Kanoni zne nawiasy Poissona

Nie h

ξ

^{ozna za}

2M

^{-wymiarowy wektor stanu}

col(q, Q)

^w przestrzeni fa-zowej, za±

F

ⁱ

G

^{dowolne funk je skalarne zmienny h}

ξ

^{. Zaªó»my tak»e, »e}

ewolu ja wektorastanu

ξ

^{zadana jest funk j¡ Hamiltona}

H

^.

Stawiamy teraz pytanie, jak wygl¡da po hodna dowolnej funk ji

F (ξ, t)

wzgldemzmiennejniezale»nej

t

^?Korzystaj¡ zzasadyró»ni zkowania funk- jizªo»onej uzyskujemyprostywzór

F (ξ, t) = ∇F · ˙ξ + ˙ ∂F

∂t = DξF ˙ξ + ∂F

∂t ,

gdzie

∇

^{ozna za}

∇ξ

^{. Sigaj¡ do równa« Hamiltona} zastpujemy

˙ξ

^przez

praw¡ stron(2.18) i otrzymujemy

F = (∇F ) ˙ ^T J ∇H + ∂F

∂t = [∇F | ∇H] + ∂F

∂t .

^(2.26)

Wpowy»szym wzorzepojawiªsiwa»nyobiektmatematy znyzwany

kano-ni znymnawiasem Poissona.

Kanoni znym nawiasem Poissonadwó hfunk ji

F

ⁱ

G

^nazywamy

opera-torró»ni zkowy

{F, G}

zdeniowany jako

{F, G} = (∇F ) ^T J ∇G = [∇F | ∇G] =

Tam, gdzie bdzie to wa»ne, dodawa¢ bdziemy do nawiasu Poissona

in-deks informuj¡ y o zmienny h kanoni zny h wzgldem który h li zone s¡

po hodne z¡stkowe. Naprzykªad, we wzorze

(2.27)

^mamy

{F, G}ξ

^.

Wprowadzaj¡ nawias Poissona mo»emy zapisa¢ równania kanoni zne

(2.18) wjesz zeprostszejposta i

˙ξ = {ξ, H},

^(2.28)

adladowolnej funk ji

F (ξ, t)

^{, w±wietlerównania (2.26),}

dF

dt = {F, H} + ∂F

∂t .

^(2.29)

NawiasPoissonaposiadazarównowªa± iwo± i typowe dlaka»dego

linio-wegooperatoraró»ni zkowego(liniowo±¢idziaªanienailo zyn)jaki

wªasno-± izbli»one doilo zynu wektorowego (antysymetria, to»samo±¢ Ja obiego).

{F, G} = −{G, F }.

^(2.30)

O zywistakonsekwen j¡ antysymetry zno± i jest

{F, F } = 0.

2. Linowo±¢. Dla dowolny h funk ji

F, G, H

^{i staªy h}

α

^,

β

^{za hodzi,}

{αF + βG, H} = α{F, G} + β{G, H}.

^(2.31)

W±wietlewªasno± i(2.30) ozna za towisto ie dwuliniowo±¢nawiasu

Poissona(liniowo±¢ zewzgldu naoba argumenty).

3. Dziaªanie nailo zynfunk ji:

{F G, H} = F {G, H} + G{F, H}.

^(2.32)

Tak»e i tawªasno±¢ doty zy równie» drugiego argumentu.

4. To»samo±¢ Ja obiego:

{{F, G}, H} + {{G, H}, F } + {{H, F }, G} = 0.

^(2.33)

Dlaporównania,dowolne trzy wektory

a , b, c ∈ R ³

^speªniaj¡

(a × b) × c + (b × c) × a + (c × a) × b = 0.

Wªa± iwie nale»aªobystwierdzi¢, »e ka»dyoperator speªniaj¡ y warunki

1-4 nazywamy nawiasem Poissona, natomiast sz zególny przypadek (2.27)

to kanoni znynawiasPoissona.

Warto te»wiedzie¢, »e dlafunk jizªo»onej

F (G(ξ))

^mamy

{F (G(ξ)), H(ξ} = F ^′ (G) {G, H} ,

^(2.34)

awi obowi¡zujestandardowa reguªa ró»ni zkowania funk jizªo»onej.

2.5.1 Ukªad

K

^iaª

Równania kanoni zneHamiltona pojawiaj¡siwró»ny hdziedzina h

mate-matyki powi¡zany h z teori¡ równa« ró»ni zkowy h zwy zajny h i

z¡stko-wy h. Dlanasnajwa»niejszejestto,»e mog¡oneopisywa¢ ru hukªadu

me- hani znego z zasem

t

^jakozmienn¡ niezale»n¡. Pojawia si jednak istotne ograni zenie:formalizmkanoni znymo»nastosowa¢ tylkowukªada h,gdzie

wszystkiedziaªaj¡ esiªys¡poten jalne,awi tam,gdzieIIzasadadynamiki

maposta¢

m i r ¨ i = F i = −∇r ⁱ V,

Przez

V = V (r 1 , . . . , r K , t)

ozna zyli±mypoten jaªskalarn¡funk j,która generuje wszystkie siªy w ukªadzie

K

^{iaª. U»ywaj¡ wektora}

r ∈ R ^3K

^w

przestrzenikongura yjnej

r = col(r 1 , . . . , r K ) ^T ,

mówimy, »e

V (r, t)

^jest poten jaªem zagadnienia, je»eli wektor siª w prze-strzenikongura yjnej jestdanygradientem

F = col(F 1 , . . . , F _K ) ^T = −∇rV (r, t).

