania. Jak zobaczymy pó´zniej, b˛edzie on bardzo owocny.

Twierdzenie Weierstrassa (rozumiane we wszystkich wprowadzonych wariantach) jest w istocie narz˛edziem mówi ˛acym o tym, kiedy ci ˛agi minimalizuj ˛ace maj ˛a zbie˙zne podci ˛agi (a przynajmniej jeden taki podci ˛ag).

Ta obserwacja b˛edzie dla nas w dalszej cz˛e´sci kluczowa.

(16)

Oczywi´scie istniej ˛a przykłady funkcji niekoercywnych, ale posiadaj ˛acych minimum, jak cho´cby

f (x) = −exp¡−x²¢ ,

która (jedyny) argument minimum posiada dla x₀= 0. Niemniej jednak funkcja niekorecytywna (i nie b˛ed ˛aca półci ˛agł ˛a z dołu) mo˙ze by´c nieograniczona z dołu i wówczas z oczywistego powodu minimum nie posiada.

Zastanówmy si˛e na koniec, co oznacza koercytwno´s´c poł ˛aczona z ró˙zniczkowalno´sci ˛a, zarówno dla argumentu minimum, jak i dla ci ˛agu minimalizuj ˛acego.

W tym pierwszym przypadku odpowied´z jest prosta:

Twierdzenie 1.2.6 (Twierdzenie Weierstrassa dla funkcji koercytywnej półci ˛agłej z dołu i ró˙zniczkowalnej). Załó˙zmy, ˙ze f : R^k → R jest ró˙zniczkowalna jest korecytywna. Wówczasf posiada co najmniej jeden argument minimum x₀taki, ˙ze

f⁰(x0) = 0.

Zauwa˙zmy, i˙z Twierdzenie Weierstrassa nie opisuje struktury ci ˛agu minimalizuj ˛acego. Gwarantuje ono jedynie istnienie takie ci ˛agu i zbie˙zno´sć pewnego jego podci ˛agu. Dokładniejszych informacji o ci ˛agu minimalizuj ˛acym dostarcza Zasada Wariacyjna Ekelanda. Zanim jednak t˛e zasad˛e podamy, musimy omówić zagadnienia ró˙zniczkowalno´sci w przestrzeniach niesko ńczonego wymiaru.

(17)

ROZDZIAŁ

2

Ró ˙zniczkowanie w przestrzeniach niesko ´ nczonego wymiaru

Interesujemy si˛e teraz sposobami na uogólnienie ró˙zniczkowania w przestrzeni niesko ńczonego wymiaru. W przypadku funkcji wielu zmiennych znamy dwa ró˙zne poj˛eci ˛a pochodnej - pochodn ˛a słab ˛a, która nie gwarantuje nawet ci ˛agło´sci funkcji j ˛a posiadaj ˛acej, oraz pochodn ˛a siln ˛a. Podobna sytuacja ma miejsce w przypadku ró˙zniczkowania funkcji na przestrzeniach niesko ńczonego wymiaru, gdzie rozwa˙zamy zasadniczo dwa typy ró˙zniczkowalno´sci: w sensie Gâteaux oraz w sensie Fréchete’a. Pochodna w sensie Gâteaux jest odpowiednikiem pochodnej słabej - łatwo j ˛a uzyskać, ale nie ma zastosowa ń we wszystkich metodach.

Pochoda Fréchete’a gwarantuje ci ˛agło´sć funkcji, która j ˛a posiada, ale na ogół jest trudna do wyznaczenia. Podamy w trakcie naszych rozwa˙za ń sposoby badania ró˙zniczkowalno´sci w sensie Fréchete’a odwzorowa ń i funkcjonałów.

2.1. Pierwsza wariacja Lagrange’a i reguła Fermata

Zaczniemy od najprostszego z poj˛e´c zwanego pierwsz ˛a wariacj ˛a w sensie Lagrange’a (lub pochodn ˛a kierunkow ˛a). Przypomnijmy, ˙ze E jest rzeczywist ˛a przestrzeni ˛a Banacha.

Definicja 2.1.1 (Pierwsza wariacja w sensie Lagrange’a i wariacja Gâteaux).

Niech element x ∈ E b˛edzie ustalony. Powiemy, ˙ze funkcjonał f : E → R posiada pierwsz ˛a wariacj˛e w sensie Lagrange’a wx w kierunku h ∈ E je´sli istnieje sko ´nczona

(18)

2. Ró˙zniczkowanie w przestrzeniach niesko ´nczonego wymiaru

granica

λ→0lim⁺

f (x + λh) − f (x)

λ . (2.1)

Warto´s´c tej granicy oznaczamy jako f⁰(x, h). Je´sli istniej ˛a wariacje Lagrange’a w ka˙zdym kierunku h ∈ E oraz odwzorowanie h 7→ f⁰(x, h) jest funkcjonałem liniowym, to mówimy, ˙ze f posiada wariacj˛e Gâteaux w tym punkcie.

Zauwa˙zmy, i˙z granica w (2.1) jest brana wR, st ˛ad w powy˙zszej definicji mo˙zna zakłada´c jedynie, ˙ze E jest przestrzeni ˛a liniow ˛a. Wariacja w sensie Lagrange’a i inne definiowane po niej typy pochodnych s ˛a, o ile istniej ˛a, wyznaczone jednoznacznie. Jest to konsekwencj ˛a jedyno´sci granicy.

Przypomnijmy, ˙ze odcinkiem o ko ´ncach x1, x2∈ E nazywa´c b˛edziemy zbiór [x1, x2] = {x ∈ E : x = αx1+ (1 − α)x2,α ∈ [0,1]}.

Mówimy, ˙ze zbiór M ⊂ E jest zbiorem wypukłym, je´sli ka˙zde dwa jego punkty ł ˛aczy odcinek całkowicie zawarty w zbiorze M.

Z ka˙zd ˛a funkcj ˛a f przekształcaj ˛ac ˛a pewien zbiór A ⊂ E w rozszerzony zbiór liczb rzeczywistychR ∪ {−∞,+∞} zwi ˛azany jest zbiór

dom f = {x ∈ X : f (x) < ∞}, zwany zbiorem efektywnym funkcji f .

Je´sli funkcja spełnia warunki : dom f 6= ; i f (x) > −∞ dla wszystkich x ∈ X to nazywamy j ˛a wła´sciw ˛a, w pozostałych przypadkach nazywamy niewła´sciw ˛a.

