u( x0, y0 , z0 ) = (z0 /2π)
∫ ∫
φ(x, y) dxdy / [ ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 + z02 ]3/2 (4..5.5) -∞ -∞Całkę po prawej stronie równania (4.5.5) nazywamy całką Poissona dla półprzestrzeni.
Zagadnienie Dirichleta dla kuli. Rozpatrzmy zagadnienie o postaci :
{ ∆u = 0 M ∈ Ωa (4.5.6)
{ u | Σa = φ(P) P ∈ Ωa
Ωa – kula o promieniu a o środku w początku układu współrzędnych, Σa – powierzchnia kuli Ωa Funkcja Greena dla tego zagadnienia ma postać ( szczegóły zobacz [ 6 str. 289 ] )
G(M, M0 ) = ( 1/ r ) + (a /ρ0 ) ( 1/ r1) (4..5.7)
Rozwiązanie postawionego zagadnienia dane jest wzorem :
u( M0 ) =
∯
φ (P) [ ( a2-
ρ02) / ( a2-
ρ02– 2aρ0cos(ψ)3/2] dS
(3.58) ΣaV. Inne waŜne równania wiąŜące się z zagadnieniami rfm.
1) Podstawowe równania hydrodynamiki (dynamika ośrodków ciągłych).
(Opracowano na podstawie ksiąŜek :
„Wstęp do fizyki” tom 2, część 1 – A.K. Wróblewski, J. K. Zakrzewski PWN „Hydrodynamika” -- L.D. Landau, E. M. Lifszyc ; WN-PWN 1994 )
Jak wiadomo istnieją dwie metody podejścia do zagadnień hydrodynamiki :
- metoda Eulera w której śledzimy ruch róŜnych cząstek płynu przechodzących przez jeden, określony punkt przestrzeni - metoda Lagrange’a w której śledzimy ruch poszczególnej cząstki płynu.
Przykładowo przepływ wody w rzece moŜna badać śledząc ruch kaŜdej jej cząstki ( metoda Lagrange’a ) lub badając zmiany ( w czasie ) przepływu w róŜnych jej miejscach ( metoda Eulera )
Zazwyczaj raczej interesuje nas co dzieje się w róŜnych chwilach w danym punkcie przestrzeni przez który przepływają róŜne cząstki, chętniej wiec stosuje się metodę Eulera.
Aby scharakteryzować ruch cieczy lub gazu ( ogólnie płynu ) musimy rozwaŜyć funkcje prędkości :
v = v( t, x, y, z ) = ( t, r ) - jest to funkcja czterech zmiennych niezaleŜnych. Przy ustalonych wartościach x, y, z i zmiennym czasie t funkcja ta opisuje prędkość w danym punkcie przestrzeni r , róŜnych przepływających przez ten punkt cząstek. Przy zmiennym r i ustalonym t, zadaje ona rozkład prędkości w przestrzeni w danej chwili t. Dla zmiennych zarówno r jak i t funkcja ta opisuje rozkład prędkości w przestrzeni i w róŜnych chwilach czasu t.
Dalszymi wielkościami charakteryzującymi ruch cieczy są :
gęstość : ρ(t, x, y, z) = ρ(t , r ), ciśnienie p(t, x, y, z) i gęstość sił zewnętrznych F(t, x, y, z).
Zjawiska rozpatrywane w hydrodynamice mają charakter makroskopowy – ciecz taktowana jest jako ośrodek ciągły.
Oznacza to, Ŝe dowolnie mały element objętości cieczy uwaŜany jest jednak na tyle duŜy, Ŝe zawiera dostatecznie duŜą liczbę jej cząstek. To oznacza, Ŝe mimo iŜ operujemy pojęciem „nieskończenie małej objętości cieczy”, to mimo tego moŜemy zaniedbać molekularną budowę cieczy. Jest to istotne i naleŜy mieć to na uwadze przyjmując matematyczne idealizacje fizycznych ośrodków ciągłych.
Równanie ciągłości ( zasada zachowania materii w hydrodynamice ).
