Pfaan i równania Pfaa

Wprowad¹my wektor

N + 1

^{zmienny h}

w = (w 0 , w 1 , . . . , w _N ) ^T ∈ R ^{N +1} ,

orazwektor

N + 1

^{funk jity h zmienny h}

F (w) = (F 0 (w), F 1 (w), . . . , F N (w)) ^T ∈ R ^{N +1} .

Z ty h dwó h elementów mo»emy utworzy¢ liniow¡ form ró»ni zkow¡

Pfaa(a ± i±lej,tzw.jednoform ró»ni zkow¡), zyli pfaan

Φ =

N

X

i=0

F i dw i = F · dw = F ^T dw,

^(2.10)

gdzie

dw

^{jestwektorem ró»ni zek zmienny h}

w i

^.

Forma Pfaasama wsobie jesttylko pewnymwyra»eniem

matematy z-nym i mo»na ja wykorzysta¢ do ró»ny h elów. Nas interesowa¢ bd¡

rów-nania zwi¡zane z

Φ

^{, zwane} stowarzyszonym ukªadem równa« Pfaa (pierwszegorodzaju)

h DwF − (DwF ) ^{T i} dw = 0,

^(2.11)

gdzietransponowanygradient zastosowanydokolejny helementów wektora

kolumnowego

F

^{daje ma ierz Ja obiego}

DwF = A, a ij = ∂F i

∂w _j ,

w której wiersze

i

^{oraz kolumny}

j

indeksujemy od 0 do

N

^{. Wyra»enie w}

nawiasiekwadratowymjestma ierz¡antysymetry zn¡owymiarze

(N + 1)×

(N + 1)

(tensorowymuogólnieniemoperatora rota ji)zawieraj¡ ¡ po hodne z¡stkowefunk ji

F i

^{zformyPfaa,wi (2.11)jestrównaniem}wektorowym, któremo»narozbi¢ na

N + 1

^{równa« skalarny h}

N

X

j=0

∂F i

∂w j − ∂F j

∂w i

!

dw _j = 0,

^(2.12)

dlakolejny h

i = 0, . . . , N

^.

Ukªad równa«Pfaa posiada wa»n¡ wªasno±¢:

TWIERDZENIE 2 Je±li

Φ = F (w) · dw

^{jest form¡ Pfaa,}

c 6= 0

^{dowoln¡staª¡, za±}

S(w)

^{dowoln¡skalarn¡funk j¡}

ró»ni z-kowaln¡, to forma

Φ

^{oraz forma}

Φ ^′ = c (Φ + dS(w))

^generuj¡

ten samukªad równa«Pfaa.

DOWÓD:Równaniagenerowaneprzez

Φ

^{s¡danewzorem(2.12).}

Musimywykaza¢,»e s¡one identy zne, je±liu»yjemyformy

Φ ^′ = c (Φ + dS(w)) = c (F · dw + dS(w)) .

Ró»ni zkazupeªnadeniowana jestjako

dS =

Równania Pfaa otrzymane z

Φ ^′

^{maj¡ posta¢}

N

Drugiepo hodne

S

^{odejmuj¡si,za±obiestronymo»napodzieli¢}

przezniezerow¡ staª¡

c

^{, o prowadzi doposta i(2.12).}

Mo»emy wi przyj¡¢, »e z punktu widzenia równa« Pfaaforma

Φ

po-siada takzwan¡ swobod e howania (ang.gauge freedom), gdy» mo»na do

niejdoda¢dowoln¡ró»ni zkzupeªn¡bez wpªywunagenerowane równania.

Tak»e swobodapomno»enia pfaanu przezdowoln¡ staª¡ jestzalet¡ nie do

pogardzenia.

Je±lijedn¡zezmienny hwwektorze

w

^,naprzykªad

w 0

^{,wybierzemyjako}

zmienn¡ niezale»n¡to dziel¡ równania Pfaaprzez

dw 0

sprowadzimyje do ukªadurówna« ró»ni zkowy h zwy zajny h

N

toposta¢niezbytatrak yjna, dalekaodstandardowej posta itypu(1.3). S¡

jednaksz zególne przypadki, wktóry hpowstawa¢ bd¡ stosunkowo proste

ukªadyrówna« ró»ni zkowy h zwy zajny h  od razuw posta i

standardo-wej.

