Sªaw
iBeieae
ay zedawy
e haikiieba
.A.

.weja17.01.2013

Matematy zne podstawy me haniki nieba

I r. Astron. (II st.)

wersja 17.01.2013

Równania ru hu w formalizmie

newtonowskim

Skoro me hanika nieba jest nauk¡ o ru hu iaª niebieski h, to umiejtno±¢

formuªowania równa«ru humazna zenie podstawowe. Za zniemyodprzy-

pomnienia klasy znego formalizmu Newtona, który nakªada najmniej ogra-

ni ze« na posta¢ siª dziaªaj¡ y h wrozpatrywanym ukªadzie.Ograni zymy

si tylko do problemów dynamiki punktu materialnego, pozostawiaj¡ na

ubo zu kwestiru hu obrotowego bryªysztywnej.

1.1 Formalizm newtonowski

Najbardziejklasy znepodej± iedome hanikikorzystazrówna«ru huwpo-

sta iwprowadzonej przez Newtona w trze h zasada h dynamiki. Przez for-

malizmnewtonowskirozumie¢ bdziemyrozpatrywanieru hu wkategoria h

taki h poj¢ podstawowy h jakukªad iner jalny(I zasada) oraz siªa i przy-

spieszenie(IIzasada)opisywane wnaturalny h zmienny h kartezja«ski h.

O zywi± ie,mo»nawrama h formalizmunewtonowskiego wprowadza¢ inne

ukªadyzmienny h, aleprzej± ie doni hwymaga najpierwi h zdeniowania

jako funk jikartezja«ski h poªo»e« i prdko± i.

Je±li wi mamyukªad

N

^punktówmaterialny h, to  w ±wietledrugiej zasadydynamiki jego równania ru hu maj¡ posta¢

m i ¨ r _i = F i (r 1 , . . . , r N , ˙r 1 , . . . , ˙r N , t), i = 1, . . . , N,

^(1.1)

gdziesiªa

F i

^{mo»ezale»e¢ od poªo»e«}

r i

^{i prdko± i}

˙r i

^{wszystki h iaª oraz}

jawnie od zasu i  o najwa»niejsze  nie musi speªnia¢ »adny h dodat-

kowy h zaªo»e«. W newtonowskiej me hani e klasy znej siªa nie zale»y od

po hodny h

r i

^{rzdu wy»szego ni»pierwszy. Przykªadem} zastosowania for- malizmunewtonowskiegomog¡by¢znane zWstpudome hanikinieba rów-

naniaru huzagadnienia dwó h iaª i przeprowadzone nastpnie aªkowanie

tegozagadnienia.

Stosuj¡ poje ie pdu mo»emyzapisa¢ równania (1.1)w posta i

p _i = m i ˙r i ,

˙p _i = F i (r 1 , . . . , r N , p 1 , . . . , p _N , t),

^(1.2)

gdziepierwszerównaniedeniujepdjakoilo zynmasyiprdko± i,za±dru-

gie ustala równo±¢ midzy prdko± i¡ zmian pdu a dziaªaj¡ ¡ siª¡. Jedn¡

z zalet ukªadu (1.2) jest to, »e daje on przedsmak równa« kanoni zny h.

W rama h formalizmu Newtona wa»niejsze jednak jest to, »e w ten spo-

sób sprowadzamy równania ru hu do standardowej posta i z teorii równa«

rózni zkowy h, otrzymuj¡ zamiast

3N

^{równa« drugiego rzdu ukªad}

6N

równa« rzdupierwszego

˙

w = F (w, t),

^(1.3)

gdziewektor stanu maskªadowe

w =

















 r 1

. . . r N

p ₁ . . . p _N



















≡ col (r ¹ , . . . , r N , p ₁ , . . . , p _N ) ,

aprawe stronyrówna«ru hu to

F = col

 p ₁ m 1

, . . . p _N m N

, F 1 (ρ, t), . . . , F N (ρ, t)

 .

Czsto jednak wygodniej jest posªugiwa¢ si prdko± iami

v _i

^zamiast

pdów. U»ywamywtedy zamiast (1.3)ukªadu

˙ρ = G(ρ, t),

^(1.4)

gdzie

ρ = col (r 1 , . . . , r N , v 1 , . . . , v N ) ,

oraz

G = col



v 1 , . . . v N , F 1 (ρ, t) m 1

, . . . , F N (ρ, t) m N



.

jesttylkosz zególnymprzypadkiemukªadówza howaw zy h(bezjawnej

zale»no± i od zasu).Wystar zywprowadzi¢ rozszerzony wektorstanu o

6N + 1

^{skªadowy h}

w ^∗ = col(u, w)

^{, z dodatkow¡ zmienn¡}

u

^{oraz wektor}

prawy h stron

F ^∗ = col(1, F )

^{i mamyju» równania} za howaw ze

w ˙ ^∗ = F ^∗ (w ^∗ ),

^(1.5)

zpierwsz¡ skªadow¡

˙u = 1,

zyli

u = t + const

^.

Je±lirównania ru hutworz¡ ukªadrówna« ró»ni zkowy hrzdu

2M

^bez

jawnej zale»no± i od zasu, to mówimy, »e ukªad ma

M

^{stopni swobody.}

Stopniemswobodynazwiemyka»da parwspóªrzdny h poªo»enie-pd (lub

poªo»enie-prdko±¢),wymagan¡doopisuru hu.Je±lirz¡dukªadujestniepa-

rzysty, a wi¡»esi to zusuwaniem jawnej zale»no± i od zasu, mówimy»ar-

gonowoopoªowiestopniaswobody(zmienna

u

^niemastowarzyszonegopdu jako niezale»nej zmiennej, gdy» jej prdko±¢jest z deni ji staªa i wynosi 1

niezale»nie od warunków po z¡tkowy h). I tak, ukªad opisany równaniami

(1.5)posiada

3N

^{i póª stopnia swobody.Tak»ewsyta ja h,gdyutrzyma-}

li±my jawn¡ zale»no±¢ od zasu i formalnie posªugujemy si nadal ukªadem

rzdu

2M

^{, dorzu amy póª stopnia swobody, gdy» mo»liwe jest} rozszerzenie wektorastanudo wymiaru

2M + 1

^{, nawet je±ligo nie}wykonali±my.

Wspomniana wy»ej dowolno±¢ siªy sprawia, »e formalizm newtonowski

jest najogólniejszym sposobem analizy ru hu, daj¡ ym si zastosowa¢ we

wszystki h zagadnienia h me haniki klasy znej. Niestety, zaleta maksymal-

nejogólno± iozna za,»eniesposóbpowiedzie¢ni zegokonkretnegoorozwi¡-

zania h dowolny h równa« ru hu w posta i Newtona, gdy» niewiele mo»na

powiedzie¢owszystki hmo»liwy hzagadnienia h. Inn¡wad¡jest»mudno±¢

przej± iaodkartezja«ski hpoªo»e«iprdko± idobardziejdogodny hzmien-

ny h; zilustrujemyto przykªadem równa«ru huwahadªamatematy znego.

i os ylator Dunga

Rozpatrzmy równania ru hu Newtona dla pªaskiego wahadªa matematy z-

negoostaªejmasie

m

^,zawieszonegonaniewa»kimpr ieodªugo± i

l

^wpolu

grawita yjnymo przyspieszeniu

g

^{(Rys.1.1). Coprawdaªatwojest napisa¢,}

Rysunek 1.1:Wahadªomatematy zne.

»e dla

r = [x, y] ^T

^oraz

F = [mg, 0] ^T

^{równania ru hu przyjmuj¡posta¢}

¨

x = g,

¨

y = 0,

^(1.6)

ale równania te s¡ tylko punktem wyj± ia do dalszej analizy, wymagaj¡ ej

uwzgldnienia równania wizów

x ² + y ² = l ² .

