KRYSZTAŁY KLASYCZNE A KRYSZTAŁY KWANTOWE

Z fizyki elementarnej pamiętamy, iż kryształ utworzyć można powtarzając w trzech kie­ runkach pewne identyczne elementy strukturalne (jeden lub więcej atomów). Ciało krysta­ liczne różni się więc od wszelkich innyćh zgrupowań atomów periodycznym ich upo­ rządkowaniem w przestrzeni. Wybierając m ały wielościan jako tzw. komórkę elementarną

188

M. S. Borczuch, B. Kuchowicz

kryształu, zbudować możemy kryształ składając z sobą kolejne takie komórki (identyczne!) w trzech kierunkach nie leżących w jednej płaszczyźnie (rys. 17). Dla określonego rodzaju kryształu można wybrać zwykle na kilka sposobów komórkę elementarną; zazwyczaj jeden

tylko z tych wyborów jest najwygodniejszy w praktyce i najle­ piej odzwierciedla symetrię kryształu. Odsyłając czytelnika zainteresowanego właściwościami kryształów różnych typów do dostępnych na rynku podręczników ( W e r t i T h o m ­ s o n 1974; K i t t e l 1970; C h o j n a c k i 1971), ogra­ niczymy się do krótkiego przedstawienia tych paru ich typów które odgrywać będą pewną rolę w dalszych naszych roz­ ważaniach.

Na rys. 18 przedstawiliśmy cztery rodzaje sieci krysta­ licznej. Sieć z rys. 18a nosi nazwę prostej sieci regularnej. Każdy atom ma w niej tylko & najbliższych sąsiadów. Ta prosta struktura regularna może służyć do otrzymywania wielu innych struktur, nieraz złożonych z dwóch prze­ nikających się prostych podsieci regularnych. Dwa bardziej skomplikowane rodzaje sieci regularnej to: • a) tzw. sieć regularna powierzchniowo scentrowana, oznaczana zwykle symbolem fcc (skrót od nazwy angielskiej: face centered cubic structure); komórkę elementarną tej sieci przedstawia rys. 18b;

b) sieć regularna przestrzennie scentrowana, czyli bcc (body centered cubic structure), której komórkę elementarną przedstawia rys. 18c.

Na rys. 18d mamy wreszcie komórkę elementarną sieci heksagonalej o najgęstszym upa­ kowaniu, czyli hep (hexagonal close packed structure).

Rys. 17. Komórka elementarna kryształu - zaznaczonagrubszymi kreskami. Przesuwanie komórki w kierunkach rów noległych do jej krawędzi w ypełnia całą przestrzeń

Ekstremalne stany materii w astrofizyce. Cz. III 189

W kryształach opartych na strukturach atomowych możliwe są przeróżne rodzaje sieci krystalicznych (zależy to od rodzaju atomów, ich wiązania, czynników zewnętrznych w ro­ dzaju ciśnienia itp.). Przechodząc z dowolną materią atomową ku coraz wyższym gęstościom poddajemy ją przemianom strukturalnym, przy których upakowanie stawać się będzie coraz gęstsze. Wreszcie, w przypadku granicznym, gdy powłoki elektronowe atomów przestaną istnieć, otrzymujemy niezależnie od sytuacji początkowej jedną tylko możliwą sieć - jest nią bcc. Zjawisko to można nazwać uniwersalizacją właściwości materii.

Sama struktura kryształu — to jeszcze nie wszystko. Przejdźmy na krótko do nader istotnego zagadnienia dynamiki kryształów. Atomy w krysztale drgają wokół położeń równo­ wagi (węzłów sieci krystalicznej). Wychylenia atomów z położeń równowagi rosną ze wzrostem temperatury. Zgodnie z mechaniką kwantową drgania takie (tzw. drgania zero­ we) możliwe są nawet w temperaturze zera absolutnego. Oznaczmy symbolem < u > średnie wychylenie atomu z położenia równowagi, a literą d — tzw. stałą sieci (średnią od­ ległość między najbliższymi atomami). Dla oznaczenia stosunku obu tych wielkości wpro­ wadźmy parametr £ : £ = Zazwyczaj w kryształach ruch cieplny atomów ma charakter małych drgań wokół położeń równowagi, tzn. wielkość < u > jest znacznie mniejsza niż d, czyli £ *<1. Przy tym założeniu można dynamikę kryształu opisać w przybliżeniu harmonicznym, kiedy to oddziaływanie pomiędzy atomami aproksymuje się potencjałem oscylatora harmo­ nicznego. Ciało krystaliczne, dla którego mamy £<^1, nazywać będziemy kryształem kla­ sycznym; nazwa ta nie ma bynajmniej oznaczać, jakoby do opisu zachowania się kryształu wystarczała fizyka klasyczna.

