Rozpatrzmy- konserwatywny układ dynamiczny Hamiltona z n stop niami swobody, określony przez kanoniczne równania ruchu:
p = - OH/ <9q, q = 3H/ 3p, (1)
gdzie p = (Pi,...,Pn ) , q = (q1f...»qn ) zaś H(p, q) jest analityczną funkcją Hamiltona. Klasyczne metody dynamiki pozwalają na badanie jedynie przypadków „całkowalnych". Przyjmijmy, że przestrzeń fazowa (p» <ł) jest iloczynem kartezjańskim n-wymiarowego torusa i n-wymia- rowej przestrzeni euklidesowej, przy czym niech będą kątowymi współrzędnymi na torusie, natomiast pk są współrzędnymi w przestrze ni Euklidesa. Jeśli funkcja Hamiltona zależy jedynie od zmiennych p, tzn. H = H(p), to równania ruchu są całkowalne. W tym przypadku równania Hamiltona (1) przyjmą postać:
p = 0 , q = w ( p ) , w — <?H/ dP = (w1,... ,wn ) (2) i są całkowalne. Każdy torus p = const jest niezmienniczy, jeśli częstości w są niewspółmierne, tzn. jeśli spełnione jest równanie:
< w
,
k >=
w 1k 1+ ... +
wnkn=
0,
to k^ = 0, gdzie k^ są liczbami całkowitymi. Ruch po torusie nie- rezonansowym ma charakter warunkowo okresowy, a zmienne p, q noszą nazwę zmiennych działanie-kąt. Liczba zagadnień całkowalnych jest ograniczona. Głównym zadaniem dynamiki XIX w. było szukanie zagad nień całkowalnych. W związku z ukazaniem się prac P o i n c a r e - g o okazało się, że układy dynamiczne w ogólnym przypadku są
nie-262 S. Kaspe r czu k
całkowalne, p o n i e w a ż nie p o s i a d a j ą dostateczne,-) liczby całek p i e r w szych, w o b ec czego t ra je ktorie nie leżą na ni e z m i e n n i c z y c h n- wymia- r o w y c h ro z m aitościach.
Pr z y j m ij m y, że u kład d y n a mi cz ny Ham i l t o n a różni się od układu c ałkowalnego m a ł y m zaburzeniem. W ó w c z a s f unkcja H a m i l t o n a układu zaburzonego może być z a pis a na w postaci:
H(p, q) = H Q (p) + e H 1(p, q) + ..., (3)
g d zie £ 1, H 1 jest an al ityczną funkcją p, q oraz okresow ą w z g l ę d e m q.
W celu p rz y b l i ż o n e g o b a d a n i a trajektorii układu zaburzonego (3) w a s tr o n o mi i już od d a w n a stosowane są specjalne m e tod y teorii za burzeń. Jeśli u d a ł o b y się znaleźć t ran sformację kanoniczną:
P, q — P ’, q \
dzięki której funk c j a H a m i l t o n a p r z y j ę ł a b y postać:
H(p, q) = H»(p») + £ 2H 1( p » , q«) + ..., (4)
to w p r z e d z i a l e c zasu rzędu 1/ 6 r uc h p ’(t), q'(t) będzie odbiegał od r uch u p(t), q(t) o w ie lk oś ć rz ędu e. G d y w y m a g a n a jest w i ę k s z a dokładność, m o ż n a wyk on ać n a s t ę p n ą t r a n s f o r m a c j ę :
P \ q' — P". q"
s p r o w a d z a j ąc ą H do po staci:
H( p , q) = H " (p »') + e ^ H ^ p " , q " ) + ...
O b e cni e odrz u cenie w funkcji H a m i l t o n a w y r a z ó w z abu rzają cyc h p o w o duje p ow s t a n i e b ł ę d u rzędu e ^t. W p r z y p a d k u zbieżności k o l e j n y c h p r z y b l i ż e ń otrzymamy, że:
H(P, q ) = H ^ ( p (oo)) ,
skąd w y n i k a całkowalno ś ć układu.
W pr z e d s t a w i o n e j p r o c e d u r z e n a p o t y k a m y dwie zasad nicze t r u d ności: m a łe dziel ni ki i roz bi eż no ść k o l e j n y c h p r z y b liżeń . Spróbujm y znaleźć trans fo rm ac ję ka no n i c z n ą p, q — •- p*, q» w postaci:
Stabilność Układu Słonecznego 263 z funkcją generującą S (p », q) = Sk(p») ei<^k ,q > . Funkcja H(p, q)
k^O
we współrzędnych p ’ , q ’ przyjmie zatem postać:
H (P , q) = H (p ') + -fi— f H J p , q)dq + £ ( <9 H / <?p)( d S/ ć?q) +
0 (2 7r)
J
1 0~ 2
+ e H 1 +
£ + . . . ,
gdzie EL = H1 - / H1dq. W celu sprowadzenia funkcji Hamiltona
1 1 ( 2tt)
J 1
^do postaci (4) należy spełnić warunek:
<w, <9S/ <9q> + H1 = 0 . (6)
Z warunku (6) znajdujemy postać funkcji tworzącej: v 1 hk ( P ł)
sk (P ł) = -T <w, k >. > (?)
gdzie H1 = hk Dzielnik <w, k>, przy pewnych
rezonanso-k^O
wych wartościach wektora k, jest równy zero. W mechanice nieba od dawna znany jest związek małych dzielników z teorią perturbacji. W przypadku ruchu Jowisza i Saturna mamy następującą sytuację: ruch dzienny Jowisza w1 = 2 9 9 ", 1 , a Saturna w2 = 1 2 0 ",5 , dlatego wartości w.j, w2 są nieomal współmierne:
2 w 1 - 5 ^ 2 ^ 0 .