^(1.7)

Dopiero równanie (1.7) zawiera istotna wiadomo±¢, »e ukªad ma nie dwa a

tylko jeden stopie« swobody. Poniewa» wahadªo, jako formalny model ma-

tematy zny, peªni istotn¡rol wme hani enieba, poprowad¹my dalsze wy-

prowadzenie,wprowadzaj¡ jako zmienn¡ k¡t

ϕ

^{deniowany poprzez}

x = l cos ϕ, y = l sin ϕ.

^(1.8)

Ró»ni zkuj¡ równania (1.8) do hodzimydo

˙x = −l ˙ϕ sin ϕ, ˙y = l ˙ ϕ cos ϕ,

x = −l ˙ϕ ¨ ² cos ϕ − l ¨ ϕ sin ϕ, y = −l ˙ϕ ¨ ² sin ϕ + l ¨ ϕ cos ϕ.

Porównanie i hz równaniami (1.6) prowadzi do

−l ˙ϕ ² cos ϕ − l ¨ ϕ sin ϕ = g,

^(1.9)

−l ˙ϕ ² sin ϕ + l ¨ ϕ cos ϕ = 0.

^(1.10)

Nale»y teraz pomno»y¢ obie strony (1.9) przez

−l ⁻¹ sin ϕ

^{za± (1.10) przez}

l ⁻¹ cos ϕ

^{i dopiero teraz,dodaj¡ stronami uzyskamy}

ϕ = −ω ¨ ² 0 sin ϕ,

^(1.11)

gdzie

ω 0 = r g

l .

Równanie ró»ni zkowe drugiego rzdu(1.11) mo»na tak»e przedstawi¢ jako

ukªad dwó h równa« pierwszego rzdu: je±li wprowadzimy prdko±¢k¡tow¡

Φ

^{,to mamy}

˙

ϕ = Φ,

˙Φ = −ω ² 0 sin ϕ,

^(1.12)

zyli

˙ρ = G(ρ)

^{, gdzie}

ρ = (ρ 1 , ρ 2 ) ^T = (ϕ, Φ) ^T ,

oraz

G = (ρ 2 , −ω 0 ² sin ρ 1 ) ^T = (Φ, −ω 0 ² sin ϕ) ^T .

Wprzedstawionym tuprzykªadzie sytua jkomplikowaªo pojawieniesi

wizów. Mo»na wysun¡¢ zastrze»enie, »e prze ie» w zagadnienia h ru hu

iaª niebieski h nie pojawi¡ sie wizy  trudno wyobrazi¢ sobie planet na

sznurku.Ajednakwizymog¡sizjawi¢nietylkowposta izy znej.Ka»da

aªka ru hu

Ψ(ρ, t) = const,

deniujewisto iepowierz hni,naktórejru hmusisiodbywa¢,peªni¡ rol

matematy znego sznurka. Wykorzystanie aªek ru hu do obni»enia li zby

stopni swobody jest w formalizmie Newtona bardziej zawiªe ni» w rama h

formalizmu Lagrange'a zy Hamiltona.

wielkie.Rozwijaj¡ praw¡stronrównania(1.11)wszeregpotgowywzorem

Ma Laurina,mamy

sin ϕ = ϕ − ϕ ³

6 + O(ϕ ⁵ ).

Zaniedbuj¡ wyrazymniejsze lub równe ni»

ϕ ⁵

^, sprowadzimy równania wa- hadªadoposta i

˙

ϕ = Φ,

˙Φ = −ω 0 ² ϕ + ¹ ₆ ω ₀ ² ϕ ³ ,

^(1.13)

zyli

ϕ = −ω ¨ 0 ² ϕ + ¹ ₆ ω ₀ ² ϕ ³ .

Ukªad tennazywamyos ylatorem Dunga.

Najdalej id¡ e uprosz zenie polega na przyj iu

sin ϕ ≈ ϕ

^{, z bªdem rzdu}

O(ϕ ³ )

^{. Równania ru hu wahadªa} sprowadzaja si wtedy do równa« os yla- toraharmoni znego

˙

ϕ = Φ,

˙Φ = −ω ² 0 ϕ,

^(1.14)

zyli

ϕ = −ω ¨ 0 ² ϕ.

Ukªad tenposiada proste rozwi¡zanie ogólne

ϕ(t) = A sin (ω 0 t + χ),

Φ(t) = A ω 0 cos (ω 0 t + χ),

^(1.15)

zale»ne od dwó h staªy h dowolny h: amplitudy

A

^{i fazy} po z¡tkowej

χ

^.

Jest to w isto ie rodzina rozwi¡za«  elips na pªasz zy¹nie fazowej

(ϕ, Φ)

^.

Rozwi¡zaniesz zególne, zylipojedyn z¡trajektorinapªasz zy¹niefazowej,

otrzymamyzadaj¡ warunkipo z¡tkowe w epo e

t 0

ϕ 0 = ϕ(t 0 ), Φ 0 = Φ(t 0 ),

i wyli zaj¡ z ni h staªe wolne

A

^,

χ

^.

Zarówno wahadªo jak i os ylator Dunga posiadaja tak»e rozwi¡zania

± isªe,zale»neoddwó hstaªy hdowolny h,alewymagaj¡onewprowadzenia

takzwany h funk ji elipty zny h.

1.3 Metoda uzmienniania staªy h

Pozostaj¡ nadalna poziomie ogólno± i formalizmu newtonowskiego, wpro-

wadzimyteraz nowy, do±¢ sz zególnyrodzajzmienny h.

Zpodstawowegokursuanalizymatematy znej 1

mo»nawynie±¢przekona-

nie,»emetoda uzmiennianiastaªy hjestmetod¡rozwi¡zywania równa«

ró»ni zkowy hzwy zajny h.Jesttoprawdziwe,je±li hodziorównanialinio-

we niejednorodne, le z w ogólnym przypadku równa« nieliniowy h metoda

uzmiennianiastaªy h jestjedyniesposobemprzeksztaª eniarówna« ró»ni z-

kowy h do posta i, która zasemmo»e upro± i¢dalsze krokizmierzaj¡ e do

i hrozwi¡zania.

Aby nie wdawa¢ si w zbdne uogólnienia, skon entrujmy si na przy-

padku ukªadu me hani znego o

M

^{stopnia h swobody. Ozna zaj¡ przez}

r , v ∈ R

^{M poªo»eniei prdko±¢ukªadu,mo»emypoda¢ jego równania ru hu}

˙r = v,

˙v = F 0 (r, v).

^(1.16)

Zaªó»my, »eukªadz siª¡(najednostkmasy)

F 0

^{jest aªkowalnyi potramy}

znale¹¢ jego rozwi¡zanie

r = r(C, t), v = v(C, t),

^(1.17)

jawnie zale»ne od zasu

t

^{oraz od staªy h dowolny h}

C ∈ R

^{2M wyzna za-}

ny h z warunków po z¡tkowy h. Zauwa»my, »e po lewej stronie równo± i

mamy poªo»enie

r

^{lub prdko±¢}

v

^{, natomiast po prawej  funk je}

r(C, t)

^,

v(C, t)

^{zasu i staªy h, które opisuj¡ zmiany poªo»enia i prdko± i. Zagad-}

nienie(1.16) mo»emynazwa¢zagadnieniem deniuj¡ ym,ajegorozwi¡-

zanie(1.17)  rozwi¡zaniem deniuj¡ ym.

Wprowad¹myteraz do ukªadu(1.16) dodatkow¡ siª

P

˙r = v,

˙v = F 0 (r, v) + P (r, v).

