Rys. 3.6.2
MoŜna dowieść, Ŝe wzór ( całka Poissona ) : +∞
u(x, t) = (1/ 2√π )
∫
[ 1/ sqrt( a2t ) exp[ - (x - ξ )2 / 4a2 ] φ(ξ) dξ (3.6.13) -∞przedstawia przy t > 0 i dowolnej funkcji ograniczonej | φ(ξ) | < M rozwiązanie równania przewodnictwa cieplnego : ut = a2 uxx , przy warunku początkowym u(x, 0) = φ(x) dla pręta nieograniczonego.
Ze wzoru (3.6.13) w szczególności wynika, Ŝe jeśli funkcja φ(x) jest skończona tj. równa zeru poza pewnym odcinkiem [a, b], co odpowiada zlokalizowanemu zaburzeniu cieplnemu w chwili początkowej, to dowolnie daleko oddalonym punkcie x, funkcja u będzie róŜna od zera dla dowolnie małej chwili czasu. Taki wniosek liniowej teorii przewodnictwa cieplnego naleŜy interpretować jako moŜliwość nieskończenie szybkiego rozprzestrzeniania się zaburzeń cieplnych.
Oczywiście wniosek taki stoi w jawnej sprzeczności z kinetyczno- molekularną naturą zjawisk cieplnych.
Sprzeczność ta jest wynikiem tego, ze przy wyprowadzaniu równania przewodnictwa cieplnego nie uwzględniliśmy bezwładności ruchu cząsteczek.
7) Zagadnienia graniczne dla półprostej.
JeŜeli interesuje nas rozkład temperatury w pobliŜu tylko jednego z końców pręta, a wpływ drugiego uwaŜamy za nieistotny, to moŜemy przyjąć, Ŝe koniec taki znajduje się w nieskończoności. ZałoŜenie takie prowadzi do następującego zagadnienia :
ut = a2 uxx , x > 0
warunek początkowy : u(x, 0) = φ(x) warunek brzegowy ( do wyboru ) :
u(0, t) = µ(t) w szczególności u(0, t) = 0 ( zagadnienie brzegowe pierwszego typu )
∂u/∂x (0, t) = ν(t) ( zagadnienie brzegowe drugiego typu ) (∂u/∂x)(0, t) = - λ[ u(0, t) – θ(t) ] ( zagadnienie brzegowe trzeciego typu )
Rozwiązaniem postawionego zagadnienia dla warunku brzegowego u(0, t) = µ(t) jak juŜ powiedziano jest funkcja (3.6.13).
IV. Równania typu eliptycznego.
Przy badaniu róŜnego rodzaju stanów ustalonych – stacjonarnych ( nie zmieniających się w czasie trwania danego zjawiska ). Przykładowo mogą to być drgania lub dyfuzja, potencjały pól elektrostatycznego i grawitacyjnego.
Najczęściej spotykanym równaniem tego typu jest równanie Laplace’a , które dla trzech zmiennych przyjmuje postać :
∆ ≡ div grad ≡ ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 + ∂2/∂z2
∆u(x, y, z) = 0 (4.1)
Operator ∆ nazywamy operatorem Laplace’a.
Funkcje u(x, y, z ) nazywamy harmoniczną w obszarze D, jeŜeli posiada ona w tym obszarze ciągłe drugie pochodne i spełnia w tym obszarze równanie Laplace’a (4.1).
1) Zagadnienia prowadzące do równań typu eliptycznego.
Ruch potencjalny (bezwirowy ) cieczy nieściśliwej. Niech ciecz porusza się z prędkością v = v(x, y, z, t ). Rozpatrzmy pewną dowolną ustaloną objętość V tej cieczy, ograniczoną powierzchnią S. Masa m cieczy zawartej w tej objętości jest zadana wzorem :
m =
∫∫∫
ρ(x, y, z, t ) dV (4.1.1)V
Gdzie : ρ – gęstość cieczy.