Wyrażenie mw1 + nw2 występuje jako dzielnik w szeregach teorii per turbacji, mających postać:
Z
A_ mn ei(mw1 + nw2 )mw1 + nw0 m,n^0L a p l a c e jako pierwszy wyliczył, że w ruchu Jowisza i Saturna występują duże zaburzenia długookresowe związane z małym d zie ln i kiem 2w1 - 5w2 .
Niezależnie od małych dzielników występuje problem rozbieżności kolejnych przybliżeń. Nadzieja na to , że zbieżność szeregów pertur
264 S. Kasperczuk
przez S i e g e l a w 1952 r. W pracy tej ( S i e g e l 1952) udowodniono, że w ogólności wszystkie szeregi są rozbieżne. Jest to związane z faktem, że niezmiennicze rozmaitości, na których leżą trajektorie zaburzonego układu, nie zapełniają żadnego zbioru.
3 . 0 STABILNOSCI RUCHU PLANET
Rozpatrzmy n materialnych punktów (planet) o masach m^,...,!!^, które są małe w porównaniu z masą M ciała centralnego (Słońca). Niech wszystkie wymienione ciała oddziaływają ze sobą zgodnie z pra wem Newtona. W zerowym przybliżeniu można zaniedbać oddziaływania pomiędzy planetami oraz ciało centralne uważać za nieruchome. Przyj- mijmy dalej, że każda z planet porusza się po elipsie z ogniskiem w M w jednym kierunku.Zaburzenia pochodzące od oddziaływań pomiędzy planetami mogą w sposób istotny zmienić ich ruch.
Rozpatrzmy dla wygody płaski problem trzech ciał, wariant pla netarny, przy założeniu, że w chwili początkowej ekscentryczności e^ elips keplerowskich są małe. Niech położenie orbit planet na płaszczyźnie określają kąty g... Ruch zaburzony można opisać poprzez zmianę parametrów orbit keplerowskich e^, a^, g^. W pierwszym przy bliżeniu zmiany tych parametrów mają charakter okresowy z małymi amplitudami rzędu mas planet. W drugim przybliżeniu pojawiają się powolne wiekowe ruchy perihelium. Te powolne zmiany e^ i g^ mogą być przedstawione w następujący sposób. Będziemy charakteryzowali elipsę keplerowską wektorem Laplace*a skierowanym wzdłuż linii apsyd i o długości równej e^. Okazuje się, że dla każdej z planet wektor ten jest sumą dwóch równomiernie rotujących wektorów *3 = *31 + ®"j2* Prędkości kątowe s1, Sg wektorów e ^ i e ^ są małe oraz takie same dla obydwu planet. Duże półosie a^ nie wykazują zmian wiekowych. Ruch planet po zmieniających się w ten sposób orbitach nosi nazwę lagranżowskiego ( A r n o l d 1963b).
Z teorii zaburzeń wynika,że rzeczywisty ruch planet jest bliski lagranżowskiemu w przeciągu wielu obrotów wektorów e"^, przy zało żeniu, że masy i ekscentryczności planet są dostatecznie małe. W przestrzennym zagadnieniu elipsy keplerowskie określone są dodat kowo nachyleniem i^ oraz linią węzłów.Wiekowe zmiany tych wielkości określa się za pomocą wektora i^ skierowanego wzdłuż linii węzłów. Okazuje się, że wektor jest również sumą jednostajnie rotujących wektorów, przy czym ich liczba wynosi n-1, gdzie n jak poprzednio oznacza liczbę planet.
Stabilność Układu Słonecznego 265
A r n o l d (1963a) udowodnił, że jeśli masy, ekscentryczności i nachylenia planet są dostatecznie małe, to dla większości warun ków początkowych rzeczywisty ruch planet ma charakter warunkowo okresowy i nieznacznie odbiega od ruchu lagranżowskiego z odpowied nio dobranymi warunkami początkowymi w przeciągu dowolnie długiego czasu.
Wróćmy do układu dynamicznego Hamiltona z funkcją Hamiltona (3). A r n o l d (1963c) udowodnił, że w przestrzeni fazowej układu z hamiltonianem (3) istnieje zbiór składający się z n-wymiarowych torusów niezmienniczych leżących blisko torusów niezaburzonych. Zbiór ten został nazwany zbiorem kołmogorowskim ( N i e c h o r o - s z e w 1977) lub zbiorem VAK ( A b r a h a m , M a r s d e n 1978). Jest on zamknięty i nigdzie niegęsty. Niemniej zbiór ten zajmuje znaczną część przestrzeni fazowej oraz przy e — 0 roz przestrzenia się na całą przestrzeń fazową. Warunkiem koniecznym na istnienie zbioru kołmogorowskiego jest, aby chociaż jeden z wyznacz ników D ^ , D£, gdzie:
nie był tożsamościowo równy zeru.
