Problem komiwoja»era

Denicja

Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.

90 / 126

Denicja

91 / 126

Problem komiwoja»era

Denicja

92 / 126

Problem komiwoja»era

Denicja

93 / 126

Problem komiwoja»era

Denicja

94 / 126

Problem komiwoja»era

Denicja

95 / 126

Problem komiwoja»era

Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku.

Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona.

Twierdzenie

Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.

96 / 126

Problem komiwoja»era

Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku.

Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona.

Twierdzenie

Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.

97 / 126

Problem komiwoja»era

Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku.

Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w grae spójnym, ale do dzi± nie s¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona.

Twierdzenie

Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.

98 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.

Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie ¹₂(n − 1)! cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

99 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡.

Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

100 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

101 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?

Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie ¹₂(n − 1)! cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

102 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?

Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie ¹₂(n − 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

103 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?

Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie ¹₂(n − 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

104 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?

Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie ¹₂(n − 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s

dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

105 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?

Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie ¹₂(n − 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

106 / 126

Problem komiwoja»era

Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.

Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?

Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie ¹₂(n − 1)!

cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.

Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:

dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^10−1)!₂ =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi ⁽^20−1)!₂ =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.

Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.

107 / 126

Problem komiwoja»era

Rozwa»my sie¢ dróg pomi¦dzy pi¦cioma miastami jak na rysunku:

108 / 126

Problem komiwoja»era

Rozwa»my sie¢ dróg pomi¦dzy pi¦cioma miastami jak na rysunku:

109 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 20

110 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 50

111 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 125

112 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 150

113 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 180

114 / 126

Problem komiwoja»era

115 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 20

116 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 35

117 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 60

118 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 100

119 / 126

Problem komiwoja»era

Dªugo±¢ drogi: 120

120 / 126

Problem komiwoja»era

W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi¡zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA.

121 / 126

Problem komiwoja»era

W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi¡zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA.

122 / 126

Problem komiwoja»era

W 1998 opublikowano rozwi¡zanie obejmuj¡ce 13549 miast USA..

123 / 126

Problem komiwoja»era

W 1998 opublikowano rozwi¡zanie obejmuj¡ce 13549 miast USA..

124 / 126

W dokumencie Teoria grafów i jej zastosowania. (Stron 90-125)