Równania fizyki matematycznej ################################################################################## Autor : R. Waligóra ; data powstania dokumentu : 2010-10-01 ; ostatnie poprawki z dnia: 2010-11-10 ###########################################

Równania fizyki matematycznej

##################################################################################

Autor : R. Waligóra ; data powstania dokumentu : 2010-10-01 ; ostatnie poprawki z dnia: 2010-11-10

##################################################################################

I. Wprowadzenie.

Zobacz najpierw teksty pt. „Wprowadzenie do teorii równań róŜniczkowych zwyczajnych ( rrz )”

„Wprowadzenie do teorii równań róŜniczkowych cząstkowych ( rrc )”

„Podstawy rachunku wektorowego i tensorowego”

Podstawą dla niniejszego tekstu była praca [1r ].

Pod pojęciem „równania fizyki matematycznej” (rfm) zazwyczaj rozumie się pewien klasycznie ugruntowany obszar zagadnień równań róŜniczkowych cząstkowych leŜących na pograniczu fizyki i matematyki. Klasycznie ugruntowany tj.

taki, który opiera się na pewnych metodach wypracowanych przez czołowych matematyków i fizyków na przestrzeni ostatnich 200 lat ( oczywiście, zarówno okres czasu jak i stwierdzenie „czołowy matematyk lub/i fizyk” jest umowne ).

U podstaw rfm leŜy idea zastosowania rrc jako równań modelujących wyidealizowane procesy fizyczne. Modelowanie takie wprowadzane jest dla róŜnorodnych gałęzi fizyki ( m.in. mechanika klasyczna i kwantowa, mechanika ośrodków ciągłych w tym hydrodynamika i teoria dyfuzji, teoria spręŜystości, elektrodynamika klasyczna ). Przy analizie takich modeli okazało się, Ŝe w wielu przypadkach, często bardzo odległych gałęzi fizyki występują bardzo podobne ( jak nie identyczne ) równania opisujące dane zagadnienia. W tym kontekście pod pojęciem modelu danego zjawiska fizycznego rozumiemy pewien układ rrc ( lub pewno konkretne równanie w zapisie operatorowym, macierzowym lub innym )

wraz z przynaleŜnymi mu warunkami brzegowymi ( granicznymi ). Modelowanie takie w oczywisty sposób zawiera pewne immanentne cechy modelu tj. abstrahowanie, uproszczenie, idealizacje, ekstrapolacje.

W związku z tym stało się oczywistym, Ŝe naleŜy dokładniej przeanalizować pewne klasy rrc, poniewaŜ analiza taka w dalszej kolejności jest kluczowa dla zrozumienia wielu zjawisk fizycznych, a przy tym z racji analogii występujących pomiędzy modelami dla róŜnych zjawisk, analiza jednej klasy zagadnień pozwala rozwiązywać szeroki wachlarz problemów. Jak juŜ wspomniałem podstawowym narzędziem matematycznym dla omawianego ( granicznego – leŜącego na styku matematyki (stosowanej ) i fizyki ) działu fizyki teoretycznej jest teoria rrc. Wielu uczonych zajmujących się problemami rrc było równieŜ doskonałymi fizykami lub część swej pracy poświęcali zastosowaniom rrc do zagadnień fizyki. (konkretnych nazwisk chyba nie potrzeba wymieniać – wielokrotnie nazwy równań lub metod ich rozwiązywania mówią same za siebie ). Dział fizyki poświęcony rfm nazywa się wielokrotnie „fizyką matematyczną” ( zapewne mając na uwadze wspomniany graniczny jego charakter. Dla urozmaicenia moŜna byłoby mówić równowaŜnie o „matematyce fizycznej” ). Dla porządku naleŜałoby równieŜ wspomnieć o często uŜywanym haśle – „matematyczne metody fizyki”

Matematyczne metody fizyki (mmf ) stanowią jednak bardziej swego rodzaju kompendium wszelakich metod, począwszy od algebraicznych, geometrycznych, analitycznych, funkcjonalnych, teorio grupowych itp. stosowanych w kluczowych działach fizyki. W tym sensie rfm stanowiłyby pewien wyodrębniony dział mmf, sąsiadujący ( z racji szczególności swych narzędzi i wyników ) z teorią rrc, teorią funkcji rzeczywistych lub/i zespolonych czy teŜ teorią funkcji specjalnych.

Ugruntowaniem powyŜszych stwierdzeń niech będą następujące cytaty :

„W wielu przypadkach badanie zjawisk natury moŜna sprowadzić do rozwiązywania równań róŜniczkowych o pochodnych cząstkowych, noszących nazwę równań fizyki matematycznej. Na to, aby posłuŜyć się metodami fizyki matematycznej, przede wszystkim trzeba ustalić, jakie wielkości określają badane zjawisko. Następnie posługując się prawami fizycznymi ( zasadami) wyraŜającymi związki między tymi wielkościami, trzeba utworzyć równanie ( lub układ równań ) o

pochodnych cząstkowych oraz sformułować uzupełniające warunki ( początkowe, brzegowe ) dla równania ( lub układu ), z których następnie określa się – i to jednoznacznie – nieznane wielkości charakteryzujące badane zjawisko. NaleŜy brać pod uwagę, Ŝe jedno i to samo zagadnienie fizyki matematycznej moŜe być modelem istotnie róŜnych zjawisk.”

[ 7, str. 17 ]

„Fizyka matematyczna jest to dział nauki, w którym rozwaŜa się zjawiska fizyczne ze szczególnym uwzględnieniem ich strony matematycznej. RozwaŜając dane zjawisko uwzględniamy jego aspekt matematyczny, definiujemy twory

abstrakcyjne ( np. punkt materialny, struna, błona ) i określamy przemiany, którym te twory mają podlegać. Otrzymujemy w ten sposób model matematyczny zjawiska, formułujemy zagadnienie, rozwiązujemy je matematycznie i wyciągamy wnioski. JeŜeli wnioski są zgodne z wynikami doświadczeń, to uwaŜamy model za trafny, a przemiany występujące w modelu są przybliŜeniem rzeczywistego zjawiska fizycznego.” [ 12, str. 44 ]

Wielokrotnie mówi się, Ŝe fizyka teoretyczna jest to nic innego jak zinterpretowany fizycznie (dany ) dział matematyki.

Po prostu wielkością matematycznym występującym w danej teorii matematycznej np. w teorii rrc nadaje się konkretny fizyczny sens ( przykładowo – zadane rrc drugiego rzędu, liniowe typu hiperbolicznego modeluje pewne zjawisko fizyczne, stałe występujące w tym równaniu mają interpretacje wielkości fizycznych wpływających na dany proces fizyczny ).

W powyŜszym kontekście wydaje się, Ŝe do działu fizyki zwanego równania fizyki matematycznej naleŜałoby zaliczać kaŜde równanie, które jest równaniem modelowym dla jakiegoś, szczególnego działu fizyki. Niewątpliwie, z

matematycznego punktu widzenia, jeśli takie równanie byłoby nietrywialnym, a do tego jego rozwiązanie byłoby uŜyteczne dla rozwiązywania innych równań lub miałoby interesujące własności moŜna byłoby go włączyć w poczet juŜ istniejących „klasycznych” rfm. Zazwyczaj jednak mianem rfm określa się wspomniany juŜ obszar rrc.

Istnieje bardzo wiele ( zapewne nietrywialnych ) rrc ( lub ich układów ), które opisują róŜnorodne zjawiska fizyczne klasyfikowane do aerodynamiki, hydrodynamiki, fizyki plazmy, astronautyki, teorii stabilności, itp. , które z racji swego wąskiego zastosowania nie są omawiane w standardowym wykładzie rfm.

Bardzo waŜnym jest podkreślenie, Ŝe zadanie konkretnego modelu zjawiska fizycznego - poprzez zadanie odpowiedniego zagadnienia tj. rrc + warunki brzegowe + sprawdzenie poprawności jego postawienia , z punktu widzenia fizycznego nie wyczerpuje problemu, kluczowym jest jeszcze jego rozwiązanie lub próba wskazania takiego rozwiązania.