Dla układów z dwoma stopniami swobody zostało udowodnione, że jeśli wyznacznik D2 nie znika, to wszystkie rozwiązania układu dy namicznego są wiecznie stabilne.
Początkowo wszystkie przytoczone wyżej rezultaty otrzymane były przy założeniu analityczności funkcji Hamiltona. M o s e r (1968) pokazał, że to żądanie można osłabić wymaganiem jedynie Istnienia skończonej liczby (333) pochodnych. Dzięki pracom R u s s m a n a (1970, 1972) liczba pochodnych została zmniejszona do sześciu. Następnie Z e h n d e r (1975, 1976) wykazał, że istnienie zbioru Kołmogorowa wynika z ogólnego twierdzenia o funkcji złożonej. Jednakże we wszystkich pracach dotyczących zbiorów VAK nie zajmowa no się przebiegiem rozwiązań w zbiorze dopełniającym do zbioru VAK w przypadku, gdy liczba stopni swobody n jest większa od dwóch. A r n o l d (1964) podał przykłady układów dynamicznych, dla których część rozwiązań oddala się dowolnie daleko od początkowych
D 1 = det( c?2Hq / dl2) ,
266 S. Kasperczuk
wartości. Efekt ten został nazwany dyfuzją Arnolda (Z a s ł a w- s k i , C z i r i k o w 1971). Przedział czasu, dla którego punkt p(t) dla otrzymanych w pracy A r n o l d a niestabilnych rozwią
zań znajduje się w małej odległości od p(0), rośnie eksponencjalnie ze zmniejszaniem się zaburzenia.W związku z tym A r n o l d ( 1966) wysunął przypuszczenie, że dla układów dynamicznych Hamiltona z funk
cją Hamiltona w ogólnej postaci dla wszystkich warunków początko wych czas przebywania punktu p(t) w pobliżu p(0) rośnie szybciej niż dowolny stopień 1/e . Przypuszczenie to potwierdziło się, N i e c h o r o s z e w (1977) udowodnił, że jeżeli funkcja HQ spełnia pewne warunki, to istnieją dodatnie liczby a, b, e Q speł niające następujące warunki:
„b p( t) - p(0)
<
£dla wszystkich e < e i t e[0, T], gdzie T = exp — . e
Stałe wielkości a, b zależą jedynie od funkcji HQ , natomiast stała cQ zależy od HQ .i H 1, a konkretnie od szybkości zmniejszania się współczynników Fouriera w rozwinięciu funkcji H^. Powyższe osza cowanie udowodnione zostało przy założeniu analityczności funkcji Hamiltona. Przy wymaganiu jedynie gładkości funkcji H oszacowanie to nie będzie miało charakteru wykładniczego, lecz potęgowy, przy czym wykładnik potęgi będzie tym większy, im większa będzie liczba pochodnych.
N i e c h o r o s z e w (1977) udowodnił dla przypadku Układu Słonecznego (przy założeniu, że ruch planet odbywa się po orbitach o umiarkowanej ekscentryczności, duże półosie dość znacznie różnią się od siebie oraz ruch odbywa się w jednym kierunku po orbitach o małym nachyleniu do płaszczyzny Laplace'a), że w przedziale czasu [0, T] zderzenia planet oraz ucieczka choćby jednego ciała są nie możliwe. Dodatkowo długości dużych półosi orbit planet prawie się nie zmieniają w tym okresie.
Istnienie naszego Układu Słonecznego szacuje się na kilka mi liardów lat. Jeśli można wyjaśnić ten fakt powolnością dyfuzji Arnolda, to niezupełnie zrozumiałe jest, dlaczego planety poruszają się po niemal kołowych orbitach leżących prawie w Jednej płaszczyź nie. Sytuacja ta wymaga uwzględnienia zakłóceń niehamiltonowskich, związanych z oporem ośrodka i siłami przypływowymi. Chociaż gęstość materii rozproszonej w Układzie Słonecznym jest niewielka, bo rzędu
Stabilność Układu Słonecznego 267
-21 -3
10 g • cm , a siły przypływowe są znikome w porównaniu z siłami grawitacyjnymi, to wynik działania tych sił w kosmologicznej skali czasowej może okazać się istotny. Przy ustalonych wartościach pół- osi a^ orbit planet długość wektora momentu pędu układu G osiąga maksimum w przypadku, gdy ruch planet odbywa się po orbitach koło wych leżących w jednej płaszczyźnie. Zaburzenia niehamiltonowskie w większym stopniu wpływają na zmniejszenie się energii układu niż na zmianę momentu pędu, dlatego układ zmierza do ruchu po orbitach kołowych z zerowymi nachyleniami.