Teoria grafów i jej zastosowania.
1 / 126
Mosty królewieckie
W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e z brzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek
Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dy z mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywania przez rzek¦)?
2 / 126
Mosty królewieckie
W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e z brzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek
Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dy z mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywania przez rzek¦)?
3 / 126
Mosty królewieckie
W Królewcu, na rzece Pregole znajduj¡ si¦ dwie wyspy poª¡czone ze sob¡, a tak»e z brzegami za pomoc¡ siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek
Czy mo»liwe jest, aby wyruszy¢ z dowolnej cz¦±ci l¡dowej miasta przej±¢ przez ka»dy z mostów dokªadnie jeden raz i powróci¢ do punktu wyj±ciowego (bez przepªywania przez rzek¦)?
4 / 126
Mosty królewieckie
Leonhard Euler (ur. 15 kwietnia 1707 r. w Bazylei - Szwajcaria, zm. 18 wrze±nia 1783 r. w Petersburgu - Rosja) - szwajcarski matematyk, zyk i astronom, jeden z twórców nowoczesnej matematyki.
5 / 126
Mosty królewieckie
→ →
6 / 126
Mosty królewieckie
→
→
7 / 126
Mosty królewieckie
→
→
8 / 126
Mosty królewieckie
→ →
9 / 126
Mosty królewieckie
→ →
10 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ ma dwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra e.
11 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ ma dwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra e.
12 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Grafem nazywamy zbiór wierzchoªków poª¡czonych kraw¦dziami. Ka»da kraw¦d¹ ma dwa ko«ce, które s¡ wierzchoªkami w gra e.
13 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¡ w gra e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tego ci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
14 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¡ w gra e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tego ci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
15 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¡ w gra e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tego ci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
16 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¡ w gra e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tego ci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
17 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¡ w gra e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tego ci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
18 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¡ w gra e nazywamy taki ci¡g kraw¦dzi, »e ko«cem dowolnej kraw¦dzi tego ci¡gu (oczywi±cie oprócz ostatniej) jest pocz¡tek nast¦pnej kraw¦dzi.
19 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, w której »adna kraw¦d¹ si¦ nie powtarza nazywamy drog¡ prost¡.
20 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, w której »adna kraw¦d¹ si¦ nie powtarza nazywamy drog¡ prost¡.
21 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
22 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
23 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
24 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
25 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
26 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
27 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
28 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
29 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Drog¦, która zaczyna si¦ i ko«czy w tym samym wierzchoªku nazywamy drog¡
zamkni¦t¡.
30 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo±¢ kraw¦dzi wychodz¡cych z tego wierzchoªka.
31 / 126
Podstawowe de nicje
De nicja
Stopniem wierzchoªka nazywamy ilo±¢ kraw¦dzi wychodz¡cych z tego wierzchoªka.
32 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
33 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
34 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
35 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
36 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
37 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
38 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
39 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
40 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
41 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
42 / 126
Cykl Eulera
De nicja
Cyklem Eulera nazywamy tak¡ zamkni¦t¡ drog¦ prost¡, która przechodzi przez wszystkie kraw¦dzie grafu (oczywi±cie przez ka»d¡ tylko jeden raz).
43 / 126
Cykl Eulera
Twierdzenie (Euler, 1736)
W gra e istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie« parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si¦ parzysta liczba kraw¦dzi.
44 / 126
Cykl Eulera
Twierdzenie (Euler, 1736)
W gra e istnieje cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy wierzchoªek tego grafu ma stopie« parzysty, tzn. gdy w ka»dym wierzchoªku tego grafu spotyka si¦ parzysta liczba kraw¦dzi.
45 / 126
Mosty królewieckie
46 / 126
Problem chi«skiego listonosza
Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan.
Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci¢ na poczt¦.
Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±nie pokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?
47 / 126
Problem chi«skiego listonosza
Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan.
Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci¢ na poczt¦.
Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±nie pokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?
48 / 126
Problem chi«skiego listonosza
Problem ten zostaª postawiony pierwszy raz w 1962 roku przez matematyka chi«ski Mei-Ku Kwan.
Wiadomo, »e listonosz dor¦czaj¡c poczt¦ musi przej±¢ przez wszystkie ulice danego rejonu i powróci¢ na poczt¦.
Jak zaplanowa¢ drog¦ listonosza, aby odwiedziª on wszystkie ulice i jednocze±nie pokonaª jak najkrótsz¡ drog¦?
49 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Niech dany b¦dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw¦dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw¦dzi grafu, »e s¡siednie kraw¦dzie maj¡ ró»ne barwy.
50 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Niech dany b¦dzie graf G. Pokolorowaniem wªa±ciwym kraw¦dzi grafu G nazywamy takie pomalowanie wszystkich kraw¦dzi grafu, »e s¡siednie kraw¦dzie maj¡ ró»ne barwy.
51 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Powy»sza de nicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu?
De nicja
Najmniejsz¡ liczb¦ barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw¦dzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem ¯χ(G).
