Postępy Astronomii nr 3-4/1982

PL

ISSN

POSTĘPY

ASTRONOMI I

C Z A S O P I S M O

P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U

WI EDZY A S T R O N O M I C Z N E J

PTA

TOM XXX — ZESZYT 3-4

LIPIEC-GRU D ZIEŃ 1982

W A R S Z A W A - Ł Ó D Ź 1983

P O L S K I E T O W A R Z Y S T W O A S T R O N O M I C Z N E

POSTĘPY

ASTRONOMII

K W A R T A L N I K

TOM XXX — ZESZYT 3-4

LIPIEC-GRUDZIEŃ 1982

W A R S Z A W A - Ł Ó D Ź 1983

KOLEGIUM REDAKCYJNE R edaktor naczelny: Jerzy Stodótkiewicz, Warszawa

Członkowie:

Stanisław Grzędzielski, Warszawa A ndrzej Woszczyk, Toruń

Sekretarz Redakcji: Tomasz Kwast, Warszawa

Adres Redakcji: 00-716 Warszawa, ul. B artycka 18 Centrum Astronomiczne im. M. Kopernika (PAN)

W YDAW ANE Z ZA Slł.K U PO LSK IE] AKADEMII NAUK

ARTYKUŁY

„Postępy Astronomii" Tom XXX (1 9 8 2 ). Zeszyt 3-4

EWOLUCJA UKŁADU ZIEMIA-KSIĘŻYC

B A R B A R A C Z A P I E W S K A

M A C I E J B I E L I C K I

Obserwatorium Astronomiczne Uniwersytetu Warszawskiego

3BOJHOUMH CMCTEMbI 3EMJ1H—JIYHA B. H a n e B C K a , M. B q j i h u k h

C o a e p K a H M e

IlpeflCTaBJieHO pe3yjiBTaTu Ha(5jiiofleHHK Kacaromwe np0fl0JiKZTeJiBH0CTH OptfHTaJIBHOfó 3BOJIIOUHH CHCT0MH 3eMJIH-JIyHa. CpaBH6H0 p63yJIBTaTbl IIO- jiy^eHu pa3HUMH MeToaaMH. HaJWojiee BepoHTHaa BejnmuHa KacaiomaH sToft 3BOJHOUHM - ycKopemie JlyHH - paBHa 16 / b 6 k ^ , m o paBHO yBemi- M6HHK) paCCTOHHMH JlyHH OT 36MJIH B 2 . 3 CM/rOfl. Il0Ka3aH0, w o pe3yjn>-

TaTbi nojiy^ieHH H3 MccjieaoBaHHii apxaimecKHX KopajuiOB 3acJiyacMBaK)T

SOBepHH.

EVOLUTION OF THE EARTH-MOON SYSTEM S u m m a r y

Observations concerning the time-scale of the orbital evolution of the Earth-Moon system are presented. The results being obtained with different methods are compared. The most probable value cha­ racterizing this evolution - Moon’ s acceleration - equals

l6"/cen-O

tury , what corresponds to the increasing of Moon'B distance

2 .3 cm/year. It is proved that the results being obtained from the investigations of archaic corals are reliable.

240 B. Czapiewska, M. Bielicki

1. WSTĘP

Często w zagadnieniach przyrodoznawstwa występują problemy po­

wiązania między sobą początku rozpatrywanego zjawiska, jego ewolu­

cji oraz stanu obecnego. Tak też i w naszym przypadku jakakolwiek

hipoteza powstania Księżyca musi tłumaczyć stan dzisiejszy układu

Ziemia-Księżyc, samej Ziemi i samego Księżyca. Ten stan dzisiejszy

jest dość dokładnie zbadany i daje podstawy do wielu wniosków doty­

czących jego ewolucji. W ewolucji tych ciał i całego układu znamy

sporo faktów niewątpliwie prawidłowo występujących, ale istnieją

poza tym jeszcze nie do końca rozpoznane działające tu zjawiska.

Najtrudniej jest określić i sklasyfikować możliwości pierwotnego

stanu tych ciał, albowiem wiąże się to z ogólną kosmologią Układu

Słonecznego, która nie jest do tej pory dokładnie poznana.

2. PROBLEMY POWSTANIA UKŁADU ZIEMIA-KSIĘŻYC

Obecnie wydaje się, że są trzy teorie pochodzenia Księżyca.

Mówiąc językiem „rodzinnym" może on być „mężem" Ziemi schwytanym

ż jakiejś innej orbity okołosłonecznej, „synem" Ziemi, który wprost

od niej się oddzielił, lub wreszcie jej „bratem" utworzonym przez

akrecję materii w tym samym dysku. Wszystkie te trzy teorie mają

i dzisiaj jeszcze rację bytu, a rozstrzygnięcie między nimi napoty­ ka trudności. Pomimo najnowszych badań zarówno Ziemi jak i Księżyca nie potrafimy wypowiedzieć ostatniego słowa. Wobec tego opiszemy tu

w skrócie podstawowe cechy tych trzech teorii ( T u r c o t t e

i in. 1977).

Księżyc - „mąż" Ziemi (rys. 1). W tej teorii Księżyc został

utworzony niezależnie w Układzie Słonecznym i w sprzyjających w a ­

runkach pojmany grawitacyjnie z orbity okołosłonecznej na orbitę

wokół Ziemi.W zależności od okoliczności mogło to nastąpić w odnie­

sieniu od razu do całego Księżyca lub kolejno do oddzielnych jego

części. Najbardziej krytycznym problemem było tu zagadnienie wyha­

mowania ruchu heliocenxrycznego, co dopiero dawało możliwość wejścia Księżyca na orbitę geocentryczną.

Księżyc - „syn" Ziemi (rys. 2). Teorię tę pierwszy zaproponował Darwin w 1880 r., a dzisiejsza koncepcja opiera się na własnościach

rotującego ciała. Wskutek zwiększającej się niestabilności tej ro­

tacji tworzą się dwa oddzielne ciała, tj. Ziemia i Księżyc. Teoria

Ziemia-Księżyc 241

Rys. 1. Pojmanie przez Ziemię ciał tworzących Księżyc. Fragmenty na orbitach 1-5 są zgubione, a na orbitach 6-10 są schwytane

Rys. 2. Podział protoZiemi na Księżyc i Ziemię

Rys. 3. Podwójna akrecja Ziemi i Księżyca z mgławicy słonecznej, z jednoczesnym utworzeniem się planet ziemskich

Księżyc - „brat” Ziemi (rys. 3). W tym przypadku szybko rotują- ca wokół Słońca mgławica tworzy skupiające się planetezymale, a w trakcie dalszej ewolucji dwa oddzielne ciała obiegające się nawzajem, Ziemię i Księżyc. Podczas procesu formowania się brył materii wytwarza się różnica składu chemicznego tych ciał.

Rozpatrując dokładniej przedstawione tu hipotezy można zbadać możliwości ich realizacji ze względu na ewolucję orbity Księżyca. Jeżeli Księżyc był w przeszłości bliżej Ziemi niż obecnie, co przy dzisiejszym stanie znajomości tego problemu jest pewne, to albo je­ go powstanie musiało nastąpić blisko Ziemi, albo mógł tam znaleźć się później. Jego pojmanie grawitacyjne w zasadzie również mogło nastąpić w większej lub mniejszej odległości niż obecna. Szcze- gółowsze badania wykazują jednak, że Księżyc nie mógł zostać

pojmą-242 B. Czapiewska, M. Bielicki

ny na orbitę geocentryczną w odległości mniejszej od Ziemi niż obecna. Zatem najprawdopodobniej początkowa orbita Księżyca była większa - ok. 100 promieni ziemskich, ale pozostaje wtedy najtrud­ niejszy problem ewolucji tej orbity do rozmiarów znacznie mniej­ szych od aktualnych. Próby rozwiązania i wyjaśnienia tego zagadnie­ n ia są jeszcze w sferze przypuszczeń i kontrowersji (A 1 f v e n i A r r h e n i u s 1976), wobec czego teoria grawitacyjnego poj­ mania Księżyca pozostaje dotąd nie wyjaśniona. Jedna z prób wytłu­ maczenia tych faktów zakłada n p ., że pierwotna orbita Księżyca była wsteczna i z czasem wskutek działania pływów przeszła w orbitę pro­ stą o niewielkich rozmiarach (ry s. 4 ) . Pozostałe dwie hipotezy pow­ stania Księżyca spełniają wymagane warunki początkowej niewielkiej odległości Księżyca od Ziemi.

Rys. 4. Ewolucja orbity K się ży c a.z kierunku ruchu wstecznego na prosty. Wykres przedstawia'zależność nachylenia płaszczyzny orbity Księżyca do płaszczyzny równika Ziemi od odległości Księżyca od

Ziemi

3. TEORIA EWOLUCJI ORBITY KSIĘŻYC^

W rozwiązaniu powyższych zagadnień podstawowym problemem mate­ matyczno-fizycznym jest dynamiczna ewolucja układu Zlemia-Księżyc. Problem ten jest w zasadzie bardzo skomplikowany, gdyż występują w nim liczne czynniki, czasem niezupełnie zrozumiałe, słabo znane i trudne do uwzględnienia. Natomiast można w nich wprowadzić roz­ sądne uproszczenia nie zmieniające zasadniczego charakteru przebie­ gu zjawiska. Przyjmujemy więc następujące, upraszczające założeniat - wektory prędkości kątowych rotacji Ziemi i ruchu obiegowego Księ­

Ziemia-Kisiężyc

243

- zaniedbujemy ruch roticyjny Księżyca, - zaniedbujemy energię pływów słonecznych,

- zaniedbujemy wszystkie oddziaływania pochodzące od innych ciał niebieskich,

- zaniedbujemy efekty meteorologiczne i procesy wewnątrz Ziemi. Bierzemy więc pod uwagę tylko podstawowe ruchy dynamiczne, miano­ wicie ruch wirowy Ziemi oraz ruch obiegowy Księżyca wokół n ie j.