^(2.35)

Je±li mamy do zynienia z zagadnieniem ru hu pod wpªywem siª

po-ten jalny h, to newtonowskie równania ru hu (1.2) w ukªadzie iner jalnym

mo»nawyrazi¢ wposta ikanoni znej poprzez prost¡ identyka j:

•

wspóªrzdne uogólnioneto wektorpoªo»e«wprzestrzeni kongura yj-nej

q = r

^,

r 1 = x 1 , r 2 = y 1 , r 3 = z 1 , r 4 = x 2 , r 5 = y 2 , r 6 = z 2 ,

^itd.

•

^{pdy uogólnione to pdy} newtonowskie

Q = R

^{(ilo zyn masy i}

prd-ko± i)

R 1 = m 1 ˙x 1 , R 2 = m 1 ˙y 1 , R 3 = m 1 ˙z 1 , R 4 = m 2 ˙x 2 ,

^itd.

zyli

R 1 = m 1 ˙r 1 , R 2 = m 2 ˙r 2 ,

^itd.

(Nie nale»ymyli¢ wektora pdu

j

^{-ego iaªa (}

R _j

^{) ze skªadow¡}

R _j

peª-nego wektorapdu

R

^.)

•

^{funk ja Hamiltona równa jest energii aªkowitej ukªadu, zyli sumie}

energii kinety znej

T

ⁱ poten jalnej

V

^{(terminu poten jaª i energia}

poten jalnau»ywa¢ bdziemyjako synonimów)

H(r, R, t) = T (R) + V (r, t).

^(2.36)

Dlaukªadu

K

^{iaª energia kinety zna jest sum¡}

T =

Šatwo mo»na sprawdzi¢, »e przyty h zaªo»enia h forma Pfaa

Φ = H dt + 1

generujerównania kanoni zne (2.19) wpeªni równowa»ne ukªadowi (1.2).

2.5.2 Zagadnienie dwó h iaª

U»ywaj¡ kartezja«ski h zmienny h kanoni zny h

q ∈ R ⁶

ⁱ

Q ∈ R ⁶

^(bo

gdzie

k

^{ozna zastaª¡ Gaussa,} otrzymujemykanoni zne równania ru hu

˙q = ∇QH, Q ˙ = −∇qH,

które s¡ w peªni równowa»ne ukªadowi znanemu z Wstpu do me haniki

nieba.

W sz zególnym przypadku, gdy analizujemy ru h jednego iaªa, mo»emy

opu± i¢ indeks numeruj¡ y iaªa i dla zmienny h kanoni zny h

r , R ∈ R ³

mamyform Pfaa

Φ = −

 R · R

2m + V (r, t)



dt + R · dr,

zrównaniami kanoni znymi

˙r = R

m , R ˙ = −∇rV (r, t).

W tejsytua ji zsto korzystamy z Twierdzenia 2,w my±l którego mno»¡

Φ

^{przez dowoln¡ staª¡ otrzymamy równowa»ny ukªad równa«. Wybieraj¡}

c = m ⁻¹

^{, mo»emyzamiast}

Φ

^u»y¢

Φ ^′ = Φ/m

^{, zyli}

Φ ^′ = −H ^′ (r, R ^′ , t) dt + R ^′ · dr, R ^′ = R

m ,

^(2.41)

H ^′ (r, R ^′ , t) = H

m = R ^′ · R ^′

2 + V ^′ (r, t),

gdzie

V ^′ = V /m

^{to poten jaª na jednostk masy. Z tejformy Pfaa z}

wek-torem stanu

ξ ^′ = col(r, R ^′ )

otrzymujemy równania kanoni zne typu(1.4)

˙r = ∇R ^′ H ^′ = R ^′ , R ˙ ^′ = −∇rH ^′ = −∇rV ^′ (r, t),

^(2.42)

z który h wida¢, »e pd uogólniony

R ^′

^{mo»e by¢} kartezja«skim wektorem prdko± i, gdy funk ja Hamiltona ma harakter energii na jednostk masy.

Jestto reguªaskalowania, zktórej htniekorzystamybadaj¡ ru hjednego

iaªa,alegdy iaªjest wi ej, tra i onazalety, gdy» tylkojedna z masmo»e

zosta¢ u»ytajako zynnik skali.

Z tego newtonowsko-kartezja«skiego puktu wyj± ia bdziemy

prze ho-dzi¢do oraz to ogólniejszy h zmienny h

(q, Q)

ⁱniekonie znie iner jalny h ukªadów spóªrzdny h stosuj¡ transforma je kanoni zne, o jest typowym

postpowaniem wrama htego formalizmu.