Masa ta moŜe zmieniać się na skutek działania strumienia cieczy przepływającego przez powierzchnię S, przy czym :
dm/dt = -
∯
ρ v n dS (4.1.2)Przekształcając całkę powierzchniową według wzoru Gaussa-Ostrogradskiego, wzór (4.1.3) moŜemy zapisać :
∫∫∫
[ (∂ρ/∂t) + div ρv ] dV = 0 VStąd na mocy dowolności wydzielonej objętości V otrzymujemy :
(∂ρ/∂t) + div ρv = 0 (4.1.4)
Równanie to nazywamy równaniem ciągłości ośrodka ciągłego. Dla cieczy nieściśliwej gęstość ρ = const. zatem równanie (4.1.4) przyjmuje postać :
div v = 0 (4.1.5)
Rozpatrzmy teraz stacjonarny przepływ cieczy nieściśliwej, dla którego v = v(x, y, z ). Jeśli taki przepływ jest bezwirowy, to istnieje potencjał prędkości u(x, y, z), taki, Ŝe :
v = - grad u (4.1.6)
Podstawiając (4.1.6) do (4.1.5) otrzymujemy : div grad u = 0 lub ∆u = 0
tj. potencjał prędkości takiej cieczy spełnia równanie Laplace’a.
Równanie potencjału pola elektrostatycznego. Pole elektrostatyczne w ośrodku o przenikalności elektrycznej ε moŜemy scharakteryzować poprzez wektor (pole wektorowe) E = E(x, y, z ). Zapisując twierdzenie Gaussa dla takiego pola w próŜni otrzymujemy :
∯
E n dS = (1/ε0 )∫∫∫
ρ dV (4.1.7)S V
Gdzie : ρ = ρ(x, y, z ) – gęstość objętościowa ładunków elektrycznych, V – pewna objętość przestrzenna ograniczona powierzchnią S.
Z pomocą twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego wzór (4.1.7) moŜemy zapisać następująco :
div E = ρ/ε0 (4.1.8)
JeŜeli uwzględnimy, Ŝe pole elektrostatyczne jest polem potencjalnym, o potencjale u = u(x, y, z) tj. : E = grad u
To otrzymujemy następujące równanie :
div grad u = ρ/ε0 (4.1.9)
Niejednorodne równanie Laplace’a (4.1.9) nazywamy równaniem Poissona.
Równanie pola magnetycznego. Jak wiadomo równania elektrostatyki moŜemy zapisać następująco :
div H = 0 (4.1.10)
rot H = j (4.1.11)
gdzie : H = H(x, y, z) – natęŜenie pola magnetycznego , j = j(x, y, z) – gęstość prądu przewodzenia.
Pole magnetyczne jest polem o potencjale wektorowym, tj. H = rot A , A = A(x, y, z) – potencjał wektorowy pola H Na potencjał A narzuca się warunek cechowania o postaci : div A = 0
Równanie (4.1.10) moŜemy teraz zapisać : div H = div rot A ≡ 0 , równanie (4.1.11) :
rot rot A = j (4.1.12)
Jak wiemy rot rot A = grad div A - ∆A zatem równanie (4.1.12) przyjmuje postać :
∆A = - j
lub równowaŜnie ( po rozpisaniu na składowe ) :
∆Ax = - jx (x, y, z )
∆Ay = - jy (x, y, z )
∆Az = - jz (x, y, z )
To oznacza, ze kaŜda ze składowych wektora A spełnia równanie Poissona.
Równanie Laplace’a i Poissona są najczęściej spotykanymi w matematycznych modelach procesów fizycznych przykładami rrc drugiego rzędu eliptycznego typu.
2) Podstawowe metody rozwiązywania równania Laplace’a.