Konstruujemy dwie podstawowe całki: momentu pędu oraz energii mechanicznej układu Ziemia-Księżyc.Całka momentu pędu JQ ma postać:

Mm

2

J 0 = Io> + M + m R ^ 1 '

0 ,

gdzie I oznacza moment bezwładności Ziemi względem osi obrotu, u) - prędkość rotacji Ziemi, M - masę Ziemi, m - masę Księżyca, R - śred­

nią odległość Ziemia-Księżyc, - prędkość kątową Księżyca w ru­

chu obiegowym. Trzecie prawo Keplera wymaga, aby:

cj£ R3 = G(M + m) , (2)

gdzie G jest stałą grawitacji. Wreszcie całka energii E składa się z kinetycznej energii rotacji Ziemi oraz kinetycznej i potencjalnej energii Księżyca:

p 1 T r i 2 . 1 Mh i T ł 2 r > 2 G M m

E = 2 1 * ł 2 H T i R L ’ (5)

gdzie E jest wartością stopniowo zmniejszającą się wskutek rozpra­ szania się energii pływów. Przechodzi ona bezpowrotnie w energię cieplną wnętrza Ziemi. Ocena wielkości tego zjawiska wymaga różnych założeń i jest mało dokładna.Ogólnie przyjmuje się ( T u r c o t t e i in. 1977), że moment sił działający na Ziemię, a wynikający z pły­ wów księżycowych, spełnia zależność:

N = N0 (R0 / R ) 6 , (4)

gdzie Nq jest obecną wartością momentu s ił , a RQ aktualną odległo­ ścią Księżyca od Ziemi. Moment sił jest związany ze zmianą prędkości kątowej Ziemi zależnością:

244 B. Cz a pie w ska , M. Bie l ick i

Z d w óc h o s t a t n i c h zależ n ośc i o t r z y m u j e m y związek m i ę d z y zmianą p r ę d k o ś c i ką towej a od ległością:

d uj / d u \ /R \ 6

( 6) g dzie ( d < j/ dt)0 jest o b e c n y m p r z y s p i e s z e n i e m r otacji Ziemi. Łącząc r ówn a n i a (1), (2) i (6) znajdujemy, że: dR /<JR\ /R

\ 11^2

d t - ( d t K ^ )

•

₁₇₁

g dzie tQ jest czasem, gdy R — *- 0.

Z p o w y ż s z y c h z a le ż noś c i m o ż n a w y zn a c z y ć liczbę dni słonec zny ch w mie s i ą c u k s i ę ż y c o w y m i w roku. M i a n o w i c i e d ługość r o k u jest dana p rze z :

Ty = 27T

_/Q

g dz i e Si jest p r ę d k o ś c i ą k ą t o w ą r uchu Ziemi w o k ó ł Słońca. Długość m i e s i ą c a k si ę ż y c o w e g o w y n o s i z kolei:

TLM = 297/( ), (10)

zaś d ługość d n i a słonecznego:

T sd = 2jt /( cu - G ) . (11)

Ł ą c z ą c teraz (9) i (11) z (1) i i 2) otrzym ujem y: 1/2

- 1, (1 2)

T v Mm / RG

i o

T SD I£2 IQ \ M + m

skąd wynika, że l i czb a dni w roku m a le j e m o n o t oni cznie . Z trzec h r oz w a ż a n y c h tu okres ó w czasu (dzień, mi esi ą c i rok) dwa p i e r w s z e zmieniają się, a ost at ni m o ż n a uw a ż a ć za stały. W r e z u l t a c i e d ł u ­ gość dn i a słonecznego stale rośnie.

Ziemia-Księżyc 245 Łącząc w podobny sposób (10) i (11) z (1) i (2) otrzymujemy liczbę dni słonecznych w miesiącu kBiężycowym:

We wzorze tym zarówno licznik Jak i mianownik z upływem czasu zwiększa swoją wartość i trudno jest od razu coś orzec o wartości całego ułamka. Dokładniejsza analiza wykazuje, że liczba dni w mie­ siącu osiąga maksimum, które można wyznaczyć podstawiwszy stosowne wartości liczbowe. Wyposi ono ok. 31.5 i jest osiągane przy stosun­ ku R/R0 = 0.85. Rzuca to ciekawe światło na ewolucję układu Ziemia-

-Księżyc, gdyż maksimum to nastąpiło w przeszłości i obecnie liczba dni w miesiącu maleje, aczkolwiek musiała być bardzo mała w odpo­ wiednio odległej przeszłości.

4. 0BSERW0WA1N0ŚĆ PARAMETRÓW EWOLUCJI UKŁADU ZIEMIA-KSIĘŻYC Z przedstawionych tu praw zachowania momentu pędu i energii me­ chanicznej układu Ziemia-Księżyc można wyciągnąć wnioski co do nie­ których właściwości przyrodniczych tego układu możliwych do bezpo­ średniego wyznaczenia. Mogą nimi być:

- liczba dni słonecznych w roku,

- liczba dni słonecznych w miesiącu księżycowym, - odległość i tempo oddalania się Księżyca od Ziemi, - oszacowanie dynamiki fal pływowych,

- przyspieszenie ruchu Księżyca.

Rozmaita jest zarówno dostępność tych parametrów jak i ich do­ kładność wewnętrzna oraz przedziały czasu, których dotyczą (rys. 5). W ogólności ruch wirowy Ziemi podlega różnym zmianom, z których najbardziej interesujące są systematyczne. Zasadniczą przyczyną tych zmian (poza innymi małymi, jak osiadanie na Ziemi materii meteory­ towej, ucieczka gazów z atmosfery itd.) jest działanie różnicowe grawitacji Księżyca wywołujące pływy w litosferze, hydrosferze i atmosferze Ziemi. Obecnie największe znaczenie mają pływy ocea­ niczne. Wskutek ich działania część energii ruchu wirowego Ziemi

zmienia się w ciepło. Maleje więc prędkość ruchu wirowego Ziemi, jak również ruchu obiegowego Księżyca, gdyż Księżyc stopniowo

odda-RG \1//2 1

(13)

(

246

Rys. 5. Wykres zależności wyznaczeń przyspieszenia księżycowego od czasu opracowania (1920-1978), wraz z błędami średnimi

la się od Ziemi. Analogiczne rozumowanie można by w zasadzie prze­ prowadzić też w odniesieniu do układu Słońce-Ziemia, ale z powodu wielkiej odległości obu ciał efekt ten można zaniedbać. Zwróćmy więc uwagę, że obecnie długość doby i okres obiegu Księżyca nieustannie powoli rosną, gdy mierzyć je stałymi jednostkami czasu.

5. WYZNACZENIA PRZYSPIESZENIA KSIĘŻYCA

Zgodnie z rozumowaniem przedstawionym w poprzednim rozdziale, mierzalnym parametrem charakteryzującym tempo przebiegu całego zja­ wiska, jest tzw• przyspieszenie księżycowe. Jest ono zwykle wyraża­ ne w sekundach łuku na wiek2, może być mierzone zarówno względem czasu efemerydalnego jak i atomowego, wreszcie może być wyznaczane na podstawie zjawisk astronomicznych sprzed dwóch i więcej tysięcy lat oraz zupełnie współczesnych ( S t e p h e n s o n 1981; B r z e z i ń s k i 1980; T u r c o t t e i in. 1977; S t e p

-Ziemia-Księżyc 247 h e n e o n i, C l a r k 1978). Chociaż pierwsze próby obserwa­ cji i wyjaśnienia przyspieszenia ruchu obiegowego Księżyca podjęte zostały prawie 300 lat temu, to dopiero w 1920 r. otrzymano wiary­ godne rezultaty. Z czasem zwiększyły się możliwości badawcze i uzy­ skiwano coraz dokładniejsze dane w tej dziedzinie. Wykorzystywano przy tym starożytne obserwacje zaćmień Słońca i inne obserwacje astronomiczne, a ostatnio sięgnięto też do badań laserowych Księży­ ca. W tabeli 1 zestawiono chronologicznie wszystkie ważniejsze wy­ niki, a dla zobrazowania przebiegu wyników w czasie skonstruowano wykres przyspieszenia z zaznaczeniem błędów średnich (rys. 5). War­ tości przyspieszenia księżycowego podane w tabeli i przedstawione na wykresie można zamienić na inne parametry ewolucji układu Zie- mia-Księżyc. Można mianowicie powiązać je analitycznie i numerycz­ nie tak, by otrzymać tempo utraty energii ruchu wirowego Ziemi oraz prędkość oddalania się Księżyca: ń = -7.63E oraz r = -0.148ń, gdzie

p

ń jest przyspieszeniem Księżyca (w jednostkach "/wiek ), r prędkoś­ cią jego oddalania się od Ziemi (w cm/rok), a Etempem utraty energii (w jednostkach 101^ erg/s) ( T u r c o t t e i in. 1977; S t e p ­ h e n s o n 1981). Niezależnie od bezpośrednich wyznaczeń przy­ spieszenia ruchu Księżyca możliwe są pomiary dysypacji energii przez pływy oceaniczne, a z nich można pośrednimi metodami oceniać przyspieszenie. W ten sposób otrzymano ostatnio wartość przyspiesze­ nia -30.6±3.1. Również ruch sztucznych satelitów Ziemi pozwala przez

swoje perturbacje ocenić pływy oceaniczne - tak otrzymano wartości przyspieszenia -27.3±5.2, a w innym przypadku -27.4±3.