Transforma je kanoni zne

WYKŠAD 10

3.1 Podstawy

Je±li w rama h formalizmu newtonowskiego h emy zast¡pi¢ zmienne

kar-tezja«skie

r

^{jakimi± i h funk jami}

r ^′ (r, t)

^{, to w drugiej zasadzie dynamiki}

¨

r = F

^{zmiane ulegnie wszystko: i posta¢ siª, i lewe strony. Wpªyw}

prze-ksztaª enia zmienny hna posta¢równa« ru hu jesttrudny doprzewidzenia

zgóry. Czyrównania bd¡ prostsze, zy bardziejzªo»one ? Tego niewiemy,

póki i h nie wyprowadzimy. Formalizm kanoni zny oferuje nam tu o wiele

bardziejkomfortow¡sytua j.Dopierowjegorama hprzeksztaª enia

zmien-ny h staj¡si sprawnymnarzdziem uprasz zania równa« ru hu.

3.1.1 Deni ja transforma ji kanoni znej

Poj ietransforma jikanoni znej odgrywa fundamentaln¡rolwme hani e

hamiltonowskiej. Wi¡»esi ono znastpuj¡ ymproblemem:

Mamydany ukªad me hani zny zdeniowany przez funk j

Ha-miltona

H

^{, wektorstanu (zmienne)}

ξ

^{i kanoni zne równania}

ru- hu.Ch emydoopisuru hutegoukªaduu»y¢inny hzmienny h

η

^{, któremo»nawyrazi¢przy pomo y}

ξ

^{jako warto± i funk ji}

Y

^.

Dopusz zaj¡ jawn¡ zale»no±¢ przeksztaª enia od zasu, mamy

η = Y (ξ, t)

^.

Jakie warunki musz¡ speªni¢ funk je

Y

^{, aby równania ru hu w}

zmienny h

η

^{byªynadalkanoni zne ?}

ni zn¡posta¢ równa« ru hu nazywamy transforma j¡ kanoni zn¡.

Z punktu widzenia równa« Pfaa, mo»na powiedzie¢, »e transforma ja

jestkanoni zna,gdywyra»aj¡ pfaan

Φ = Hdt + 1

2 [ξ | dξ],

przypomo ynowy h zmienny h

η

^{, otrzymamyform}

Φ ^′ = Kdt + 1

2 [η | dη],

jak zwykle  z dokªadno± i¡ do mno»nika i ró»ni zki zupeªnej. Jest to

de-ni ja wpeªni równowa»na poprzedniej. Niestety, bez wej± ia w teori

ró»-ni zkowy hformzewntrzny htrudnowydoby¢zniejogólnywarunek

kano-ni zno± i transforma ji, ho¢ w prostszy h wypadka h (np. przeksztaª enia

liniowe) bdzie onapor zna.

Zty hpowodów,warunekdostate znykanoni zno± itransforma ji

otrzy-mamybadaj¡ równania ru hu.

3.1.2 Warunek dostate zny kanoni zno± i transforma ji

Nie h

ξ = col(q, Q)

^{ozna za wektorstanu, który nazwiemy starymi}

zmien-nymi kanoni znymi. Ewolu ja stary h zmienny h opisana jest równaniami

kanoni znymi(2.18)

dξ

dt = J ∇ξH,

zfunk j¡Hamiltona

H(ξ, t)

^.

Wprowadzamy teraz nowy wektor stanu

η = col(p, P )

^{i potramy}

wy-razi¢ go przy pomo y stary h zmienny h, dopusz zaj¡ jawn¡ zale»no±¢ od

zasu(na przykªad, je±linowe zmienneodniesione s¡do ukªadu

nieiner jal-nego)

η = Y (ξ, t).

Wpowy»szym wzorze staramy si odró»ni¢ zmienne

η

^{od funk ji}

Y

^{, które}

okre±laj¡ i hzale»no±¢ od

ξ

^{i jawn¡od zasu}

t

^.

Spytajmy teraz o po hodn¡

η

^{wzgldem zasu. Je±li} wprowadzimy ma- ierz Ja obiego

U = DξY ,

to

dη

dt = U dξ

dt + D _t Y .

Poniewa» ewolu ja

ξ

^{opisanajest równaniami (2.18), mamy}

˙η = UJ ∇ξH + D ^t Y .

Wtym równaniu nadalwystepuj¡ stare zmienne i to wtrze h miejs a h: w

operatorze gradientu, wewn¡trz hamiltonianu

H

^{i w funk ja h}

Y

^{. Z}

pierw-szymidwomaradzimysobie prosto:

•

^{zamiana zmienny h wgradien ie sprowadza si do}

∇ξ = U ^T ∇η.

^(3.1)

•

^{Funk jHamiltona}

H(ξ, t)

^{mo»emywyrazi¢przypomo ynowy h}

zmien-ny h podstawiaj¡ wzorytransforma ji odwrotnej

H(ξ, t) = H(ξ(η, t), t) = H ^′ (η, t).

^(3.2)

Daje to nam gwaran j, »e opisujemyw nowy h zmienny h ru h tego

samego ukªadu.

Wten sposóbsprowadzili±myrównania dla

˙η

^{do posta i}

˙η = UJU ^T ∇ηH ^′ + D _t Y .

Przywoªuj¡ równanie (2.9) zauwa»amy, ze je±li ma ierz Ja obiego

U

jest ma ierz¡symplekty zn¡torównaniaru huwnowy hzmienny hprzybieraj¡

posta¢

˙η = J ∇ηH ^′ + D t Y .