^(1.18)

Istot¡ metody uzmienniania staªy h jest przyj ie, »e mimo pojawienia

sizaburzenia

P

^{, bdziemynadalu»ywa¢ wzorów(1.17)} wywodz¡ y hsi

zzagadnienia denuj¡ ego. Poniewa» utrzymujemyposta¢ rozwi¡zaniajako

1

np.A.SoªtysiakAnalizamatematy znarozdz.9.

sowestaªe dowolne

C

^{przestaj¡by¢staªymiiprzybieraj¡posta¢ nieznany h}

funk ji zasu

C (t)

^{. Wtejsytua ji, zekanas}wyprowadzenierówna«ró»ni z- kowy h opisuj¡ y h ewolu j uzmienniony h staªy h

C(t)

^{, nazywany h}

tak»e staªymioskula yjnymi(lubzmiennymioskula yjnymi).

Ogólna pro edura zast¡pienia równa« (1.18) ukªadem

2M

^{równa« dla}

C ˙

wykorzystuje nawiasy Lagrange'a i mo»na j¡ znale¹ w starszy h pod- r znika h me haniki klasy znej lub me haniki nieba. W prakty e jednak,

wygodniejjestanalizowa¢ ka»dy przypadekosobno i wykorzysta¢ wmaksy-

malnymstopniu jegospe yk.Równania dlauzmienniony hstaªy hmo»na

wyprowadza¢ na dwa zasadni ze sposoby: wy hodz¡ od rozwi¡zania de-

niuj¡ ego (1.17) lub wykorzystuj¡ aªki ukªadu. To drugie podej± ie bywa

bardziej atrak yjne, a nie narzu a nam zasadni zy h ograni ze«, gdy» me-

toda uzmienniania staªy h wymaga, z zaªo»enia, aªkowalnego zagadnienia

deniuj¡ ego.Zagadnienie aªkowalnetotakie, dlaktóregoznamywszystkie

aªkiru hu  wnaszymprzypadku

2M

niezale»ny h aªek

Ψ i (r, v, t) = S i = const, i = 1, . . . , 2M,

^(1.19)

o jestrównowa»ne z mo»liwo± i¡ podania± isªego rozwi¡zania (1.17). Caª-

kami ru hu nazywa sierównie zsto równania (1.19) jaki samefunk je

Ψ i

^.

Caªkomru huzagadnieniadeniuj¡ egotowarzysz¡staªeru hu

S _i

^,które

albo s¡wprost staªymi dowolnymi z rozwi¡zania deniuj¡ ego, albo znamy

zwi¡zkimidzy

S

ⁱ

C

^{. Zestaªo± i aªki ru hu wynika}

S ˙ i = ˙ Ψ i = (DrΨ i ) v + (DvΨ i ) F 0 + D t Ψ i = 0,

^(1.20)

gdzie skorzystali±my z reguª ró»ni zkowania funk ji zªo»onej oraz z równa«

(1.16).Symbolem

Dx

^{ozna za¢ bdziemy}transponowanygradient,tzn.je±li

x ∈ R ^N

^jestwektorem kolumnowym, a

F (x)

^{dowoln¡ funk j¡,to}

DxF =

 ∂F

∂x 1

, . . . , ∂F

∂x _N



.

^(1.21)

Wmetodzieuzmiennianiastaªy h, aªkizagadnienia deniuj¡ ego mog¡

przesta¢ by¢ staªe po wprowadzeniu dodatkowej siªy

P

^{. Zauwa»my jednak,}

»e jedynym ¹ródªem zmienno± i staªy h ru hu

S

^{staje si ta z±¢ po hod-}

nej wzgldem zasu, która zawiera

P

^{, o upowa»nia nas do} sformuªowania równa« ru hu

S ˙ i = (DvΨ i ) P , i = 1, . . . , 2M.

^(1.22)

Wzórten mo»na stosowa¢ na skróty wedªug reguªy: ró»ni zkujemywzgl-

dem zasutylko wystpuj¡ ew aªka h

v

ⁱ zastpujemy

˙v

^siª¡

P

^.

Je±li

S = C

^{, torównania (1.22)s¡tymi,który hszukali±my.Wprze iw-}

nym wypadku, musimy je uzupeªni¢ znajomo± ia zwiazków midzy

S

ⁱ

C

^,

którepo zró»ni zkowaniu prowadz¡ do

C ˙ i = DSC ⁱ S, ˙ i = 1, . . . , 2M,

^(1.23)

zyli

C ˙ = DSC
(DvΨ) P .

Jesliznamy tylko

S (C)

^{, to bdziemymusieli odwró i¢ma ierz Ja obiego:}

DSC = (DCS) ⁻¹ .

Jest to do±¢prostys hemat, ho¢ trzebapamita¢, »e prawe strony równa«

(1.22)musz¡zosta¢ wyra»oneprzypomo yuzmienniony hstaªy h

C

^zapo-

±redni twemrozwi¡zaniadenuj¡ ego(1.17).Jakwida¢,nawetzastosowanie

aªekru hu nieuwalnia nasodwymogu znajomo± ijawnego rozwi¡zania.

Rozwi¡zanie ukªadu (1.22) dostar zy nam

2M

^{funk ji}

C i (t, C ^′ )

^{, które}

musz¡zale»e¢odnowy hstaªy hdowolny h

C ^′

^.Teza±najpro± iejzdenio- wa¢ jako warunkipo z¡tkowe,to zna zy

C ^′ = C(t 0 ).

Kiedypodstawimy warto± i

C(t)

^{na danymoment zasu do równa« (1.17),}

dostaniemy warto± ipoªo»e« i prdko± i na t epok

r(t)

ⁱ

v(t)

^.

1.4 Uzmiennianie staªy h dla os ylatora Dunga

Os ylator Dunga (1.13) jest ukªadem o jednym stopniu swobody, a wi

zamiastwektorów

r

ⁱ

v

^{mamy po prostu}

r = ϕ

ⁱ

v = ˙ ϕ = Φ

^{. Ukªadem de-}

nuj¡ ymzsiª¡

F 0 = −ω 0 ² ϕ

^{jestos ylator}harmoni zny(1.14),za±dodatkowa siªa

P = ¹ ₆ ω ² ₀ ϕ ³

^. Rozwi¡zanie denuj¡ e ma wi posta¢ (1.15) zale»n¡ od dwó h staªy h dowolny h

C = A χ

! .

Os ylator harmoni zny posiada dwie aªkiru hu. Pierwsza z ni h to nieza-

le»naod zasu aªka energii

Ψ 1 = ¹ ₂ ^ Φ ² + ω ² ₀ ϕ ^{2 } = E =

^onst

,

^(1.24)

ze staª¡ ru hu

E

^{. Druga aªka ru hu musi zale»e¢ od zasu (je±li ukªad ma}

tyle aªek ru hu, ile jest stopni swobody, to o najmniej jedna z ni h musi

zale»e¢od zasu);najpro± iej wzi¡¢wprostz rozwi¡zania

Ψ 2 =

^{ar tg}

 ω 0 ϕ Φ



− ω ⁰ t = χ = const,

^(1.25)

ze staª¡ ru hu

χ

^{, awi}

S = E χ

! .

Za znijmy od równa« (1.22) dlauzmienniony h staªy h ru hu po wpro-

wadzeniu siªy

P

^{. W przypadku, który} rozpatrujemy (

M = 1

^{), po hodna}

wektorowa

Dv

^{to zwykªaskalarna po hodna}

D Φ

^{, zyli}

E = ˙ ∂Ψ 1

∂Φ P = Φ P,

^(1.26)

oraz

˙

χ = ∂Ψ 2

∂Φ P = 1

1 + ^{ω 0} _Φ ^ϕ
2



− ω 0 ϕ Φ ²



P = − ω 0 ϕ

2E P.