Wiele problemów fizycznych, mimo iŜ mamy dla nich modele matematyczne nie znajduje swego teoretycznego rozwiązania ze względu na problemy z rozwiązaniem wiąŜącego się z nimi odpowiedniego rrc.

Najlepszym, jest oczywiście przedstawienie rozwiązania w sposób jawny (analityczny), wielokrotnie ( prawie zawsze dla zagadnień wiąŜących się z realistycznymi modelami ) jednak musimy posiłkować się ( a często przyjmować je jako jedyne rozwiązania ) metodami numerycznymi.

1) Ogólny podział równań fizyki matematycznej. Przykłady pewnych równań fizyki matematycznej.

Równania fizyki matematycznej ogólnie moŜemy podzieli tak : - róŜniczkowe

o pochodnych zwyczajnych ( rrz jako szczególny przypadek równań o pochodnych cząstkowych rrc ) o pochodnych cząstkowych

- całkowe

- mieszane : róŜniczkowo -całkowe W tym mogą one równieŜ być : - liniowe ( quasi-liniowe ) - nieliniowe

Przykładem klasycznego rfm o pochodnych zwyczajnych jest równanie dynamiki Newtona : dp/dt = F

Podane w formie wektorowej lub rozpisane na składowe w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa : dpx /dt = Fx

dpy /dt = Fy dpz /dt = Fz

Przykładem klasycznego liniowego rfm o pochodnych cząstkowych są m.in. równania :

Laplace’a, Helmholtza dyfuzji (przewodnictwa cieplnego), Schrödinger’a, falowe, telegrafistów Przykładem klasycznego nieliniowego rfm o pochodnych cząstkowych są m.in. równania :

Hamiltona-Jacobiego, nieliniowe równanie Poissona, nieliniowe równanie falowe, równanie Kortewega-de Viresa ( KdV) Przykładem klasycznego rfm całkowego jest m.in. równania :

Fredholma, Volterry

2) Przypomnienie podstawowych wiadomości dotyczących rrc.

RozwaŜmy funkcje zaleŜną od n zmiennych niezaleŜnych : u = u( x1, ... , xn ) - określoną w pewnym obszarze D RRC to równanie postaci :

F( x1, ... , xn, ,u ,∂u/∂x1, ... , ∂u/∂xn, ∂2u/∂x12, … , ∂2u/∂xn2, ∂2u/∂x1∂x2, … , ∂2u/∂xn-1∂xn , … ,∂ku/∂x1k ) = 0 (1.1) k = 1, 2, …

Oczywiście, rrz jest szczególnym przypadkiem rrc.

Aby uzyskać jednoznaczne rozwiązanie zadanego równanie róŜniczkowego ( rrc, rrz ) musimy ( w fizyce zazwyczaj jest to wynikiem nałoŜenia pewnych ograniczeń wynikających w sposób naturalny z własności opisywanego przez te równania procesu fizycznego) określić konkretne warunki graniczne nakładane na to równanie.

Warunki graniczne dzielimy na :

( standardowo przyjmowane jako liniowe tj. zawierają liniowe zaleŜności między szukaną funkcja i jej pochodnymi ) : 1) warunki brzegowe

2) warunki początkowe ( ogólnie zagadnienie Cauchy’ego )

3) warunki mieszane ( zagadnienie Dirichleta , zagadnienie Neumana )

Hadamar wprowadził pojęcie poprawnego sformułowania zagadnienia fizyki matematycznej. Zagadnienie dla rrc w obszarze D jest postawione poprawnie, jeśli rozwiązanie tego równania istnieje, jest jednoznaczne i stabilne ze względu na małe zaburzenia wprowadzonego na warunkach granicznych.

Istnienie i jednoznaczność rozwiązania danego zagadnienia wynika w sposób naturalny z konieczności poprawnej

interpretacji matematycznego opisu danego zjawiska fizycznego. Przykładowo wiemy ( z doświadczenia ), Ŝe zagadnienie rozchodzenia się fali w ośrodku materialnym ma konkretną i jednoznaczną postać, uwarunkowana konkretnymi

parametrami fizycznymi np. stałymi materiałowymi. Matematyczny model takiego zjawiska powinien uwzględniać takie okoliczności. Z matematycznego punktu widzenia naleŜy jednak mieć na względzie zadaną przestrzeń funkcji, w jakich poszukujemy danego rozwiązania , moŜe się, bowiem okazać, Ŝe zagadnienie nie posiadać rozwiązania w klasie funkcji np. całkowalnych z kwadratem, ale posiada rozwiązanie w innej ( szerszej ) klasie np. w przestrzeni dystrybucji.

Stabilność rozwiązania względem małych zaburzeń warunków granicznych oznacza, Ŝe małe zaburzenia stanu

początkowego mogą prowadzić tylko do „małej” zmiany otrzymanego rozwiązania. Fizycznie ma to oczywiście związek ze stabilnością, jaką przejawiają zjawiska przyrody względem niewielkich zmian warunków fizycznych.

Matematyczny model fizyczny danego zjawiska musi być siłą rzeczy zagadnieniem poprawnie postawionym.

2) Klasyfikacja rrc drugiego rzędu.

Większość róŜnorodnych zagadnień fizycznych prowadzi do rrc drugiego rzędu. Niech będzie dana funkcja : u = u( x1, x2, ... , xn ) zmiennych x1, x2, ... , xn. Rrc drugiego rzędu ma ogólną postać :

F( x1, x2, ... , xn , u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ... , ∂u/∂xn , ∂2u/∂x1∂x1, ... , ∂2u/∂xn∂xn, ∂2u/∂x1∂x2 , ∂2u/∂x1∂x3 ...

... ∂2u/∂x1∂xn , ∂2u/∂x2∂x3 ... ∂2u/∂xn∂xm ) = 0 (1.2.1) W fizyce rrc drugiego rzędu ma najczęściej postać :

u = u(x, y, z, t)

F( x, y, z, t, u, ∂u/∂x, ∂u/∂/y, ∂u/∂z, ∂u/∂t, ∂2u/∂x∂x , ∂2u/∂x∂y, ∂2u/∂x∂z, ∂2u/∂x∂t, ∂2u/∂y∂y, ∂2u/∂y∂z, ∂2u/∂y∂t,

∂2u/∂z∂z, ∂2u/∂z∂t, ∂2u/∂t∂t ) = 0 (1.2.2) Oczywiście przyjmujemy przemienność pochodnych tj. np. ∂2u/∂x∂z = ∂2u/∂z∂x.

Dla skrócenia zapisu stosuje się następujące oznaczenia :

∂2u/∂x∂x ≡ uxx , ∂2u/∂x∂y ≡ uxy , ∂2u/∂t∂t ≡ utt itd.

JeŜeli lewa strona równania (1.2.2 ) jest funkcja liniową ze względu na funkcje szukaną u i jej pochodne o współczynnikach zaleŜnych tylko od zmiennych niezaleŜnych x, y, z, t to równanie nazywamy liniowym.

Dla funkcji u = u(x, y) rrc liniowe będzie miało postać :

A1( x, y ) uxx + 2A2 uxy + A3 uyy + B1(x, y )ux + B2 (x, y) uy + C(x, y) u + f ( x, y) = 0 (1.2.3) Ai ( x, y ), Bi( x, y ), C(x, y), f ( x, y ) – pewne ustalone funkcje.

W szczególności współczynniki A, B, C mogą być liczbami, mówimy wtedy, Ŝe dane rrc jest równaniem liniowym o współczynnikach stałych.

Ogólniejsze od liniowych są równania quasi-liniowe, w których lewa strona jest funkcja liniową, ale tylko ze względu na pochodne najwyŜszych rzędów.

Dla równania postaci (1.3) równanie quasi-liniowe ma postać :

A11( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uxx + A12( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uxy + A13( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uxz + + A14( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uxt + A22( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uyy + A23( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uyz + + A24( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uyt + A33( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uzz + A34( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) uzt +

+ A44( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) utt + f ( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) = 0 (1.2.4) Aij( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ), f ( x, y, z, t, ux, uy, uz, ut ) – pewne określone funkcje.