^(3.3)

Gdybyniejawnazale»no±¢transforma jiod zasu,toz

D t Y = 0

^mieliby±my

równania kanoni znew nowy h zmienny h z funk j¡ Hamiltona

H ^′ (η, t)

^.

›eby usun¡¢wyraz

D t Y

^{, który nadal pozostaje funk j¡ stary h}

zmien-ny h, wprowadzamydofunk jiHamiltonatakzwan¡reszttransforma ji

R(η, t)

^. Przyjmujemy, »e now¡ funk j¡ Hamiltona bdzie

K(η, t) = H ^′ (η, t) + R(η, t),

^(3.4)

i podstawiamy

H ^′ = K − R

^{dorównania (3.3), otrzymuj¡}

˙η = J ∇ηK − ^ J ∇ηR − D ^t Y ^ .

Wyraz w nawiasie kwadratowym mo»na sprowadzi¢ do zera znajduj¡

odpowiedni¡reszt

R

^jakorozwi¡zanierównaniaró»ni zkowego z¡stkowego

∇ηR = −JY ^′ (η, t).

^(3.5)

Przez

Y ^′ (η, t)

ozna zyli±my wektor który powstaje w nastpuj¡ y sposób:

znajdujemy po hodn¡ z¡stkow¡

Y t = D t Y (ξ, t)

^{, a nastpnie zmienne}

ξ

^w

Y _t

^{wyra»amyprzypomo y nowy h zmienny h}

η

^{, zyli}

Y ^′ (η, t) = Y t (ξ(η, t), t).

Niebdziemyrozpatrywa¢bli»ej sposobuznajdowaniareszty, gdy»dalej

po-znamy sz zególne rodzaje transforma ji kanoni zny h, dla który h istniej¡

proste reguªyotrzymywania

R

^.

Przedstawione wy»ej wyprowadzenie prowadzi do sformuªowania

nast-puj¡ egowarunku kanoni zno± i transforma ji:

Transforma ja

(ξ, H) → (η, K)

^{za howujekanoni zn¡posta¢}

rów-na«ru hugdy:

•

^{ma ierz Ja obiego}

U = Dξη

(poprawniej:

DξY (ξ, t)

^{) jest}

symplekty zna,

•

hamiltonian

K

^{powstajeprzez}podstawieniedo

H

^zwi¡zków

midzyzmiennymi i dlatrasforma ji jawnie zale»ny h od

zasu dodanie resztytransforma ji.

Przedstawione kryteriumwarunekma harakterwarunkudostate znego,

ale niekonie znego. Istnieje mo»liwo±¢ otrzymania równa« kanoni zny h w

nowy h zmienny h przezdodatkowe zabiegina funk ji Hamiltona bez

speª-nienia warunku symplekty zno± i

U

. Najprostszym przykªadem jest skalo-waniezmienny h zrozdziaªu2.5.3 (dodatkowymzabiegiem byªopodzielenie

przez mas), które za howuje posta¢ kanoni zn¡ równa« ru hu, ho¢ jego

ma ierzJa obiego niejestsymplekty zna.

Symplekty zno±¢ ma ierzy Ja obiego gwarantuje, »e transforma je

ka-noni zne tworz¡ grup, wktórej dziaªaniem (nieprzemiennym) jestzªo»enie

transforma ji. Wsz zególno± i,transforma jaodwrotna dokanoni znej jest

kanoni zna.

3.1.3 Nawiasy Poissona a transforma ja kanoni zna

Warunek symplekty zno± i ma ierzy Ja obiego

U

ªatwo mo»na powi¡za¢ z nawiasami Poissona. Zaªó»my, »e mamy zmienne

ξ

ⁱ

η = Y (ξ)

^powi¡zane

transforma j¡ kanoni zn¡. W rozwa»ania h tego rozdziaªu jawna zale»no±

od zasulub jej braks¡ aªkowi ie bez zna zenia,wi dlazwizªo± i

pomi-jamy

t

^.

Rozpatrzmy nawias Poissona dwó h funk ji nowy h zmienny h

F (η)

^,

G(η)

^{. Zgodnie zdeni j¡ (2.27),nawiasPoissonaty h funk jito}

{F, G}η = [∇ηF | ∇ηG].

Wyra¹my teraz

F

ⁱ

G

^{przypomo ystary hzmienny h}

ξ

^{, otrzymuj¡}

F ^′ (ξ) = (F ◦ Y )(ξ) = F (Y (ξ)), G ^′ (ξ) = (G ◦ Y )(ξ) = G(Y (ξ)).

Zgodnie zreguª¡ transforma ji gradientu (ró»ni zkowania funk jizªo»onej)

{F, G}η = [U ^T ∇ξF ^′ | U ^T ∇ξG ^′ ].

Ale przeksztaª enia ma ierz¡ symplekty zn¡

U ^T

nie zmieniaj¡ formy sym-plekty znej wmy±l(2.5),zatem

{F, G}η = [∇ξF ^′ | ∇ξG ^′ ] = {F ^′ , G ^′ }ξ.