Na początku zapiszemy operator Laplace’a w układzie sferycznym (kulistym ):
x = r sin(θ) cos(φ) y = r sin(θ) sin(φ) z = r cos(θ)
∆ ≡ ( 1/r2 sin(θ) ) [ ∂/∂r ( r2 sin(θ)(∂/∂r) ) + ∂/∂θ( sin(θ) (∂/∂θ) ) + ∂/∂φ( (1/sin(θ) ) (∂/∂φ) ) ] lub
∆ ≡ ( 1/r2 ) ∂/∂r ( r2∂/∂r ) + ( 1/r2 sin (θ) ) ∂/∂θ( sin(θ) (∂u/∂θ) ) + ( 1/r2 sin2(θ) ) ∂2/∂φ2 (4.2.1) oraz w układzie cylindrycznym ( walcowym ) :
x = r cos(φ) y = r sin(φ) z = z
∆ ≡ ( 1/r ) ∂/∂r ( r (∂/∂r) ) + ( 1/r2 )∂2/∂φ2 + ∂2/∂z2 (4.2.2) Bardzo waŜną rolę w róŜnorodnych zagadnieniach fizycznych odgrywają równania Laplace’a (Poissona ) posiadające określony typ symetrii. Przykładowo, jeśli poszukiwana funkcja u posiada symetrię sferyczną tj. zaleŜy jedynie od współrzędnej r, to naturalnym jest zapisanie równania Laplace’a we współrzędnych sferycznych. Dla przypadku kiedy u = u(r) równanie Laplace’a redukuje się do równania :
∆u ≡ ( 1/r2 ) ∂/∂r ( r2 (∂u/∂r) ) = 0 ⇒ ( 1/r2 ) d/dr [ r2 (du/dr) ] = 0 (4.2.3) r = sqrt( x2 + y2 + z2 )
JeŜeli funkcja u posiada symetrię cylindryczną tj. we współrzędnych cylindrycznych nie zaleŜy od współrzędnej z, φ to równanie Laplace’a w tych współrzędnych przyjmuje postać :
∆u ≡ ( 1/r ) ∂/∂r ( r (∂u/∂r) ) ⇒ ( 1/r ) d/dr [ r (du/dr) ] = 0 (4.2.4) Całkując równanie (4.2.3, otrzymamy :
r2 (du/dr) = C1 , du/dr = C2/r2 , u(r) = C2 - C1/r Przy C1 = - 1, C2 = 0 otrzymujemy :
u(r) = 1/r = 1/ sqrt( x2 + y2 + z2 ) (4.2.5)
Funkcje 1/r ( osobliwą w punkcie r = 0 ) nazywamy podstawowym rozwiązaniem równania Laplace’a.
Całkując równanie (4.2.4), otrzymamy :
r (du/dr) = C1 , du/dr = C2/r , u(r) = C1ln(r) + C2 Przy C1 = - 1, C2 = 0 otrzymujemy :
u(r) = ln(1/r) , r ≠ 0 (4.2.6a)
u(r) = ln [ 1/ sqrt(x2 + y2 ) ] (4.2.6b)
Funkcje takie ( oczywiście równowaŜne ) nazywamy podstawowym rozwiązaniem równania Laplace’a na płaszczyźnie.
Ogólnie, podstawowe równanie Laplace’a w przestrzeni trójwymiarowej jest dane przez następującą funkcję : u(r) = 1/r = 1/ sqrt[ (x – x0 )2 + (y – y0 )2 + ( z – z0 )2 ]
która jest harmoniczna w kaŜdym obszarze D nie zawierającym punktu M(x0, y0, z0 )
Rozwiązanie (4.2.5) z punktu widzenia elektrostatyki opisuje rozkład potencjału pola elektrostatycznego w próŜni, generowanego przez ładunek punktowy umieszczony w początku układu współrzędnych. Jeśli bowiem umieścimy ładunek punktowy q = 4πε0 ,w punkcie (0, 0, 0), to potencjał pola elektrycznego będzie zadany wzorem :
U(r) = q/4πε0r
Rozwiązanie (4.2.6) z punktu widzenia fizycznego opisuje rozkład potencjału pola elektrostatycznego w próŜni generowanego przez jednorodnie naładowaną, nieskończenie długą strunę.
3) Ogólne własności funkcji harmonicznych.
Przypomnijmy całkowy wzór Greena ( toŜsamość Greena w przestrzeni ). Ze wzoru Gaussa-Ostrogradskiego
∯
a n dS =∫∫∫
div a dVΣ Ω
Ω - pewien obszar, regularny, ograniczony powierzchnią zamkniętą i zorientowaną Σ , n – normalna do Σ Dla funkcji wektorowej a = a(x, y, z) = u grad v – v grad u, otrzymamy :
∯
( u ∂v/∂n – v ∂u/∂n ) dS =∫∫∫
( u ∆ v – v ∆u ) dV (4.3.1) Σ ΩNa podstawie zaleŜności (4.3.1) moŜemy sformułować pewne warunki jakim podlegają funkcje harmoniczne.
a) JeŜeli funkcja u(x, y, z ) jest harmoniczna w obszarze Ω, to :
∯
∂u/∂n dS = 0 (4.3.2)Σ
( we wzorze podstawiamy v ≡ 1, otrzymując dla funkcji harmonicznej u właśnie taki wzór )
b) Twierdzenie o wartości średniej. JeŜeli funkcja u(x, y, z) jest harmoniczna w obszarze Ω, a M0 jest dowolnym punktem wewnętrznym obszaru Ω, to :
u(M0 ) = (1/4πR2 )
∯
u(P) dS (4.3.3)ΣR
gdzie : ΣR – jest powierzchnią kuli o promieniu R i o środku w punkcie M0.