Przypiszmy równaniu (1.2.3) pewną formę kwadratową : A1k2 + 2 A2 km + A3 m2

W zaleŜności od znaku wyróŜnika tej formy δ = A22 - 4 A1 A3 równanie (1.2.3) moŜemy zaliczyć do następujących typów 1) jeśli δ = 0 to równanie (1.2.3) nazywamy typu eliptycznego.

2) jeśli δ > 0 to równanie (1.2.3) nazywamy typu parabolicznego.

3) jeśli δ < 0 to równanie (1.2.3) nazywamy typu hiperbolicznego.

Klasyfikacja taka pozwala określić pewne ogólne własności rozwiązań, zadanego równania oraz wybrać odpowiednią dla niego metodę rozwiązania.

Rrc o zmiennych współczynnikach mogą zmieniać swój typ w zaleŜności od punktu obszaru swojej określoności.

Przykładem równania mieszanego typu jest rrc o postaci : uxx + x uyy = 0

Dla tego równania δ = - x i jest ono eliptyczne przy x > 0 ,a hiperboliczne przy x < 0.

RozwaŜmy rrc o postaci :

Auxx + Buxy + Cuyy + aux + buy + cu + d = 0 (1.2.5) u = u(x, y) , A, B, C, a, b, c, d – funkcje zmiennych x, y o ciągłych pochodnych w pewnym obszarze D.

Równanie (1.2.5) moŜemy przekształcić do nowej ( być moŜe wygodniejszej postaci ) wprowadzając nowe zmienne : α = f(x, y) , β = g(x, y)

Zakładamy przy tym, Ŝe funkcje f, g mają ciągłe pochodne drugiego rzędu oraz jakobian :

| ∂α/∂x ∂α/∂y | ≠ 0

| ∂β/∂x ∂β/∂y |

w rozpatrywanym obszarze D.

Przy takim przekształceniu znak wyraŜenia δ = B2 – 4AC nie ulega zmianie.

W nowych zmiennych równanie (1.2.5) przyjmuje postać :

A’uαα + B’uαβ + C’uββ + a’uα + b’uβ + c’u + d’ = 0 (1.2.6) A’, B’, C’, a’, b’, c’, d’ – funkcje zmiennych α, β.

Gdzie:

A’ = A(αx )2 + B αx αy + C(αy )2

B’ = Aαx βx + B ( αx βy + βx αy ) + C αy βy C’ = A(βy )2 + B βx βy + C(βy )2

Jak widać funkcje α, β moŜna wybrać tak , aby niektóre ze współczynników A’, B’, C’, a’, b’, c’, d’ były równe zeru prowadząc w ten sposób do uproszczenia równania (1.2.6). Poprzez przekształcenia takiego rodzaju rrc (1.2.6) moŜemy sprowadzić do postaci kanonicznej.

Dobierzmy zmienne α, β w ten sposób, aby w równaniu (1.2.6) wyzerowały się współczynniki A,, C’. MoŜna pokazać, Ŝe przy takiej zmianie zmienne α, β powinny spełniać równanie :

A(fx )2 + B fx gy + C(gy )2 = 0 Które sprowadza się do dwóch równań : Afx + [ B + sqrt( δ )] fy = 0

Agx + [ B - sqrt( δ )] gy = 0

Rozwiązania tych równań określone są przez całki rrz, które nazywamy równaniami charakterystycznymi danego rrc : Ady - [ B + sqrt( δ )]dx = 0

Adx - [ B - sqrt( δ )]dx = 0

Oba te równania moŜemy połączyć w jedno : A(dy )2 - 2 B dxdy + C(dx )2 = 0

Krzywe całkowe f(x, y) = C , g(x, y) = C nazywamy charakterystykami danego rrc. Równania typu hiperbolicznego maja dwie rodziny charakterystyk o równaniu :

dy/dx = [ B’ ± sqrt(δ) ] / A’

Wtedy rrc (1.2.6) moŜemy doprowadzić do postaci :

uαβ + d’ = 0 (1.2.7) Równanie to nazywamy pierwszą postacią kanoniczną.

W szczególnym przypadku dane rrc hiperbolicznego typu, moŜemy sprowadzić do postaci :

uαα - uββ + d’ = 0 (1.2.8) które nazywamy drugą postacią kanoniczną. W przypadku, kiedy d’ = 0 otrzymamy :

uαα - uββ = 0 (1.2.9) ( jest to oczywiście przykład dwuwymiarowego jednorodnego równania falowego ).

Jeśli równanie (1.2.6) jest typu parabolicznego, to równanie charakterystyczne ma postać : dy/dx = B’/ A’

I istnieje tylko jedna rodzina charakterystyk f(x, y) = C. W tym przypadku rrc (1.2.6) moŜemy sprowadzić do następującej postaci :

uαα + d’ = 0 (1.2.10) JeŜeli równanie (1.2.6) jest równaniem typu eliptycznego , to równanie charakterystyczne prowadzi do dwóch równań zespolonych :

dy/dx = (B’/A’) ± i sqrt( A’C’ – B’2 ) / A’

Rozwiązując odpowiednie równanie dochodzimy do kanonicznej formy równania (1.2.6), typu eliptycznego :

uαα + uββ + d’ = 0 (1.2.11) które w przypadku d’ = 0 przyjmuje postać :

uαα + uββ = 0 (1.6h)( jest to oczywiście przykład dwu wymiarowego równania Laplace’a )

Liniowe rrc o stałych współczynnikach wykorzystywane w fizyce matematycznej, w ogólnym przypadku moŜemy sprowadzić do następujących form kanonicznych :

∆u(x, y, z, t) - utt + pu = f(x, y, z, t)

∆u(x, y, z, t) - ut = f(x, y, z, t)

∆u(x, y, z, t) + pu = f(x, y, z, t)

gdzie : ∆ = ∂2/∂x + ∂2/∂y + ∂2/∂z - operator Laplace’a , p – stała.

3) Liniowe operatory róŜniczkowe. Zagadnienie Sturma-Liouville’a.

Ogólnie mówiąc, operatorem L^ nazywamy kaŜdą wielkość matematyczna, która działając na dowolną funkcje np.

zmiennej x, przekształca ją w inną funkcje : L^ f(x) = g(x)

Jednym z prostszych operatorów jest operator : ∂/∂x , innym moŜe być operator L^(x, ∂/∂x) ≡ ∂/∂x x Przykładowo działanie takiego operatora wygląda następująco :

L^ (∂/∂x , x ) φ(x) ≡ ( ∂/∂x x ) φ(x) = ∂/∂x ( φ(x) x ) = ( ∂φ(x)/∂x ) x + φ(x)

KaŜdemu operatorowi L^ ( ∂/∂x ,x ) przyporządkowany jest zbiór liczb λn i zbiór funkcji αn(x) określonych równaniem operatorowym ( równanie własne operatora L^ ) :

L^ αn(x) = λn αn(x)

Liczby λn nazywają się wartościami własnymi, a funkcje αn(x) – funkcjami własnymi.

Funkcje własne danego operatora są to takie funkcje, które z dokładnością do pewnego czynnika nie ulegają zmianie pod działaniem danego operatora.

W fizyce matematycznej bardzo często wykorzystujemy liniowe operatory róŜniczkowe o róŜnorodnej postaci.

Przykładem najbardziej znanego operatora róŜniczkowego jest operator Laplace’a : n

∆ =

ΣΣΣΣ

Operator d’Alemberta : = ∆ – α ∂2/∂t2

MoŜemy wprowadzić np. operator o postaci :

M = ∂2/∂x2 - ∂/∂x + ∂/∂y i oczywiście M[φ] = ∂2φ/∂x2 - ∂φ/∂x + ∂φ/∂y Lub teŜ pewne inne ogólne operatory np. o postaci :

n n

L ≡

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

śądanie liniowości operatorów wymaga od nich spełnienia następujących warunków : a) L[cu ] = cL[u ]

b) L[u1 + u2 ] = L[u1] + L[u2 ] c) (L + M) [u ] = L[u] + M [u ] d) { (LM)N } [u] = { L(MN)} [u]

gdzie : c – stała. L, M – operatory liniowe

Przy rozwiązywaniu zagadnień brzegowych fizyki matematycznej, metoda rozdzielania zmiennych ( metoda Fouriera ), poszukiwanie nieznanych funkcji sprowadza się do zagadnienia na wartości własne z odpowiednimi wartościami brzegowymi.