I tak doszli±my do zasady niezmienni zo± i nawiasów Poissona przy

trans-forma jikanoni znej

η = Y (ξ)

^:

{F (η), G(η)}η = {(F ◦ Y )(ξ), (G ◦ Y )(ξ)}ξ.

^(3.6)

Mo»na te»zapisa¢ten warunek wskró onejposta i

{F, G}η = {F, G}ξ,

^(3.7)

pamitaj¡ ,»epo hodne z¡stkowe

F

ⁱ

G

^{musz¡by¢li zonealbopo}

podsta-wieniu równa« transforma ji, albo przy u»y iu wzoru na po hodn¡ funk ji

zªo»onej.

Šatwo sprawdzi¢, »e dlakanoni zny h zmienny h

η = col(p, P )

{p ⁱ , P j }η = δ ^ij , {p ⁱ , p j }η = {P ⁱ , P j }η = 0,

^(3.8)

gdzie

δ ij

^{ozna zadelt} Krone kera. Podobnie dla

ξ = col(q, Q) {q ⁱ , Q j }ξ = δ ^ij ,

apozostaªe nawiasy s¡ zerowe. Wzwartej posta iformuªujemy t wªasno±¢

mówi¡ , »e ma ierz nawiasów Poissona zmienny h kanoni zny h jest

stan-dardow¡ ma ierz¡ symplekty zn¡

M = {η, η}η = J,

^(3.9)

gdzie

M ij = {η ⁱ , η j }η

^.

Niezmienni zo± nawiasów Poissona pozwala wi sformuªowa¢ prosty

test, zydana transforma ja

η = Y (ξ, t)

^jestkanoni zna.Je±li jest,to

{Y (ξ, t), Y (ξ, t)}ξ = J.

^(3.10)

Przykªad:Transforma jaPoin arégodlaos ylatora harmoni znego

RozpatrzmyHamiltonian os ylatoraharmoni znego

H = ¹ 2

 X ² + ω ² x ^{2 } .

^(3.11)

Równania ru hu dlazmienny h

ξ = (x, X) ^T

^{maj¡ znan¡ posta¢}

˙x = {x, H} = X, X = {X, H} = −ω ˙ ² x.

Mo»na jednak wprowadzi¢ nowe zmienne kanoni zne

η = (ℓ, L) ^T

^{, dla}

któ-ry h nowy hamiltonian

K

^{bdzie miaª prostsz¡ posta¢. S¡ to tzw. zmienne}

Poin aré, zwi¡zanez

x, X

^poprzez

x =

s 2L

ω sin ℓ, X = √

2Lω cos ℓ.

^(3.12)

Sprawd¹my kanoni zno±¢ty h zmienny h badaj¡ nawiasy Poissona:

{x, X}η = ∂x

∂ℓ

∂X

∂L − ∂x

∂L

∂X

∂ℓ = 1,

za±

{x, x} = {X, X} = 0

^{z deni ji nawiasów} (antysymetry zno±¢ !). Skoro kryterium

(3.10)

^{zostaªo speªnione, mo»emy uzna¢ nowe zmienne za}

kano-ni zneiznale¹¢nowyhamiltonian.Transforma janiezale»yjawnieod zasu,

wi niewprowadzamy resztytransforma jii

K = H(x(ℓ, L), X(ℓ, L)) = ωL.

^(3.13)

Zauwa»my, »e nowy hamiltoniannie zale»yod zmiennej

ℓ

^{; dla} podkre±lenia tegofaktupiszemyzwykle

K = K(−, L).

Nowe równania ru hu

˙ℓ = ω, L = 0, ˙

^(3.14)

s¡natyle proste,»e mo»na jerozwi¡za¢ bez trudu

L = L 0 =

^onst

, ℓ = ω(t − t ⁰ ) + ℓ 0 .

^(3.15)

Pojawiªy si dwie staªe dowolne,

L 0

ⁱ

ℓ 0

^{, które wyzna zamy z warunków}

po z¡tkowy h.

Przykªad ten dobrzeilustruje roltransforma ji kanoni zny h w

uprasz- zaniurówna« ru hu.

3.2 Transforma je Mathieu

3.2.1 Deni ja

Najprostszyrodzaj transforma ji kanoni znej to transforma jeMathieu. W

najbardziej ogólnejposta i,

transforma ja Mathieu to takie kanoni zne przeksztaª enie

zmienny h, któreza howuje warto±¢ i posta¢ kanoni znej

jedno-formy(2.24) lub (2.25).

O zywi± ie, warunek za howania warto± i formy wyklu za dodawanie

ró»-ni zkizupeªnejorazstosowaniemno»nikainnego ni»1 mimo,»e niewpªywa

tonarównania kanoni zne ru hu. Aletakieograni zenie zna z¡ ouprasz za

prakty zne wykonanietransforma ji Mathieu.

Naj zstszy wariant transforma ji Mathieu polega na zadaniu nowy h

wspóªrzdny hjakofunk jiwspóªrzdny hstary hi zasu,apotemtakim

do-borze nowy h pdów, »ebyzagwarantowa¢ kanoni zno±¢(wariant ten znany

jestjako rozszerzenie kanoni zne transforma ji punktowej).Ze wzgldu na

symetriwspóªrzdny hipdówuogólniony h,mo»natak»eprowadzi¢

trans-forma jeMathieuzadaj¡ nowe pdyjakofunk je stary h (i zasu) apotem

dobiera¢ nowewspóªrzdne.