^(1.27)

Potrzebujemy teraz zwi¡zków midzy

C

ⁱ

S

^{, »eby otrzyma¢ równania}

(1.23). Zwi¡zki te s¡ proste, gdy»

C 2 = S 2 = χ

^{, natomiast po wstawieniu}

(1.15) do aªki energii(1.24) widzimy, »e

E = ω ₀ ²

2 A ² ,

^(1.28)

zyli

A ˙ A = E ˙

ω ² ₀ = Φ P

ω ² ₀ .

^(1.29)

Zezwi¡zku (1.28) mo»emyskorzysta¢tak»e wrównaniu (1.27) i ostate znie

otrzymujemy równania dlauzmienniony h staªy h: najpierw

A = ˙ Φ P A ω ₀ ² , χ = − ˙ ϕ P

A ² ω 0

,

apotem,po wprowadzeniu rozwi¡zaniadeniuj¡ ego (1.15),

A = ˙ P ω 0

cos (ω 0 t + χ), χ = − ˙ P

A ω 0

sin (ω 0 t + χ).

^(1.30)

Równania (1.30) s¡wa»ne dlaos ylatora zdowoln¡ siª¡ zaburzaj¡ ¡

P

^{. W}

przypadkuos ylatoraDunga podstawimydo ni h

P = ¹ ₆ ω ₀ ² ϕ ³ = ¹ ₆ A ³ ω ₀ ² sin ³ (ω 0 t + χ).

^(1.31)

Wystar zy ju» tylko podstawi¢ (1.31) do prawy h stron (1.30) a nastpnie

przej±¢ od ilo zynów i potg sinusa i osinusa do posta i wielomianów try-

gonometry zny h. Wykorzystamyprzy tym

(sin y) ⁴ = 1

8 ( 3 − 4 cos(2 y) + cos(4 y)) ,

oraz

cos y (sin y) ³ = 1

8 ( 2 sin(2 y) − sin(4 y)) .

Wtensposóbotrzymujemyko« ow¡ posta¢równa«ru hudlamaªy hdrga«

wahadªaw zmienny hoskula yjny h

A = A ˙ ³ ω 0

h 1

24 sin 2ψ − 48 ¹ sin 4ψ ⁱ ,

˙

χ = A ² ω 0

h − 16 ¹ + ₁₂ ¹ cos 2ψ − 48 ¹ cos 4ψ ⁱ ,

(1.32)

gdziesymbol

ψ

^{ozna za}

ψ = ω 0 t + χ.

Na pierwszy rzut oka, równania (1.32) wygl¡daj¡ o wiele bardziej nieli-

niowo ni»pierwotne(1.13).Mo»na sinawetzastanawia¢, zywartojeprze-

ksztaª a¢ do takiej posta i. Odpowied¹ na to pytanie zale»y od sposobu w

jakibdziemypróbowali jerozwi¡za¢. Dopierogdyzapoznamysizpodsta-

wamimetodanality zny hinumery zny hme hanikiniebastaniesijasne,

któr¡ zposta irówna«ru huwygodniejjestzastosowa¢. Spróbujmy jednak

pokaza¢,jakªatwo mo»naterazjestznale¹¢ przybli»onerozwi¡zanierówna«

(1.32).

Wpierwszymprzybli»eniu podstawiamydo prawy h stronwarto± ista-

ªy h zagadnienia deniuj¡ ego

A 0 = const

^oraz

χ 0 = const

^{wyli zone w}

epo e

t 0

^{ze zmienny h}

ϕ

ⁱ

Φ

^{. Mamy wtedy do zynienia z prostymirówna-}

niami

A ≈ f ˙ ¹ (A 0 , χ 0 , t), χ ≈ f ˙ ² (A 0 , χ 0 , t),

któresprowadzaj¡si do zwykªy h aªekozna zony h

A ≈ A ⁰ + Z t

t 0

f 1 dt, χ ≈ χ ⁰ + Z t

t 0

f 2 dt.

A ≈ A ^{0 } 1 − ^A

2 0

48 [cos 2ψ 0 (t) − cos 2ψ ⁰ (t 0 )]

+ ^A

2 0

192 [cos 4ψ 0 (t) − cos 4ψ ⁰ (t 0 )] ^ , χ ≈ χ ⁰ − A ² ₀ ω 0

16 (t − t ⁰ ) + ^A

2 0

24 [sin 2ψ 0 (t) − sin 2ψ ⁰ (t 0 )]

− ^A

2 0

192 [sin 4ψ 0 (t) − sin 4ψ ⁰ (t 0 )] ,

gdzie

ψ 0 (t) = ω 0 t + χ 0 .

Mo»na sprawdzi¢, »e w epo e oskula ji

t 0

^{mamy fakty znie}

χ ≈ χ ⁰

^oraz

A ≈ A ⁰

^{. Jest to tylko pierwsze} przybli»enie, ale zawiera enne informa je:

oskula yjnaamplituda drga« os ylujewokóª pewnej±redniejwarto± i, nato-

miast faza posiada równie» wyraz wiekowy który modykuje okres drga«

w zale»no± i od amplitudy wy hylenia. Uzyskanie podobny h wyników na

podstawie oryginalny h równa«Dunga byªobybardziej zªo»one.

1.5 Elementy oskula yjne i równania Gaussa

Wzagadnienia h, gdzieru horbitalnymasypunktowejopisanyprzezzagad-

nienie dwó h iaª przestaje by¢ modelem wystar zaj¡ o dokªadnym, mo»na

wprowadzi¢jakozmienneoskula yjneuzmiennionestaªeorbitykeplerowskiej

zylielementy oskula yjne orbity.

Jak wiemyz Wstpu do me haniki nieba, ru h ka»dejz mas w zagad-

nieniu dwó h iaªz siª¡

F 0 = − µ r ³ r,

jestopisanyjednozna znie przez6 staªy hdowolny h, którenaj z± iej wy-

stpuj¡wposta ielementów keplerowski h

E

^:

a, e, I, ω, Ω, M 0 = M (t 0 ).

Znamyju» wzorydeniuj¡ e transforma j

(r, v) t ↔ E ^{t 0} ,

którazjednejstronypozwalawyli za¢nadowolnymoment zasu

t

^poªo»enie

i prdko±¢ iaªa, dlaktórego podali±my elementykeplerowskie

E

^{w momen-}

ie

t 0

^{, a z drugiej  pozwala wyli zy¢ z poªo»enia i prdko± i w momen ie}

t

^elementy

E

^dlaepoki odniesienia

t 0

^{. Poniewa»}

E

^{s¡ staªymiru hu, to bio-}

r¡

(r, v)

^{w dowolnym momen ie}

t

^{i wyli zaj¡ zni helementy otrzymamy}

zawsze te samewarto± i

E

^.

Je±li pojawi si dodatkowa siªa i ru h iaªa nie jest ju» ru hem keple-

rowskim, to nadalmo»emy wyli za¢ elementykeplerowskiewedªugznany h

ju»wzorów, ale teraz wka»dejepo e

t

^{mo»emy otrzyma¢ innewarto± i ele-}

mentów

E t 0

^dlaepokiodniesienia

t 0

^{.Zgodniezzasad¡metody}uzmienniania staªy hza zynamytraktowa¢elementyorbityjakofunk je zasuinazywamy

jeelementami oskula yjnymi.