Niech zadany będzie liniowy operator róŜniczkowy L^, działający na funkcje y(x) według zasady : L^[y(x) ] = - d/dt[ p(x) dy/dx ] + q(x)y(x), p(x) > 0 , q(x) ≥ 0 – funkcje ciągłe na odcinku [a, b]

Przez B oznaczymy klasę funkcji, które są ciągłe na odcinku [a, b ] wraz ze swoimi pochodnymi ,do drugiego rzędu włącznie, spełniającymi w punktach x = a, x = b warunki o postaci :

{ - α1 y’(a) + β1 y(a) = 0 { α2 y’(b) + β2 y(b) = 0

α1,2 , β1,2 = const. ≥ 0 , przy czym α12 + β12 ≠ 0 , α22 + β22 ≠ 0 Ustalmy pewne własności operatora L. Niech :

b

( L^ y, z ) =

∫

Całkując przez części otrzymujemy :

b ( L^ y, z ) = ( y, L^ z ) + [ p(x) ( yz’ – zy’ ) ] | a

Poprzez bezpośrednie sprawdzenie moŜemy się przekonać, Ŝe z warunków brzegowych dla funkcji y(x) i z(x) wynikają zaleŜności :

y(a) z’(a) - z(a)y’(a) = 0 , y(b) z’(b) - z(b) y’(b) = 0

Z tego wynika, Ŝe dla dowolnych y(x) i z(x) naleŜących do B słuszne jest : ( L^ y, z ) = ( y, L^ z )

A to oznacza, ze operator L^ dla funkcji klasy B jest operatorem samo sprzęŜonym.

( Operator L^* ,nazywamy operatorem sprzęŜonym do operatora L^ jeŜeli zachodzi równość : ( L^ y, z ) = ( y, L^* z )

JeŜeli operator sprzęŜony do danego operatora jest z nim identyczny, to nazywamy go samosprzęŜonym lub hermitowskim MoŜemy wnioskować równieŜ, Ŝe ( L^y, y ) ≥ 0

Będziemy teraz poszukiwali rozwiązania liniowego rrz, drugiego rzędu :

L^[ X(x) ] = λ ρ(x) X(x) , a < x < b , λ -pewna stała , ρ(x) – zadana funkcja ciągła, nazywana funkcją wagową.

Spełniającego jednorodne warunki brzegowe : { - α1 X’(a) + β1 X(a) = 0

{ α2 X’(b) + β2 X(b) = 0

Postawione zagadnienie ( nazywane zagadnieniem Sturma-Liouville’a )przy dowolnych wartościach λ posiada rozwiązanie trywialne X(x) ≡ 0, istnieją jednak wartości parametru λ, przy których zagadnienie to posiada rozwiązania nietrywialne. Takie wartości λ nazywamy „wartościami własnymi” danego zagadnienia, odpowiadające im nietrywialne rozwiązania X(x) – nazywamy funkcjami własnymi.

Wymienimy teraz podstawowe własności wartości własnych i funkcji własnych zagadnienia Sturma-Liouville’a.

1) Istnieje przeliczalny zbiór λ1 , λ2 , ... , λn – wartości własnych i odpowiadających im liniowo niezaleŜnych funkcji własnych zbiór X1(x) , ... , Xn(n), przy czym funkcje własne określone są z dokładnością do dowolnej stałej.

2) Wszystkie wartości własne są nieujemne

3) Funkcje własne Xm(x) , Xn(n) odpowiadające róŜnym wartościom własnym λm , λn są ortogonalne na odcinku a ≤ x ≤ b o wadze ρ(x), tj. :

b

∫

Zatem, jeśli X1(x) , ... , Xn(n) – jest układem funkcji własnych, to : b

∫

b

|| X ||2 = [

∫

4) KaŜda funkcja naleŜąca do klasy B moŜe być rozłoŜona w szereg Fouriera względem funkcji własnych zagadnienia

Sturma-Liouville’a, zbieŜnym absolutnie na odcinku [a, b]. Przy tym szeregiem Fouriera funkcji f(x) względem funkcji własnych nazywamy szereg o postaci :

∞

f(x) =

ΣΣΣΣ

Współczynniki Fouriera dane są wzorem : b

cn = ( 1/ || X ||2 )

∫

5) Układ funkcji własnych jest układem pełnym w klasie £2.

Przez £2 oznaczamy klasę funkcji całkowalnych z kwadratem o wadze ρ(x) na odcinku [a, b]. Zatem jeśli g(x) ∈ £2, to : b

∫

Ortogonalny na odcinku [a, b], o wadze ρ(x), układ funkcji φ1(x) , ... , φn(n) nazywamy pełnym w klasie £2, jeśli dla dowolnej funkcji g(x)∈ £2, moŜemy znaleźć szereg :

∞

ΣΣΣΣ

o pewnych współczynnikach cn, zbieŜny do g(x) na [a, b] tj. : b N

∫

ΣΣΣΣ

∞

MoŜna dowieść, ze układ funkcji własnych { Xn (x) } | jest pełnym w klasie £2.

n=1 Przykład 1. RozwaŜmy zagadnienie Sturma-Liouville’a L^[y(x) ] = - d/dt[ p(x) dy/dx ] + q(x)y(x)

L^[ X(x) ] = λ ρ(x) X(x) { - α1 X’(a) + β1 X(a) = 0 { α2 X’(b) + β2 X(b) = 0

dla następujących danych : p(x) = 1, q(x) = 1 , ρ(x) = 1, a = 0, b = T.

Otrzymujemy zatem : { X’’(x) + λ X(x) = 0 { - α1 X’(0) + β1X(0) = 0 { α2 X’(T) + β2 X(T) = 0

Wartości własne λn = (µn / T )2 tego zagadnienia wyraŜają się poprzez nieujemne pierwiastki µn równania przestępnego : ctg(µ) = ( α1 α2 µ2 – β1β2 T2 ) / ( α1 β2 T + α2 β1 T ) µ

Rys. 1.3.1 Pierwiastki µn

Odpowiadające danym wartościom własnym funkcje własne mają postać : Xn (x) = sin[ (µnx / T ) + θn ] , θn = arctg( α1µn / β1T )

W przypadkach szczególnych :

a) dla warunków brzegowych pierwszego rodzaju ( α1 = α2 = 0 , β1 = β2 = 1 ) mamy : λn = ( nπ/ T )2 , n = 1, 2, ...

Xn (x) = sin(nπx / T )

b) dla warunków brzegowych drugiego rodzaju ( α1 = α2 = 1 , β1 = β2 = 0 ) mamy : λn = ( nπ/ T )2 , n = 0, 1, 2, ...

Xn (x) = cos(nπx / T )

II. Równania typu hiperbolicznego.

Do równań typu hiperbolicznego prowadzą liczne zagadnienia ośrodków ciągłych – drgania strun, prętów, membran, drgania ośrodków (jednorodnych ) gazowych i ciekłych, zagadnienie drgań elektrycznych.

1) Równanie drgań struny.

(* One of the most important problems in mathematical physics is the vibration of a stretched string. Simplicity and frequent occurrence in many branches of mathematical physics make it a classic example in the theory of partial differential equations *)

RozwaŜmy strunę tj. cienką, elastyczną nić (drut, Ŝyłę lub coś podobnego ), w przypadku szczególnym umocowaną w sposób trwały na obu jej końcach. Pod działaniem siły ( pewnego napręŜenia o ściśle określonym kierunku działania ), tak struna będzie się odchylać od swojego połoŜenia spoczynkowego będzie się wydłuŜała i kurczyła w ten sposób, Ŝe zachowane będzie przy tym prawo Hooke’a, mówiące o proporcjonalności wydłuŜenia i napręŜenia ), a po zaniknięciu tej siły, w pewien określony sposób powróci ona do połoŜenia równowagi. Naszym zadaniem będzie wyznaczenie

matematycznego modelu procesu zaburzenia i powrotu do stanu równowagi struny.