Przyjmijmy za punkt wyj± ia zmienne kanoni zne

ξ = col(q, Q)

^dla

ukªadu z funk j¡ Hamiltona

H

^{. W warian ie} podstawowym wykonujemy najpierwtransforma j punktow¡ (nazwa myl¡ a  niema ni wspólnegoz

poj iemgrupypunktowej transforma jiwalgebrze), którapolegana

wpro-wadzeniunowy hwspóªrzdny h

p

^{,zale»ny hjedynieodstary h}

wspóªrzd-ny h

q

^{i jawnie od zasu}

p = p(q, t).

^(3.16)

Zauwa»my, »e jest to w¡ska klasa przeksztaª e«, zabraniaj¡ a zale»no± i

p

od stary h pdów

Q

(przedstawiona wy»ej transforma ja Poin aré nie jest transforma j¡punktow¡). Rozszerzeniekanoni znetransforma jipunktowej

(3.16)toznalezieniepdów

P

sprz»ony hkanoni znieznowymi wspóªrzd-nymioraz nowego hamiltonianu

K

^.

warto± i iposta iformyró»ni zkowej Pfaa(2.24)

−H dt + Q ^T dq = −K dt + P ^T dp.

^(3.17)

Zauwa»myodrazu, »e je±litransforma ja(3.16) niezale»yjawnie od zasu,

to nie pojawi si ró»ni zka

dt

^{wynikaj¡ a z}

dp

^{i bdziemy mieli}

H = K

^a

wi transforma jbezreszty

R

^.

Wariant alternatywny(rzadszy)towybór nowy h wspóªrzdny h

za ho-wuj¡ ywarto±¢ jednoformy(2.25), zyli

H dt + q ^T dQ = K dt + p ^T dP .

^(3.18)

Zalet¡ transforma ji Mathieu jest prostota i h realiza ji oraz

automa-ty zne generowanie resztytransforma ji.

3.2.2 Liniowa transforma ja kanoni zna

Zaªó»my,»ewukªadziekanoni znymzfunk jaHamiltona

H(q, Q, t)

wprowa-dzimy nowe wspóªrzdne uogólnione

p

^{poprzez liniow¡} transforma j punk-tow¡

p = Aq,

^(3.19)

gdzie nieosobliwa ma ierz kwadratowa nie zale»y od

q

^ani

Q

^{, a jedynie od}

zasu. Wtedy

dp = Adq + ˙ A q dt.

Azatem, warunek transforma jiMathieu (3.17) przybiera posta¢

−H dt + Q ^T dq = −K dt + P ^T A ˙ q dt + P ^T A dq.

^(3.20)

Przyrównuj¡ wyrazymno»one przez

dq

stwierdzamy, »e

P ^T A = Q ^T ,

zyli,transponuj¡ obiestrony,

A ^T P = Q,

o prowadzido deni ji nowy h pdów

P = A ^−T Q.

^(3.21)

Przez

A ^−T

rozumiemy odwrotno±¢ ma ierzy transponowanej albo transpo-zy jma ierzy odwrotnej, o najedno wy hodzi, gdy»

 A ^{−1  T} = ^ A ^{T  −1} = A ^−T .

Nowy hamiltonian

K

^otrzymamy przyrównuj¡ wyrazy (3.20) mno»one przez

dt

−H = −K + P ^T A ˙ q,

zyli

K = H + P ^T A ˙ q.

O zywi± ie, i stary hamiltonian

H

^{, i reszta} transforma ji musz¡ by¢

wyra-»oneprzypomo ynowy hzmienny h,wi podstawiaj¡ rozwi¡zania(3.19)

i (3.21) wzgldem stary h wspóªrzdny h i pdów

q = A ⁻¹ p, Q = A ^T P ,

otrzymamy

K(p, P , t) = H(A ⁻¹ p, A ^T P , t) + P ^T AA ˙ ⁻¹ p,

^(3.22)

jako now¡ funk j Hamiltona.

Mo»emy wi sformuªowa¢ nastpuj e twierdzenie o liniowej

transfor-ma ji kanoni znej

TWIERDZENIE 5:Nie h

ξ , η ∈ R ^2M

^{ozna zaj¡ dwawektory}

stanu

ξ = col(q, Q)

^,

η = col(p, P )

^{, za±}

A = A(t)

nieosobliw¡

ma ierzkwadratow¡ stopnia

M

^. Transforma jaliniowa

η = Sξ,

zma ierz¡

S = A 0 0 A ^−T

!

,

^(3.23)

jesttransforma j¡kanoni zn¡ ajej resztawynosi

R = P ^T AA ˙ ⁻¹ p.

^(3.24)

Rozpatrzmy zstospotykan¡wme hani esytua j,gdy h emybada¢ ru h

w jednostajnie obra aj¡ ym si ukªadzie wspóªrzdny h. Punktem wyj± ia

bda poªo»enia i pdy (na jednostk masy) w kartezja«skim ukªadzie

iner- jalnym

Ox 0 y 0 z 0

ξ = col(r 0 , R 0 ),

gdzie,

r 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) ^T , R 0 = (X 0 , Y 0 , Z 0 ) ^T .