My b˛edziemy si˛e przewa˙znie zajmowali jedynie funkcjami wła´sciwymi i takimi,

˙ze wsz˛edzie +∞ > f (x) > −∞. Ułatwi to nam definiowanie poj˛ecia wypukło´sci funkcji. Nie b˛edziemy wi˛ec pisa´c dom f , gdy˙z dom f = E w takim uj˛eciu.

Funkcj˛e f : E → R nazwiemy wypukł ˛a je´sli zachodzi

∀λ∈[0,1]∀x1,x2∈E f (λx1+ (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2). (2.2)

(19)

Funkcj˛e f : E → R nazwiemy ´sci´sle wypukł ˛a je´sli zachodzi

∀λ∈(0,1)∀x₁,x₂∈E,x16=x2 f (λx1+ (1 − λ)x2) < λf (x1) + (1 − λ)f (x2).

Twierdzenie 2.1.2 (Reguła Fermata dla pierwszej wariacji w sensie Lagrange’a).

Niech ; 6= S ⊂ E, oraz niech f : S → R.

1. Niech x ∈ S b˛edzie agrumentem minimum funkcjonału f na S. Je´sli funkcjonał f posiada pierwsz ˛a wariacj˛e w sensie Lagrange’a w punkcie x w ka˙zdym kierunkux − x dla x ∈ S to

f⁰(x, x − x) ≥ 0, dla wszystkichx ∈ S (2.3)

2. Zało˙zmy, ˙ze zbiór S jest wypukły oraz funkcjonał f jest wypukły na S, f posiada pierwsz ˛a wariacj˛e w sensie Lagrange’a w punkcie x w ka˙zdym kierunkux−x dla x ∈ S oraz spełniona jest (2.3). Wówczas x jest argumentem minimumf na S.

3. Je˙zeliS = E, f posiada pierwsz ˛a wariacj˛e w sensie Lagrange’a w punkciex ∈ E w ka˙zdym kierunku h ∈ E oraz x jest argumentem minimum, to f⁰(x, h) = 0.

Dowód. Skoro x jest agrumentem minimum funkcjonału f na S, to dla dostatecznie małychλ ∈ R+takich, ˙ze x + λ(x − x) ∈ S, dla ustalonego x ∈ S, mamy

f (x + λ(x − x)) − f (x)

λ ≥ 0.

Przechodz ˛ac zλ → 0⁺mamy

f⁰(x, x − x) ≥ 0.

Załó˙zmy teraz, ˙ze S jest wypukły oraz f jest wypukły na S oraz zachodzi (2.3).

Wtedy dla dowolnegoλ ∈ (0,1] mamy dla x ∈ S

f (x + λ(x − x)) ≤ (1 − λ)f (x) + λf (x).

St ˛ad

f (x + λ(x − x)) − f (x) ≤ λ(f (x) − f (x)).

Przechodz ˛ac zλ → 0⁺

0 ≤ f⁰(x, (x − x)) ≤ f (x) − f (x).

(20)

Czyli x jest argumentem minimum z dowolno´sci wyboru x ∈ S.

Niech E = S. Ustalmy h ∈ E i rozwa˙zmy funkcj˛e g : R → R dan ˛a wzorem g (t) = f (x + th). Wówczas 0 jest argumentem minimum funkcji g i st ˛ad mamy

f⁰(x, h) = 0.

Przykład 2.1.3. Zwró´cmy jednak uwag˛e na nast˛epuj ˛acy przykład nieci ˛agłej w (0, 0) funkcji f :R × R → R

f (x, y) =





 x²³

1 +¹_y´

, y 6= 0,

0, y = 0.

która posiada w (0, 0) pierwsz ˛a wariacj˛e postaci

f⁰(0, h) =







(h1)²

h2 , h₂6= 0, 0, h2= 0.

Jak widzimy z dowodu twierdzenia 2.1.2, analiza pierwszej wariacji wi ˛a˙ze si˛e z badaniem funkcji pomocniczej jednej zmiennej rzeczywistej. To w oczywisty sposób uprasza techniki badawcze, ale z drugiej strony istotnym problemem jest to, i˙z pierwsza wariacja nie musi być liniowa wzgl˛edem kierunku. Powy˙zej podany przykład ten sugeruje, i˙z musimy szukać takich poj˛eć pochodnej, dla których odwzorowanie h 7→ f⁰(x, h) b˛edzie i liniowe, i ci ˛agłe.

2.2. Pierwsza wariacja a wypukło´s ´c

Rozwa˙zymy teraz istnienie pierwszej wariacji w sensie Lagrange’a dla funkcji wypukłej. Jak si˛e okazuje, w tym przypadku istnienie pierwszej wariacji jest konsewkencj ˛a własno´sci funkcji wypukłych na prostej rzeczywistej.

Lemat 2.2.1 (Monotoniczno´s´c ilorazu rozicowegodla funkcjonału wypukłego).

Załó˙zmy, ˙ze f : E → R jest funkcjonałem wypukłym. Wtedy dla ka˙zdych x, h ∈ E

(21)

funkcjaϕ : (0,+∞) → R dana wzorem

ϕ(λ) = f (x + λh) − f (x)

λ (2.4)

jest niemalej ˛aca.

Dowód. Niech 0 < s ≤ t wtedy dla dowolnych x, h ∈ E f (x + sh) − f (x) = f

µs

t(x + th) +t − s t x

¶

− f (x)

≤s

tf (x + th) +t − s

t f (x) − f (x)

=s

tf (x + th) −−s

t f (x) =s

t( f (x + th) − f (x)).

Sk ˛ad natychmiast otrzymujemy, ˙ze

ϕ(s) ≤ ϕ(t) .

Lemat 2.2.2 (Istnienie pierwszej wariacji w sensie Lagrange’a dla funkcjonału wypukłego). Załó˙zmy, ˙ze f : E → R jest funkcjonałem wypukłym. Wtedy w ka˙zdym punkciex ∈ E istnieje wariacja w sensie Lagrange’e we wszystkich kierunkach i jest funkcjonałem podliniowym oraz monotonicznym.

Szkic dowodu. Mo˙zna udowodni´c, i˙z ϕ dana wzorem (2.4) jest ograniczona z dołu, a skoro jest równie˙z monotoniczn ˛a funkcj ˛a rzeczywist ˛a jednej zmiennej rzeczywistej, to posiada w ka˙zdym punkcie jednostronn ˛a granic˛e. St ˛ad od razu wynika istnienie pierwszej wariacji w sensie Lagrange’a. Monotoniczno´s´c pierwszej wariacji uzyskujemy przechodz ˛ac w (2.4) do granicy przy λ → 0, i uwzgl˛edniaj ˛ac zale˙zno´scϕ(s) ≤ ϕ(t) dla 0 < s ≤ t.