Twierdzenie powyŜsze mówi, Ŝe wartość funkcji harmonicznej w pewnym punkcie wewnętrznym M0 jest równa wartości średniej tej funkcji na danej sferze wewnętrznej ΣR.
c) Zasada maksimum. Jeśli funkcja u(x, y, z) jest ciągła w obszarze zamkniętym T = Ω ∪ Σ oraz harmoniczna wewnątrz Ω, to osiąga ona swoja największą ( najmniejszą ) wartość na powierzchni Σ. W przypadku kiedy u = const. twierdzenie to jest oczywiste. Innymi słowy funkcja u nie moŜe wewnątrz obszaru T przyjmować wartości większych ( mniejszych ) , niŜ największa ( najmniejsza ) jej wartość na Σ.
d) Jeśli funkcja u harmoniczna w obszarze Ω, spełnia na brzegu tego obszaru warunek A ≤ u ≤ B, to spełnia ona ten warunek równieŜ wewnątrz obszaru Ω.
e) Jeśli funkcja u harmoniczna w obszarze Ω przyjmuje na brzegu tego obszaru wartość stała to jest ona stała w całym obszarze Ω. W szczególności jeśli u |Σ = 0 , to u ≡ 0 w Ω.
4) Zagadnienia brzegowe dla równania Laplace’a.
W zaleŜności od postaci warunku brzegowego moŜemy zdefiniować następujące trzy główne ich typy : a) u |Σ = φ(P) – zagadnienie brzegowe Dirichleta
b) ∂u/∂n |Σ = µ(P) – zagadnienie brzegowe Neumanna c) ( α ∂u/∂n + β u ) |Σ = γ(P) – zagadnienie brzegowe mieszane
φ(P) , µ(P), γ(P) – pewne funkcje określone na powierzchni Σ , n – normalna do Σ.
Jeśli rozwiązanie zagadnienia poszukiwane jest w obszarze Ω wewnętrznym ( zewnętrznym ) względem powierzchni Σ, to odpowiednie zagadnienie brzegowe nazywamy wewnętrznym ( zewnętrznym ).
Sformułujemy teraz wewnętrzne zagadnienie Dirichleta. Niech będzie zadany pewien obszar Ω, ograniczony powierzchnią Σ , na której zadana jest pewna funkcja ciągła φ(P). NaleŜy znaleźć funkcje u(M), ciągłą w obszarze Σ + Ω, spełniającą w Ω równanie Laplace’a i przyjmująca na powierzchni Σ wartości określone przez funkcję φ(P), tj. :
{ ∆u = 0 , M(x, y, z ) ∈Ω (4.4.1)
{ u |Σ = φ(P) , P(x, y, z) ∈Σ
MoŜna dowieść, ze rozwiązanie wewnętrznego zagadnienia Dirichleta (4.4.1) jest określone w sposób jednoznaczny.
Wewnętrzne zagadnienie Neumanna. Znaleźć wewnątrz obszaru Ω rozwiązanie u(M)równania Laplace’a, ciągłe w obszarze Σ + Ω i spełniające na powierzchni Σ warunek b) , tj. mamy następujące zagadnienie :
{ ∆u = 0 , M(x, y, z ) ∈ Ω (4.4.2)
{ ∂u/∂n |Σ = µ(P) , P(x, y, z) ∈Σ
MoŜna dowieść, Ŝe rozwiązanie tego zagadnienia określone jest z dokładnością do stałej dowolnej.
Uwaga. Zagadnienie Neumanna moŜe nie posiadać rozwiązania dla kaŜdej funkcji ciągłej µ(P).
5) Metoda funkcji Greena.
Zagadnienie Dirichleta moŜemy rozwiązywać za pomocą róŜnych metod. Dobór odpowiedniej metody zaleŜy od liczby wymiarów i kształtu obszaru w którym poszukujemy rozwiązania danego zagadnienia.