Funk ja Hamiltona wtym ukªadziemaposta¢

H(r ⁰ , R 0 , t) = ¹ ₂ R ^T ₀ R 0 + V (r 0 , t),

^(3.25)

gdzie

V

^{ozna zadowolny poten jaª (na jednostk masy).}

Wprowad¹myterazdrugiukªadwspóªrzdny h

Oxyz

^{otymsamym±rodku}

O

^{,któryobra asi}jednostajniewokóªosi

Oz 0 = Oz

^{,zprdko± i¡k¡tow¡}

Ω

^.

Ch emy, aby nowe zmienne poªo»enia opisywaªy pozy j punktu

material-nego wukªadzie rotuj¡ ym,a wi ozna zaj¡ przez

M ₃ (α)

^{ma ierz obrotu}

pasywnegook¡t

α

^{wokóª osi}

Oz

(pasywnego, gdy»nieobra amywektora

r

^,

le z jego wspóªrzdne ulegaj¡ zmianie z powodu obrotu ukªadu

wspóªrzd-ny h), zadajemy transforma jwposta i

r = M 3 (Ωt) r 0 ,

^(3.26)

Jakwida¢, zwi¡zek(3.26) deniuje transforma j punktow¡, gdy»nie

poja-wiaj¡ si w nim stare pdy

R 0

^{a tylko} wspóªrzdne

r 0

^{i zas}

t

^{. Jest to w}

isto ie przypadek omawiany wrozdziale 3.2.2 i mo»na do niego zastosowa¢

Twierdzenie 5.Rolma ierz

A

peªnitu

M ₃ (Ω t)

^{, wi wedªugwzoru (3.23)}

R = M ^−T ₃ R 0 ,

alemamydo zynieniazma ierz¡ortogonaln¡,odwrotno±¢równajest

trans-pozy ji, o ozna za

R = M 3 (Ωt) R 0 .

^(3.27)

Transforma ja pdów okazuje si identy zna jak transforma ja

wspóªrzd-ny h.

jestjako

K(r, R, t) = H(M ³ (−Ωt)r, M ³ (−Ωt) R, t) + R,

^(3.28)

za±resztatransfroma ji, zgodniez równaniem (3.24),maposta¢

R = R ^T M ˙ ₃ (Ωt)M 3 (−Ωt)r.

Poniewa» dlama ierzy obrotu

M ₃ (Ωt) =

Zauwa»my, »e wyra»enie w nawiasie to ni innego jak skªadowa

z

^wektora

momentu pdu (rzutmomentu pdu nao±obrotu).

Zwi¡zek (3.27) ozna za, »e dªugo± i starego i nowego wektora pdu s¡

jednakowe, a wi uwzgldniaj¡

R ^T ₀ R 0 = R ^T R

^{, sigamy do (3.25) aby}

otrzyma¢ ko« ow¡ posta¢ funk ji Hamiltona w obra aj¡ ym si ukªadzie

wspóªrzdny h

K = ¹ 2 R ^T R − Ω (xY − yX) + V ^′ (r, t),

^(3.30)

gdzie

V ^′ (r, t) = V (M 3 (−Ωt)r, t).

Podsumujmykrótkowyniki tegowa»nego przykªadu:

•

^Transforma ja(3.26)jestjawniezale»naod zasuawi

K 6= H

^.Reszta

transforma jimaposta¢

R = −Ω (xY − yX)

^.

•

^Pdy

R

^{w rotuj¡ ym ukªadzie} wspóªrzdny h nie s¡ to»same z prd-ko± iami wtymukªadzie (opró z

Z = ˙z

^),gdy»

˙x = ∂K

∂X = X + Ω y,

˙y = ∂K

∂Y = Y − Ω x,

^(3.31)

˙z = ∂K

∂Z = Z.

Cz¡stkaobra aj¡ asiwrazzukªademmawnimzerow¡prdko±¢,ale

niezerowy pd.

•

^Reszta transforma ji powoduje pojawienie si siª pozorny h opró z ty h, wynikaj¡ y h zgradientu poten jaªu:

X = − ˙ ∂K

∂x = Ω Y − ∂V ^′

∂x , Y ˙ = − ∂K

∂y = −Ω X − ∂V ^′

∂y ,

^(3.32)

Z = − ˙ ∂K

∂z = − ∂V ^′

∂z .

•

^{Nowepdys¡wisto iepdami z ukªadu}iner jalnego, który h wektor jestjedynieobra any ok¡t

Ω t

^{( zylirzutowanyna hwilowe osie).}

3.2.4 Zagadnienie wzgldne dwó h iaª

Wy hodz¡ odpeªnegozagadnieniadwó h iaªzrozdziaªu2.5.2,przejdziemy

do kanoni znego sformuªowania zagadnienia wzgldnego, zyli ru hu masy

m 2

^wzgldemmasy

m 1

^{. Zoba zymy, »eitumo»nazastosowa¢} transforma j

Mathieuoraz Twierdzenie 5.