2.3. Pochodna Gâteaux

Podamy teraz typ pojecia pochodnej, który zapowiadali´smy ko ´ncz ˛ac paragraf dotycz ˛acy wariacji w sensie Lagrange’a.

(22)

Definicja 2.3.1 (Pochodna Gâteaux). Niech X , Y b˛ed ˛a przestrzeniami unormowanymi oraz niech f : X → Y . Powiemy, ˙ze odwzorowanie f jest ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux wx ∈ X je´sli dla ka˙zdego h ∈ X granica

λ→0lim⁺

f (x + λh) − f (x) λ

oznaczana symbolem f⁰(x; h) istnieje oraz odwzorowanie h → f⁰(x; h)

jest odwzorowaniem liniowym i ci ˛agłym zX w Y ; inaczej f⁰(x; ·) ∈ L (X ,Y ).

Czasami zamiast pisa´c f⁰(x; h) b˛edziemy pisa´c f⁰(x). Je˙zeli Y = R, to f⁰(x; ·) ∈ X^∗, czyli jest funkcjonałem liniowym i ci ˛agłym. Przypominamy, ˙ze 〈·,·〉E^∗,Eoznacza par˛e dualna mi˛edzy przestrzeniamiE i E^∗, czyli działanie funkcjonału liniowego i ci ˛agłego zE^∗na elemencie zE; w przypadku E = R^kjest to iloczyn skalarny.

Warunek w definicji pochodnej Gâteaux oznacza, ˙ze (by´c mo˙ze w inny sposób w ka˙zdym kierunku)

λ→0lim

k f (x + λh) − f (x) − λ f⁰(x; h)k

λ = 0.

Mamy nast˛epuj ˛ace własno´sci pochodnej Gâteaux:

1. Je´sli f :R → R to pochodna Gâteaux pokrywa si˛e z definicj ˛a pochodnej klasycznej;

2. Je´sli f :Rⁿ → R to istnienie pochodnej Gâteaux jest np. konsekwencj ˛a istnienia wszystkich pochodnych cz ˛astkowych (ale niekoniecznie ich ci ˛agło´s´c);

3. Je´sli istnieje pochodna Gâteaux, to istnieje wariacja w sensie Lagrange’a;

oczywi´scie s ˛a one równe.

(23)

4. Istnienie pochodnej Gâteaux w punkcie x₀ nie poci ˛aga ci ˛agło´sci w tym punkcie.

Obliczanie pochodnych Gâteaux pozwoli nam lepiej zrozumie´c sens tego poj˛ecia.

Przykład 2.3.2. Niech H b˛edzie rzeczywist ˛a przestrzeni ˛a Hilberta z iloczynem skalarnym 〈·,·〉. Niech h0b˛edzie ustalone. Rozwa˙zmy funkcjonał f : H → R dany wzorem

f (x) = 〈x, h0〉 .

Ustalmy dowolnie x ∈ H oraz kierunek h ∈ H. Tworzymy funkcj˛e pomocnicz ˛a g : R → R dan ˛a wzorem g(t) = f (x + th). St ˛ad

g (t) = 〈x, h〉 + t 〈h, h0〉

i w oczywisty sposób g⁰(t) = f⁰(x; h) = 〈h, h0〉. St ˛ad (i z symetrii iloczynu skalarnego) funkcjonał h → 〈h0, h〉 jest pochodn ˛a Gâteaux funkcjonału f .

We´zmy teraz funkcjonał f : H → R dany wzorem f (x) =1

2〈x, x〉 =1 2kxk².

Niech x ∈ H b˛edzie dowolnie ustalonym punktem. Ustalmy kierunek h ∈ H.

Tworzymy funkcj˛e pomocnicz ˛a g :R → R dan ˛a wzorem g (t) = f (x + th).

Zauwa˙zmy, ˙ze korzystaj ˛ac z własno´sci iloczynu skalarnego mamy g (t) =1

2〈x + th, x + th〉 =1

2kxk²+ t 〈x, h〉 +1 2t²khk². Funkcja g jest klasy C¹naR, st ˛ad

g⁰(t) = 〈x, h〉 + t khk². Zatem

g⁰(0) = f⁰(x; h) = 〈x, h〉.

(24)

Mamy wi˛ec posta´c pochodnej f⁰(x; h) jako funkcjonału liniowego i ci ˛agłego danego wzorem

h → 〈x, h〉. (2.5)

Przykład 2.3.3. Rozwa˙zmy funkcjonał f : C [0, 1] → R dany wzorem f (x) =

Z 1 0

sin x (s) 1 + x²(s)ds.

Niech x ∈ C [0,1] b˛edzie dowolnie ustalonym punktem. Ustalmy kierunek h ∈ C [0, 1]. Tworzymy, podobnie jak poprzednio, funkcj˛e pomocnicz ˛a g :R → R dan ˛a wzorem

g (t) = Z 1

0

sin (x (s) + th (s)) 1 + (x (s) + th (s))²ds.

Do powy˙zszej całki (któr ˛a mo˙zemy rozumie´c jako całk˛e Riemanna z parametrem) mo˙zemy zastosowa´c reguł˛e Leibniza ró˙zniczkowania pod znakiem całki, otrzymuj ˛ac (pami˛etamy, ˙ze pod znakiem całki wyliczamy pochodn ˛a ilorazu)

g⁰(t) = Z1

0

cos (x (s) + th (s)) h (s)¡1 + (x(s) + th(s))²¢

¡1 + (x(s) + th(s))²¢2 ds

− Z1

0

2 sin (x (s) + th (s))(x (s) + th (s)) h (s)

¡1 + (x(s) + th(s))²¢2 ds.

Otrzymane wyra˙zenie jest ci ˛agłe wzgl˛edem t w t₀= 0, st ˛ad

g⁰(0) = Z 1

0

cos x (s)¡1 + ¡x²(s)¢¢ − 2sin x(s) x(s)

¡1 + x²(s)¢2 h (s) ds.