Ze względu na możliwość zmienności stałej grawitacji G możemy napisać:

Opływowe = ńET oraz ^całkowite = ’"AT* ^ co oznacza dwie możliwości obserwacji: względem czasu efemerydalne- go ET i atomowego AT. Ale ogólnie jest ( S t e p h e n s o n 1981):

G/G = (f/n) (ńAT - ńET), (15)

gdzie f jest czynnikiem rzędu jedności, którego wielkość i znak za­ leżą od przyjętej kosmologii. Biorąc pod uwagę nasze zestawienia liczbowe ( S t e p h e n s o n 1981), otrzymujemy średnie ważone: ńgp = (-31.5±2.3)"/wiek2 i ńAT = (-33.0±3.7)"/wiek2, skąd:

248 B. Czapiewska, M. Bielicki

T a b e l a 1

Wyznaczenia przyspieszenia księżycowego ń

Autor Rok Obserwacje

Rezultat sek. łuku

wiek^ Fotheringham 1920 staroż. obs. orbity

Księżyca

staroż. obs. rotacji Ziemi

-26.1 -20.2 + + 2.6 2.0 de Sitter 1927 staroż. obs. astr. -37.7 + _4.3

Spencer - Jones 1939 nowoż. obs. astr. -22.4 + 1.1 Clemence 1948 staroż. obs. astr. -17.9 + _4.3

Murray 1957 staroż. obs. astr. -42.3 + 6.1 Newton 1968 staroż. obs. astr. -20.1 + 2.6 Newton 1969 średniowieczne zaćmienia -42.3 + 6.1 Newton 1970 staroż. obs. astr.

-762 do 500 orbity Księżyca -41.6 + 4.3 Newton 1970 staroż. obs. astr.

od 500 rotacja Ziemi -22.5

+ _1.0

Newton 1970 staroż. obs. astr.

-762 do 500 rotacji Ziemi -27.7 + 4.3

Van F l a n d e m 1970 zakrycia -52 + ₁₆

Oesterwinter i Cohen 1972 koło południkowe -38 + ₈

Morrison 1973 zakrycia gwiazd przez

Księżyc -42.3 + 6.1

Muller i Stephenson 1975 staroż. zaćmienia -37.5 + 5.0 Morrison i Ward 1975 przejścia Merkurego -26.0 + ₂

Muller 1975 staroż. zaćmienia -34.5 + ₃

Van F l a n d e m 1975 zakrycia -65.0 + ₁₈

Van F l a n d e m 1975 zakrycia -52 + ₉

Lambeck 1975 zakrycia -35.0 + _4.0

Morrison i Ward 1975 zakrycia -26.0 + 3.0

Morrison i Ward 1975 przejścia Merkurego -27.2 + _1.8

Muller 1976 staroż. zaćmienia -30 + ₃

Van F l a n d e m 1976 nowoż. obs. astr. -35.0 + _5.0

Van Flandern 1976 nowoż. obs. astr. -38 + 6

Lambeck 1977 pływy oceaniczne -30.6 + _3.1

lambeck 1977 sztuczne satelity -27.3 + 5.2

Van Flandern 1978 zakrycia -36 + ₅

Goud i Daglas 1978 sztuczne satelity -27.4 + ₃

Calame i Mullholland 1978 laser -24.6 + ₅

Ziemia-Księżyc 249 Wynikałoby,z tego, że stała grawitacji G, w granicach dokładności naszych obecnych rozważań, jest niezmienna w czasie i to bez względu na dobór czynnika f. Istnieją też, co prawda, rezultaty trochę odmienne,np.(-8±5) x 10"11 rok"1 ( S t e p h e n s o n i C l a r k 1978), lub (-7.5i2.7) x 10 11 rok”1 ( S t e p h e n s o n 1981). Także różne metody wyznaczania G/G dają nieco różne wyniki - np. dla f = 1/2 z radarowych obserwacji planet otrzymano (-6±4) x 10-11 (z obserwacji Merkurego), (-6+6) x 10“11 (Wenus) i (—25±33) x 10-11 rok”1 (Marsa). Skonfrontowanie ze sobą wszystkich wyników, metod obserwacyjnych i możliwych czynników przyrodniczych wydaje się po­ twierdzać stałość G w czasie wystarczającą dla naszych rozważań, w każdym razie z dokładnością rzędu 10-10. Niemniej jednak dalsze tego rodzaju badania i obserwacje mogą być bardzo interesujące (S a b b a t a 1980; L y t t l e t o n i F i t c h 1978).

Ogólnie biorąc, ze wszystkich dotychczasowych badań wynikałaby wartość ń = 30"/wiek , co daje r = 4 cm/rok. Oczywiście dotyczy to epoki obecnej. Odnośnie do przeszłości wyniki te są bardzo niepewne, aczkolwiek świadczą o tym, że jeden czy dwa miliardy lat temu Księ­ życ mógł być bardzo blisko Ziemi.

6. ANALIZA WYZNACZEŃ PRZYSPIESZENIA KSIĘŻYCOWEGO

i

Analizując dokładniej naszą tabelę rezultatów obserwacji ń, można zauważyć bardzo ciekawe i istotne cechy wyników. Mianowicie zgodnie z przewidywaniami dokładność rezultatów wzrasta nie tylko dzięki zwiększaniu się precyzji obserwacji, ale również w wyniku zastosowania lepszych, bardziej prawidłowych metod opracowań oraz lepszych danych astronomicznych i innych. Widać to szczególnie już w drugiej połowie lat 70. obecnego wieku.

Natomiast zaskakującym, ale niewątpliwym zjawiskiem jest fakt, że sama wartość przyspieszenia Księżyca prawie systematycznie male­ je w miarę „wzrostu" daty opracowania (rys. 6 i tab. 2). Przyczyna tego zjawiska jest ogólnie trudna do uchwycenia, ale może się mie­ ścić w systematycznym wpływie używania coraz dokładniejszych danych astrometrycznych, orbitalnych itd. ( S t e p h e n s o n i C l a r k 1978). Gdybyśmy chcieli odpowiedzieć na pytanie, dokąd ten proces pozornego zmniejszania się wartości ń w czasie zmierza, należałoby próbować ocenić kształt krzywej demonstrującej to zjawisko. Nawet pobieżne określenie tej krzywej,przechodzącej przez

probabilistycz-250 B. Czapiewska, M. Bielicki

Rys. 6. Wykres zależności średnich rocznych przyspieszenia księży­ cowego od czasu opracowania (1970-1978), wraz z błędami średnimi

T a b e l a 2

Średnie roczne wartości przyspieszenia księżycowego

Rok Średnia wartość ważona sek.łuku wiek^ Błąd średni średniej ważonej 1968 1 CV_J 0 • _{2 . 6} 1969 t41. 8 3 . 5 1970 - 2 3 . 9 0 . 9 1972 - 3 8 . 0 7 . 9 1973 -4 2 . 3 6 . 1 1975 - 3 0 . 2 1. 1 1976 -3 2 . 4 2 . 4 1977 -2 9 . 7 2 . 7 1978 -2 7 . 4 2 . 0

Ziemia-Księżyc 251 ne odcinki dotychczasowych wyników i zapewniającej utrzymywanie się stałej wartości w rozsądnym czasie, daje bardzo ciekawy wynik. Otrzymujemy wartość graniczną r = 2.5 cm/rok, czyli ń = 17"/wiek2 , a więc wyraźnie mniejszą od średniej uzyskanej z badań typu astro­ nomicznego. Przy tej wartości szybkości oddalania się Księżyca od Ziemi otrzymujemy około dwukrotne wydłużenie się czasu trwania ca­ łego zjawiska. Mogłoby z tego wynikać, że Księżyc był bardzo blisko Ziemi, ale ok. 3 mld lat temu.

Dla pewnego matematycznego poparcia naszych rozważań przez obserwacje przeprowadzono empiryczną krzywą o równaniu:

y = a + b + c _ a(x - d)2 + b(x - d) + c x - d (x - d)2 (x - d)2

gdzie y oznacza przyspieszenie księżycowe, x epokę opracowania, zaś a, b, c i d są parametrami krzywej. Otrzymano następujące wyniki. W pierwszym przypadku krzywej dotyczącej okresu 1975-1978 wzięto pod uwagę pomiary z opracowań 1975 r. w liczbie osiem, z 1976 r. trzy pomiary, z 1977 - dwa i z 1978 - cztery (razem 17). Otrzymano graniczne przyspieszenie ru-dhu Księżyca (17.6±0.8)"/wiek , skąd r = (2.6i0.12) cm/rok. Jest to wynik zbliżony do niektórych pomia­ rów astronomicznych, a w szczególności do najnowszych pomiarów la­ serowych. Dla sprawdzenia tego wyniku przeprowadzono analogiczne rozważania dla 13 pomiarów z lat 1970-1978. W tym przypadku użyto cztery pomiary z 1970 r., po jednym z lat 1972 i 1973, z 1976 - trzy i z 1979 - cztery. Dały one w rezultacie ń = (15.8+0.8)"/wiek2, a więc wartość wystarczająco zbliżoną do poprzedniej.

7. OKRESOWOŚĆ WZROSTU KORALOWCÓW

Zarówno w przyrodzie żywej jak i nieożywionej obserwujemy rytmy różnych typów i o różnej częstości. Zajmiemy się tylko niektórymi z nich, a w szczególności ich związkiem z ewolucją układu Ziemia- -Księżyc. Chodzi nam o znane zjawisko dopasowania się rytmów biolo­ gicznych do kosmicznych, działających przede wszystkim na żywą przyrodę naszej Ziemi. Można tu rozważać zjawiska dnia i nocy (ruch wirowy Ziemi), pływy mórz (działanie Księżyca), 'pory roku (obieg Ziemi wokół Słońca), 11-letni cykl związany z aktywnością słoneczną itd. Przyroda żywa podlega tym rytmom w rozmaity sposób oraz utrwa­ la ich działanie. Dzięki temu możemy prześledzić zmiany tych rytmów

252

oraz ich wzajemnych stosunków w długim czasie. Przedstawimyw skrócie wyniki obecnych dociekań dotyczących prehistorii rytmów dnia i nocy, miesiąca księżycowego i roku słonecznego, czyli próbujących stwier­ dzić, jakie były stosunki między długościami tych podstawowych ryt­ mów przyrody nieożywionej. Spróbujemy wyciągnąć z tego pewne wnioski

co do odległej przeszłości Ziemi, Księżyca i układu Ziemia-Księżyc. Obecnie zajmiemy się obserwacyjną stroną powiązań między rytmami biologicznymi a kosmicznymi.