Jak wiadomo masa danej substancji zawarta w określonym obszarze przestrzennym V jest zadana przez wyraŜenie : m =
∫
ρ(M) dV , ρ(M) – przestrzenny rozkład gęstości substancji [kg/m3 ].V
RozwaŜmy następującą zaleŜność :
∂/∂t
∫
ρ(M) dV = -∮
ρv dS V SCałka pierwsza opisuje zmianę w czasie masy ośrodka zawartego w danej objętości V, całka druga opisuje przepływ ośrodka tj. jego wypływ lub wpływ do danej objętości V ograniczonej konturem S ( dS – oznacza infinitezymalny element skierowany tego konturu ). Zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego :
∮
ρv dS =∫
div ρv dVS V Zatem :
∫
[ (∂ρ/∂t) + divρv ] dV = 0 VPoniewaŜ równość ta powinna zachodzić dla dowolnej objętości, wyraŜenie podcałkowe musi być równe zeru, tj. : (∂ρ/∂t) + divρv = 0
Jest to równanie ciągłości. Rozpisując to wyraŜenie moŜemy przekształcić je do postaci : (∂ρ/∂t) + ρ divv + v grad ρ = 0
MoŜemy równieŜ zapisać je następująco :
∂ρ/∂t + div j = 0
j = ρ v - wektor gęstości strumienia ( ilość masy płynu przepływającego w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni )
∂ρ/∂t + ρ div v = 0
Dla płynu nieściśliwego ( jego gęstość jest stała w otoczeniu kaŜdego punktu ) ρ = const. zatem równanie ciągłości przybiera postać :
div v = 0
Podstawowym równaniem dla hydrodynamiki cieczy nielepkich ( istnieją w nich tylko napięcia normalne-prostopadłe do elementu powierzchni dS , jednakowe w kaŜdym kierunku ) jest równanie Eulera.
Ogólne równanie ruchu w mechanice ośrodków ciągłych ma postać :
∫
ρ (dv/dt) dV =∫
ρ F dV +∮
Sn dSZatem :
∫
[ ρ (dv/dt) – ρ F + grad p ] dV = 0 VWobec dowolności obszaru V mamy : ρ (dv/dt) = ρ F - grad p
Jest to równanie Eulera. ( układ trzech nieliniowych rrc, pierwszego rzędu )
Wielkość dv/dt nie jest zmianą prędkości cieczy w danym, nieruchomym punkcie przestrzeni, a opisuje zmianę prędkości poruszającej się w przestrzeni określonej cząstki. ( opis Lagrange’a ). Koniecznym jest przejście do wielkości odnoszących się do nieruchomych punktów w przestrzeni ( opis Eulera ).
W tym celu zauwaŜmy, Ŝe zmiana dv prędkości danej cząstki cieczy w czasie dt składa się z dwóch części : ze zmiany prędkości w danym punkcie przestrzeni w czasie dt i róŜnicy prędkości ( w tej samej chwili ) w dwóch punktach oddalonych o dr ( odległości jaką przebędzie rozpatrywana cząstka w czasie dt ), zatem :
dv/dt = (∂v /∂t) + ( v grad )v
Pochodną wielkości (∂φ/∂t)a,b,c (opis Lagrange’a ) – charakteryzującą zmianę w czasie danej wielkości φ dla ustalonej cząstki ośrodka ciągłego nazywamy pochodną substancjalną ( jest to w istocie pochodna zupełna ) wielkości φ względem czasu t.
( dla mechaniki ośrodków ciągłych charakterystyczne jest równanie : dv/dt = (∂v /∂t) + ( v grad )v
gdzie : v – moŜe nie koniecznie być prędkością, ogólnie wyraŜenie to nazywa się pochodną substancjalną (materiałową ), pierwszy wyraz po lewej nazywamy pochodną lokalną, drugi wyraz – pochodną konwekcyjną )
NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe :
(∂φ/∂t)a,b,c = (∂φ/∂x) (∂x/∂t)a,b,c + (∂φ/∂y) (∂y/∂t)a,b,c + (∂φ/∂z) (∂z/∂t)a,b,c + (∂φ/∂t)a,b,c Zatem
(∂φ/∂t)a,b,c = (∂φ/∂x) vx + (∂φ/∂y) vy + (∂φ/∂z) vz + (∂φ/∂t) = ( v grad )φ + ∂φ/∂t Równanie Eulera moŜemy zatem zapisać następująco :
ρ (dv/dt) + ( v grad )v = F – (1/ρ ) grad p
Siła F moŜe reprezentować np. natęŜenie pola grawitacyjnego.
Dla cieczy lepkich obowiązuje równanie Naviera-Stokesa : ρ (dv/dt) = ρ F - grad p + 1/3 η grad div v + η ∆v
gdzie : η – współczynnik lepkości
2) Równania linii elektrycznej ( równania linii długiej - równania telegrafistów )
( opracowano na podstawie ksiąŜki „Podstawy teorii obwodów” Tom III – J. Osiowski, , J. Szabatin ;WNT 1995 ) Analiza stanów nieustalonych w przesyłowych liniach elektrycznych ( jak równieŜ np. w liniach mikropaskowych w.cz ) polega na wyznaczeniu zaleŜności zmian napięcia elektrycznego u(x, t) lub/i natęŜenia prądu elektrycznego i(x, t) z pewnego rrc, pierwszego rzędu. Aby skonstruować odpowiednie równanie wprowadzamy pojęcie układu elektrycznego o stałych rozłoŜonych. Dla danej dwuprzewodowej linii przesyłowej rozwaŜa się tzw. czwórnik elementarny ( rys. 5.2.1)
Rys. 5.2.1 Czwórnik elementarny o parametrach skupionych.