Liniowo´sć otrzymanego wzoru wzgl˛edem h jest oczywista. Korzystaj ˛ac z tego, i˙z przy zbie˙zno´sci jednostajnej w całce Riemanna mo˙zemy zamieniać granic˛e ze znakiem całki, otrzymujemy równie˙z ci ˛agło´sć wzgl˛edem kierunku h. Istotnie, oznaczmy dla s ∈ R

ϕ(s) =cos x (s)¡1 + ¡x²(s)¢¢ − 2sin x(s) x(s)

¡1 + x²(s)¢2

(25)

Niech h_nâ h na [0, 1], czyli hn→ h w C [0, 1]. Wówczas

n→∞lim Z 1

0 ϕ(s) hn(s) ds = Z1

0 ϕ(s)³

n→∞lim h (s)´ ds =

Z 1

0 ϕ(s) h(s) ds.

Przykład 2.3.4 (Ró˙zniczkowalno´s´c odwzorowania liniowego w przestrzeni Banacha). Niech L : X → Y b˛edzie odwzorowaniem liniowym i ci ˛agłym mi˛edzy dwoma przestrzeniami Banacha. Wówczas L jest ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux oraz L⁰(x; h) = Lh dla dowolnego ustalonego x ∈ X i wszystkich h ∈ X . W przypadku, gdy L nie jest ci ˛agły, a jedynie liniowy, to posiada on jedynie wariacj˛e Gâteaux.

Przykład 2.3.5 (Funkcja nieci ˛agła ró˙zniczkowalna w sensie Gâteaux). Jako przykład takiej funkcji słu˙zy

f (x, y) =







1, x = y², y > 0,

0, dla pozostałych.

Funkcja f jest nieci ˛agła w (0, 0), ale ma w nim pochodn ˛a Gâteaux (b˛ed ˛ac ˛a odwzorowaniem to˙zsamo´sciowo równym zeru).

Przykład 2.3.6. Funkcja f :R²→ R okre´slona we współrz˛ednych biegunowych f (x, y) = r cos3ϕ, (x, y) =¡r cosϕ, r sinϕ¢

ma w punkcie (0, 0) wariacj˛e Gâteaux, ale nie jest ona pochodn ˛a Gâteaux.

Twierdzenie 2.3.7 (Reguła Fermata dla pochodnych Gâteaux). Niech f : E → R.

Je´slix jest argumentem minimum funkcjonału f nad E oraz f jest ró˙zniczkowalny w sensie Gâteaux (conajmniej w punkciex), to dowolnego h ∈ E zachodzi

f⁰(x) , h®

E^∗,E= 0.

(26)

Dowód. Skoro f jest ró˙zniczkowalny w sensie Gâteaux w x, to ma te˙z pierwsz ˛a wariacj˛e w sensie Lagrange’a. Zatem korzystaj ˛ac z reguły Fermata wprowadzonej dla wariacji mamy, ˙ze dla dowolego kierunku h zachodzi

f⁰(x) , h®

E^∗,E≥ 0.

Bior ˛ac kierunek −h otrzymujemy, ˙ze równie˙z

f⁰(x) , h®

E^∗,E≤ 0.

I st ˛ad mamy tez˛e.

2.4. Pochoda Fréchete’a

Ostatnim z poj˛e´c ró˙zniczkowalno´sci jest poj˛ecie pochodnej Fréchete’a, które tym ró˙zni si˛e od poj˛ecia pochodnej Gâteaux, i˙z gwarantuje ci ˛agło´s´c odzworowania w punkcie, oraz pozwala na pewien rodzaj liniowej aproksymacji wokół punktu ró˙zniczkowalno´sci. Pochodna Gâteaux pozwala jedynie na liniowe aproksymacje po kierunkach.

Definicja 2.4.1 (Pochodna Fréchete’a). Niech X , Y b˛ed ˛a przestrzeniami unormowanymi oraz niech f : X → Y . Powiemy, ˙ze odwzorowanie f jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a w punkciex ∈ X je´sli istnieje operator liniowy i ci ˛agłyf⁰(x) : X → Y taki, ˙ze

lim

khk→0

k f (x + h) − f (x) − f⁰(x)hk

khk = 0. (2.6)

Odwzorowanie f jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Fréchete’a, je˙zeli odwzorowanie f⁰: X 3 x 7→ f⁰(x) ∈ L (X ,Y ) jest ci ˛agłe wzgl˛edem odpowiednich normowych topologii.

Zauwa˙zmy, i˙z wprowadzenie w przestrzeni X lub Y równowa˙znej normy nie zmieni pochodnej Fréchete’a, tzn. b˛edzie ni ˛a dalej ten sam operator. Odno´snie ró˙zniczkowalno´sci w sensie Fréchete’a mamy jeszcze inne alternatywne podej´scie:

odwzorowanie f⁰(x) : X → Y , f⁰(x) ∈ L (X ,Y ), jest pochodna Fréchete’a f w x ∈ X je´sli dla dowolnego h ∈ X zachodzi

f (x + h) − f (x) = f⁰(x)h + o (h),

(27)

gdzie

lim

khk→0

ko (h)k khk = 0.

Wła´snie powy˙zsza formuła mówi w zasadzie o liniowej aproksymacji odwzorowania w otoczeniu punktu ró˙zniczkowalno´sci. Mo˙zna, podaj ˛ac definicje pochodnej wy˙zszego rz˛edu, wprowadzić równie˙z odpowiednik znanego wzoru Taylora. Na gruncie teoretycznym nie sprawia to wi˛ekszych trudno´sci, niemniej jednak stosowalno´sć takich wyników, ze wzgl˛edu na stopie ń skomplikowania pochodnych wy˙zszych rz˛edów, nie byłaby (i zreszt ˛a nie jest) trywialna.

Odwzorowanief : X → Y ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a w x ∈ X , jest w tym punkcie ci ˛agłe. Istotnie, wzi ˛awszy ustaloneε > 0, znajdujemy δ > 0 tak ˛a, ˙ze dla khk < δ, h ∈ X , zachodzi

k f (x + h) − f (x)k − k f⁰(x)hk ≤ kf (x + h) − f (x) − f⁰(x)hk ≤ εkhk.

St ˛ad

k f (x + h) − f (x)k ≤¡

ε + kf⁰(x)k¢ khk.

Przechodz ˛ac z khk → 0, otrzymujemy, i˙z f jest ci ˛agłe w x.

