De nicja
Niech dany b¦dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw¦dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw¦dzi grafu, »e s¡siednie kraw¦dzie maj¡ ró»ne barwy.
50 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Niech dany b¦dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw¦dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw¦dzi grafu, »e s¡siednie kraw¦dzie maj¡ ró»ne barwy.
51 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Powy»sza de nicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu?
De nicja
Najmniejsz¡ liczb¦ barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw¦dzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem ¯χ(G).
52 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Powy»sza de nicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu?
De nicja
Najmniejsz¡ liczb¦ barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw¦dzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem ¯χ(G).
53 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jest rzecz¡ oczywist¡, »e je±li najwi¦kszy stopie« wierzchoªka grafu G jest równy d, to ¯χ(G) ≥ d.
54 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jest rzecz¡ oczywist¡, »e je±li najwi¦kszy stopie« wierzchoªka grafu G jest równy d, to ¯χ(G) ≥ d.
55 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Je»eli graf G ma nieparzyst¡ liczb¦ wierzchoªków i ka»dy wierzchoªek ma stopie«
d > 0, to ¯χ(G) > d.
56 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciu wierzchoªkach.
57 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciu wierzchoªkach.
58 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciu wierzchoªkach.
59 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Indeks chromatyczny grafu peªnego Kn wynosi:
¯ χ(Kn) =
(n − 1 je»eli n parzyste n je»eli n nieparzyste
¯
χ(K4) =3 χ(¯ K5) =5 χ(¯ K7) =7
60 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Indeks chromatyczny grafu peªnego Kn wynosi:
¯ χ(Kn) =
(n − 1 je»eli n parzyste n je»eli n nieparzyste
¯
χ(K4) =3 χ(¯ K5) =5 χ(¯ K7) =7
61 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co
przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢ dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
62 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢ dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
63 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢ dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
64 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢ dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
65 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢
dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
66 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢
dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
67 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim.
Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi ¯χ(G) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni.
68 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim.
Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi ¯χ(G) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni.
69 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim.
Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi ¯χ(G) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni.
70 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Inne rozwi¡zanie przedstawione jest na rysunku:
71 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Inne rozwi¡zanie przedstawione jest na rysunku:
72 / 126