6.1 Modele otwarte i zamknięte
Modelem zamkniętym nazywać będziemy model, w którym nowe jednostki powstają tylko poprzez narodziny, zatem ich historia jest w pełni wyjaśniona przez model.
Model otwarty to model, w którym nowa jednostka jest tworzona w inny sposób niż narodziny dziecka.
Występują dwa rodzaje wypadków kiedy nowe jednostki mogą powstać w inny sposób niż narodziny. Pierwszy odnosi się do migracji zewnętrznych, drugi – do ustanowienia powiązań między jednostkami. Jeżeli ktoś emigruje tj. opuszcza populację badania w inny sposób niż poprzez śmierć, to taka osoba po prostu przestaje być związana z populacją badania, a indywidualny zapis zawierający wszystkie cechy jest usuwany z bazy danych.
Odwrotnie dzieje się w przypadku imigracji, której zaistnienie sprawia, że nowy zapis o jednostce powinien być dodany do bazy danych. Ze względu na to, że imigrant nie był wcześniej w bazie danych, nie jest jasne jakie wartości dla różnych cech powinien zawierać nowy zapis jednostkowy. Zatem nowa jednostka jest tworzona ex nihilo i pewne procedury określenia jednostkowych cech demograficznych i innych istotnych zmiennych muszą być uruchomione. W wielu mikrosymulacyjnych modelach demograficznych związki pomiędzy poszczególnymi jednostkami odgrywają ważną rolę. Osiąga się to przez włączanie określonych oznaczeń w jednostkowych zapisach danych tj. odniesienie do numerów identyfikacyjnych innych zapisów jednostkowych. W przypadku urodzeń, numer identyfikacyjny dziecka może być dodany do zapisu jednostkowego matki i numer identyfikacyjny matki może być dodany do zapisu jednostkowego dziecka. W dodatku, jeżeli zapis jednostkowy matki zawiera odniesienie do zapisu jednostkowego męża, powiązanie pomiędzy ojcem i dzieckiem może być również ustanowione. Jednakże ustalenie takich powiązań pomiędzy jednostkami nie zawsze jest łatwe. Na przykład dotyczy to kobiety w
79
próbie, co do której eksperyment Monte Carlo określił, że potencjalnie może ona zawrzeć małżeństwo. W tej sytuacji połączenie musi być ustanowione z zapisem jednostkowym mężczyzny. Jeżeli model jest modelem zamkniętym mąż powinien być istniejącym zapisem jednostkowym w bazie danych. Odpowiedni zapis jednostkowy powinien zostać wówczas określony. Z drugiej strony jest również możliwe stworzenie „nowego męża” ex nihilo podobnie jak w przypadku imigranta.
Model otwarty jest łatwiejszy do stworzenia niż model zamknięty, w którym nie ma potrzeby dopasowywania jednostek. Jednakże są dwa główne problemy z otwartą populacją:
• określenie historii charakterystyk nowo utworzonej jednostki jest bardzo trudne
• niezgodność pojawiająca się pomiędzy jednostkami „rdzennymi”, których obecna sytuacja jest całkowicie określona przez dynamiczny model, a jednostkami których stan jest określony przez statyczne procedury.
6.2 Modele ciągłe i dyskretne.
W teorii zdarzenia pojawiają się w ciągłym czasie. Mogą być one modelowane przez określenie losowego czasu oczekiwania (dając stan obecny) aż do pojawienia się zdarzenia opisanego odpowiednią funkcją rozkładu. Jeżeli jest kilka możliwych zdarzeń, jeden czas oczekiwania jest przypisany każdemu z nich i zdarzenie z najkrótszym czasem oczekiwania jest wtedy symulowane. Procedura jest powtarzana aż do pojawienia się zdarzenia „śmierć”.
Dla każdego momentu ciągłego czasu, stan jednostek może być określony z ich sekwencji zdarzeń.
Z drugiej strony, w ramach dyskretnego czasu stan każdej jednostki jest modelowany tylko dla dyskretnych punktów czasu. Pozwala to istotnie uprościć model. Natomiast z drugiej strony muszą być wzięte pod uwagę możliwości wielu różnych zdarzeń w danym okresie czasu. Upraszczając, modelowanie procesu w dyskretnym czasie równa się modelowaniu zmian w stanie indywidualnych mikrojednostek pomiędzy następującymi po sobie punktami czasu.
Modele ciągłe mają dwie zalety: są one obliczeniowo bardziej efektywne i są one lepiej przygotowane do przedstawienia „ryzyk konkurencyjnych”. W modelach zamkniętych dopasowywanie jednostek pomiędzy tymi, u których powinny być ustanowione powiązania, jest pojęciowo skomplikowane oraz wymogi co do danych są olbrzymie w porównaniu do tych z modelu dyskretnego. Z tych powodów większość istniejących modeli mikrosymulacyjnych jest określonych w czasie dyskretnym.