Odwzorowanie ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a w pewnym punkcie x jest w tym punkcie ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux i obie pochodne s ˛a to˙zsame. Łatwo to pokaza´c ustalaj ˛ac w (2.6) kierunek h i bior ˛ac w definicji pochodnej Fréchete’a zamiast h element λ · h, gdzie λ > 0. Wtedy mamy (pami˛etaj ˛ac, ˙ze f⁰(x) jest odwzorowaniem liniowym)

lim

kλhk→0

k f (x + λh) − f (x) − λ f⁰(x)hk

kλhk = lim

λ→0

k f (x + λh) − f (x) − λ f⁰(x)hk

λ = 0.

Odwzorowanie f, które jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Gâteaux, jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Fréchete’a, czyli klasy C¹. Ci ˛agło´s´c pochodnej Gâteaux rozumiemy nast˛epuj ˛aco:

NiechX , Y b˛ed ˛a przestrzeniami unormowanymi oraz niechf : X → Y . Powiemy,

˙ze odwzorowanie f : X → Y jest ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Gâteaux na X , je˙zeli jest ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux w ka˙zdym punkcie x ∈ X oraz odwzorowanief⁰: X → L (X ;Y ) jest ci ˛agłe.

(28)

Głównie z takimi jak powy˙zej odwzorowaniami b˛edziemy mie´c do czynienia.

Ponadto w ten sposób łatwiej sprawdzi´c ró˙zniczkowalno´s´c w sensie Fréchete’a.

Znacznie łatwiej ni˙z szacowa´c zbie˙zno´s´c reszty o (h) . Dokładniej to zagadnienie przeanalizujemy badaj ˛ac dalej problem brzegowy typu Dirichleta.

Przykład 2.4.2. Przykładem odwzorowania, które jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a w x₀= 0 ale nie jest tam ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły, jest funkcja

f :R → R dana wzorem

f (x) =







x², x wymierne,

0, x niewymierne.

Trzeba jeszcze na koniec wspomnieć o dwóch istotnych zagadnieniach: regule ró˙zniczkowania zło˙zonego oraz twierdzeniu o warto´sci ´sredniej. Odno´snie reguły ró˙zniczkowania obowi ˛azuje nast˛epuj ˛ace prawo, które mo˙zemy wysłowić nieformalnie, zanim podamy odpowiednie twierdzenie: mo˙zemy ró˙zniczkować zło˙zenie, je˙zeli odwzorowanie zewn˛etrzne jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a, natomiast odwzorowanie wewn˛etrzne posiada dowoln ˛a inn ˛a z wprowadzonych pochodnych. Wówczas zło˙zenie jest co najmniej tak samo ró˙zniczkowalne, jak odwzorowanie wewn˛etrzne. Poni˙zej sformułowane twierdzenie mo˙zna wypowiedzieć z łatwo´sci ˛a dla ró˙zniczkowalno´sci w punkcie oraz w przypadku, gdy dziedziny składanych odwzorowa ń ograniczaj ˛a si˛e do pewnych podzbiorów otwartych rozwa˙zanych przestrzeni. Przestrzenie Banacha mo˙zna równie˙z zast ˛apić odpowiednio przestrzeni ˛a liniow ˛a przy rozwa˙zaniu istnienia wariacji w sensie Lagrange’a.

Twierdzenie 2.4.3 (Reguła ró˙zniczkowania zło˙zonego). Niech X, Y , Z b˛ed ˛a przestrzeniami Banacha i zało˙zmy, ˙ze odwzorowanief : Y → Z jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a, natomiast odwzorowanieg : X → Y posiada pochodn ˛a Gâteaux lub pochodn ˛a Fréchete’a. Wówczas zło˙zenie f ◦ g jest ró˙zniczkowalne co najmniej w tym samym sensie, co odwzorowanie g. Niech x ∈ X b˛edzie dowolne. Wówczas dla wszystkichh ∈ X zachodzi

( f ◦ g)⁰(x; h) = f⁰(g (x)) ◦ g⁰(x; h) .

(29)

Uwaga 2.4.4. Je˙zeli g jest ró˙zniczkowalne co najmniej w sensie Gâteaux, to powy˙zsz ˛a formuł˛e mo˙zemy zapisa´c formalnie dlax ∈ X

( f ◦ g)⁰(x) = f⁰(g (x)) ◦ g⁰(x) korzystaj ˛ac z liniowo´sci obu pochodnych.

Przykład 2.4.5. Niech X = Y = R², Z = R oraz ϕ : R² → R² niech b˛edzie odwzorowaniem klasy C¹danym wzorem

ϕ(x, y) = ¡ϕ1(x, y) ,ϕ2(x, y)¢ = ¡x², y¢ oraz f :R²→ R jest znan ˛a ju˙z nam funkcj ˛a

f (x, y) =







1, x = y², y > 0,

0, dla pozostałych,

nieci ˛agł ˛a w (0, 0), ale maj ˛ac ˛a w nim pochodn ˛a Gâteaux. Zło˙zenie g = f ◦ ϕ ma posta´c

g (x, y) = f¡

ϕ1(x, y) ,ϕ2(x, y)¢ =







1, |x| = y > 0,

0, dla pozostałych.

Widzimy, ˙ze g w przeciwie ´nstwie do f nie jest ró˙zniczkowalna w sensie Gâteaux.

Uwaga 2.4.6. Niech H b˛edzie rzeczywist ˛a przestrzeni ˛a Hilberta z iloczynem skalarnym 〈·,·〉. Mo˙zemy teraz wróci´c do przykładu 2.3.2 i rozwa˙zy´c funkcj˛e

f : H → R dan ˛a wzorem

f (x) = 2p

〈x, x〉 = kxk.

Korzystaj ˛ac z wcze´sniej wyprowadzonego wzoru oraz reguły ró˙zniczkowania zło˙zonego mamy, ˙ze f⁰jest nast˛epuj ˛acej postaci dla x 6= 0H

h 7→ 1

p〈x, x〉〈x, h〉 . Twierdzenie o warto´sci ´sredniej ma nast˛epuj ˛ac ˛a posta´c

(30)

Twierdzenie 2.4.7 (Twiedzenie o warto´sci ´sredniej). Niech X , Y b˛ed ˛a przestrzeniami Banacha i zało˙zmy, ˙ze f : X → Y jest ró˙zniczkowalne w sensie Fréchete’a. Wówczas dla dowolnego przedziału [a, b] ⊂ X zachodzi

k f (b) − f (a)kY≤ sup

ξ∈(a,b)

°

°f⁰(ξ)°°_{L(X ;Y )}kb − akX.