( tj. znalezienie równania małych (liniowych) poprzecznych drgań struny ).

Parametrami ( fizycznymi ) charakteryzującymi taką strunę są : długość struny L [m] , gęstość liniowa struny ρ = const.

lub w ogólnym przypadku ρ = ρ(x) [ kg/m], wielkość działającej siły F = F(x, t) [N] ( siła F działa na strunę tylko na kierunku prostopadłym do osi Ox ), napręŜenie struny T [ N/m ].

Przyjmijmy, Ŝe napięta struna w sytuacji w której nie działa na niŜ Ŝadna siła pokrywa się z osią Ox, kartezjańskiego układu współrzędnych. Będziemy rozwaŜali jedynie drgania poprzeczne tj. przyjmiemy, Ŝe struna na którą dział siła moŜe wyginać się spręŜyście tylko w płaszczyźnie ux ( wszystkie punkty struny poruszają się prostopadle do osi Ox ).

Przez u (x, t) oznaczymy odchylone od stanu równowagi, punkty struny o współrzędnej x w chwili t.

Rozpatrujemy zatem pewną funkcje dwóch zmiennych. Zmienna x przyjmuje wartości z odcinak [0, L ] ( lewy koniec struny ma współrzędne (0, 0 ), prawy (0, L) ), zmienna t ∈( 0, +∞ ).

Rys. 2.1.1

Matematycznym odpowiednikiem elastyczności struny jest warunek styczności powstałych w strunie napręŜeń do chwilowego profilu struny. ( rys. 2.1.2 ) Warunek ten wyraŜa brak oporu struny na zginanie.

Rys.2.1.2

Będziemy rozpatrywali tylko małe poprzeczne odchylenia struny, przyjmiemy, zatem Ŝe moŜemy zaniedbać wielkości będące kwadratami u, oraz ∂u/∂x , jak równieŜ wielkości będące ich iloczynami tj. typu : u ∂u/∂x.

W tym przypadku :

∂u/∂x = tg(α) ≈ sin(α) ≈ α 1 + ( ∂u/∂x )2 ≈ 1

cos(α) = 1/ sqrt[ 1 + tg2(α) ] ≈ 1

sin(α) = tg(α) / sqrt[ 1 + tg2 (α) ] = (∂u/∂x) / sqrt[ 1 + (∂u/∂x)2 ] ≈ ∂u/∂x

Przyjęcie warunku niewielkich wychyleń struny prowadzi do tego, Ŝe długość pewnego dowolnie wybranego odcinka struny ( x1 , x2 ) w danej chwili jest równa :

x2

L’ =

∫

To oznacza, ze w procesie małych drgań moŜemy zaniedbać przyrost długości drgającej struny ( tj. moŜemy zaniedbać wzrost długości struny ). Wielkość napręŜenia T powstałego w odchylonej strunie moŜe być obliczona z prawa Hooke’a.

Wielkość napręŜenia T na mocy tego prawa, nie jest zaleŜna od czasu.

MoŜna pokazać, Ŝe T nie jest zaleŜne równieŜ od x.

Mianowicie, dla drgań poprzecznych suma rzutów na oś Ox, sił napręŜenia, działających na końcach odcinka ( M1 , M2 ) wygiętej struny są równe zeru ( rys. 2.1.3) :

- T( x1) cos(α(x1) ) + T( x2) cos(α(x2) ) = 0

gdzie : α(x) kąt między styczną do struny i osią Ox, w pewnej chwili t.

Rys. 2.1.3

PoniewaŜ dla małych drgań cos(α(x1) ) ≈ cos(α(x2) ) = 1 , to T( x1) = T( x2). MoŜna zatem przyjąć, Ŝe T = T0 = const. dla wszystkich wartości x, t.

U podstaw rozwaŜanego modelu leŜy II prawo dynamiki Newtona ( lub ogólniejsza zasada Hamiltona ) :

dp /dt = F (2.1.1)

RozwaŜmy dowolny, wydzielony odcinek struny ( x1 , x2 ), będzie to w pewnym sensie analog układu mechanicznego, którego ruch będziemy opisywali. Przyjmując, Ŝe ruch tego odcinak zachodzi tylko w kierunku prostopadłym do osi Ox równanie wektorowe (2.1.1) moŜemy zapisać jako rzut na oś Ou.

Składowa pędu na osi Ou jest następująca : x2

P =

∫

x1 Zatem :

x2 x2

dP/dt = d/dt =

∫

∫

Rzut siły zewnętrznej składa się z dwóch składowych, jedna z nich uwzględnia działanie siły napręŜenia na końcach wydzielonego odcinka struny, druga – siłę zewnętrzną działającą na strunę.

Wielkości te są odpowiednio równe( zobacz rys. 2.1.3) : F1 = T0 sin(α2) - T0sin(α1) = T0 [ (∂u/∂x) |x2 - (∂u/∂x) |x1 ]

Wielkość [ (∂u/∂x) |x2 - (∂u/∂x) |x1 ] wyraŜa przyrost funkcji ∂/u/∂x wywołany zmiana x o dx, zastępując ten przyrost róŜniczką otrzymamy [ 11, str. 466 ] : [ (∂u/∂x) |x2 - (∂u/∂x) |x1 ] = (∂2u/∂x2 ) dx

Zatem :

x2

F1 = T0 sin(α2) - T0sin(α1) ≈ T0

∫

x2

F2 =

∫

Mamy zatem : x2

F = F1+ F2 = T0

∫

Równanie dynamiki (2.1.1) rozwaŜanej struny ma zatem postać : x2 x2

∫

∫

Po przekształceniu : x2

∫

x1

PoniewaŜ odcinek ( x1 , x2 ) wybraliśmy dowolnie, to w dowolnym punkcie struny, w dowolnej chwili czasu wyraŜenie podcałkowe powinno być równe zeru, tj. :

ρ(x) (∂2u/∂t2 ) - T0 (∂2u/∂x2 ) -F(x, t) = 0

Otrzymane równanie jest to rrc drugiego rzędu o stałych współczynnikach o ogólnej postaci : A(x, t) utt – B(x, t) uxx = F(x, t) , u = u(x, t)

Równanie takie jest szczególną postacią równania falowego niejednorodnego. Jest to równanie typu hiperbolicznego.

JeŜeli ρ = ρ0 = const moŜemy przyjąć a = sqrt( T0 / ρ0 ) oraz f(x, t) = F(x, t)/ ρ0 i zapisać :

∂2u/∂t2 = a2 ( ∂2u/∂x2 ) + f(x, t) (2.1.5a)

utt = a2uxx + f(x, t) (2.15b)

Jest to równanie wymuszonych poprzecznych drgań struny. JeŜeli siła zewnętrzna zanika tj. f(x, t) = 0, to dochodzimy do następującego równania :

∂2u/∂t2 = a2 ( ∂2u/∂x2 ) (2.1.6)

Jest to równanie swobodnych drgań poprzecznych struny.

W powyŜszym wyprowadzeniu zakładaliśmy, Ŝe siła zewnętrzna F działa rozłoŜona w sposób wzdłuŜ całej struny.

MoŜe jednak zachodzić sytuacja w której siła F działa skupiona w jednym, wybranym punkcie struny C = u(t, x0)

(rys. 2.1.4). Przypadek ten moŜemy traktować jako przypadek graniczny wyŜej rozpatrzonego, wtedy przyjmujemy, Ŝe siła F działa na nieskończenie mały odcinek struny o długości ε.