Nale»ywyra¹nieodró»ni¢dwamomenty zasupojawiaj¡ esiwtymopi-

sie.Epoka oskula ji

t

^{jestmomentem zasuwktórym mamydane poªo»e-}

niei prdko±¢sªu»¡ edowyli zeniaelementów

E

^{. Jednymzty helementów}

jest anomalia ±rednia epoki odniesienia

M 0 = M (t 0 )

^{, któr¡ otrzymu-}

jemy  ofaj¡  lub popy haj¡  warto±¢ anomalii ±redniej

M

^{z epoki}

t

^do

epoki

t 0

^{. Poniewa»} uzmiennili±my staªe, to

M 0

^{mo»e by¢ zmienn¡ i wogól-}

no± i dla ró»ny h epok oskula ji

t 1

ⁱ

t 2

^{bdziemy mieli}

M 0 (t 1 ) 6= M ⁰ (t 2 )

^.

U»ywamy wi poj ia

M 0 (t)

^{ anomalii ±redniej epoki} odniesienia

t 0

^dla

epoki oskula ji

t

^{. Czasamimo»naupro± i¢sobie »y ie}przyjmuj¡ ,»e

t = t 0

^.

Wprzypadku pozostaªy h elementów nie mamy tego problemu i wystar za

u»ywaniepoj iaepoki oskula jidla

a(t), e(t),

^itd.

Mówi¡ najkró ej, elementy oskula yjne epoki

t

^{to warto± i elementów}

keplerowski h wyli zone dla dowolnej trajektorii wzorami po hodz¡ ymi z

zagadnienia dwó h iaª. Je±li w poprzednim rozdziale traktowali±my waha-

dªo jakos ylatoro zmiennejw zasieamplitudziei fazie, to terazbdziemy

traktowa¢ dowoln¡ trajektori jak orbit keplerowsk¡ o zmienny h w zasie

elementa h.

Inna, bardziej pogl¡dowa deni ja brzmi: elementyoskula yjne epoki

t

^,

toelementyorbity,poktórejporuszaªobysi iaªo,gdybywepo e

t

^przestaªa

dziaªa¢ siªa zaburzaj¡ a.

Przyst¡pimyterazdosformuªowaniarówna«ewolu jielementówoskula-

yjny h dladowolnejsiªy

P

zaburzaj¡ ejzagadnieniedwó h iaª

˙r = v,

˙v = − µ

r ³ r + P .

^(1.33)

Zna zenie staªej

µ

^{zale»y od typu} zagadnienia  wzgldnego lub bary en- try znego. Wyprowadzenie równa« dla

˙a

^,

˙e

^{, itd. przy dowolnej posta i siªy}

P

^{ zwany h równaniami Gaussa } przeprowadzimy wykorzystuj¡ znane aªkiru hu zagadnienia dwó h iaª.

1.5.1 Uzmiennione aªki ru hu

Przypomnijmy aªki ru hupojawiaj¡ esiwe wzgldnym lubbary entry z-

nym zagadnieniudwó h iaª.Bez wzglduna typru hu, mamy 7 aªeknie-

zale»ny h od zasu:

•

^{Caªk siªy»ywej velenergii}

h = ¹ ₂ v · v − µ

√ r · r .

^(1.34)

•

^{Caªkipól(momentu pdu)}

G = r × v.

^(1.35)

•

^{CaªkiLapla e'a}

e = v × G µ − r

r ,

^(1.36)

któremo»natak»e przedstawi¢ w posta i

µe =

 v ² − µ

r



r − (r · v) v.

^(1.37)

Tylko5spo±ródni hjestwzajemnieniezale»ny h,gdy»istniej¡dwazwi¡zki:

G · e = 0

^{, oraz}

e ² = 1 + 2hG ² µ ⁻²

^{. Szóst¡ aªk¡ ru hu jest,w zale»no± i od}

typu orbity, równanie Keplera (elipty zne lub hiperboli zne) albo równanie

Barkera. Ograni zymy nasze rozwa»ania do orbit elipty zny h jako rozwi¡-

zaniadeniuj¡ ego, wi szóst¡ aªk¡ ru hubdzie

M 0 = E − e sin E − n(t − t ⁰ ),

^(1.38)

gdzieru h±redni

n

^{(nadaldeniowanypoprzezIIIprawoKeplera}

n ² a ³ = µ

⁾

i anomaliamimo±rodowa

E

^{s¡znanymifunk jami poªo»e« i prdko± i.}

Zastosujmyterazdopierwszy hsiedmiu aªekwzór (1.22),aotrzymamy

˙h = v · P ,

^(1.39)

G ˙ = r × P ,

^(1.40)

µ ˙e = 2(v · P )r − (r · P )v − (r · v)P =

= P × G + v × (r × P ).

^(1.41)

Zewzgldunawy»szypoziomkomplika ji,równanieKeplerazostawimysobie

na pó¹niej.

1.5.2 Równanie dla póªosi wielkiej

Równania (1.39-1.41)opisuj¡zmianystaªy hru hu,którenies¡elementami

Keplerowskimi. S¡ przy tym na tyle ogólne, »e nawet tro h »al je psu¢

przej± iem do elementów oskula yjny h. Na przykªad równanie dla

˙h

^jest

wa»nedlawszystki htypóworbit,alewydoby iezniegorównanianazmiany

oskula yjnejpóªosiwielkiej

a

^{ograni zyjegostosowaniedoorbit}elipty zny h.

Mamybowiemwzór

h = − µ

2a ,

^(1.42)

który wi¡»e staª¡ siªy »ywej

h

^{z póªosi¡ wielk¡ elipsy, ale dla orbit hiper-}

boli zny h, gdzie mamy poªo± rze zywist¡

a

^{, prawa strona ma inny znak,}

natomiast dla orbit paraboli zny h mamy z deni ji

h = 0

ⁱ dopusz zenie zmian

h

^{jest samow sobie}problematy zne.

A zatem,ograni zmysi dozaburzonego ru hu elipty znego i wtedy

˙h = µ

2 a ² ˙a.

^(1.43)

Przyrównuj¡ stronami (1.39) oraz (1.43) otrzymujemy pierwsze z równa«

Gaussa

˙a = 2a ²

µ v · P .

^(1.44)

1.5.3 Równanie dla mimo±rodu

Mimo±ródorbitytodªugo±¢wektoraLapla e'a

e

^{.Azatemrównanieopisuj¡ e}

zmiany oskula yjnego mimo±rodu mo»emy uzyska¢ z równania (1.41) dla

˙e

^{. Wystar zy w tym elu skorzysta¢ z} po»yte znej to»samo± i: dla ka»dego wektora

x

^obowi¡zuje

x · ˙x = x ˙x.

Aje±liu»yjemy wersora

x ˆ = x/||x|| = x/x

^,o jednostkowej dªugo± i, to

ˆ

x · ˙x = ˙x.

Pomnó»mywi obiestrony(1.41)skalarnieprzezwersor

ˆ e

^{.Po lewej stronie}

pojawi si

e ˆ · ˙e = ˙e

^{i otrzymamydrugie z równa«Gaussa}

µ ˙e = 2(r · ˆe)(v · P ) − (v · ˆe)(r · P ) − (r · v)(ˆe · P ).

^(1.45)

Ograni zeniewstosowaniutegorównania pojawiªosi wsposóbnie ozaka-

muowany:tra ionosensdlaorbitkoªowy hz

e = 0

^{,gdy»wtedynieistnieje}

wersor

ˆ e

^.

1.5.4 K¡ty Eulera a prdko±¢ k¡towa

Po znalezieniu wzorówdla

˙a

ⁱ

˙e

^{stajemy wobe problemu powi¡zania zmian}

wektorów

G

ⁱ

e

^{ze zmianami kolejny h elementów} keplerowski h:

Ω

^,

I

^,

ω

^,

któremaja harakter k¡tów Eulera typu 3-1-3 orientuj¡ y h orbit wprze-

strzeni. Wykorzystamydo tego wa»ne twierdzenie doty z¡ e zwi¡zku prd-

ko± i k¡towej z obrotami ok¡tyEulera typu3-1-3.