Nie ma odpowiednika klasycznego Twierdzenia Lagrange’a na przypadek przestrzeni innych ni˙z prosta rzeczywista. Istotnie, bior ˛ac f :R → R²dane wzorem

f (t) = [sin t,−cos t] na przedziale [0,2π] widzimy, ˙ze f (2π) − f (0) = 0 oraz dla dowolnego c ∈ (0,2π) mamy

f⁰(c) (2π − 0) = [2πcos t,2πsin t] 6= 0.

Brak takiego odpowiednika nie jest przeszkod ˛a w stosowaniu twierdzenia o warto´sci ´sredniej. Liczba c nie jest znana, st ˛ad i tak w oszacowaniach pojawiaj ˛a si˛e najcz˛e´sciej nierówno´sci w postaci omawianej powy˙zej.

Poniewa˙z Reguła Fermata (twierdzenie 2.3.7) dla pochodnych Fréchete’a ma tak ˛a sam ˛a posta´c, jak dla pochodnej Gâteaux, nie b˛edziemy jej wi˛ec przytacza´c.

Zako ´nczymy ten paragraf opisem metody badania ci ˛agło´sci pochodnej Gâteaux.

Uwaga 2.4.8. Niech X, Y b˛ed ˛a przestrzeniami unormowanymi oraz odwzorowanie f : X → Y ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux na X . Odwzorowanie f⁰: X → L (X ;Y ) jest ci ˛agłe w punkcie x₀∈ X (czyli jest ró˙zniczkowalne w sensie Gâteaux w sposób ci ˛agły wx0) je˙zeli dla dowolnego ci ˛agu (xn) takiego, ˙ze xn→ x0zachodzi

f⁰(x_n; h) 7→ f⁰(x₀; h) przy n → ∞

w Y jednostajnie wzgl˛edem h ze sfery jednostkowej w X . Ka˙zde odzworowanie ró˙zniczkowalne w sposób ci ˛agły w sensie Gâteaux jest ró˙zniczowalne w sposób ci ˛agły w sensie Fréchete’a.

(31)

Przykład 2.4.9. Wró´cmy do przykładu 2.3.2. Mo˙zemy teraz uzasadni´c, ˙ze funkcjonał x 7→¹₂〈x, x〉, którego pochoda Gâteaux w dowolnym punkcie jest postaci

h → 〈x, h〉

jest klasy C¹, czyli ró˙zniczkowalny w sposób ci ˛agły. We´zmy dowolny ci ˛ag (x_n) ⊂ H taki, ˙ze xn→ x0. Z nierówno´sci Schwarza mamy skoro khk = 1

|〈xn− x0, h〉| ≤ kxn− x0k khk ≤ kxn− x0k → 0.

St ˛ad mamy, ˙ze funkcjonał

x 7→1 2〈x, x〉

jest klasy C¹.

Przykład 2.4.10. Korzystaj ˛ac z powy˙zszego przykładu łatwo znale´z´c pochodn ˛a funkcjonału

f (x) = kxk^p

dla p ≥ 2 okre´slonego na pewnej rzeczywistej przestrzeni Hilberta. Istotnie, wystarczy f zapisa´c nast˛epuj ˛aco:

f (x) = 〈x, x〉^p²

i skorzysta´c z reguły ró˙zniczkowania zło˙zonego oraz przykładu 2.3.2. Mamy wtedy dla dowolnych x, h ∈ E

f⁰(x; h) = 〈x, x〉^p²⁻¹〈x, h〉 = kxk^p−2〈x, h〉 .

Z powy˙zszej formuły jasno wynika, ˙ze ci ˛agło´s´c pochodnej jest oczywista.

(32)

ROZDZIAŁ

3

Zasada Wariacyjna Ekelanda

Zasada wariacyjna Ekelanda jest jednym z kluczowych narz˛edzi współczesnego rachunku wariacyjnego. Mo˙zna w zasadzie powiedzie´c, i˙z jest on na niej zbudowany. Samo sformułowanie jakkolwiek intuicyjnie oczywiste umiejscowione jest w przestrzeni, w której z zasady nie mo˙zna ró˙zniczkowa´c, a mianowicie w przestrzeni metrycznej. Ma to gł˛ebsze znaczenie. Wiadomo, ˙ze domkni˛eta kula w przestrzeni Banacha nie jest podprzestrzeni ˛a liniow ˛a tej przestrzeni, ale przestrzeni ˛a metryczn ˛a ju˙z jest. A jak ju˙z wiemy, argumentu mimimum szukali´smy najcz˛e´sciej albo na kulach (zbiorach ograniczonych po prawdzie, ale to na jedno wychodzi) albo na całej przestrzeni.

3.1. Podstawowe twierdzenie

Sformułowanie zasady wariacyjnej Ekelanda jest nast˛epuj ˛ace:

Twierdzenie 3.1.1 (Zasada wariacyjna Ekelanda). Niech (X, d) b˛edzie zupełn ˛a przestrzeni ˛a metryczn ˛a. Załó˙zmy, ˙zef : X → R∪{+∞} jest funkcjonałem wła´sciwym półci ˛agłym z dołu oraz ograniczonym od dołu. Niechε > 0 i niech uε∈ X b˛edzie elementem takim, ˙ze

f (u_ε) ≤ inf

u∈Xf (u) + ε.

Wtedy dla dowolnegoδ > 0, istnieje yεtaki, ˙ze (E1) f ( y_ε) ≤ f (uε),

(E2) d (u_ε, y_ε) < δ,

(33)

3. Zasada Wariacyjna Ekelanda

(E3) f ( y_ε) < f (u) +^ε_δd(u, y_ε) dla wszystkich u ∈ X takich, ˙ze u 6= uε.

Dowód mo˙zna znale´z´c w licznych monografiach i podr˛ecznikach, np. Mawhina [9] lub Yabriego [5]. Bezpo´srednie stosowanie powy˙zszej zasady mo˙ze by´c uci ˛a˙zliwe, ale mamy, w przypadku funkcjonału ró˙zniczkowalnego, a taki nas interesuje, nast˛epuj ˛acy wniosek.

Wniosek 3.1.2. (Zasada wariacyjna Ekelanda dla funkcjonału ró˙zniczkowalnego).

Załó˙zmy, ˙ze funkcjonał f ∈ C¹(E,R) jest ograniczony z dołu. Wtedy dla dowolnego ε > 0 oraz u ∈ E takiego, ˙ze

f (u) ≤ inf

x∈Ef (x) + ε istniejev ∈ E taki, ˙ze

(ER1) f (v) ≤ f (u), (ER2) ku − vk ≤pε, (ER3)°

°f⁰(v)°

°≤p ε.