Dostatecznie mały ( infinitezymalny ) odcinek rozwaŜanej linii o długości ∆x zastępujemy układem o następujących parametrach skupionych :
R(x) - opór linii na jednostkę długości
L(x) – indukcyjność linii na jednostkę długości G(x) – upływność linii na jednostkę długości C(x) – pojemność linii na jednostkę długości u = u(x, t)
i = i(x, t)
Korzystając z odpowiednich praw Kirchhoffa moŜemy zapisać następujące równania : (∂u/∂t)∆x = R∆xi + L∆ (∂i/∂t)
(∂i/∂t)∆x = G∆x [ u + (∂u/∂t)∆x ] + C∆x ∂/∂t[ u + (∂u/∂t)∆x ]
Przy ∆x → 0 mamy równieŜ ∆u → 0, ∆i → 0, moŜemy zatem podzielić powyŜsze równania stronami, przez ∆x i następnie przejść do granicy ∆x → 0 , otrzymamy wtedy :
∂u/∂t = - Ri – L (∂i/∂t)
∂i/∂t = - Gu – C (∂u/∂t)
Są to równania wiąŜące napięcie i prąd jako funkcje czasu i długości linii przesyłowej.
Równania te nazywamy „równaniami linii długiej”. u + (∂u/∂t)∆x ]
W przypadku linii długiej dla której parametry R, L, G, C są stałe , moŜemy zapisać :
∂u/∂t + L (∂i/∂t) = - Ri
∂i/∂t + C (∂u/∂t) = - Gu
Jest to układ rrc o stałych współczynnikach.
Równania linii długiej moŜemy sprowadzić do dwóch rrc drugiego rzędu o postaci :
∂2u/∂x2 - LC (∂2u/∂t2 ) – ( GL + RC )∂u/∂t – RGu = 0
∂2i/∂x2 - LC (∂2i/∂t2 ) – ( GL + RC )∂i/∂t – RGi = 0 ( równania telegraficzne )
W przypadku tzw. kabla Thomsona ( linia bezindukcyjna i bez upływności L = 0, G = 0 ) równania telegraficzne przyjmują postać :
∂2u/∂x2 - RC (∂u/∂t ) = 0
∂2i/∂x2 - RC (∂i/∂t ) = 0
W przypadku linii bez strat R = 0 , G = 0 otrzymujemy następujące równania :
∂2u/∂x2 - LC (∂2u/∂t2 ) = 0
∂2i/∂x2 - LC (∂2i/∂t2 ) = 0
Są to rrc typu hiperbolicznego – równania fali płaskiej ( fala napięcia i prądu ).
3) Równanie Schrödingera.
Jak wiadomo w mechanice kwantowej klasycznie rozumiane pojęcie toru jak i połoŜenia cząstki traci sens, moŜemy jedynie mówić o pewnym prawdopodobieństwie , Ŝe znajduje się ona w danym miejscu w przestrzeni. Ponadto opis ruchu musi uwzględniać falowe własności mikrocząstek, musi być zatem oparty na prawach rozchodzenia się fal.
W nierelatywistycznej mechanice kwantowej stan cząstki określony jest poprzez zadanie funkcji falowej : Ψ(x, y, z, t).
Funkcja falowa nie ma bezpośredniej interpretacji fizycznej i nie jest wielkością mierzalną, pomimo tego odgrywa ona w mechanice kwantowej bardzo waŜna rolę, określa ona bowiem całkowicie stan rozpatrywanej mikrocząstki tj. zawiera w sobie wszystkie informacje o tym stanie.
W przypadku ogólnym funkcja falowa jest funkcją zespoloną, argumentów rzeczywistych, a kwadrat jej modułu w danej, dowolnej chwili czasu określa gęstość prawdopodobieństwa ω = dP/dV – znalezienia cząstki w danym punkcie przestrzeni
dP/ dV = | Ψ(x, y, z, t) |2 (5.3.1)
( zaleŜność dP/dV – nazywamy często gęstością prawdopodobieństwa )
Ze wzoru tego wynika, ze prawdopodobieństwo P, znalezienia cząstki w pewnej objętości przestrzennej V w dowolnej chwili czasu t, moŜna obliczyć według wzoru :
P =
∫∫∫
| Ψ(x, y, z, t) |2 dV (5.3.2)V
Zatem, kwadrat modułu funkcji falowej jest równy gęstości prawdopodobieństwa znalezienia danej mikrocząstki w chwili t w punkcie o współrzędnych x, y, z.