Rozpatrzmydwaprawoskrtneukªadywspóªrzdny h:staªy,owersora h

osi

(ˆi, ˆ j, ˆ k)

^{iobra aj¡ ysi,owersora hosi}

(ˆi ^′′ , ˆ j ^′′ , ˆ k ^′′ )

^{.Wka»dymmomen ie}

zasumo»emypowi¡za¢tedwaukªadyprzez hwilowewarto± ik¡tówEulera

φ, ϑ, ψ

^{, zwi¡zanez trzemaobrotami:}

•

^{Wokóª osi}

k ˆ

podstawowego ukªadu wspóªrzdny h

(ˆi, ˆ j, ˆ k)

^{, o k¡t}

φ

^.

Takiobrótprzenosiwersor

ˆi

^wpoªo»enie

ˆi ^′

wyzna zaj¡ eliniprze i- iapªasz zyzn podstawowy h obu ukªadów.

•

^{Obrót wokóª hwilowej osi}

ˆi ^′

^{o k¡t}

ϑ

^{. W wyniku tej opera ji wersor}

k ˆ

^{,którynieulegªzmianie przypierwszymobro ie, prze hodziwnowy}

wersor

k ˆ ^′′

^.

•

^{Obrót wokóª osi}

k ˆ ^′′

^ok¡t

ψ

^{, który przenosiwersor}

ˆi ^′

^wwersor

ˆi ^′′

^.

Je±lik¡tyEulerazmieniaj¡siw zasiewsposób i¡gªy,topunktwyzna zony

przezkonie radialnegowersora

ˆ r

^{sztywnozwi¡zanegozukªadem}

(ˆi ^′′ , ˆ j ^′′ , ˆ k ^′′ )

(takiego,któregorzuty

r ˆ · ˆi ^′′

^,

ˆ r · ˆj ^′′

^,

r ˆ · ˆk ^′′

^{s¡staªe w}sz zególno± i jedenz wersorówosi) zyskuje prdko±¢ k¡tow¡

ω _r

^{i mamy wzgldem osistaªy h}

dˆ r

dt = ω r × ˆr.

^(1.46)

TWIERDZENIE 1 Prdko±¢k¡towa obrotuopisanegok¡tami

Eulera3-1-3

φ, ϑ, ψ

^wynosi

ω r = ˙ φ ˆ k + ˙ ϑ ˆi ^′ + ˙ ψ ˆ k ^′′ .

^(1.47)

Dowód tegotwierdzeniaznale¹¢ mo»na wpodr znika h me ha-

niki klasy znej, ale  jak zauwa»yª C. Leubner (1981, Am. J.

Phys. 49, 323)  proste dowody wzoru (1.47), które traªy do

podr zników, s¡zazwy zaj niepoprawne.

Warto zapamita¢,»e podanetwierdzenie jestwa»ne nietylko wme ha-

ni e. W astronomii sfery znej i astrometrii mo»e ono by¢ zastosowane do

opisu wpªywu maªy h zmian k¡tów Eulera na poªo»enie punktu na sferze

niebieskiej

∆ˆ r ≈ ^ ∆φ ˆ k + ∆ϑ ˆi ^′ + ∆ψ ˆ k ^{′′ } × ˆr.

1.5.5 Równania dla oskula yjnej dªugo± i wzªa wstpuj¡-

ego i na hylenia

Przypomnijmy,»e wektormomentu pdu

G

^{deniujeorienta j}pªasz zyzny orbitywprzestrzeni.Jestonprostopadªy dotejpªasz zyzny, wi na hylenie

I

^{deniujemypoprzez ilo zynskalarnyzwersoremosi}

z

^ukªadu

G ˆ · ˆz = cos I,

^(1.48)

natomiast kierunek dowzªa wstpuj¡ ego danyjestwersorem

ˆ

m = ˆ z × ˆ G

sin I .

^(1.49)

Poniewa»k¡tmidzymidzywersoremosi

x

^awersorem

m ˆ

^{jestrównydªugo-}

± iwzªawstepuj¡ ego

Ω

^{, widzimy»e równaniadlazmian}

I

^oraz

Ω

^powinny

winika¢ z równa«(1.40) dla

G ˙

^.

Przypomnijmyterazdeni jukªaduorbitalnego pery entry znego,któ-

regotrzywersoryto:

ˆ e

^,

Q ˆ = ( ˆ G × ˆe)

^{, oraz}

G ˆ

^{. Jestonpowi¡zanyz ukªadem}

dowolnym o wersora h

x ˆ

^,

y ˆ

^,

z ˆ

^{obrotamio k¡ty}

φ = Ω

^,

ϑ = I

^{, oraz}

ψ = ω

^{, a}

kolejneosie obrotu to

k ˆ = ˆ z

^,

ˆi ^′ = ˆ m

^,

k ˆ ^′′ = ˆ G

^.

Przedstawmymoment pdu

G

^{jakoilo zyndªugo± iiwersora}

G ˆ G

^.Rów-

nanie(1.40) przybiera wtedyposta¢

G ˙ = d dt

 G ˆ G ^ = ˙ G ˆ G + G d ˆ G

dt = r × P .

Sk¡d bior¡si zmiany kierunku

G ˆ

^{? Mo»emy uzna¢, »e wersor}

G

^{, jest to}

wektor

z ˆ

^{aktywnie obró onyo k¡ty Eulera}

φ = Ω

ⁱ

ϑ = I

^{(trze i k¡t}

ψ = ω

jestnieistotny).Ci¡gªazmianyk¡tówEulera

Ω, I

^{wywoªuj¡prdko±¢katow¡}

ko« a

G ˆ

^{i stosuj¡ Twierdzenie 1uzyskamy wektorow¡ równo±¢}

G ˆ ˙ G + G sin I ˙Ω ˆ m + G ˙ I ˆ m × ˆ G = r × P ,

^(1.50)

która nie posiada wyrazu zwi¡zanego z

˙ω

^{, gdy»}

G ˙ω ˆ G × ˆ G = 0

^{. W wyrazie}

z

˙Ω

wykorzystali±myfakt,»e

ˆ z × ˆ G = sin I ˆ m

^{, wmy±lrównania (1.49).}

Jak z ukªadu trze h równa« (1.50) otrzyma¢ dwa osobne równania ska-

larnedla

˙Ω

^oraz

I ˙

^{?Najgorsze, obymo»nawymy±li¢,torozpisa¢wszystkie}

wektorynaskªadowewwybranejbaziei rozwi¡zywa¢ukªadtrze hrówna«z

niewiadomymi

G ˙

^,

˙Ω

^,

I ˙

^{. Owielebardziej wydajnejestjednakpodej± iewek-}

torowe,polegaj¡ enawykonaniuilo zynuskalarnegozumiejtniedobranym

wektorem.

Jesliinteresujenas

Ω ˙

^{, topowinnismypomno»y¢obiestrony(1.50) przez}

wektorktóryjestprostopadªyzarównodo

G ˆ

^,jakido

m ˆ × ˆ G

^.Ztegopunktu

widzenia,idealnym wyboremjest wersor

m ˆ

^{, któryprowadzi do}

G ˆ ˙ m · ˆ G + G sin I ˙ Ω ˆ m · ˆ m + G ˙ I ˆ m · ( ˆ m × ˆ G) = ˆ m · (r × P ).