Otóż skamieliny archaicznych żyjątek (stromatolites) pozwalają określić dawne liczby dniw miesiącu księżycowym oraz epokę,w której to było. Istnieje bowiem obserwacyjna możliwość wyznaczenia liczby przyrostów dziennych w szkieletach tych żyjątek pomiędzy kolejnymi maksimami przyrostów. One zaś są zależne od wielkości pływów księ­ życowych, czyli od odległości Księżyca od Ziemi, a więc powtarzają się w okresie miesięcznym. Metoda ta jest tym sprawniejsza, im bar­ dziej eliptyczna i bliższa Ziemi jest orbita Księżyca, zatem lepiej działa w dawniejszych epokach ewolucji układu Ziemia-Księżyc. Ze względu na ogromne trudności obserwacyjne, zarówno w wyznaczaniu liczb przyrostów dziennych, jak i w określaniu epok temu odpowiada­

jących, konieczne jest zastosowanie metod statystycznych przy opra­ cowaniu zliczeń tych przyrostów, jpbserwacyjne dane dotyczące tego zagadnienia przedstawia rys. 7.

Dokładniejsze wyznaczenia położenia lokalnych maksimów w roz­ kładach częstości zjawiska prowadzą do ciekawych rezultatów. Otrzy­ mujemy bowiem dla epok odległej przeszłości 510, 1100, 1750, 2000

i 2800 min lat temu średnie wartości liczby dni słonecznych w mie^ siącu księżycowym odpowiednio 31, 30.5, 32, 25 i 18 (rys. 8). Biorąc pod uwagę zależności (8)- i (13) można przez te obserwacje przepro­ wadzić krzywą ilustrującą przebieg liczby dni słonecznych w miesią­ cu księżycowym w czasie. Widzimy, że liczba ta cofając się od obec­ nej wartości 29.5 rośnie powoli do 3L1.5, osiągając to maksimum ok. 2.5 mld lat temu. Następnie zaczyna ona maleć coraz szybciej prze­ chodząc 2.8 mld lat temu przez wartość ok. 18. Dalej spadek wydaje się być jeszcze gwałtowniejszy, zachowując się krytycznie w epoce 2.85 mld lat temu.

Jest to epoka odpowiadająca wielkim i gwałtownym zmianom w układzie Ziemia-Księżyc. Wtedy bowiem należy oczekiwać -dużego zbliżenia Księżyca i związanych z tym zjawisk wynikających z kosmo- gonii Ziemi, Księżyca i ich układu. Dla tej też epoki należałoby

Ziemia-Księżyc 253

dni iJon. * fniet,. księżyc.

t

Rys. 7. Zliczenia periodyczności stromatolites w dawnych epokach

Rys. 8. Wyniki periodyczności stromatolites oraz krzywa interpo­ lacyjna

254 B. Czapiewska, M. Bielicki

szukać pozostałości po zjawiskach, które wtedy niewątpliwie musiały zachodzić. Konsekwencją powyższych rozważań są zależności od czasu takich wielkości jak średnia odległość Księżyca oraz liczba dni słonecznych w roku - przedstawione są one na rys. 9 i 10. Z wykre­ sów wynika, że odległość Księżyca, obecnie wynosząca 60 promieni ziemskich, była w dawnych epokach znacznie mniejsza, tak że 2 mld lat temu wynosiła ok. 50 promieni, a 2.8 mld lat temu zaledwie ok. 20. Zatem działanie pływowe Księżyca na Ziemię było wtedy o wiele potężniejsze niż obecnie.

Również doba ziemska była wówczas znacznie krótsza niż teraz. Około 2 mld lat temu liczyła ona 17 dzisiejszych godzin, a 2.5 mld lat temu zaledwie 12. Z powyższych rozważań wynika również obecna prędkość oddalania się Księżyca. Wynosi ona 2.08 cm/rok, utrata energii uwarunkowana pływami wynosi 1.85 x 101^ erg/s, wreszcie

2

przyspieszenie w ruchu Księżyca 15"/wiek .

8. ZAPISY GEOLOGICZNE I SELENOLOGICZNE

Z dużym prawdopodobieństwem można związać niektóre zjawiska za­ chodzące dawno na Ziemi i Księżycu z krytyczną epoką 2.85 mld lat temu. W przyrodzie nieożywionej dają się obserwować następujące przemiany ewolucyjne:

- ważna zmiana w ewolucji płyt kontynentalnych 2.7 mld lat temu, - zanik plutonu w skorupie ziemskiej - 2.9-2.4 mld lat,

- okres archaicznego wulkanizmu i wysokiej temperatury - 2.9 mld lat. Z kolei badania powierzchni Księżyca przez załogi statków Apol­ lo dostarczyły informacji dotyczących epoki wypełniania się basenów mórz wskutek działania wulkanizmu księżycowego. Działo się to ok. 3.8-3.1 mld lat temu. W tym też czasie mogła nastąpić zmiana elip- tyczności orbity Księżyca, mianowicie silnie eliptyczna orbita zmieniła się na kołową, jak również zmieniła swą orientację.

9. ZAPISY BIOLOGICZNE

Z powyższymi faktami można również powiązać niektóre zapisy biologiczne, nawet dotyczące początku życia na Ziemi. Tak np. wyda­

je się, że pierwsze ślady życia pochodzą sprzed 3.0-3.3 mld lat z niepewnością oceny co do aktywności biologicznej. Pomimo trudności w sformułowaniu definicji życia, można przyjąć, że powstało ono

Ziemia-Księżyc ₂₅₅ niewiele wcześniej niż 3.0 mld lat temu. Jego ślady przed tą epoką

są bardzo niewyraźne i niepewne. Wyraźne ślady możemy zaobserwować w okresie 3.0-2.8 mld lat temu. Wtedy pojawiły się pierwotne orga­ nizmy, jak np. actinomyces, clastridia, halobakterie i in. W sumie w początkach ewolucji życia na Ziemi można wyróżnić charaktery­

styczne epoki: 3 mld lat temu --protobiony, 2.9 mld - bakterie bez- powietrzne, 2.4 mld - bakterie fotosyntetyczne, 1.9 mld - algi nie­ bieskie, 1.4 mld lat - algi zielone ( D e l s e m m e 1981). F&kty te mogą z dużym prawdopodobieństwem potwierdzać hipotezę, że drama­ tyczne zbliżenie się Księżyca do Ziemi nastąpiło niedługo przed 3 mld lat, jak również, że odpowiada to rezultatom otrzymanym z badań stromatolites ( D e l s e m m e 1981).

Powiązanie zapisów biologicznych z ewolucją układu Ziemia-Księ­ życ doprowadziło do powstania nowych poglądów na początki życia na Ziemi i jego rozwój. Istnieje hipoteza, że życia na Ziemi narodziło się dwa razy: raz-przed i drugi raz po zbliżeniu się Księżyca.Przy­ puszcza się również, że zbliżenie się Księżyca grało główną rolę w powstaniu życia przez wytworzenie odpowiednich warunków na Ziemi, czyli że ta swego rodzaju katastrofa mogła być potrzebna dla pow­ stania życia obecnego. Dotychczas uważano, że jest ono wytworem długiego okresu przedbiologicznej ewolucjiw dość stałych warunkach. Obecnie można przypuszczać, że pojawiło się w krótkim okresie szczególnych warunków wywołanych przez silne zbliżenie Księżyca do Ziemi.

10. NAJPRAWDOPODOBNIEJSZE WNIOSKI OGÓLNE

Biorąc pod uwagę wszystkie nasze rozważania dotyczące zasadni­ czych cech ewolucyjnych układu Ziemia-Księżyc, można wyciągnąć pew­ ne - mniej lub bardziej prawdopodobne - wnioski, co do przebiegu zdarzeń w tym układzie. Można przyjąć jako hipotezę roboczą nastę­ pujący scenariusz: Księżyc, w końcowym stadium akrecji ok. 4.6 mld lat temu, wszedł na orbitę okołosłoneczną wraz z Ziemią jako podwój­ na planeta.Takie „schwytanie" Księżyca spowodowało, że jego ówczesna orbita była wsteczna i dość obszerna - ok. 100 promieni ziemskich. Globy Ziemi i Księżyca były wówczas dość gorące, tarcie pływowe du­ że i rozpraszanie energii układu powodowało zbliżanie się Księżyca do Ziemi (rys. 9) i zwiększanie się nachylenia jego orbity do płaszczyzny równika ziemskiego. Silne oddziaływanie między Ziemią

256 B. Czapiewska, M. Bielicki

Rys. 9. Zależność odległości Ziemia-Księżyc od czasu

i Księżycem zachodziło w dość długim okresie, ok. 3.8-2.8 mld lat temu. Grzanie pływowe wywołało na Ziemi wulkanizm archaiczny, a na Księżycu wypełnienie basenów morskich magmą. Na Ziemi zachodziło wtedy tworzenie się płyt tektonicznych. Ciepło wywiązane podczas zbliżenia się Księżyca do Ziemi odegrało ważną rolę w powstaniu ży­ cia; pojawiło się ono albo po odpowiednim „przygotowaniu" Ziemi przez zbliżenie się Księżyca, albo jeszcze przed zbliżeniem, ale wtedy zostałoby zniszczone wskutek wysokiej temperatury panującej podczas zbliżenia. W tej kwestii dane paleobiologii są jeszcze nie­ pewne. To późniejsze powstanie życia nastąpiłoby ok. 2.85 mld lat

temu, a więc dość szybko po katastrofalnym zbliżeniu Księżyca. Od tej epoki do dziś rozwój życia przebiega już w sposób ciągły. Dość niepewna wydaje się historia układu Ziemia-Księżyc w okresie wza­

jemnego zbliżenia.Istnieją tu różne możliwości oddziaływania mecha­ nicznego, np. rezonansów itd. Przypuszcza się wreszcie, że 2.85 mld

lat temu Księżyc wszedł na orbitę o ruchu prostym, czyli przeżył silną jakościową zmianę wskutek działania potężnych sił przypływo­ wych podczas zbliżenia do Ziemi (na kilka promieni ziemskich). Wtedy płaszczyzna orbity Księżyca przechylała się ciągle w tym samym kie­ runku i stąd zmiana kierunku ruchu. Od tego czasu Kśiężyc zaczął oddalać się od Ziemi, a jej rotacja ulegała dalszemu zwalnianiu