2.3 Równaniakanoni zne jakoprzypadek sz zególny

równa« Pfaa

stan-dardowejma ierzysymplekty znej

J

stopnia

2M

^{.Nadajmyteraznazwy}

po-sz zególnym klo kom,który hu»yli±myw(2.13):

•

^Wektor

q = (q 1 , . . . , q M ) ^T

^nazwiemywspóªrzdnymiuogólnionymi.

Nale»yondo

M

-wymiarowej przestrzeni kongura yjnej.

•

^Wektor

Q = (Q 1 , . . . , Q _M ) ^T

^{nazwiemy pdami} uogólnionymi. Na-le»yondo

M

-wymiarowej przestrzeni pdów.

•

^{Oparze zmienny h}

q j

^oraz

Q j

^{(z tym samym indeksem) mówimy, »e}

s¡kanoni znie sprz»one.

•

^Wektor

ξ = col(q, Q)

^{nazwiemywektoremstanu.Nale»yondo}

2M

-wymiarowej przestrzeni fazowej.

•

^{Funk j skalarn¡}

H(w) = H(q, Q, t)

^{nazwiemy funk j¡ Hamiltona}

lub Hamiltonianem.

Zmienn¡

t

^{wybieramyjakozmienn¡niezale»n¡itakte»bdziemyj¡narazie}

nazywa¢.

Wektory (2.13) deniuj¡form Pfaa

Φ = H dt − Q · dq

2 + q · dQ

2 ,

^(2.14)

wktórejrozpoznajemyformsymplekty zn¡ (2.4)

Φ = H dt + [ ξ | dξ ]

2 .

^(2.15)

Jak wygl¡daj¡ równania generowane przez ten pfaan ?Posªu»ymysi

posta i¡wektorowo-ma ierzow¡(2.11),aleponiewa»

w = col(t, ξ)

^,rozbijemy

operator

Dw

^{na dwie z± i:}

Dw = ^ D t , Dξ ^ ,

w posta i blokowej, gdzie

D _t

^{to zwykªa po hodna z¡stkowa}

^∂ _∂t

^{. A zatem,}

dziaªaj¡ nawektor

F

^{danywzorem (2.13),mamy}

DwF = D t H DξH

D t (−Jξ/2) Dξ(−Jξ/2)

! .

Przypomnijmy, »e

Dξξ = E

^{, wi}

Dξ(−Jξ) = −J Dξξ = −J.

Ponadto, zmienne

w

^{traktujemy jako} niezale»ne, zatem

D t ξ = 0

^{. Mo»emy}

wi upro± i¢ma ierz Ja obiego

DwF

^{doposta i}

DwF = D t H DξH

0 −J/2

!

ajej transpozy jdo

(DwF ) ^T = D t H 0

∇ξH J/2

!

,

gdzieskorzystali±my z

Dξ = ∇ ^T ξ

^{, oraz}

J ^T = −J

^.

RównaniaPfaa(2.11)przybieraj¡wi wobe nierozpatrywanym

przy-padkuposta¢

Wypisuj¡ osobno górnyi dolnyblok,mamy

 DξH ^ dξ = 0

^(2.16)

− ^ ∇ξH ^ dt − Jdξ = 0.

^(2.17)

Przyjrzyjmy si równaniom (2.17). Dziel¡ stronami przez

dt

^{i mno»¡}

lewostronnie przez

J

otrzymujemy

dξ

dt = ˙ξ = J ∇ξH,

^(2.18)

ukªadrówna«ró»ni zkowy hzwy zajny hrzdu

2M

^{zezmienn¡niezale»n¡}

t

izmiennymizale»nymi

ξ

^{. Je±liwydzieli¢wwektorzestanu bloki}zawieraj¡ e wspóªrzedne uogólnione

q

^{i pdy uogólnione}

Q

^{, to} stwierdzamy, »e ukªad (2.18)

albo,wypisuj¡ osobnopary dlaka»degostopnia swobody

i dq i

Te elegan kie w swej symetrii i prosto ie równania (2.18), (2.19) lub

(2.20) nazywamy równaniami kanoni znymi Hamiltona. Dla zadanej

funk ji

H

^,generuj¡ ejprawe strony, i hrozwi¡zaniems¡wspóªrzdneipdy uogólnione

q(t)

ⁱ

Q(t)

^{jako funk je zmiennej}niezale»nej

t

^.