Poniewa»

m ˆ · ˆ G = 0

^,

m ˆ · ˆ m = 1

^{oraz,wmy±lreguªy} ykli znegoprzestawiania zynnikóww mieszanym ilo zynie wektorowym,

ˆ

m · ( ˆ m × ˆ G) = ˆ G · ( ˆ m × ˆ m) = 0,

zostaje nam

G sin I ˙Ω = P · ( ˆ m × r),

gdzieprawastronapowstaªaprzez ykli zneprzestawienie zynników.Ponie-

wa»

m ˆ

ⁱ

r

^{le»¡ w} pªasz zy¹nie orbityi i h ilo zyn wektorowy ma kierunek

G ˆ

^{, a k¡t jaki tworz¡ to tzw. argument szeroko± i}

f + ω

^{(suma anomalii}

prawdziwej

f

^iargumentu pery entrum),do hodzimydokolejnegozrówna«

Gaussa

G sin I ˙Ω = P · ˆ G r sin (f + ω).

^(1.51)

Wpodobnysposóbotrzymamyrównanie dlazmian na hylenia. Tym ra-

zem optymalny wybór wektora do ilo zynu skalarnego to wersor

( ˆ m × ˆ G)

^,

prostopadªyzarównodoliniiwzªów,jakidomomentupdu.Mno»¡ (1.50)

skalarnieprzez ten wektor,otrzymujemy

G ˙ I = ( ˆ m × ˆ G ) · (r × P ) = P · ^ ( ˆ m × ˆ G ) × r ^ .

Zale»nieodstopniaposiadanejwyobra¹ni przestrzennej,albostosujemyto»-

samo±¢Lapla e'a

( ˆ m × ˆ G ) × r = ( ˆ m · r) ˆ G − ( ˆ G · r) ˆ m = r cos (f + ω) ˆ G,

albo analizujemy kierunki i k¡ty midzy posz zególnymi wektorami, otrzy-

muj¡ ten samwynik

G ˙ I = P · ˆ G r cos (f + ω).

^(1.52)

Obydwa równania (1.51) oraz (1.52) nie maj¡ sensu dla

I = 0

^lub

I = π

^,

gdy»korzystali±mywwyprowadzeniu zwersora

m ˆ

^{, którynieistniejewty h}

przypadka h. Równie» dla orbit prostoliniowy h, gdy

G = 0

^{, równania te}

tra ¡sens,gdy» nieistniaªbywersor

G ˆ

^.

Zmiany argumentu pery entrum, zyli k¡ta midzy

m ˆ

^a

ˆ e

^{, otrzymamy z}

uzmienniony h aªek Lapla e'a (1.41). Podobnie jak dla momentu pdu,

przedstawimy wektor Lapla e'a jako ilo zyn

e = eˆ e

^{i uznamy go za wer-}

sor

x ˆ

^{obró onyo k¡ty}

Ω, I, ω

^{,po zym}skorzystamy zTwierdzenia1

˙e = ˙eˆ e + e dˆ e

dt = ˙eˆ e + e ^ ˙Ω ˆz + ˙I ˆ m + ˙ω ˆ G ^ × ˆe.

^(1.53)

Niestety, nie mo»emy li zy¢ na usuni ie wszystki h po hodny h opró z

˙ω

^,

wi stosujemy wariant skromniejszy:ilo zynskalarnyz wersorem

Q ˆ = ˆ G × ˆe,

któryle»yw pªasz zy¹nie orbity i jest odlegªy od pery entrum o

90 ^◦

^{w kie-}

runkuru hu orbitalnego.Zdeni ji,

Q ˆ · ˆe = 0

^{, wi} podstawiaj¡ (1.53) do (1.41) i mno»¡ obie strony przez

Q ˆ

^mamy

µe ^ ˙Ω ˆ Q · (ˆz × ˆe) + ˙I ˆ Q · ( ˆ m × ˆe) + ˙ω ^ = ˆ Q · R,

gdzie przez

R

ozna zyli±my jedn¡ z dwó h posta iprawy h stron równania wektorowego (1.41).Šatwo sprawdzi¢, »e

Q ˆ · (ˆz × ˆe) = ˆz · (ˆe × ˆ Q) = ˆ z · ˆ G = cos I,

oraz

Q ˆ · ( ˆ m × ˆe) = ˆ m · (ˆe × ˆ Q) = ˆ m · ˆ G = 0,

wi ,wybieraj¡ pierwsz¡ posta¢ prawy h stron,

µe ^ ˙ω + cos I ˙Ω ^ = 2(r · ˆ Q )(v · P ) − (v · ˆ Q )(r · P ) − (r · v)( ˆ Q · P ).

^(1.54)

Wyraz zawieraj¡ y

Ω ˙

zostawili±my hwilowo po lewej stronie dla podkre-

±lenia, »e przy

I = 0

^(gdy

cos I = 1

^{) prowadzi on do dobrze} okre±lonego równania dla dªugo± i pery entrum

̟ = ˙ω + ˙ ˙ Ω

^{. Natomiast w przypadku}

I = π

^,

e = 0

^{lub orbit} prostoliniowy h, równanie Gaussa(1.54) tra i sens.

1.5.7 Równania dla zmian anomalii

Pozostaªo nam ju» tylko równanie dla zmian oskula yjne anomalii ±redniej

epokiodniesienia

t 0

^{, zyli}

M ˙ 0

^wzagadnieniuzaburzonym.Traamytutajna

miaªoposta¢

M = E − e sin E.

Anomalia±redniajest wru hukeplerowskim dana poprzez

M (t) = n(t − t ⁰ ) + M 0 .

Tylko»ewzagadnieniudwó h iaªru h±redni

n = ^p µa ⁻³

^{jeststaªy,pod zas}

gdy w ru hu zaburzonym zmienno±¢ póªosi wielkiej uzmiennia

n

^{. Jak wi}

traktowa¢

M

^{?Czyprzyj¡¢}

M (t) = n(t) (t − t ⁰ ) + M 0 ,

^(1.55)

zymo»e

M (t) = Z t

t 0

n(t) dt + M 0 ,

^(1.56)

jakodeni jpodstawow¡?Ka»dezty hpodej±¢prowadzidoinnejdeni ji

M 0

^wprzypadku zaburzonym.Wariant(1.56) przyjmowanyjestnaj z± iej, gdy»prowadzi dowzgldnie prostego

M = n(t) + ˙ ˙ M 0 ,

^(1.57)

pod zasgdy (1.55)ozna za

M = n + ˙n(t − t ˙ ⁰ ) + ˙ M 0 ,

^(1.58)

o prowadzi do nieprzyjemnej sytua ji: je±li

˙n

^{ma harakter} ograni zony h os yla jio zstotliwo± i

α

^{,to pojawi¡ sibardzo} niepo»¡danewyrazytypu

t cos αt

^{, zwane mieszanymiwyrazami wiekowymi.}

›ebyunikn¡ dylematów zwi¡zany h z deni j¡

M 0

^{, obejd¹my problem}

wtensposób,»ewyprowadzimyrównaniedla

M ˙

^{,awybórdeni ji}

M 0

^pozo-

stawimy otwarty. Cowi ej, wwielu sytua ja h mo»na si bez niego obej±¢

i poprzesta¢ na

M (t)

^.

Ró»ni zkuj¡ równanie Keplera wprzypadkuzaburzonym

M = ˙ ˙ E(1 − e cos E) − ˙e sin E,

^(1.59)

widzimy, »e potrzebna bdzie po hodna anomalii mimo±rodowej, gdy»wzór

na

˙e

^zostaª wyprowadzony w ze±niej. Informa j o

E ˙

^{najlepiej otrzyma¢ na}

podstawieprdko± ik¡towejanomaliiprawdziwej

f ˙

^{,gdy»tadrugamaprost¡}

deni jgeometry zn¡ jako k¡tmidzy

ˆ e

ⁱ

ˆ r

^.