Ziemia-Księżyc

---7

---257

O

---

---

---

0 1 2 . M O Lat

Rys. 10. Zależność liczby dni słonecznych w roku oa czasu

T a b e l a 3

Zestawienie wyników metod badawczych obecnej ewolucji układu Ziemia-Księżyc Źródła Utrata energii <1° 19 s . > Przyspiesz. Księżyca j sek.łukuj wiek2 Oddalanie się Księżyca od Ziemi (cm/rok) z błędem średnim 1. Obserwacje astr. wg ET 4.13 0.30 31.5 2.3 4.66 0.34 2. Stromatolites 1.85 0.18 14.06 1.4 2.08 0.20 3. Obserwacje astr. wg AT 4.32 0.49 33.0 3.7 4.88 0.55 4. Obserwacje laser. Księżyca 3.17 0.59 24.2 4.5 3.58 0.67

5. „Ek s trapolac ja" 1975-1978

2.31 0.10 17.6 0.8 2.60 0.12

6. „Ekstrapolacja"

1970-1978

2.07 0.09 15.8 0.7 2.34 0.10

W ten sposób stan obecny układu Ziemia-Księżyc jest wyraźną

konsekwencją powyższych przypuszczeń, dotyczących etapów wcześniej­ szych ewolucji.

258 B. Czapiewska, M. Bielicki

Wyniki wyznaczeń przyspieszenia Księżyca i jego prędkości odda­ lania się, uzyskane rozmaitymi metodami, zebrane są w tab. ^ Obser­ wacje paleobiologiczne, mimo stosunkowo niewielkiej ich dokładności i pewności użycia w stosunku do innych, zasługują na wzięcie pod uwagę, gdyż sięgają do początku interesującego nas okresu ewolucyj­ nego, tj. do ok. 3 mld lat temu (rys. 11). Dlatego wydaje się, że one najlepiej przedstawiają pradawne dzieje układu Ziemia-Księżyc. Różnicę pomiędzy wynikiem otrzymanym metodami paleobiologicznymi, paleogeologieznymi i paleoselenologicznymi (2 cm/rok), a uzyskanym metodami astronomicznymi (4 cm/rok), można by zredukować w podobny sposób, jak zrobiono to w rozdz. 5 i 6. Otrzymujemy wtedy ekstrapo- lowaną wartość 2.3 cm/rok jako prędkość oddalania się Księżyca, co

p

jest równoważne przyspieszeniu jego ruchu 16"/wiek .

la t wśttcz 5*10

Rys. 11. Zakresy badawcze różnych metod obserwacji ewolucji układu Ziemia-Księżyc

LITERATURA

A l f v e n H., A r r h e n i u s G., 1976, Evolution of the Solar System.

B r z e z i ń s k i A., 1980, Post. Astr. 28, 3. D e l s e m m e A. H., 1981, L ’Astronomie, 95. E 1-B a z F., 1975, Icarus, 25, 4.

L y t t l e t o n R .A., F i t c h J.P., 1978, The Moon and the Planets, 18, 2.

S a b b a t a V. de, 1980, Acta Cosmologica, 9, 63.

S t e p h e n s o n F. R., 1981, Joum. of the British Astron. Assoc., 91.

S t e p h e n s o n F. R., C l a r k D. H., 1978, Applications of the Early Astronomical Records, 4.

T u r c o t t e D. L., C i s n e J. L., N o r d m a n J. C., 1977, Icarus, 30, 2.

„Postępy Astronomii" Tom XXX (1 9 8 2 ). Zeszyt 3-4

0 STABILNOŚCI UKŁADU SŁONECZNEGO

S T A N I S Ł A W K A S P E R C Z U K

Zakład Fizyki Politechniki Świętokrzyskiej w Kielcach OB yCTOtftKBOCTH COJIHEMHOtt CHCTEMU

C. K a o n 3 p i j k

C o j e p * a h m

IlpoCjieMa ycTOflyHBOCTM CojraewHofi CMCTeuu onpeaeJieHa JlanjiacoM BO BTOpoJł nOJIOBMH₀ X V III B 6 K 3 , B H0(5eCHOił M03C8HMK6 BbICTynaeT KaK TeopeMa JlarpaHsa. CTaTBH hbjih6Tch nonuTicoft npeflCTaBJieHMH coBpeueH- Horo COCTOHHMH CBefleHHft 0(5 yCTOttaHBOCTM C0JIH6tIH0fó CMCT6MU.

» ON THE STABILITY OF THE SOLAR SYSTEM

S u m m a r y

The problem of the Solar System stability being defined by Laplace and Lagrange in the second half of the 18-th century, in celestial mechanics appears as Lagrange's theorem. The article is the attempt of presentation of actual knowledge about the Solar System stability.

1. WSTĘP

Badanie trwałości Układu Słonecznego zapoczątkowali L a p l a ­ c e i L a g r a n g e . W latach 1773-1784 wykazali oni, że duże półosie orbit planet oraz ich ekscentryczności podlegają jedynie zmianom okresowym, je śli ograniczymy się do zaburzeń pierwszego rzędu. W roku 1809 P o i s s o n udowodnił, że w drugim przybliże­ niu nie ma członów wiekowych (postaci tk ) , natomiast występują wy­ razy mieszane (postaci t • cos t ) . Rozwiązania tego typu są stabilne jedynie w sensie Poissona, która to stabilność w przypadku Układu

260 S. Kasperczuk

Słonecznego nie jest zadowalająca. Dalsze wyliczenia wykazały, że w trzecim przybliżeniu teorii zaburzeń powinny występować wyrazy wiekowe. Jawną postać tego wyrażenia znalazł M e f f r o y (1955).

Pojawienie się wiekowych i mieszanych wyrazów może również świadczyć o wyborze niewłaściwej metody. P o i n c a r e ' (1892- -1899) wykazał, że można zbudować teorię perturbacji tak, aby do­ wolne przybliżenia zawierały wyłącznie szeregi trygonometryczne. Analizując otrzymane szeregi P o i n c a r e udowodnił ich roz­ bieżność, co spowodowało znaczne osłabienie zainteresowania proble­ mami teorii zaburzeń. W roku 1912 S u n d m a n (1912) udowodnił istnienie rozwiązania zagadnienia trzech ciał w postaci zbieżnych szeregów potęgowych, analitycznych dla dowolnej chwili czasu. W ro­ ku 1931 jeden z francuskich astronomów pokazał, że dla celów prak­ tycznych należy uwzględnić 10® 000 000 wyrazów tego szeregu, zatem więcej niż wynosi liczba protonów i neutronów we Wszechświecie.

Teoria zaburzeń pozwala przewidywać ruch planet na wiele lat z dowolną dokładnością, niemniej zagadnienia natury jakościowej, jakim jest problem stabilności Układu Słonecznego, rozwiązać nie potrafiła. Istotnym postępem w badaniu tego problemu była praca 26-letniego wówczas matematyka moskiewskiego,ucznia K o ł m o g o- r o w a , W. I. A r n o l d a ( 1963a). W cytowanej pracy, rozwi­ jając klasyczną teorię zaburzeń, udowodnił on zmodyfikowane twier­ dzenie Lagrange’a. Z twierdzenia tego wynika, że dla większości wa­ runków początkowych, przy założeniu, że masy planet i ekscentrycz- ności ich orbit są dostatecznie małe, istnieje ruch lagranżowski, od którego prawdziwy ruch różni się nieznacznie na nieskończenie długim odcinku czasu.

Problem stabilności układów dynamicznych Hamiltona właściwe ujęcie znalazł dopiero na gruncie teorii Kołmogorowa-Amolda-Mosera. Nie oznacza to bynajmniej, że możemy'definitywnie odpowiedzieć na pytanie, jaki los czeka nasz Układ Słoneczny. Warto przy okazji wspomnieć o kontrowersji między W e i e r s t r a s s e m a P o i n c a r e m , bezpośrednio związanej z omawianym zagadnieniem. W e i e r s t r a s s , zarówno w prowadzonych przez siebie wykła­

dach jak i w liście do K o w a l e w s k i e j , twierdził, że jest w stanie przedstawić ruch planet w postaci szeregów warunkowo okresowych, jednakże nie potrafi udowodnić zbieżność tych szeregów. Natomiast P o i n c a r e (1890) udowodnił, że w problemie trzech ciał ni,e ma innych całek pierwszych poza już znanymi. P o i n c

a-Stabilność Układu Słonecznego 261 r e' wykazał ponadto, że pociąga to za sobą nieistnienie rozwiązań warunkowo okresowych. Pomimo że praca ta była zgłoszona przez P o i n c a r e ' g o na konkurs, a jednym z trzech jurorów był W e i e r s t r a ę s , uzyskała jedną z dwóch równorzędnych nagród. Z prac K o ł m o g o r o w a , A r n o l d a i M o s ę r a w y ­ nika, że problem W e i e r s t r a s s a został rozwiązany pozy­ tywnie przy pewnych założeniach, tj. udowodniono istnienie tzw. zbioru kołmogorowskiego lub VAK ( A b r a h a m , M a r s d e n 1978). Potwierdziła się również słuszność twierdzenia P o i n c a-

r e g o o nieistnieniu globalnych całek pierwszych.