Dowód. W dowodzie wykorzystuje si˛e Zasad ˛e Wariacyjn ˛a Ekelenada (twierdzenie 3.1.1) w sposób nast˛epuj ˛acy. Kładziemyδ =p

ε. St ˛ad od razu mamy,

˙ze istnieje v takie, ˙ze warunki (ER1) oraz (ER2) s ˛a spełnione. Z warunku (E3) mamy korzystaj ˛ac z ró˙zniczkowalno´sci dla dowolnych w ∈ E oraz t > 0

f (v) − f (v + tw)

t ≤p

εkwk St ˛ad

− f⁰(v) , w®

E^∗,E≤p εkwk oraz bior ˛ac −w zamiast w równie˙z

f⁰(v) , w®

E^∗,E≤p εkwk.

Czyli

¯

¯ f⁰(v) , w®

E^∗,E

¯

¯ ≤

pεkwk.

Uwzgl˛edniaj ˛ac fakt, ˙ze f⁰jest odwzorowaniem liniowym i ci ˛agłym mamy

°°f⁰(v)°

°E^∗≤ sup

kwk=1

¯

¯ D

f⁰(v) , w E

E^∗,E

¯

¯≤p ε.

(34)

Uwaga 3.1.3. W powy˙zszym twierdzeniu o funkcji f wystarczy zało˙zy´c, ˙ze jest ró˙zniczkowalna w sensie Gâteaux (pochodna jest wtedy równie˙z odwzorowaniem liniowym i ci ˛agłym) oraz półci ˛agła z dołu.

Uwaga 3.1.4. Powy˙zsze twierdzenie dostarcza informacji o zachowaniu si˛e pochodnej funkcjonału f na ci ˛agu minimalizuj ˛acym. Precyzyjniej mówi ˛ac bior ˛ac dowolny ci ˛ag minimalizuj ˛acy (v_n) jeste´smy w stanie uzyska´c taki ci ˛ag minimalizuj ˛acy (xn) dla f na D ⊆ E, ˙ze ( f (xn)) jest zbie˙zny do inf_x∈Df (x), natomiast ci ˛ag ¡ f⁰(xn)¢ jest zbie˙zny do 0. Ale to nie przes ˛adza w ˙zadnym razie o zbie˙zno´sci ci ˛agu (xn).

Niech nast˛epuj ˛acy przykład posłu˙zy jako swego rodzaju przestroga.

Przykład 3.1.5. Dana jest funkcja

f (x) = exp(x), wtedy (xn) = (−n) oraz

f (x_n) → 0 = inf

x∈Rf (x) i f⁰(xn) → 0.

Przy tym nie istnieje punkt x₀taki, ˙ze inf_x∈Rf (x) = f (x0) .

3.2. Warunek Palais-Smale’a i Zasada Wariacyjna Ekelanda

Podane wy˙zej przykłady sugeruj ˛a, ˙ze nie wszystkie ci ˛agi minimalizuj ˛ace s ˛a wygodne do przybli˙zania nimi minimum (nie wszystkie s ˛a zbie˙zne, b ˛ad´z bywa tak, ˙ze wszystkie s ˛a rozbie˙zne jak dla funkcji x → exp(x)). Zatem sensownie jest wyodr˛ebni´c klas˛e funkcjonałów, dla których b˛edziemy wiedzieli, ˙ze ci ˛ag minimalizuj ˛acy (a dokładniej pewien jego odpowiednio wybrany podci ˛ag) jest jednocze´snie ci ˛agiem punktów prawie krytycznych (czyli takich, ˙ze f⁰(xn) → 0).

Taki jest sens podanej poni˙zej definicji warunku Palais-Smale’a. Przypomnijmy,

˙ze E jest przestrzeni ˛a Banacha.

(35)

Definicja 3.2.1. (Warunek Palais-Smale’a) Załó˙zmy, ˙ze funkcjonał f : E → R jest ró˙zniczkowalny w sensie Gâteaux. Mówimy, ˙ze funkcjonał f spełnia warunek Palais-Smale’a je´sli z ka˙zdego ci ˛agu (x_n) takiego, ˙ze

(PS1) ( f (x_n)) jest ograniczony, oraz (PS2) f⁰(x_n) → 0

mo˙zna wybra´c podci ˛ag zbie˙zny.

W przypadku, gdy E = Rⁿ warunek (PS2) oznacza, i˙z wszystkie pochodne cz ˛astkowe zbiegaja do 0, a gdy E jest niesko ´nczenie wymiarow ˛a przestrzeni ˛a Banacha, oznacza on zbie˙zno´s´c ci ˛agu ¡ f⁰(x_n)¢

w przestrzeni sprz˛e˙zonej E^∗ (co niekiedy si˛e zapisuje°

°f⁰(x_n)°

°E^∗→ 0).

Je´sli funkcja (funkcjonał) spełnia warunek Palais-Smale’a to b˛edziemy czasem pisa´c, ˙ze f spełnia warunek (PS).

Przykład 3.2.2. 1. Łatwo sprawdzić, ˙ze ka˙zdy funkcjonał koercytywny okre´slony na przestrzeni sko ńczenie wymiarowej spełnia warunek (PS). Istotnie, wybierzmy dowolny ci ˛ag (x_n) ⊂ R^k taki, ˙ze ( f (x_n)) ⊂ R jest ograniczony. Zatem ci ˛ag (x_n) jest ograniczony. Istotnie, przypu´sćmy przeciwnie. Wtedy ci ˛ag jego norm (kxnk) d ˛a˙zy do +∞, natomiast ci ˛ag ( f (x_n)) jest ograniczony, co jest niemo˙zliwe. St ˛ad mo˙zemy wybrać podci ˛ag zbie˙zny o ˙z ˛adanych własno´sciach.

2. Warunek (PS) nie jest spełniony dla funkcji f (x) = e^x- por. Przykład 3.1.5.

Nale˙zy podkre´slić, i˙z w przestrzeniach niesko ńczonego wymiaru funkcjonał koercytywny nie musi spełniać warunku Palais-Smale’a poza pewnymi szczególnymi sytuacjami.