80
6.3 Ryzyko konkurencyjne i zdarzenia złożone
Ryzyko konkurencyjne odnosi się nie tylko do ustalenia czasu wystąpienia określonego zdarzenia ale do określenia, które zdarzenie będzie wynikiem procesu spośród zdarzeń wykluczających się. Na przykład kobieta niezamężna jest narażona zarówno na ryzyko małżeństwa jak i na ryzyko śmierci. Jednakże, jeżeli kobieta umrze małżeństwo będzie niemożliwe do zrealizowania. Ryzyko konkurencyjne może być użyte również do określenia powiązania pomiędzy dwoma procesami, które się nie wykluczają. Na przykład:
kobita niezamężna jest narażona na ryzyko małżeństwa jak i na ryzyko urodzenia dziecka.
Kiedy wyjdzie za mąż ryzyko urodzenia dziecka wzrasta. Ryzyko konkurencyjne jest łatwe do uchwycenia w modelach ciągłych gdzie zdarzenie o najkrótszym czasie oczekiwania realizuje się jako pierwsze. Jednak większość modeli mikrosymulacujnych jest określonych w ramach czasu dyskretnego, gdzie występuje problem zdarzeń złożonych tj. pojawianie się kilku zdarzeń w jednym odcinku czasu. W przypadku zdarzeń złożonych kolejność pojawiania się zdarzeń elementarnych nie jest bez znaczenia. Na przykład: w tym samym odcinku czasu kobieta jest symulowana do urodzenia dziecka i śmierci. Zatem o narodzinach jej dziecka zdecyduje to, które ze zdarzeń pojawi się jako pierwsze.
W modelach dyskretnych z definicji nie jest znany moment zdarzenia w danym odcinku czasu. Możemy to rozwiązać następująco:
• Zastosowanie ustalonego porządku zdarzeń np.: umieralność przed płodnością
• Ustalenie losowego porządku zdarzeń. Zdarzenie z największym prawdopodobieństwem powinno mieć największe szanse zaistnienia jako pierwsze.
• Metoda dwuetapowa:
o wyznaczenie prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń złożonych.
o dzięki użyciu metody Monte Carlo określenie, które zdarzenie zaistnieje.
6.4 Zdarzenia powiązane z kilkoma jednostkami
Zdarzeniami powiązanymi z klilkoma jednostkami będziemy nazywali zdarzenia, których konsekwencje dotyczą więcej niż jednej jednostki. Zdarzenia są bezpośrednio związane z problemem zgodności (np. zdarzenie złożone małżeństwo, ilość zamężnych kobiet musi się równać liczbie żonatych mężczyzn). W mikro symulacji konsekwencja jednego
81
zdarzenia może być łatwo wprowadzona do wszystkich jednostek powiązanych. Na przykład, jeżeli kobieta jest wybrana do „rozwodu” jej stan cywilny jest zmieniony i stan jej (już byłego) męża również.
Jeżeli chodzi o rozwiązanie powiązań (rozwód) mamy cztery rodzaje możliwych rozwiązań:
• Kobieta dominująca – zdarzenie „rozwód” jest symulowane dla kobiety na podstawie prawdopodobieństwa rozwodu.
• Mężczyzna dominujący - zdarzenie „rozwód” jest symulowane dla mężczyzny.
• Na podstawie małżeństwa – jest jedno równanie określające prawdopodobieństwo rozwodu, które zawiera dane obu małżonków (np.: wiek, czas trwania małżeństwa...).
symulując zdarzenie bierzemy pod uwagę zarówno kobietę, jak i mężczyznę (rozwiązanie to zwiększa losowość i prowadzi do dużych wymagań co do danych).
• Oparty na jednostce - są dwa równania prawdopodobieństwa jedno dla mężczyzn i jedno dla kobiet. Zdarzenie „rozwód” jest symulowane dwukrotnie: jeden raz biorąc pod uwagę kobiety, drugi raz mężczyzn. Każde małżeństwo jest dwukrotnie narażone na rozwód, z tego powodu tylko część prawdopodobieństw rozwodów danej płci może być brana pod uwagę (zwykle jest to 50%).
Bardzo dobrze możemy obserwować powiązania na przykładzie małżeństw. Jeżeli jednostka jest symulowana do małżeństwa należy znaleźć dla niej partnera. Jednym ze sposobów jest stworzenie partnera ”ex nihilo” (model otwarty). W modelach zamkniętych decyzja podejmowana jest podobnie jak przy rozwodach, a małżonka musimy dopasować, korzystająć z jednego ze sposobów:
• Kobieta dominuje – małżeństwo planowane jest dla kobiety. Pożądane dane małżonka są określone (np.: wylosowane z odpowiednich rozkładów) i poszukuje się następnie pasującego partnera. Jeżeli nie znaleziono partnera również symulacja małżeństwa nie dochodzi do skutku, lub poszukiwanie jest kontynuowane (złagodzenie oczekiwań).
• Mężczyzna dominuje – jak wyżej tylko odwrotnie.
• Wyczerpujące dopasowywanie: małżeństwa są symulowane dla mężczyzn i kobiet oddzielnie. Wszystkie jednostki, dla których podjęto decyzję o małżeństwie są dopasowywane z godnie z określonym algorytmem. Jednostki bez pary rezygnują z planów małżeńskich.
• Oparty na jednostce - małżeństwa są symulowane dla mężczyzn i kobiet oddzielnie, używając zmniejszonych o połowę prawdopodobieństw małżeństwa. Jednostka, która
82
przeszła przez te próbę jest dopasowywana do partnera, który nie przeszedł tego egzaminu.