2. KLASYCZNA TEORIA ZABURZEŃ

Rozpatrzmy- konserwatywny układ dynamiczny Hamiltona z n stop­ niami swobody, określony przez kanoniczne równania ruchu:

p = - OH/ <9q, q = 3H/ 3p, (1)

gdzie p = (Pi,...,Pn ) , q = (q1f...»qn ) zaś H(p, q) jest analityczną funkcją Hamiltona. Klasyczne metody dynamiki pozwalają na badanie jedynie przypadków „całkowalnych". Przyjmijmy, że przestrzeń fazowa (p» <ł) jest iloczynem kartezjańskim n-wymiarowego torusa i n-wymia- rowej przestrzeni euklidesowej, przy czym niech będą kątowymi współrzędnymi na torusie, natomiast pk są współrzędnymi w przestrze­ ni Euklidesa. Jeśli funkcja Hamiltona zależy jedynie od zmiennych p, tzn. H = H(p), to równania ruchu są całkowalne. W tym przypadku równania Hamiltona (1) przyjmą postać:

p = 0 , q = w ( p ) , w — <?H/ dP = (w1,... ,wn ) (2) i są całkowalne. Każdy torus p = const jest niezmienniczy, jeśli częstości w są niewspółmierne, tzn. jeśli spełnione jest równanie:

< w

,

=

+ ... +

=

,

to k^ = 0, gdzie k^ są liczbami całkowitymi. Ruch po torusie nie- rezonansowym ma charakter warunkowo okresowy, a zmienne p, q noszą nazwę zmiennych działanie-kąt. Liczba zagadnień całkowalnych jest ograniczona. Głównym zadaniem dynamiki XIX w. było szukanie zagad­ nień całkowalnych. W związku z ukazaniem się prac P o i n c a r e - g o okazało się, że układy dynamiczne w ogólnym przypadku są

nie-262 S. Kaspe r czu k

całkowalne, p o n i e w a ż nie p o s i a d a j ą dostateczne,-) liczby całek p i e r w ­ szych, w o b ec czego t ra je ktorie nie leżą na ni e z m i e n n i c z y c h n- wymia- r o w y c h ro z m aitościach.

Pr z y j m ij m y, że u kład d y n a mi cz ny Ham i l t o n a różni się od układu c ałkowalnego m a ł y m zaburzeniem. W ó w c z a s f unkcja H a m i l t o n a układu zaburzonego może być z a pis a na w postaci:

H(p, q) = H Q (p) + e H 1(p, q) + ..., (3)

g d zie £ 1, H 1 jest an al ityczną funkcją p, q oraz okresow ą w z g l ę d e m q.

W celu p rz y b l i ż o n e g o b a d a n i a trajektorii układu zaburzonego (3) w a s tr o n o mi i już od d a w n a stosowane są specjalne m e tod y teorii za­ burzeń. Jeśli u d a ł o b y się znaleźć t ran sformację kanoniczną:

P, q — P ’, q \

dzięki której funk c j a H a m i l t o n a p r z y j ę ł a b y postać:

H(p, q) = H»(p») + £ 2H 1( p » , q«) + ..., (4)

to w p r z e d z i a l e c zasu rzędu 1/ 6 r uc h p ’(t), q'(t) będzie odbiegał od r uch u p(t), q(t) o w ie lk oś ć rz ędu e. G d y w y m a g a n a jest w i ę k s z a dokładność, m o ż n a wyk on ać n a s t ę p n ą t r a n s f o r m a c j ę :

P \ q' — P". q"

s p r o w a d z a j ąc ą H do po staci:

H( p , q) = H " (p »') + e ^ H ^ p " , q " ) + ...

O b e cni e odrz u cenie w funkcji H a m i l t o n a w y r a z ó w z abu rzają cyc h p o w o ­ duje p ow s t a n i e b ł ę d u rzędu e ^t. W p r z y p a d k u zbieżności k o l e j n y c h p r z y b l i ż e ń otrzymamy, że:

H(P, q ) = H ^ ( p (oo)) ,

skąd w y n i k a całkowalno ś ć układu.

W pr z e d s t a w i o n e j p r o c e d u r z e n a p o t y k a m y dwie zasad nicze t r u d ­ ności: m a łe dziel ni ki i roz bi eż no ść k o l e j n y c h p r z y b liżeń . Spróbujm y znaleźć trans fo rm ac ję ka no n i c z n ą p, q — •- p*, q» w postaci:

Stabilność Układu Słonecznego 263 z funkcją generującą S (p », q) = Sk(p») ei<^k ,q > . Funkcja H(p, q)

k^O

we współrzędnych p ’ , q ’ przyjmie zatem postać:

H (P , q) = H (p ') + -fi— f H J p , q)dq + £ ( <9 H / <?p)( d S/ ć?q) +

0 (2 7r)

J

~ 2

+ e H 1 +

£ + . . . ,

gdzie EL = H1 - / H1dq. W celu sprowadzenia funkcji Hamiltona

1 1 ( 2tt)

J 1

do postaci (4) należy spełnić warunek:

<w, <9S/ <9q> + H1 = 0 . (6)

Z warunku (6) znajdujemy postać funkcji tworzącej: v 1 hk ( P ł)

sk (P ł) = -T _{<w, k >}. > (?)

gdzie H1 = hk Dzielnik <w, k>, przy pewnych

rezonanso-k^O

wych wartościach wektora k, jest równy zero. W mechanice nieba od dawna znany jest związek małych dzielników z teorią perturbacji. W przypadku ruchu Jowisza i Saturna mamy następującą sytuację: ruch dzienny Jowisza w1 = 2 9 9 ", 1 , a Saturna w2 = 1 2 0 ",5 , dlatego wartości w.j, w2 są nieomal współmierne:

2 w 1 - 5 ^ 2 ^ 0 .

Wyrażenie mw1 + nw2 występuje jako dzielnik w szeregach teorii per­ turbacji, mających postać:

Z

L a p l a c e jako pierwszy wyliczył, że w ruchu Jowisza i Saturna występują duże zaburzenia długookresowe związane z małym d zie ln i­ kiem 2w1 - 5w2 .

Niezależnie od małych dzielników występuje problem rozbieżności kolejnych przybliżeń. Nadzieja na to , że zbieżność szeregów pertur­

264 S. Kasperczuk

przez S i e g e l a w 1952 r. W pracy tej ( S i e g e l 1952) udowodniono, że w ogólności wszystkie szeregi są rozbieżne. Jest to związane z faktem, że niezmiennicze rozmaitości, na których leżą trajektorie zaburzonego układu, nie zapełniają żadnego zbioru.

3 . 0 STABILNOSCI RUCHU PLANET

Rozpatrzmy n materialnych punktów (planet) o masach m^,...,!!^, które są małe w porównaniu z masą M ciała centralnego (Słońca). Niech wszystkie wymienione ciała oddziaływają ze sobą zgodnie z pra­ wem Newtona. W zerowym przybliżeniu można zaniedbać oddziaływania pomiędzy planetami oraz ciało centralne uważać za nieruchome. Przyj- mijmy dalej, że każda z planet porusza się po elipsie z ogniskiem w M w jednym kierunku.Zaburzenia pochodzące od oddziaływań pomiędzy planetami mogą w sposób istotny zmienić ich ruch.

Rozpatrzmy dla wygody płaski problem trzech ciał, wariant pla­ netarny, przy założeniu, że w chwili początkowej ekscentryczności e^ elips keplerowskich są małe. Niech położenie orbit planet na płaszczyźnie określają kąty g... Ruch zaburzony można opisać poprzez zmianę parametrów orbit keplerowskich e^, a^, g^. W pierwszym przy­ bliżeniu zmiany tych parametrów mają charakter okresowy z małymi amplitudami rzędu mas planet. W drugim przybliżeniu pojawiają się powolne wiekowe ruchy perihelium. Te powolne zmiany e^ i g^ mogą być przedstawione w następujący sposób. Będziemy charakteryzowali elipsę keplerowską wektorem Laplace*a skierowanym wzdłuż linii apsyd i o długości równej e^. Okazuje się, że dla każdej z planet wektor ten jest sumą dwóch równomiernie rotujących wektorów *3 = *31 + ®"j2* Prędkości kątowe s1, Sg wektorów e ^ i e ^ są małe oraz takie same dla obydwu planet. Duże półosie a^ nie wykazują zmian wiekowych. Ruch planet po zmieniających się w ten sposób orbitach nosi nazwę lagranżowskiego ( A r n o l d 1963b).

Z teorii zaburzeń wynika,że rzeczywisty ruch planet jest bliski lagranżowskiemu w przeciągu wielu obrotów wektorów e"^, przy zało­ żeniu, że masy i ekscentryczności planet są dostatecznie małe. W przestrzennym zagadnieniu elipsy keplerowskie określone są dodat­ kowo nachyleniem i^ oraz linią węzłów.Wiekowe zmiany tych wielkości określa się za pomocą wektora i^ skierowanego wzdłuż linii węzłów. Okazuje się, że wektor jest również sumą jednostajnie rotujących wektorów, przy czym ich liczba wynosi n-1, gdzie n jak poprzednio oznacza liczbę planet.

Stabilność Układu Słonecznego 265

A r n o l d (1963a) udowodnił, że jeśli masy, ekscentryczności i nachylenia planet są dostatecznie małe, to dla większości warun­ ków początkowych rzeczywisty ruch planet ma charakter warunkowo okresowy i nieznacznie odbiega od ruchu lagranżowskiego z odpowied­ nio dobranymi warunkami początkowymi w przeciągu dowolnie długiego czasu.