Nie hpierwotnezmiennekanoni zne

ξ

^{dane s¡przez}

ξ = q

teraz taki h zmienny h kanoni zny h

η

^{, w który h zamiast}

r 2

^{pojawi si}

poªo»enie wzgldne

r = r 2 − r ¹

^{. Drugim wektorem poªo»enia nie h bdzie}

wektor±rodkamasy

r 0 = (m 1 r 1 + m 2 r 2 )/(m 1 + m 2 )

^{. Azatem,nowe}

wspóª-rzdne uogólnione zadane s¡poprzez niezale»n¡ od zasu, liniow¡

transfor-ma jpunktow¡.Nie h

za±

E

jestma ierz¡ jednostkow¡ trze iego stopnia.

Nowe pdy

P = col(R, R 0 )

^{znajdziemy zgodnie z T}wierdzeniem 5 jako

P = A ^−T Q.

Odwró enie

A

najªatwiejzrealizowa¢po±rednio,rozwi¡zuj¡ prostyukªad równa« (3.34), oprowadzi do

r 1 = (m − 1) r + r ⁰ ,

r 2 = mr + r 0 ,

^(3.35)

A ^−T = (m − 1) E m E

Interpreta ja nowy h pdów jest prosta:

R 0

^to me hani zny pd aªko-wityukªadu dwó h iaª,bd¡ yzarazempdemi h±rodkamasy. Natomiast

R = m 1 m 2

m 1 + m 2

( ˙r 2 − ˙ r 1 ) ,

jest  z dokªadno± i¡ do mno»nika zale»nego odmas  prdko± i¡ iaªa

m 2

wzgldem

m 1

^.

Wobe brakureszty

R

^{,nowafunk jaHamiltona}

K

^{powstajeprzezzwykªe}

podstawieniedo

H

^{.Bdziemydotego}potrzebowa¢zale»no± istary hpdów od nowy h. Wtym elualbo rozwi¡zujemyukªad (3.36),albokorzystamyz

Q = A ^T P

^{, o prowadzi do}

R 1 = −R + mR ⁰ ,

R 2 = R + (1 − m) R ⁰ .

^(3.37)

Podstawiaj¡ do starej funk jiHamiltona (2.38)

H = R ² ₁ 2m 1

+ R ₂ ²

2m 2 − k ² m 1 m 2

||r ² − r ¹ || ,

równania (3.34) i (3.37) otrzymamynowy hamiltonian

K = 1

Zauwa»my, »e nast¡piªa separa jazagadnienia: hamiltonian

K

^jestsum¡

dwó h wyrazów

K(r ⁰ , r, R 0 , R) = K ⁰ (r 0 , R 0 ) + K ¹ (r, R),

zktóry hka»dyjestpeªnoprawn¡funk j¡ Hamiltonadlaswojegopodzbioru

zmienny h, gdy» równania ru hu ±rodkamasy

˙r 0 = ∇R 0 K = ∇R 0 K ⁰ , R ˙ 0 = −∇r ⁰ K = −∇r ⁰ K ⁰ ,

˙r = ∇RK = ∇RK ¹ , R ˙ = −∇rK = −∇rK ¹ ,

maja posta¢ kanoni zn¡.

Toozna za, przyokazji,»eobawyrazys¡ aªkamiru hunamo yT

wier-dzenia3:

K ⁰ (R 0 ) = const

^{, oraz}

K ¹ (r, R) = const

^.

Widzimy, »e ru h wzgldny, opisany wektorami wspóªrzdny h

r

^{i pdu}

R

^{, mo»na}rozpatrywa¢niezale»nieod

r 0

ⁱ

R 0

^{. Powstaje ukªadkanoni znyo}

3stopnia h swobodyz funk j¡ Hamiltona

K ¹ (r, R) = m 1 + m 2

2 m 1 m 2

R ² − k ² m 1 m 2

r ,

^(3.39)

i zrównaniami ru hu

˙r = m 1 + m 2

m 1 m 2

R, R ˙ = − k ² m 1 m 2

r ³ r,

którymo»na sprowadzi¢ do znanejposta i

¨

r = − k ² (m 1 + m 2 )

r ³ r = − µ

r ³ r.

^(3.40)

Natomiast hamiltonian

K ⁰ (−, R ⁰ )

^{, jako niezale»ny od poªo»enia ±rodka}

masy, generuje sze±¢ aªek bary entrum. Trzy z ni h, to

R 0 = const

^(z

Twierdzenia 4),a nastpne3 powstaj¡ z aªkowania równa«

˙r 0 = ∇R 0 K ⁰ = R 0

m 1 + m 2

= const.

Id¡ dalej, mo»emy dla zagadnienia wzgldnego (ru h jednej z¡stki o

masie

m 2

⁾przeprowadzi¢ skalowanie opisane wrozdziale 2.5.3. Tym razem, zamiastprzez mas,podzielimypd i hamiltonianprzez

α = m 1 m 2

m 1 + m 2

,

o doprowadzido równowa»ny h, kanoni zny h równa« ru hu. Nowy pd

o doprowadzido równowa»ny h, kanoni zny h równa« ru hu. Nowy pd

W dokumencie Sªaw
iBeieae
ay zedawy
e haikiieba
.A.

.weja17.01.2013 (Stron 47-86)