Jedna z metod rozwiązywania zagadnienia Dirichleta jest wykorzystanie funkcji Greena ( zwaną często funkcją źródła ).
Niech będzie dany trójwymiarowy obszar Ω ograniczony powierzchnią Σ. Funkcją Greena nazywamy funkcje pary punktów M (x, y, z ) , M0 (x, y, z ) ∈ Ω postaci ;
G(M, M0 ) = ( 1/ r ) + v (M, M0 ) (4..5.1) G |Σ = 0
Gdzie : r – jest odległością punktów M i M0 , v – jest funkcją harmoniczną w obszarze Ω funkcja Greena (4.5.1) jest funkcja harmoniczną w obszarze Ω z wyjątkiem punktu M0 ,w którym jest nieciągła, na powierzchni Σ jest funkcją równą zeru.
MoŜna dowieść, Ŝe wzór :
u(M0 ) = - ( 1/4π)
∯
φ(P) ∂G/∂n dS (4.5.2)Σ
pozwala rozwiązać zagadnienie Dirichleta (4.4.1) w dowolnym punkcie M0 ∈ Ω, jeśli znamy funkcje Greena G(M, M0 ) dla tego zagadnienia.
Zagadnienie Dirichleta dla półprzestrzeni. Znaleźć rozwiązanie następującego zagadnienia :
{ ∆u = 0 - ∞ < x, y < + ∞ , z > 0 (4.5.3)
{ u(x, y, 0) = φ(x, y) , - ∞ < x, y < + ∞
W zagadnieniu tym powierzchnia Σ stanowi płaszczyznę z = 0. Funkcje Greena dla takiego zagadnienia określamy następująco :
( Uwaga. Ogólna teoria konstrukcji funkcji Greena dla dowolnego obszaru, nie istnieje, a jeśli jest ona realizowalna to jest to konstrukcja bardzo skomplikowana. Dla prostych przypadków spotykanych w fizyce stosuje się zazwyczaj metodę obrazów elektrostatycznych. Jej główna idea polega na tym, Ŝe przy konstrukcji funkcji Greena :
(4.5.1) pole v przedstawia się jako pole ładunków połoŜonych na zewnątrz powierzchni Σ i dobranych tak, aby spełniony był warunek : v |Σ = - 1/ r. Ładunki te nazywamy obrazami elektrostatycznymi ładunku jednostkowego umieszczonego w punkcie M0 o potencjale 1/ r [ 6 str. 289 ] )
G(M, M0 ) = ( 1/ r ) + ( 1/ r1) (4..5.4)
r = rMM0 = sqrt[ (x – x0 )2 + (y – y0 )2 + ( z – z0 )2 ] r1 = sqrt[ (x – x0 )2 + (y – y0 )2 + ( z + z0 )2 ]
Oczywiście : na powierzchni Σ r = r1 , a zatem G |Σ = 0. Pochodna funkcji G(M, M0 ) względem pochodnej normalnej do powierzchni Σ jest równa :
∂G/∂n |Σ = - ∂G/∂z |z=0 = - 2z0 / [ ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 + z02 ]3/2
Zatem, zgodnie ze wzorem (4.5.2) rozwiązanie postawionego zagadnienia będzie miało postać : + ∞ +∞
u( x0, y0 , z0 ) = (z0 /2π)
∫ ∫
φ(x, y) dxdy / [ ( x - x0 )2 + ( y - y0 )2 + z02 ]3/2 (4..5.5) -∞ -∞Całkę po prawej stronie równania (4.5.5) nazywamy całką Poissona dla półprzestrzeni.
Zagadnienie Dirichleta dla kuli. Rozpatrzmy zagadnienie o postaci :
{ ∆u = 0 M ∈ Ωa (4.5.6)
{ u | Σa = φ(P) P ∈ Ωa
Ωa – kula o promieniu a o środku w początku układu współrzędnych, Σa – powierzchnia kuli Ωa Funkcja Greena dla tego zagadnienia ma postać ( szczegóły zobacz [ 6 str. 289 ] )
G(M, M0 ) = ( 1/ r ) + (a /ρ0 ) ( 1/ r1) (4..5.7)
Rozwiązanie postawionego zagadnienia dane jest wzorem :
u( M0 ) =