Rys. 2.1.4

Przypuśćmy, Ŝe końce otoczenia ε zbliŜają się do punktu C i oznaczmy odpowiednio przez : (∂u/∂x)+ i (∂u/∂x)- wartości brzegowe do których dąŜy ∂u/∂x, gdy zbliŜamy się do punktu C z prawej lub z lewej strony. Otrzymamy wówczas : F1 = T0 [ (∂u/∂x) |+ - (∂u/∂x) - ]

Widzimy więc, Ŝe punkt C tj. punkt działania skupionej siły, jest punktem kątowym (ostrzem ) dla struny, tj. punktem o róŜnych kierunkach stycznej z lewej i z prawej strony. Wynika z tego, Ŝe w punkcie przyłoŜenia siły skupionej nie moŜe być spełnione równanie róŜniczkowe. W punkcie tym powinny być spełnione dwa warunki :

u( x0+ , t) = u( x0- , t)

[ ∂u( x0+ , t)/∂x ] - [ ∂u( x0- , t)/∂x ] = - F(x0 )/T0

Warunek pierwszy wyraŜa fakt ciągłości struny w punkcie C

( równość wartości prawostronnej i lewostronnej funkcji u(x, t) ), warunek drugi określa wielkość załamania struny w punkcie C, jako funkcje siły F i napręŜenia T0.

2) Warunki brzegowe dla równania falowego. Zagadnienie Cauchy’ego dla równania hiperbolicznego.

Równanie (2.15a, b) jak wiadomo z teorii rrc posiada nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych. Z matematycznego i fizycznego punktu widzenia dla pełności postawionego zagadnienia konieczne jest podanie warunków początkowych.

Warunkami takimi jest podanie w chwili t = 0 ( chwili początkowej ) połoŜenia i prędkości ∂u/∂t wszystkich punktów rozwaŜanej struny :

u(x, t) |t=0 = φ(x) , ∂u/∂t |t=0 = φ1(x) (2.2.1)

warunki te określają całkowicie zagadnienie drgań struny i wraz z równaniem (2.1.5a) nazywają się zagadnieniem Cauchy’ego )

Przyjmując pewien model matematyczny drgającej struny moŜemy przyjąć, Ŝe jej długość jest nieograniczona i wtedy φ(x), φ1(x) z warunku (2.2.1) musza być dane w całym nieskończonym przedziale ( -∞, + ∞ ). Przypadek taki moŜe odpowiadać np. badaniu fali płaskiej w nieograniczonej przestrzeni. JeŜeli struna jest ograniczona ( z jednej lub z obu jej stron )w punktach x = 0 , x = L, to trzeba wskazać co dzieje się na jej końcach. Jeśli początek struny jest umocowany w sposób sztywny, to :

u(x, t) |x= 0 = 0

analogicznie będzie jeśli koniec struny będzie umocowany : u(x, t) |x= L = 0

A dla obustronnie umocowanych końców mamy oczywiście : u(x, t) |x= 0 = 0 i u(x, t) |L= 0 = 0.

Warunki te nazywamy warunkami brzegowymi. ( warunki (2.2.1) to warunki początkowe ).

MoŜemy rozpatrywać takŜe zagadnienie w którym oba końce struny mogą poruszać się w pewien zadany sposób.

Wówczas naleŜy uwaŜać rzędne tych punktów za dane funkcje czasu tj. załoŜyć : u(x, t) |x= 0 = µ1(t) , u(x, t) |x= L = µ2(t) µ1,2(t) – dane funkcje czasu.

3) Inne zagadnienia fizyczne prowadzące do równania falowego o postaci (2.1.5a)

Równanie falowe o postaci (2.1.5a, b) moŜe opisywać stosunkowo szeroki krąg róŜnorodnych zagadnień fizycznych.

W charakterze pierwszego przykładu rozwaŜmy równanie drgań podłuŜnych rozchodzących się w cienkim podłuŜnym i sztywnym pręcie. ( moŜna jeszcze rozwaŜać fale skrętne rozchodzące się w takim pręcie )

Rys. 2.3.1.

Zjawisko to moŜemy opisać za pomocą funkcji u(x, t) – przesuniecie punktu mającego w połoŜeniu równowagi odciętą x.

Niech a = sqrt( E / ρ) gdzie E – jest modułem Younga materiału z jakiego wykonany jest pręt, ρ – gęstość materiału z jakiego wykonany jest pręt.

Wtedy równanie drgań podłuŜnych ( w przybliŜeniu liniowym tj. w granicy stosowalności prawa Hooke’a ) będzie miało postać :

utt = a2uxx + F(x, t) , F(x, t) = f(x,t) / ρ – gęstość siły na jednostkę masy.

Jako drugi przykład moŜemy rozwaŜyć płaską falę akustyczną ( dźwiękową ) w cieczy lub gazie.

W tym przypadku równaniu falowemu podlegają zaburzenia ciśnienia p i gęstości ρ ośrodka w którym rozchodzą się rozwaŜane fale.

4) Energia drgań struny.

Energia kinetyczna całej struny ( zamocowanej na końcach ) jest dana zaleŜnością : L

K = ½

∫

Energia potencjalna drgań poprzecznych struny jest równa pracy jaka trzeba wykonać by przemieści strunę z połoŜenia równowagi w połoŜenie u0(x) :

L

V = - ½

∫

NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe równania (2.1.5a, b) zostały uzyskane za pomocą równanie dynamiki, mogą one być jednak obliczone z zastosowaniem zasady Hamiltona – równanie zeru wariacji poniŜszego funkcjonału :

t2

∫

Zazwyczaj rozpatrujemy strunę jako obiekt w którym masa jest rozłoŜona w sposób ciągły ( tj. rozkład masy opisywany jest przez funkcję ciągłą ρ = ρ(x) ). W przypadku, szczególnym moŜemy przyjąć dyskretny ( punktowy rozkład masy ), tzn. przyjąć, Ŝe masa struny ulokowana jest w punktach xi.

5) Równanie drgań membrany. Wielowymiarowe równanie falowe.

Membraną nazywamy cienką i płaską błonę ( płytkę ), nie stawiającą oporu przy zginaniu, która w połoŜeniu równowagi zajmuje pewien obszar płaski ograniczony pewnym konturem Γ ( zazwyczaj koło lub kwadrat ). W stanie spoczynku membrana znajduje się w stanie stacjonarnego napręŜenia, tj. jeśli wytniemy z nich dowolny obszar na brzegach tego obszaru będzie działała siła napręŜenia, której moduł na jednostkę długości jest równy T0.

Wyprowadzimy następnie taką napięta membranę ze stanu równowagi odchylając ją w kierunku pionowym.

Rys. 2.5.1

Przez u = u(x, y, t) oznaczymy przemieszczenie pionowe elementu membrany o współrzędnych x, y. Będziemy

przyjmowali takie przemieszczenie wystarczająco małym, tak aby moŜliwe było zaniedbanie wyrazów ( ∂u/∂x)2 , (∂u/∂y)2 Małość przemieszczeń pionowych membrany oznacza małość kąta α między normalną do powierzchni membrany i kierunkiem pionowym jako prostopadłym do wejściowej płaszczyzny x, y.

Z tego powodu moŜemy przyjąć następujące załoŜenia : cos(α) = 1/ sqrt[ 1 + ( ∂u/∂x)2 + (∂u/∂y)2 ] ≅ 1

sin(α) ≅ sqrt[ ( ∂u/∂x)2 + (∂u/∂y)2 ] = | grad u | S’ =

∫ ∫

∫ ∫

S S

Ostatnia zaleŜność oznacza, Ŝe pole dowolnego elementu membrany przy jego przemieszczeniu poprzecznym nie zmienia się. Dlatego przy małych drganiach poprzecznych nie następuje deformacja materiału z którego wykonana jest membrana i zgodnie z prawem Hooke’a moduł siły napręŜenia nie zmienia się w czasie i pozostaje zawsze równy T0 = const.

Aby opisać dynamikę drgań membrany zdefiniujemy składową pionową siły działającej na wybrany element S membrany, ograniczony konturem C. Będzie się ona składała ze składowej pionowej siły napręŜenia :

F1 = -

∮

∮

∮

oraz siły wymuszającej, działającej poziomo, rozłoŜonej na powierzchni membrany z pewną gęstością powierzchniową E(x, y, t) :

F2 =

∫ ∫

Z pomocą wzoru Gaussa-Ostrogradskiego dla powierzchni moŜemy zapisać : F1 =

∮

∫ ∫

∫ ∫

Gdzie : ∆2 = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 - dwuwymiarowy operator Laplace’a.