Wyjd¹myodo zywistego wzoru na prdko±¢

v = ˙r = d(r ˆ r)

dt = ˙rˆ r + r dˆ r dt .

Zuwa»myteraz,»ewersorpoªo»enia

r ˆ

^{mo»emyotrzyma¢zwersora}

x ˆ

^poprzez

obrót o katy Eulera

Ω

^,

I

^,

ω + f

^{ze znajomymi wersorami obrotu}

z ˆ

^,

m ˆ

^,

G ˆ

^.

Awi mo»na zastosowa¢ Twierdzenie1 i napisa¢

˙rˆ r + r ^ ˙Ω ˆz + ˙I ˆ m + ( ˙ω + ˙ f ) ˆ G ^ × ˆr = v.

Pomnó»my skalarnieobiestronyprzez wersor

ˆt = ( ˆ G × ˆr),

prostopadªydowektorapoªo»enia,le»¡ ywpªasz zy¹nieorbityiskierowany

zgodniez ru hem iaªa.Po uwzgldnieniu

ˆ r · ˆt = 0

^{, oraz}

ˆt · ( ˆ m × ˆr) = ˆ m · (ˆr × ˆt) = ˆ m · ˆ G = 0, ˆt · (ˆz × ˆr) = ˆz · (ˆr × ˆt) = ˆz · ˆ G = cos I,

otrzymujemy

r ^ ˙Ω cos I + ˙ω + ˙f ^ = v · ˆt.

Ale to, o widzimy po prawej stronie, to ni innego jak prdko±¢ transwer-

salna,która z den jimaposta¢

v t = v · ˆt = G r .

Wzór dla prdko± i k¡towej anomalii prawdziwej w ru hu zaburzonym ma

zatem posta¢

f = ˙ G

r ² − ˙ω − cos I ˙Ω,

^(1.60)

którejmierzymy

f

^.

Abyznale¹¢ zwi¡zek midzy

E ˙

^a

f ˙

^wprzypadku zaburzonym,zró»ni z- kujmyfunk j

r

a = 1 − e cos E = 1 − e ² 1 + e cos f ,

która mo»e sªu»y¢ jako zwi¡zek midzy

f

ⁱ

E

^. Uwzgldniaj¡ mo»liwo±¢

zmian mimo±rodu, dostaniemy

− cos E ˙e + e sin E ˙ E = − r p

 2 e + r

a cos f



˙e + e r ² sin f

a p f , ˙

^(1.61)

gdzie

p = a(1 − e ² )

^,dlaorbitelipty zny h. Poniezbytwyranowany hprze- ksztaª enia h, uwzgldniaj¡ y h

r = a (1 − e cos E), r sin f = a ^p 1 − e ² sin E, r cos f = a (cos E − e),

równanie (1.61) przyjmuje posta¢

E = ˙ r a √

1 − e ²

f − ˙ sin E

1 − e ² ˙e.

^(1.62)

Podstawiaj¡ (1.62) i(1.60) do (1.59) dostajemy

M = n − ˙ r ² a ² √

1 − e ² ( ˙ω + cos I ˙Ω) −

 1 + r

p



sin E ˙e.

^(1.63)

Uznamyto równanie za szóstez równa« Gaussa, gdy»stosownie dowyboru

deni ji

M 0

^{prowadzi ono} bezpo±rednio do

M ˙ 0

^{w poª¡ zeniu z równaniem}

(1.58) lub (1.57).

1.5.8 Skªadowe siªy zaburzaj¡ ej

Przygl¡daj¡ sirównaniom(1.44,1.45,1.51,1.52, 1.54)stwierdzamy, »eza-

wieraj¡ one ilo zynyskalarne siªyzaburzaj¡ ej

P

^{z rozmaitymi wektorami:}

r

^,

v

^,

ˆ e

^,

Q ˆ

ⁱ

G ˆ

^{. Pierwsze ztery z ni h le»¡ w} pªasz zy¹nie oskula yjnej or- bity, prostopadªej do hwilowego momentu pdu

G

^{. Staramysi ograni zy¢}

li zb ty h ilo zynówrozkªadaj¡

P

^{naskªadowe w jednej z trze h podsta-}

wowy h baz: radialnej, sty znej lub pery entry znej. Wszystkie trzy bazy

maj¡ wspólny wersor

G ˆ

^{, który dalej ozna za¢ bdziemy przez}

ˆ b

^{i nazywa¢,}

zgodniez terminologi¡ geometriiró»ni zkowej, wersorem binormalnym.

Baza radialnazdeniowana jestprzez wersory

do góry  prostopadledo pªasz zyznyrysunku.

•

^radialny

ˆ r

^{ wzdªu» promienia wodz¡ ego,}

•

transwersalny

ˆt

^ prostopadªy do radialnego, le»¡ y w pªasz zy¹nie orbity iskierowanyzgodniez ru hem iaªa,

•

^{binormalny(normalnydo}pªasz zyznyorbity)

b ˆ

^{wzdªu» wektoramo-}

mentu pdu.

Skªadowe siªy

P

^{wtejbazie ozna zymy}odpowiednio przez

R

^,

T

ⁱ

B

^:

P = Rˆ r + Tˆt + Bˆ b.

I h warto± i mo»na zdeniowa¢ przy pomo y ilo zynów

P

^{z wektorami}

r

ⁱ

G = r × v

R = P · ˆr = P · r r , T = P · ˆt = P ·

 G G × r

r



,

^(1.64)

B = P · ˆb = P · G G .

Baza sty znaskªada siz nastpuj¡ y hwersorów:

•

^normalnego

n ˆ

^{, któryokre±la kierunek normalnej}zewntrznej dokrzy- wejjak¡ jestorbita,

•

^{sty znego}

ˆ s

^{,który pokrywa siz kierunkiem wektora prdko± i,}

•

binormalnego

ˆ b

^{, wspólnego dlaobubaz.}

Siªa

P

^{mawtejbazie skªadowe}

N

^,

S

ⁱ

B

^:

P = N ˆ n + Sˆ s + Bˆ b.

Warto± ity hskªadowy h mo»na wyli zy¢zdeni ji

N = P · ˆ n = P ·

 v v × G

G

 , S = P · ˆs = P · v

v ,

^(1.65)

B = P · ˆb = P · G G .

Poniewa» skªadowa

B

^{jest jednakowa w obu baza h, pozostaje nam je-}

dynie problemzwi¡zku midzyskªadowymi

R

^,

T

ⁱ

N

^,

S

^.

Transforma ja z r-t-b do n-s-b jest elementarna, gdy» wymaga jedynie

obrotuok¡t

π

2 −δ

^,gdzie

δ

^{jestk¡temmidzywektorami}

r

ⁱ

v

^{(por.Rys.1.2).}

Azatem

R T

!

= cos ( ^π ₂ − δ), sin ( ^π 2 − δ)

− sin ( ^π 2 − δ), cos ( ^π 2 − δ)

! N S

!

,

^(1.66)

zyli

R = N sin δ + S cos δ, T = − N cos δ + S sin δ,

(1.67)

oraz

N = R sin δ − T cos δ,

S = R cos δ + T sin δ.

^(1.68)

Funk je trygonometry zne k¡ta

δ

^{s¡okre±lonepoprzez ilo zynywektorów}

r

i

v

cos δ = r · v r v = r ˙r

r v = ˙r v , sin δ = |r × v|

r v = G

r v = r ˙ f v .

Je±li signiemy do wzorów opisuj¡ y h prdko±¢ radialn¡

˙r

ⁱ transwersaln¡

r ˙ f

^{oraz przyjmiemyskrótowe ozna zenie}

γ = ^q 1 + 2 e cos f + e ²