52 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Powy»sza de nicja nasuwa pytanie: jaka jest najmniejsza liczba barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego danego grafu?
De nicja
Najmniejsz¡ liczb¦ barw potrzebna do pokolorowania wªa±ciwego kraw¦dzi grafu G nazywamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy symbolem ¯χ(G).
53 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jest rzecz¡ oczywist¡, »e je±li najwi¦kszy stopie« wierzchoªka grafu G jest równy d, to ¯χ(G) ≥ d.
54 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jest rzecz¡ oczywist¡, »e je±li najwi¦kszy stopie« wierzchoªka grafu G jest równy d, to ¯χ(G) ≥ d.
55 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Je»eli graf G ma nieparzyst¡ liczb¦ wierzchoªków i ka»dy wierzchoªek ma stopie«
d > 0, to ¯χ(G) > d.
56 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciu wierzchoªkach.
57 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciu wierzchoªkach.
58 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
De nicja
Graf prosty w którym ka»da para wierzchoªków jest poª¡czona kraw¦dzi¡ nazywamy grafem peªnym. Graf peªny o n wierzchoªkach oznaczamy symbolem Kn.
Na rysunku widzimy grafy peªne o jednym, dwóch, trzech, czterech i pi¦ciu wierzchoªkach.
59 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Indeks chromatyczny grafu peªnego Kn wynosi:
¯ χ(Kn) =
(n − 1 je»eli n parzyste n je»eli n nieparzyste
¯
χ(K4) =3 χ(¯ K5) =5 χ(¯ K7) =7
60 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Twierdzenie
Indeks chromatyczny grafu peªnego Kn wynosi:
¯ χ(Kn) =
(n − 1 je»eli n parzyste n je»eli n nieparzyste
¯
χ(K4) =3 χ(¯ K5) =5 χ(¯ K7) =7
61 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach. Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co
przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢ dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
62 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢ dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
63 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢ dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
64 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢ dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
65 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢
dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
66 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Pewien serwis techniczny posiada cztery ró»ne pojazdy specjalistyczne {1, 2, 3, 4}
oraz cztery ró»ne ekipy specjalistów {a, b, c, d}.
Serwis otrzymaª do wykonania siedem ró»nych napraw w ró»nych miejscowo±ciach.
Ka»da naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego pojazdu, co przedstawia graf G na rysunku
Zakªadamy, »e jedna ekipa, u»ywaj¡c jednego pojazdu, mo»e jednego dnia wykona¢
dokªadne jedn¡ napraw¦.
Nale»y opracowa¢ taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby wszystkie naprawy ª¡cznie trwaªy jak najmniejsz¡ liczb¦ dni.
67 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim.
Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi ¯χ(G) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni.
68 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim.
Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi ¯χ(G) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni.
69 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Jedno, ale nie jedyne, z mo»liwych rozwi¡za« jest pokazane na rysunku
wg którego naprawy oznaczone kolorem czerwonym b¦d¡ realizowane pierwszego dnia, drugiego dnia naprawy oznaczone kolorem niebieskim, a trzeciego - naprawa oznaczona kolorem niebieskim.
Indeks chromatyczny dla powy»szego grafu wynosi ¯χ(G) = 3, a zatem zgodnie z zaªo»eniami nie ma mo»liwo±ci zrealizowania caªego zamówienia w czasie krótszym ni» trzy dni.
70 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Inne rozwi¡zanie przedstawione jest na rysunku:
71 / 126
Kolorowanie kraw¦dzi
Inne rozwi¡zanie przedstawione jest na rysunku:
72 / 126
Kolorowanie map
De nicja
Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw¦dzie mog¡
mie¢ co najwy»ej jeden punkt wspólny, b¦d¡cy wierzchoªkiem przylegªym do z tych kraw¦dziami.
73 / 126
Kolorowanie map
De nicja
Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie kraw¦dzie mog¡
mie¢ co najwy»ej jeden punkt wspólny, b¦d¡cy wierzchoªkiem przylegªym do z tych kraw¦dziami.
74 / 126
Kolorowanie map
75 / 126
Kolorowanie map
76 / 126
Kolorowanie map
De nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nych regionów.
W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie.
77 / 126
Kolorowanie map
De nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nych regionów.
W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie.
78 / 126
Kolorowanie map
De nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nych regionów.
W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie.
79 / 126
Kolorowanie map
De nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nych regionów.
W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie.
80 / 126
Kolorowanie map
De nicja
Mówimy, »e regiony grafu planarnego s¡ pokolorowane wªa±ciwie, je±li ka»de dwa regiony s¡siednie nie maj¡ tej samej barwy.
Mapa jest to reprezentacja ka»da kraw¦d¹ jest cz¦±ci¡ granicy dwóch ró»nych regionów.
W ten sposób kolorowanie mapy jest równowa»ne z kolorowaniem regionów grafu przypisanego tej mapie.
81 / 126
Kolorowanie map
Twierdzenie
Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego.
82 / 126
Kolorowanie map
Twierdzenie
Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego.