Pozostaje powi ˛aza´c spełnianie przez funkcjonał warunku (PS) z istnieniem minimum. Mówi o tym nast˛epuj ˛ace twierdzenie w którym nie ˙z ˛adamy słabej półci ˛agło´sci z dołu funkcjonału f (o której powiemy w podrozdziale 5.1) ale w zamian zakładany jest warunek (PS).

(36)

Twierdzenie 3.2.3 (Twierdzenie o istnieniu argumentu minimum). Załó˙zmy, ˙ze f ∈ C¹(E,R) spełnia warunek (PS) oraz ˙ze funkcjonał f jest ograniczony z dołu.

Wtedy zadanie (P) posiada rozwi ˛azanie, czyli istniejex₀, taki, ˙ze f (x₀) = inf

x∈Ef (x) .

Dowód. Bior ˛acε :=_n¹ oraz korzystaj ˛ac z definicji kresu dolnego znajdujemy ci ˛ag (x_n) taki, ˙ze

f (x_n) ≤ inf

x∈Ef (x) +1

n dla n ∈ N.

Korzystaj ˛ac z Zasady Wariacyjnej Ekelanda (twierdzenie 3.1.1) istnieje ci ˛ag (v_n) taki, ˙ze dla dowolnego n ∈ N

f (vn) ≤ f (xn), kvn− xnk ≤

q1 n,

°°f⁰(v_n)°

°≤ q1

n. Dodatkowo

x∈Einff (x) ≤ f (vn) ≤ inf

x∈Ef (x) +1 n.

Na podstawie warunku (PS) ci ˛ag (vn) posiada podci ˛ag¡vn_k¢ zbie˙zny do pewnego ¯x.

Zauwa˙zmy, na koniec ˙ze

f ( ¯x) = lim

k→∞f (v_n_k) = inf

x∈Ef (x) .

Zauwa˙zmy, ˙ze szczegółowa analiza powy˙zszego dowodu pozwala na osłabienie zało˙ze ´n dotycz ˛acych regularno´sci funkcjonału f . Mamy nast˛epuj ˛acy:

Wniosek 3.2.4 (Istnienie argumentu minimum dla funkcjonału ograniczonego od dołu i spełniaj ˛acego (PS)). Załó˙zmy, ˙ze funkcjonał f : E → R jest ró˙zniczkowalny w sensie Gâteaux, jest półci ˛agły z dołu oraz spełnia warunek (PS) oraz ˙ze f jest ograniczony z dołu. Wtedy istniejex0, taki, ˙ze

f (x0) = inf

x∈Ef (x) .

Powi ˛azawszy warunek (PS) z istnieniem argumentu minimum dla funkcjonału ograniczonego z dołu, zbadamy teraz zwi ˛azek warunku (PS) z jego koercytywno´sci ˛a.

(37)

Twierdzenie 3.2.5 (Zwi ˛azek koercytywno´sci i warunku (PS)). Załó˙zmy, ˙ze f ∈ C¹(E,R) spełnia warunek (PS) oraz ˙ze funkcjonał f jest ograniczony z dołu.

Wówczas f jest koercytywny.

Dowód. Przypu´s´cmy przeciwnie. Zatem znajdziemy ci ˛ag (x_n) taki, ˙ze kxnk → ∞, kxnk ≥ 2n dla n ∈ N

oraz

n→∞lim f (xn) = d ∈ R.

Na podstawie Zasady Wariacyjnej Ekelanda (twierdzenie 3.1.1) zastosowanej dla

εn= d +1 n− inf

x∈Ef (x) mo˙zemy wybra´c ci ˛ag (v_n) w taki sposób, ˙ze

kvn− xnk ≤p ε oraz

kvnk ≥ kxnk − kvn− xnk ≥ 2n − n = n.

Ponadto,

x∈Einff (x) ≤ f (vn) ≤ inf

x∈Ef (x) +1 n i dodatkowo

°°f⁰(vn)°

°<p ε.

Skoro f spełnia warunek (PS), to (x_n) ma podci ˛ag zbie˙zny, co jest niemo˙zliwe.

3.3. Lemat o przeł ˛eczy górskiej

Twierdzenie o przeł˛eczy górskiej jest bardzo mocno eksploatowanym narz˛edziem w toerii punktu krytycznego. Udowodnienie tego twierdzenia przekracza ramy niniejszego skryptu. Podanie licznych komentarzy koniecznych dla dogł˛ebnego zrozumienia prezentowanego materiału równie˙z jest tutaj niemo˙zliwe.

Zainteresowanego Czytelnika odsyłamy do literatury: np. monografie Mawhina, Yabriego mog ˛a słu˙zy´c jako dobre wprowadzenia w tematyk˛e.

(38)

Twierdzenie 3.3.1 (O przeł˛eczy górskiej). Załó˙zmy, ˙ze J ∈ C¹(E,R) spełnia warunek Palais-Smale’a. Przypu´s´cmy ponadto, ˙ze

1. J(0) = 0;

2. istniej ˛a stałeρ > 0 i α > 0 takie, ˙ze

J(u) ≥ α dlau ∈ E spełniaj ˛acych kuk = ρ;

3. istnieje elementu₁wE taki, ˙ze

ku1k ≥ ρ, J(u1) < α.

Wówczas J osi ˛aga warto´s´c krytyczn ˛ac ≥ α. Co wi˛ecej, c mo˙zna scharakteryzowa´c poprzez

infg∈Γ max

u∈g([0,1])J(u), gdzie

Γ= {g ∈ C([0, 1], E) : g(0) = 0, g(1) = u1}.

Lemat o przeł˛eczy górskiej jest równie˙z wynikiem dotycz ˛acym rozwi ˛azalno´sci równania J⁰(x) = 0. Skoro warto´s´c krytyczna c > 0 oraz J(0) = 0, to od razu widzimy, ˙ze rozwi ˛azanie zerowe, czyli trywialne, jest wykluczone.

W przypadku przestrzeni sko ´nczenie wymiarowej jak pami˛etamy spełanianie warunku Palais–Smale’a jest zagwarantowane je´sli funkcjonał jest koercytywny.

St ˛ad mamy wniosek

Wniosek 3.3.2. Załó˙zmy, ˙ze J ∈ C¹(Rⁿ,R) jest korecytywny. Spełnione s ˛a warunki 1.-3. z twierdzenia 3.3.1. Wówczas J osi ˛aga warto´s´c krytyczn ˛ac ≥ α. Co wi˛ecej, c mo˙zna scharakteryzowa´c poprzez

infg∈Γ max

u∈g([0,1])J(u).