Uwzględniając , Ŝe | Ψ |2 = ΨΨ* , Ψ* - funkcja sprzęŜona zespolenie do Ψ, wzór (5.3.2) moŜemy przepisać następująco : P =
∫∫∫
ΨΨ* dV (5.3.3) VZ zaleŜności tej wynika warunek normalizacji funkcji falowej :
∫∫∫
ΨΨ* dV = 1 (5.3.4) V→ ∞Ponadto funkcja falowa powinna spełniać pewne dodatkowe warunki wynikające z jej fizycznego sensu, m.in. powinna ona być funkcją jednoznaczną swoich zmiennych, ciągła wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi, być całkowalną z kwadratem w dowolnym obszarze przestrzeni. Zatem bezpośredni sens fizyczny ma wielkość | Ψ |2
Unormowana funkcja falowa określona jest z dokładnością do czynnika eiα , α – dowolna liczba rzeczywista. PoniewaŜ funkcja falowa nie ma bezpośredniego sensu fizycznego niejednoznaczność ta nie wpływa na Ŝadne konkretne wielkości fizyczne. Jak juŜ powiedziano wielkością mierzalną jest kwadrat modułu funkcji falowej, na którego wielkość nie ma wpływu pomnoŜenie funkcji falowej przez czynnik eiα , czynnik ten ma wpływ jedynie na jej fazę ( z tego powodu czynnik ten nazywamy czynnikiem fazowym ).
Uwaga. Ten punkt widzenia zostanie dokładniej rozpatrzony w przygotowywanym tekście dotyczącym podstaw mechaniki kwantowej.
Ewolucja w czasie funkcji falowej, opisującej stan mikro cząstki o masie m, poruszającej się w polu siły F = -grad U U – potencjał pola siły, określona jest poprzez podstawowe równanie mechaniki kwantowej - równanie Schrödingera : ( równanie Schrödingera zaleŜne od czasu )
i
ħ ∂Ψ/∂t = - (ħ2 /2m ) ∆Ψ + UΨ (5.3.5a) lub(ħ2 /2m ) ( ∂2Ψ/∂x2 + ∂2Ψ/∂y2 + ∂2Ψ/∂z2 ) - UΨ = -
i
ħ ∂Ψ/∂t (5.3.5b) gdzie : ħ – zredukowana stała Plancka ħ = h/2π, U = U(x, y, z, t ) , ∆ - operator Laplace’aW przypadku, kiedy pole siły jest stacjonarne tj. U = U(x, y, z ), a cząstka ma określoną energię E, funkcja falowa moŜe być przedstawiona w postaci iloczynu :
Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z ) exp( -iEt/ ħ ) (5.3.6)
Funkcje ψ(x, y, z ) nazywamy amplitudową funkcja falową.
Oczywiście : | Ψ |2 = | ψ |2 – gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie jest zatem niezaleŜna od czasu. W tym przypadku mówimy, Ŝe rozkład gęstości prawdopodobieństwa jest stacjonarny , a stany kwantowe
spełniające ten warunek nazywamy stanami stacjonarnymi. Podstawiając (5.3.6) do (5.3.5) otrzymujemy :
- (ħ2 /2m ) ∆ψ + U(x, y, z)ψ = Eψ (5.3.7a)
lub
∆ψ + ( 2m /ħ2 ) ( E - U(x, y, z) ) ψ = 0 (5.3.7b) W równaniu tym nie występuje czas, dlatego nazywamy go równaniem Schrödingera niezaleŜnym od czasu.
W przypadku jednowymiarowym równanie ( zaleŜne i niezaleŜne od czasu ) Schrödingera przyjmuje oczywiście postać :
i
ħ ( dΨ/dt ) = - (ħ2 /2m ) (d2Ψ/dx2 ) + U(x) Ψ (5.3.8)(d2ψ /dx2 ) + ( 2m /ħ2 ) ( E - U(x) ) ψ = 0 (5.3.9)
RozwaŜmy nieco inne, równowaŜne podejście.
Operatorem Hamiltona ( operator energii ) nazywamy operator o następującej postaci :
H^ = - k∆ + U(x, y, z) (5.3.10)
Gdzie : k = ħ2 /2m
Równanie Schrödingera (5.3.5a) moŜemy teraz zapisać następująco :
i
ħ ∂Ψ/∂t =H^
Ψ (5.3.11)A równanie Schrödingera niezaleŜne od czasu (5.3.7a) w zapisie operatorowym ma postać :
H^
ψ = Eψ (5.3.12)Przypomnijmy teraz postać ogólną równania własnego operatora L^ : L^ αn(x) = λn αn(x)
Jak widać równanie (5.3.12) jest równaniem własnym operatora Hamiltona, a wielkość E jest wartością własna tego operatora.