Wróćmy do układu dynamicznego Hamiltona z funkcją Hamiltona (3). A r n o l d (1963c) udowodnił, że w przestrzeni fazowej układu z hamiltonianem (3) istnieje zbiór składający się z n-wymiarowych torusów niezmienniczych leżących blisko torusów niezaburzonych. Zbiór ten został nazwany zbiorem kołmogorowskim ( N i e c h o r o - s z e w 1977) lub zbiorem VAK ( A b r a h a m , M a r s d e n 1978). Jest on zamknięty i nigdzie niegęsty. Niemniej zbiór ten zajmuje znaczną część przestrzeni fazowej oraz przy e — 0 roz­ przestrzenia się na całą przestrzeń fazową. Warunkiem koniecznym na istnienie zbioru kołmogorowskiego jest, aby chociaż jeden z wyznacz­ ników D ^ , D£, gdzie:

nie był tożsamościowo równy zeru.

Dla układów z dwoma stopniami swobody zostało udowodnione, że jeśli wyznacznik D2 nie znika, to wszystkie rozwiązania układu dy­ namicznego są wiecznie stabilne.

Początkowo wszystkie przytoczone wyżej rezultaty otrzymane były przy założeniu analityczności funkcji Hamiltona. M o s e r (1968) pokazał, że to żądanie można osłabić wymaganiem jedynie Istnienia skończonej liczby (333) pochodnych. Dzięki pracom R u s s m a n a (1970, 1972) liczba pochodnych została zmniejszona do sześciu. Następnie Z e h n d e r (1975, 1976) wykazał, że istnienie zbioru Kołmogorowa wynika z ogólnego twierdzenia o funkcji złożonej. Jednakże we wszystkich pracach dotyczących zbiorów VAK nie zajmowa­ no się przebiegiem rozwiązań w zbiorze dopełniającym do zbioru VAK w przypadku, gdy liczba stopni swobody n jest większa od dwóch. A r n o l d (1964) podał przykłady układów dynamicznych, dla których część rozwiązań oddala się dowolnie daleko od początkowych

D 1 = det( c?2Hq / dl2) ,

266 S. Kasperczuk

wartości. Efekt ten został nazwany dyfuzją Arnolda (Z a s ł a w- s k i , C z i r i k o w 1971). Przedział czasu, dla którego punkt p(t) dla otrzymanych w pracy A r n o l d a niestabilnych rozwią­

zań znajduje się w małej odległości od p(0), rośnie eksponencjalnie ze zmniejszaniem się zaburzenia.W związku z tym A r n o l d ( 1966) wysunął przypuszczenie, że dla układów dynamicznych Hamiltona z funk­

cją Hamiltona w ogólnej postaci dla wszystkich warunków początko­ wych czas przebywania punktu p(t) w pobliżu p(0) rośnie szybciej niż dowolny stopień 1/e . Przypuszczenie to potwierdziło się, N i e c h o r o s z e w (1977) udowodnił, że jeżeli funkcja HQ spełnia pewne warunki, to istnieją dodatnie liczby a, b, e Q speł­ niające następujące warunki:

„b p( t) - p(0)

<

dla wszystkich e < e i t e[0, T], gdzie T = exp — . e

Stałe wielkości a, b zależą jedynie od funkcji HQ , natomiast stała cQ zależy od HQ .i H 1, a konkretnie od szybkości zmniejszania się współczynników Fouriera w rozwinięciu funkcji H^. Powyższe osza­ cowanie udowodnione zostało przy założeniu analityczności funkcji Hamiltona. Przy wymaganiu jedynie gładkości funkcji H oszacowanie to nie będzie miało charakteru wykładniczego, lecz potęgowy, przy czym wykładnik potęgi będzie tym większy, im większa będzie liczba pochodnych.

N i e c h o r o s z e w (1977) udowodnił dla przypadku Układu Słonecznego (przy założeniu, że ruch planet odbywa się po orbitach o umiarkowanej ekscentryczności, duże półosie dość znacznie różnią się od siebie oraz ruch odbywa się w jednym kierunku po orbitach o małym nachyleniu do płaszczyzny Laplace'a), że w przedziale czasu [0, T] zderzenia planet oraz ucieczka choćby jednego ciała są nie­ możliwe. Dodatkowo długości dużych półosi orbit planet prawie się nie zmieniają w tym okresie.

Istnienie naszego Układu Słonecznego szacuje się na kilka mi­ liardów lat. Jeśli można wyjaśnić ten fakt powolnością dyfuzji Arnolda, to niezupełnie zrozumiałe jest, dlaczego planety poruszają się po niemal kołowych orbitach leżących prawie w Jednej płaszczyź­ nie. Sytuacja ta wymaga uwzględnienia zakłóceń niehamiltonowskich, związanych z oporem ośrodka i siłami przypływowymi. Chociaż gęstość materii rozproszonej w Układzie Słonecznym jest niewielka, bo rzędu

Stabilność Układu Słonecznego ₂₆₇

-21 -3

10 g • cm , a siły przypływowe są znikome w porównaniu z siłami grawitacyjnymi, to wynik działania tych sił w kosmologicznej skali czasowej może okazać się istotny. Przy ustalonych wartościach pół- osi a^ orbit planet długość wektora momentu pędu układu G osiąga maksimum w przypadku, gdy ruch planet odbywa się po orbitach koło­ wych leżących w jednej płaszczyźnie. Zaburzenia niehamiltonowskie w większym stopniu wpływają na zmniejszenie się energii układu niż na zmianę momentu pędu, dlatego układ zmierza do ruchu po orbitach kołowych z zerowymi nachyleniami.

4. UWAGI KOŃCOWE

Jak więc przedstawia się problem stabilności Układu Słonecznego na gruncie teorii K-A-M? Teoria K-A-M rozpatruje układy dynamiczne Hamiltona, co w poważnym stopniu ogranicza możliwość przeniesienia jej wyników na rzeczywiste układy. Gdyby jednak Układ Słoneczny był z zadowalającą dokładnością opisywany przez układ Hamiltona, to wówczas warunki niezwyrodnienia D 1, D2 nie są spełnione. Wynika to z faktu, że układ niezaburzony ma mniejszą liczbę częstości niż liczba stopni swobody układu. Nie przesądza to sprawy stabilności Układu Słonecznego, lecz znacznie zmniejsza szansę poprzez zmniej­ szenie miary zbioru kołmogorowskiego. Z teorii K-A-M wynika także, że układy planetarne, których orbity leżą w jednej płaszczyźnie,

są

bardziej stabilne niż układy „przestrzenne". Możemy stwierdzić, że Układ Słoneczny jest stabilny w sensie Arnolda.

Istnieje grupa prac uzasadniających rezonansowy charakter Ukła­ du Słonecznego ( R o y , O v e n d e n 1955; M o ł c z a n o w

1968; H i l l s 1970; O v e n d e n i in. 1973). Prace te,nie­ stety, nie posiadają dostatecznie ścisłej argumentacji, aby mogły być rozpatrywane w konfrontacji z teorią K-A-M.

Wydaje się, że zachowanie się układów planetarnych, w tym rów­ nież Układu Słonecznego, scharakteryzować można najogólniej w p o ­ staci następujących wniosków:

1. W układach planetarnych przeważają ruchy warunkowo okresowe, które nie ulegają zmianie w czasie dłuższym niż 10^ lat.

2. Głównym mechanizmem sprowadzającym planety lub ich księżyce do konfiguracji rezonansowych są śiły dysypacyjne, bez których te konfiguracje nigdy by nie wystąpiły.

268 S. Kasperczuk LITERATURA

A b r a h a m R . , M a r s d e n J . , 1978, "Foundations o f clas-sical mechanics " , Benjamin, New York.

A r n 0 1 d W. I . , 1963a, Uspiechi Matem. Nauk, 18, 91. A r n 0 1 d W. I . , 1963b, Uspiechi Matem. Nauk, 18, 13. A r n 0 1 d W. I . , 1963c, S i b . Matem. Ż u rn ., No. 2. A r n 0 1 d W. I . , 1964, Dokłady Akad. Nauk, 156, 9.

A r n 0 1 d W. I . , 1966, „Międzynarodowy zjazd matematyków1,' Mo skwa F e a _g i n T . , G r a f f 0 . , 1973, C e les t. Mech., 8 , 3.

H i 1 1 s J . G . , 1970, Nature, 225.

M e f f r _{0 y J . ,} 1955, B u l i . A s t r . , 19, No. 1-3. M 0 ł c z a n o w A. M . , 1968, Icarus 8 , 203. M 0 s e r J . , 1968 , Uspiechi Matem. Nauk, 2 3 , 179.

N i e c h 0 r o s z e w N. N . , 1977, Uspiechi Matem. Nauk, 32, 5. P 0 i n c a r e H. , 1890, Acta M at h ., 13, 1.

P 0 i n c a r e H. , 1892-1899, "Lea methodes nouvelles de la me-canique celeste " , V o l. I - I I I , P a r i s .

R 0 _y R. A,. , 0 v e n d e n M. W . , 1955, M . N . R . A . S . , 115, 296. S i e _g e 1 C • Ii. , 1952, Nachr. Akad. W i s s . Gottingen, M at h .P h y s.,

K l . 2'1.

S u n d m a n K . F . , 1912, Acta M a t h ., 36, 105.

R ii s 8 m a n H . , 1970, Nachr. Akad. W i s s . Gottingen, Math. P h y s . , K l . 26.

R ii 8 8 m a n H . , 1972, Nachr. Akad. W i s s . Gottingen, Math. P h y s . , K l . 1.»

Z a 8 ł a w s k i G. M . , C z i r i k o w B. W . , 1971, Uspiechi Fiz,■ Nauk, 1 0 5 t 3.

Z e h n d e r E . , 1975, Comm. Pure Appl. M a t h ., 28, 91. Z e h n d e r E . , 1976, Comm. Pure Appl. M a t h ., 2 9 , 4 9 .