Wprowadzając gęstość powierzchniowa membrany ρ = ρ(x, y) [ kg/m2 ]moŜemy zapisać wyraŜenie dla pionowej składowej pędu poruszającego się kawałka membrany :

P =

∫ ∫

Teraz moŜemy wykorzystać II prawo dynamiki Newtona : dP/dt = F1 + F1

lub równowaŜnie :

d/dt

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

Wprowadzając pochodną po czasie pod znak całki, otrzymamy :

∫ ∫

∫ ∫

lub równowaŜnie :

∫ ∫

Na mocy dowolności wyboru rozwaŜanego elementu membrany , tj. dowolności obszaru całkowania S wynika : ρ (∂2u/∂t2) = T0 ∆2 u + E(x, y, t)

Dla jednorodnej membrany równanie to moŜemy zapisać następująco :

∂2u/∂t2 = a2 ∆2 u + E(x, y, t)

∂2u/∂t2 = a2 ( ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 ) + f(x, y, t)

a = sqrt( T0/ ρ) , f (x, y, t ) = E(x, y, t) / ρ0 – gęstość siły wymuszającej na jednostkę masy membrany.

PowyŜsze równania ( które są oczywiście w zapisie równowaŜne ) nazywamy dwuwymiarowymi równaniami falowymi.

Równanie drgań poprzecznych struny (membrany ) (2.1.5a, b) moŜemy uogólnić na przypadek przestrzeni o dowolnym wymiarze n :

∂2u/∂x12 + ∂2u/∂x22 + ... + ∂2u/∂xn2 – α ( ∂2u/∂t2 ) = 0 gdzie : u = u( x1≡ t, x2 , ... , xn )

Równanie takie moŜe opisywać np. proces rozprzestrzeniania się zaburzeń mechanicznych w ośrodku ciągłym lub np.

proces propagacji fali EM.

Równania te, podobnie jak wyprowadzone wcześniej równanie drgań struny opisują proces rozchodzenia się zaburzenia falowego poruszającego się ze skończoną prędkością. Dla procesów takich w przestrzeni stanów M, moŜemy wprowadzić tzw. stoŜek charakterystyczny (oczywiście stoŜek - dla procesów zachodzących w przestrzeni trójwymiarowej ) o

wierzchołku w punkcie ( M0 , t)

Rys. 2.5.2 StoŜek charakterystyczny dla dwu wymiarowego równania falowego.

6) Podstawowe metody rozwiązywanie równania falowego.

Zagadnienie, które mamy rozwiązać polega na znalezieniu rozwiązania równania falowego wraz z warunkami początkowymi :

{ ∂2u/∂t2 = a2 ( ∂2u/∂x2 ) + f(x, t) - zagadnienie Cauchy’ego { u(x, 0) = φ(x) , ∂u/∂t |t=0 = φ1(x)

W pierwszej kolejności wykorzystamy metodę d’Alemberta.

Wprowadźmy nowe zmienne ξ = x – at , η = x + at.

Przekształcając pochodne do nowych zmiennych otrzymujemy : ut = uξξt + uη ηt = - auξ + auη = a( uη - uξ )

utt = a ( uηξ ξt + uηη ηt - uξξ ξt - uξη ηt ) = a2 ( uξξ - 2uξη + uηη ) ux = uξ ξx + uη ηx = uξ + uη

uxx = uξξξx + uξη ηx + uηξξx + uηη ηx = uξξ + 2uξη + uηη Zapiszmy równanie falowe w nowych zmiennych :

∂2u / ∂ξ∂η ≡ ∂/∂η (∂u/∂ξ ) = 0

Przez bezpośrednie podstawienie moŜemy się przekonać, Ŝe równie to spełnia funkcja o postaci :

u( ξ, η ) = u1(ξ) + u2(η) , gdzie funkcje u1(ξ) , u2(η) są funkcjami dowolnymi, dwukrotnie róŜniczkowalnymi.

Zatem, funkcja :

u(x, t ) = u1 (x - at) + u2 (x + at) spełnia wejściowe równanie falowe.

PowyŜsze rozwiązanie ogólne nazywamy rozwiązaniem d’Alemberta.

Aby określić dokładnie funkcje u1(x -at) , u2(x + at) powinniśmy wykorzystać postawione warunki początkowe.

u(x, 0) = u1(x) + u2(x) = φ(x)

ut(x, 0) = a[ - u’1(x ) + u’2(x ) ] = ψ(x) ( prim oznacza pochodną po x ) Całkując ostatnie równanie otrzymamy :

x

u1(x) - u2(x) = (1/a)

∫

Mamy zatem :

x

u1(x) = ½ φ(x) – (1/2a)

∫

x

u2(x) = ½ φ(x) + (1/2a)

∫

Podstawiając te funkcje do równania u(x, t ) = u1 (x - at) + u2 (x + at), znajdujemy : x –at x + at

u(x, t ) = ½ φ(x – at ) - (1/2a)

∫

∫

Czyli :

x + at u(x, t ) = ½ [ φ(x – at ) + φ(x + at ) ] + (1/2a)

∫

x – at

Ze wzoru powyŜszego wynika, Ŝe zagadnienie Cauchy’ego dla równania falowego posiada jednoznaczne rozwiązanie, które w sposób ciągły zaleŜy od warunków początkowych tj. jeśli | φ1(x) – φ2(x) | < δ1 i | ψ1(x) – ψ2(x) | < δ2 to

| u1(x, t) – u2(x, t) | < ε , przy czym ε → 0 przy δ1,2 → 0.

JeŜeli ψ(x) = 0 ( brak prędkości początkowej ) tj. struna drga tylko w wyniku jej wychylenia początkowego, którego formę określa φ(x) , to wzór d’Alemberta przyjmuje postać :

u(x, t ) = ½ [ φ(x – at ) + φ(x + at ) ]

( w fizyce uŜywa się równieŜ zapisu : u(x, t ) = ½ [ φ(t – x /a ) + φ( t + x /a ) ] ) Jak widać rozwiązanie to składa się z sumy dwóch składowych.

Zjawisko opisywane funkcją u(x, t ) = φ(x – at ) nazywamy rozchodzeniem się fali prostej ( mówimy równieŜ o tym ,Ŝe funkcja taka opisuje falę biegnącą w prawo ). Analogicznie funkcja u(x, t ) = φ(x + at ) opisuje fale biegnącą w lewo

(fala powrotna ). Innymi słowy kształt wychylenia początkowego będzie przemieszczał się w lewą i prawą stronę. Na rys.

2.1.6 pokazano falę biegnącą w prawo tj. pewne początkowe wychylenie struny poruszające się w kierunku większych wartości x. ( analogiczny rysunek pokazywałby falę biegnącą w lewo )

Rys. 2.6.1

Wielkość a charakteryzuje prędkość rozchodzenia się zaburzenia : a = sqrt( T0 / ρ)

( prędkość rozchodzenia się drgań poprzecznych struny jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z gęstości struny i wprost proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z napręŜenia )

Rozwiązanie postaci u(x, t ) = ½ [ φ(x – at ) + φ(x + at ) ] stanowi więc średnią arytmetyczną pomiędzy falą prosta , a falą powrotną.

Funkcja u = φ(x – at ) ma stałą wartość na prostych x - at = const. = u , a funkcja u = φ(x + at ) ma stałą wartość na prostych x + at = const. = v Rodzinę takich prostych nazywamy krzywymi charakterystycznymi równania falowego.

W naszym przypadku jest to rodzina prostych nachylonych pod kątem α = tg(a). ( rys. 2.6.2 )

Dla przypadków ogólniejszych w których prędkość a nie jest stała rodziny charakterystyk są rodzinami krzywych nie będących prostymi.

MoŜemy powiedzieć, Ŝe zaburzenia rozchodzą się po charakterystykach.

Rys. 2.6.2

Jako przykład moŜemy rozpatrzyć rozchodzenie się zaburzenia początkowego ( wychylenia początkowego ) struny w postaci trójkąta równoramiennego ( wyciągamy strunę w połowie jej długości L = x2 – x1 ). Rysunek 2.1.9 pokazuje schematycznie proces rozchodzenia się takiego zaburzenia. ( kolejne połoŜenia struny w chwilach t = n ( x2 – x1 )/ 8a.