83 / 126
Kolorowanie map
Twierdzenie
Map¦ mo»na pokolorowa¢ dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy jej wierzchoªek jest stopnia parzystego.
84 / 126
Kolorowanie map
85 / 126
Kolorowanie map
86 / 126
Kolorowanie map
Twierdzenie (O czterech kolorach, 1976)
Ka»da mapa mo»e by¢ pokolorowana wªa±ciwie co najwy»ej czterema kolorami.
87 / 126
Kolorowanie map
88 / 126
Kolorowanie map
89 / 126
Problem komiwoja»era
De nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
90 / 126
Problem komiwoja»era
De nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
91 / 126
Problem komiwoja»era
De nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
92 / 126
Problem komiwoja»era
De nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
93 / 126
Problem komiwoja»era
De nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
94 / 126
Problem komiwoja»era
De nicja
Cyklem Hamiltona nazywamy tak¡ drog¦ zamkni¦t¡, która przechodzi przechodzi przez wszystkie wierzchoªki grafu, przy czym przez ka»dy wierzchoªek oprócz pierwszego i ostatniego dokªadnie jeden raz.
95 / 126
Problem komiwoja»era
Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku.
Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra e spójnym, ale do dzi± nie s¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona.
Twierdzenie
Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.
96 / 126
Problem komiwoja»era
Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku.
Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra e spójnym, ale do dzi± nie s¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona.
Twierdzenie
Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.
97 / 126
Problem komiwoja»era
Problem podania warunku koniecznego i dostatecznego na to, aby graf spójny G miaª cykl Hamiltona postawiª po raz pierwszy matematyk irlandzki sir William Hamilton (1805-1865) w 1859 roku.
Dotychczas podano wiele warunków dostatecznych w gra e spójnym, ale do dzi± nie s¡ znane warunki konieczne pozwalaj¡ce stwierdzi¢ w przypadku ogólnym, »e dany spójny graf G ma cykl Hamiltona.
Twierdzenie
Graf peªny, posiadaj¡cy przynajmniej 3 wierzchoªki posiada cykl Hamiltona.
98 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)! cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
99 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡.
Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)! cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
100 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów? Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)! cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
101 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?
Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)! cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
102 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?
Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
103 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?
Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
104 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?
Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s
dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
105 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?
Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
106 / 126
Problem komiwoja»era
Komiwoja»er w czasie podró»y musi odwiedzi¢ pewn¡ ilo±¢ miast. Odlegªo±ci mi¦dzy tymi miastami s¡ dane.
Zakªadamy tu, »e ilo±¢ miast jest wi¦ksza ni» 3 oraz, »e dowolne dwa miasta s¡ ze sob¡ poª¡czone drog¡. Wówczas istnieje dla grafu opisuj¡cego problem komiwoja»era istnieje cykl Hamiltona.
Powstaje pytanie: W jakiej kolejno±ci powinien on odwiedzi¢ wszystkie te miasta dokªadnie jeden raz i powróci¢ do domu, przebywaj¡c najmniejsz¡ liczb¦ kilometrów?
Teoretycznie problem komiwoja»era mo»na rozwi¡za¢ poprzez wyznaczenie 12(n − 1)!
cykli Hamiltona i wybranie tego, który ma najmniejsz¡ sum¦ wag. Okazuje si¦, »e metoda ta jest bardzo nieefektywna.
Bowiem,je±li dysponujemy komputerem sprawdzaj¡cym milion permutacji na sekund¦, to:
dla n = 10 ilo±¢ cykli wynosi (10−1)!2 =181440, czas oblicze« wynosi ok. 0.18s dla n = 20 ilo±¢ cykli wynosi (20−1)!2 =60822550204416000 - czas oblicze« wynosi ok. 2 tys. lat.
Problem komiwoja»era jest NP-zupeªny.
107 / 126
Problem komiwoja»era
Rozwa»my sie¢ dróg pomi¦dzy pi¦cioma miastami jak na rysunku:
108 / 126
Problem komiwoja»era
Rozwa»my sie¢ dróg pomi¦dzy pi¦cioma miastami jak na rysunku:
109 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 20
110 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 50
111 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 125
112 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 150
113 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 180
114 / 126
Problem komiwoja»era
115 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 20
116 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 35
117 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 60
118 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 100
119 / 126
Problem komiwoja»era
Dªugo±¢ drogi: 120
120 / 126
Problem komiwoja»era
W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi¡zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA.
121 / 126
Problem komiwoja»era
W roku 1954 George Dantzig, Ray Fulkerson i Selmer Johnson opublikowali rozwi¡zania problemu komiwoja»era dla 49 miast USA.
122 / 126
Problem komiwoja»era
W 1998 opublikowano rozwi¡zanie obejmuj¡ce 13549 miast USA..
123 / 126
Problem komiwoja»era
W 1998 opublikowano rozwi¡zanie obejmuj¡ce 13549 miast USA..
124 / 126
ródªa plików gra cznych
http://pl.wikipedia.org/
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/
http://gtresearchnews.gatech.edu/
125 / 126
Dzi¦kuj¦ za uwag¦!!!
126 / 126