„Postępy Astronomii" Tom XXX (1 9 8 2 ). Zeszyt 3-4

PROCESY FIZYCZNE OKREŚLAJĄCE STRUKTURĘ CHROMOSFER GWIAZDOWYCH Część II

Z D Z I S Ł A W M U S I E L A K

Instytut Fizyki Teoretycznej i Astrofizyki Uniwersytetu Gdańskiego

M3MHECKME nPOUECCbl OIIPEflEJIfllOIUKE CTPYKTyPy 3BE3flHLIX XP0M 0M EP

4acTB II

3. M y c e j i H K

C o p p i a h n e

IIpeflCTaBJieHO HatfjiroaaTejiBHue aaHHue u HeK0T0pue KoppennmiH Meacay xp0M0c$epHUMH h apyrHMH aTMOc$epHUMM napanieTpaMH. OnHcaHo i CTPO0HH6 MOflBJieH COJIHe^HOM H 3Be3flHHIX XpOM OC$ep. MOfleJIH 6a3HpyiOT

Ha paBHOBSCHM M6Kay Jiy^HCTHMM 3aTpaT3MH H MexaHIWHOK 3HeprHeft. O CcyxaeHO H 8K 0T0pue npo(3neuu Kacaiomiie HeoflHopoflHOCTM TeopeTim ec- KHX MOfleJietł H 3BOJHOUHOHHHX 3 $ $ 6 K T 0 B .

PHYSICAL PROCESSES DETERMINING THE STELLAR CHROMOSPHERES STRUCTURE Part II

S u m m a r y

Observational data and some correlations between chromospheric and other atmospheric parameters are presented. Construction of models of the Solar and stellar chromospheres is described. These theoretical models were based on the energy balance between radia­ tive losses and the amount of dissipated mechanical energy. Some problems of inhomogeneity of theoretical models as well as evolu­

tionary effects are also discussed.

[

269

]

270 Z. Musielak 1. WSTĘP

W części I niniejszej pracy ( M u s i e l a k 1982a) przedsta­ wiono główne źródła wypromieniowania energii z chromosfery oraz najbardziej prawdopodobny mechanizm ogrzewania. Stwierdzenie, że najefektywniejsze oziębianie chromosfery zachodzi w liniach wapnia Cali i magnezu Mgll, nie stanowi dużego zaskoczenia, gdyż linie te były powszechnie uznawane za indykator występowania chromosfer. liczne obserwacje tych linii w gwiazdach typów widmowych później­ szych niż F2 pozwoliły określić na diagramie H-R obszar zajmowany przez gwiazdy posiadające chromosfery ( G ł ę b o c k i 1975). 'Najpełniejsze dane obserwacyjne dotyczące występowania pików emi­

syjnych w liniach Cali dla 1400 gwiazd zawiera katalog opublikowany przez G ł ę b o c k i e g o i in. (1980). Na podstawie danych za­ wartych w tym katalogu można wnioskować o spójności faktów obserwa­ cyjnych i teoretycznych obliczeń ilości energii wypromieniowanej z chromosfery prezentowanych w części I tej pracy.

Zbieżność taka, niestety, nie zachodzi przy ustalaniu jakie procesy fizyczne są odpowiedzialne za ogrzewanie (i tym samym pow­ stanie) chromosfery. Faworyzowany w części I mechanizm grzania przez fale akustyczne lub magnetohydrodynamiczne nie znalazł jak dotąd bezpośrednich dowodów obserwacyjnych. Znaczy to, że żadne z licznie obserwowanych zjawisk w chromosferze Słońca nie może być utożsamiane z propagującymi lub dysypującymi falami. Natomiast dobrze rozwinięta teoria ogrzewania falowego pośrednio tłumaczy wiele faktów obserwacyjnych oraz pozwala otrzymać teoretyczne mode­ le opisujące chromosferę taką, jak sugerują empiryczne modele. Jest rzeczą oczywistą, że gdyby udało się otrzymać poprawne teoretyczne modele chromosfery oparte na innym mechanizmie grzania, który jest weryfikowalny obserwacyjnie (np.: tłumienie promieniste 300-sekun- dowych oscylacji słonecznych) byłoby to istotnym argumentem za przyjęciem takich procesów odpowiedzialnych za powstanie chromosfe­ ry. Jak dotychczas żaden taki model teoretyczny nie jest znany autorowi niniejszej pracy. Ponadto istotne trudności pojawiłyby się, gdyby próbować tworzyć modele obszarów aktywnych (silne pole magne­ tyczne) przy założeniu, że oscylacje są odpowiedzialne za grzanie tych obszarów. Wydaje się obecnie, że przewaga ogrzewania falowego nad alternatywnymi mechanizmami grzania - zarówno obszarów aktyw­ nych jak i spokojnych - jest bezsporna. Do stwierdzenia takiego

Chromosfery gwiazdowe ₂₇₁ skłaniają rezultaty przedstawione w rozdz. 3 i 4. Natomiast w rozdz. 2 zaprezentowano empiryczne modele chromosfer oraz wynikające z obserwacji sugestie o procesach fizycznych dominujących w chromo- sferach gwiazdowych.

2. DANE OBSERWACYJNE I EMPIRYCZNE MODELE CHROMOSFER

Badania chromosfer gwiazdowych ogólnie można podzielić na: sy­ stematykę danych obserwacyjnych, głównie zbiór danych o liniach emisyjnych H i K Cali oraz h i k Mgll, oraz prace teoretyczne próbu­ jące określić procesy fizyczne dominujące w chromosferze. Celem nadrzędnym obu tych kierunków badań jest konstrukcja modelu chromo­

sfery, który w najlepszym przypadku powinien bazować na teoretycz­ nych ocenach ilości dysypowanej i wypromieniowanej energii oraz dobrze opisywać fakty obserwacyjne. Model taki pozwoli określić podstawowe parametry fizyczne charakteryzujące chromosferę, jak również zrozumieć procesy, jakie tam zachodzą.

Do opisu cech widmowych chromosfery w zintegrowanym widmie Słońca i gwiazd stosuje się na ogół modele jednorodne, tzn. zmienia się parametry wyłącznie z wysokością. Pomimo że chromosfera Słońca jest z całą pewnością niejednorodna ( P a c i o r e k 1974), pow­ szechnie stosuje się do opisu emisji chromo sferycznych Cali i Mgll modele jednorodne. Dla gwiazd punktem wyjścia mogą być tylko modele jednorodne, chociaż W i l s o n (1978) badając zmiany w czasie emisji linii K Cali pokazał, że niejednorodności dla gwiazd mogą być również znaczące. Pierwsze próby konstruowania prostych teore­ tycznych modeli jednorodnych i niejednorodnych będą przedstawione w rozdz. 3.

2.1. Systematyka danych obserwacyjnych

Zbiór danych o liniach H i K Cali oraz h i k Mgll stanowi pod­ stawowe informacje obserwacyjne o chromosferach. Z dostatecznie du­ żego zbioru takich danych udało się znaleźć uniwersalne korelacje zwane relacjami Wilsona-Bappu (od nazwisk ich ąutorów) dla linii Cali i Mgll. Relacje te wiążą jasność absolutną gwiazdy My z szero­ kością WQ jądra emisyjnego w liniach absorpcyjnych wapnia i magnezu. G ł ę b o c k i (1975) omawia szczegółowo definicję WQ i dyskutuje sposób pomiaru tej wielkości.

272 Z. Musielak

Relacje Wilsona-Bappu dla Cali i Mgll można przedstawić w na­ stępującej postaci ( L i n s k y 1980) :

Mv = -14.94 log WQ(Cali) + 27.59, (1)

M,. = -15.15 log W0(MgII) + 34.93. (2)

*

Zakres stosowalności tych wzorów jest bardzo duży, gdyż rozpię­ tość jasności absolutnych może dochodzić do 15m . Relacji tych nie spełniają gwiazdy o skrajnie niskiej obfitości metali, gwiazdy T Tauri i układy podwójne. Natomiast gwiazdy o bardzo silnej aktyw­ ności chromosferycznej spełniają poprawioną przez G ł ę b o ­ c k i e g o i S t a w i k o w s k i e g o (1978) relację Wilso­ na-Bappu dla Cali zapisaną w postaci:

My = -14.94 log W 0 + 27.59 + a(IK - 2), (3)

gdzie a = 0.0 dla IR < 2 i a = 0.70+0.07 dla IK > 2. Wielkość IR oznacza natężenie emisji linii K Cali.

Jest rzeczą bardzo interesującą, że pomimo intensywnie prowa­ dzonych badań (np.: A y r e s 1979; B a s r i 1980; L i n s k y 1980) nie udało się dotychczas ustalić interpretacji fizycznej re­ lacji Wilsona-Bappu, ani otrzymać ich teoretycznie. Relacje te sta­ nowią podstawowe - ale nie jedyne - korelacje związane z chromosfe­ rami gwiazdowymi. Poszukuje się także innych związków, badając np. kształty profilów linii Cali i Mgll ( G ł ę b o c k i i S t a w i - k o w s k i 1980), czy poszukując relacji między ilością energii emitowanej przez linie Cali i Mgll a temperaturą efektywną (L i n- s k y 1980). Również postęp w obserwacjach UVf jaki obecnie ma miejsce, prowadzi do gromadzenia cennych informacji o liniach wy- stępujących w tym zakresie widma, co zmierza do lepszego poznania struktury górnej części chromosfery i procesów fizycznych tam domi­ nujących ( S i m o n i in. 1980).

Przedstawione powyżej informacje uzyskane z danych obserwacyj­ nych pozwalają wyciągnąć wnioski o strukturze chromosfery (budować

jej modele) i tym samym dostarczają wielu danych o procesach wypro- mieniowania energii z chromosfery. Wydaje się, że z chwilą zrozu­ mienia istoty fizycznej relacji Wilsona-Bappu lepiej poznamy proce­ sy determinujące strukturę chromosfery, a prawdopodobnie również pewne aspekty ewolucyjne chromosfer gwiazdowych.