Rys. 2.6.3

RozwaŜmy teraz przypadek kiedy odchylenia początkowe jest równe zeru, a niezerowy jest pęd początkowy struny.

Innymi słowy rozwaŜmy rozwiązanie d’Alemberta o postaci x + at

u(x, t ) = (1/2a)

∫

MoŜna pokazać, Ŝe rozwiązanie to przedstawia superpozycję dwóch fal biegnących, rozprzestrzeniających się w przeciwnych kierunkach z prędkością a. W tym celu wprowadźmy funkcje :

x

Ψ(x) = (1/a)

∫

Wtedy wzór wejściowy moŜemy zapisać następująco : u(x, t ) = ½ [ Ψ(x + at ) - Ψ(x – at ) ]

Jak widać istnieje pełna analogia do przypadku wcześniejszego.

Jak kolejny przykład rozpatrzymy zagadnienie drgań struny pół ograniczonej i ograniczonej obustronnie.

( Ogólnie moŜemy powiedzieć, Ŝe działanie końca umocowanego x = L i x = 0 sprowadza się do odbicia fali padającej połączonego ze zmianą znaku odchylenia wraz z zachowaniem wartości bezwzględnej amplitudy fali padającej. )

RozwaŜmy strunę umocowaną w punkcie x = 0. Zagadnienie Cauchy’ego sformułujemy następująco : { ∂2u/∂t2 - a2 ( ∂2u/∂x2 ) = 0 ; t > 0 , x > 0

{ u(x, 0) = φ(x) , ∂u/∂t |t=0 = ψ(x) ; x ≥ 0 { u(0, t ) = µ(t) ; t ≥ 0

gdzie : µ(t) – opisuje prawo ruchu wolnego końca struny. MoŜna pokazać [1r, str. 41], Ŝe rozwiązanie d’Alemberta takiego zagadnienia ma postać :

x + at

u(x, t ) = ½ [ φ(x – at ) + φ(x + at ) ] + (1/2a)

∫

x – at at + x

u(x, t ) = µ ( t- x/ a ) + ½ [ φ(x + at ) - φ(x – at ) ] + (1/2a)

∫

RozwaŜmy teraz strunę umocowaną obustronnie. Odpowiednie zagadnienie Cauchy’ego ma teraz postać : { ∂2u/∂t2 - a2 ( ∂2u/∂x2 ) = 0 ; t > 0 , 0 < x < L

{ u(x, 0) = φ(x) , ∂u/∂t |t=0 = ψ(x) ; 0 ≤ x ≤ L { u(0, t ) = 0 , u(0, L) = 0 ; t ≥ 0

Rozwiązania tego zagadnienia moŜemy poszukiwać albo metodą charakterystyk albo metodą rozdzielanie zmiennych ( metoda Fouriera ).W celach poglądowych zastosujemy tę drugą metodę.

Podstawowa idea metody Fouriera oparta jest na liniowości i jednorodności zadanego równania i warunków brzegowych.

W tym przypadku słuszna jest zasada superpozycji – dla dowolnych dwóch rozwiązań u1 i u2 postawionego zagadnienia spełniających wymienione warunki początkowe, funkcja u = C1u1 + C2 u2 , gdzie C1,2 = const. jest równieŜ

rozwiązaniem postawionego zagadnienia.

Będziemy poszukiwali nie trywialnego rozwiązania postawionego zagadnienia w postaci iloczynu dwóch funkcji, z których jedna zaleŜy tylko od t, a druga tylko od x :

u( x, t) = T(t)X(x)

RóŜniczkując dwukrotnie to wyraŜenie po x i po t i podstawiając go następnie do wejściowego równania falowego

∂2u/∂t2 - a2 ( ∂2u/∂x2 ) = 0 , otrzymamy : X(x)T’’(t) = a2 X’’(x)T(t)

Lub :

(1/a2 ) T’’(t)/ a2 T(t) = X’’(x)/ X(x)

Po lewej stronie otrzymanego równania znajduje się funkcja zaleŜna tylko od t, a po prawej – tylko od x, równość jest moŜliwa tylko wówczas, gdy obie strony nie zaleŜą ani od t, ani od x tj. są wielkościami stałymi.

Oznaczmy taka stałą jako – λ , moŜemy więc zapisać : (1/a2 ) T’’(t)/ a2 T(t) = X’’(x)/ X(x) = - λ

Z tego wynika, Ŝe funkcje T(t) i X(x) moŜna określić z rozwiązania dwóch rrz o stałych współczynnikach : T’’(t) + λ a2 T(t) = 0 , X’’(x) + λX(x) = 0

Oczywiście z warunków początkowych mamy : X(0) = 0 , X(L) = 0

Na marginesie warto zauwaŜyć, Ŝe wprowadzone powyŜej zagadnienie nazywa się zagadnieniem na wartości własne.

( zagadnienie Sturma-Liouville’a )

Ogólne (ale nie najogólniejsze ) zagadnienie Sturma-Liouville’a moŜemy sformułować następująco : NaleŜy znaleźć liczby λ ( wartości własne ), przy których istnieją nietrywialne rozwiązania rrz : X’’ + λX = 0

Spełniające warunki początkowe : X(0) = X(L) = 0

JeŜeli λ > 0 ( jest to warunek nie trywialnego i zgodnego rozwiązania danego zagadnienia ), to ogólne rozwiązanie równania X’’(x) + λX(x) = 0 ma postać :

X(x) = C1 cos( √ λ x ) + C2 sin(√ λ x ) Z narzuconych warunków wynika , Ŝe : X(0) = C1 + C2 0 = 0 ⇒ C1 = 0

X(L) = C1 cos( √ λ L ) + C2 sin(√ λ L ) = 0 i dla C2 ≠ 0 ⇒ λ = λn = ( nπ / L)2 , n = 1, 2, … Zatem :

X(x) = sin (nπx/L ) , n = 1, 2, ...

KaŜdej wartości λn ( wartości własnej ) odpowiada funkcja Tn (t), którą znajdujemy jako rozwiązanie następującego równania :

T’’n (t) + ( nπ / L)2 a2 Tn (t) = 0

Rozwiązanie ogólne tego równania ma postać : Tn (t) = an cos( nπat/L ) + bn sin( nπat/L ) gdzie : an , bn – dowolne stałe.

Mamy zatem następującą postać funkcji spełniającej postawione zagadnienie brzegowe : u(x, t) = [ an cos( nπat/L ) + bn sin( nπat/L ) ] sin (nπx/L )

Zgodnie jednak z wspomnianą zasadą superpozycji, ostatecznym rozwiązaniem będzie szereg o postaci : ∞

u(x, t) =

ΣΣΣΣ

Pozostaje teraz dobrać tak stałe an , bn aby spełnione były równieŜ warunki początkowe. W tym celu zróŜniczkujemy otrzymany szereg :

∞

∂u/∂t =

ΣΣΣΣ

Mamy zatem : ∞

u(x, 0) =

ΣΣΣΣ

∞

∂u/∂t |t=0 =

ΣΣΣΣ

Równania te przedstawiają rozkład zadanych funkcji φ(x) i ψ(x) , w szereg Fouriera, zgodnie z teorią szeregów Fouriera współczynniki an , bn moŜemy przedstawić następująco :

L

an = φn = (2/L)

∫

L

bn = Lψn / nπa = (2/nπa)

∫

Mamy zatem kompletne rozwiązanie postawionego zagadnienia.

Rozwiązanie to moŜemy przedstawić w formie równowaŜnej : ∞ ∞

u(x, t) =

ΣΣΣΣ

ΣΣΣΣ

gdzie : αn= sqrt( an2 + bn2 ) , ωn = mπa/L , tg( δn ) = an/ bn

KaŜda ze składowych tego równania opisuje ruch struny w postaci fali stojącej, która jest tworzona w wyniku nałoŜenia się fali padającej i odbitej od końców struny. Takie fale stojące nazywamy tonami podstawowymi, harmonikami prostymi lub drganiami harmonicznymi. W fali stojącej wszystkie cząstki struny drgają z jednakową częstością :