Wró¢my teraz do równania (2.16). Jakkolwiek niew hodzi ono w skªad

równa«kanoni zny h,zawierabardzoistotn¡konsekwen jposta ity h

rów-na«. Równanie (2.16) zawiera ilo zyn skalarny, który w hodzi w skªad

ró»-ni zkizupeªnej

dH

^.Rze zywi± ie,

dH = (DwH)dw = (D t H)dt + ^ DξH ^ dξ.

dH = (D ^t H)dt,

i dziel¡ przez

dt

otrzymujemyz niegowniosek

dH dt = ∂H

∂t .

^(2.21)

Wten sposóbudowodnili±my nastpuj¡ ewa»ne twierdzenie:

TWIERDZENIE 3 Je»eli hamiltonian

H

^{ukªadu równa« k}

a-noni zny h niezale»yodzmiennejniezale»nej

t

^{wsposóbjawny,}

tojest on aªk¡ pierwsz¡ tegoukªadu, zyli

H(q, Q) =

^{onst. (2.22)}

dlaka»dego rozwi¡zania

q(t), Q(t)

^równa«kanoni zny h.

Zsamej posta irówna« kanoni zny h wynikakolejnawa»na wªasno±¢.

TWIERDZENIE 4 Je»eli hamiltonian

H

^{pewnego ukªadu nie}

zale»yodjedenejze zmienny hkanoni zny h, to sprz»onazni¡

zmienna jeststaª¡ ru hu:

∂H

∂q i = 0 ⇒ Q ⁱ =

^onst.

∂H

∂Q i = 0 ⇒ q i =

^onst.

Wida¢to wprostze strukturyrówna« (2.20).

Podsumujmy: forma Pfaa (2.15) generuje równania kanoni zne (2.18),

któreposiadaj¡wªasno± i opisane twierdzeniami3 i 4.Je±li jednak

przywo-ªamytwierdzenie 2,to mo»emypodsumowanie nie ouogólni¢:

Ka»dyPfaanposta i

Φ = c



H dt + [ ξ | dξ ] 2 + dS



,

^(2.23)

gdzie

c

^{jest dowoln¡ staª¡, a}

S = S(ξ, t)

^{dowoln¡ funk j¡}

ró»-ni zkowaln¡, generuje równania Pfaa w posta i równa«

kano-ni zny h Hamiltona (2.18).

anu. W wikszo± i pra przyjmuje si jako podstawowy pfaan

generu-j¡ y równania kanoni zne form, która powstaje z (2.23) dla

c = −1

ⁱ

S = −q · Q/2

^{, o prowadzi do}

Φ ^′ = −H dt + Q · dq.

^(2.24)

Popularno±¢ tejformyPfaabierze si zpowi¡za«zoptyk¡oraz faktem,»e

po wyra»eniu

Q

^{przy pomo y}

˙q

^{, jest ona równa funk jiLagrange'a}

pomno-»onejprzez

dt

^.

Mo»na jednak wyeliminowa¢ z formy (2.15) ró»ni zki

dq

^, podstawiaj¡

w(2.23)

c = 1

ⁱ

S = q · Q/2

^{, dziki zemu otrzymamy}

Φ ^′ = H dt + q · dQ.

^(2.25)

FormyPfaa wposta i (2.24) lub (2.25) (zawieraj¡ etylko poªow

ró»-ni zek)nazywa¢ bdziemyjednoformami kanoni znymi.

W dokumencie Sªaw
iBeieae
ay zedawy
e haikiieba
.A.

.weja17.01.2013 (Stron 39-47)