Podanego wyżej założenia nie da się spełnić w przypadku'niektórych kryształów z ło ­ żonych z atomów gazów szlachetnych. Oddziaływanie pomiędzy atomami gazów szlachetnych da się dobrze opisać potencjałem Lennarda-Jonesa:

m = 4 e [ ( i ) 12 - ( £ ) “] , (37)

gdzie: a jest parametrem charakteryzującym przestrzenny zasięg oddziaływania, £ zaś cha­ rakteryzuje jego natężenie. Przebieg powyższego potencjału przedstawia rys. 19.

Część przyciągająca potencjału f 4 ^ -^ ^ e ) wiąże się z indukowanym oddziaływaniem dipol-dipol, występującym gdy dwa atomy zbliżają się do siebie; zależy ono od przegru­ powania elektronów w powłokach atomowych. Wartość <s jest stosunkęyo nieznaczna dla helu, duża - dla ksenonu. Rdzeń odpychający w oddziaływaniu ( +4 ( y - ) <S) pojawia się z uwagi na zakaz Pauliego, istotny wtedy, gdy chmury elektronowe sąsiednich atomów nakładają się na siebie. Wartość a jest stosunkowo mała dla helu i duża dla ksenonu.

Potencjał oddziaływania V(r) da się w zasadzie wyznaczyć na podstawie danych odnoszą­ cych się do rozpraszania atomu na atomie. Znajomość V(r) oraz masy atomów uczestniczących w oddziaływaniu wystarczą do pełnego opisu układów złożonych z atomów gazów szlachet­ nych, czy to w stanie gazowym, czy też ciekłym lub stałym . W ślad za G u y e r e m (1969) podkreślmy łączne występowanie dwóch warunków koniecznych do tego, by układy atomów gazów szlachetnych dały się traktować jako kryształy kwantowe: niewielka masa atomów oraz słabość wzajemnego przyciągania. Efekty kwantowe w fazie stałej przejawiać się będą naj­ wyraźniej w zestalonym helu 3He. Można by oczywiście sądzić, że kryształy molekularne złożone z wodoru H2 zawierać będą w węzłach siecf cząsteczki jeszcze mniejszej masy. Tak jest istotnie, ale tylko jeden z warunków koniecznych jest wtedy spełniony; oddziaływanie wzajemne cząsteczek H2 okazuje się silniejsze niż oddziaływanie między atomami helu. Tak więc efekty kwantowe w fazie stałej H2 będą znacznie mniejsze niż w helu.

190

M. S. Borczuch, B. Kuchnowicz

R y s. 1 9 . P o te n c ja ł L e n n a rd a -J o n e sa w z a le ż n o ś c i o d o d le g ło ś c i w z a je m n e j d w u a to m ó w : a) in te rp re ta c ja p a ra m e tró w £ i a ze w z o ru (3 7 ), b ) ro d z in a p o te n c ja łó w (o ró ż n y c h w a rto śc ia c h £ i o ) d la -a to m ó w g azó w

sz la c h e tn y c h

Przy omawianiu specyfiki występowania nadciekłości helu w pierwszym z naszego cyklu artykułów podkreśliliśmy rolę tych samych czynników, które obecnie czynimy odpowie­ dzialnymi za efekty kwantowe w kryształach helu, za pozostawanie helu w stanie ciekłym aż do najniższych temperatur (przy normalnym ciśnieniu). Spójrzmy obecnie na diagramy fazowe dla helu (rys. 20). Dopiero przy stosunkowo wysokich ciśnieniach oba jego izotopy przechodzą z fazy ciekłej do fazy stałej (krystalicznej). Dla 3He, w którym z uwagi na mniejszą masę atomów efekty kwantowe przejawiają się silniej, niezbędne jest większe ciśnienie dla owego przejścia, jeśli ma się ono dokonać przy tej samej temperaturze co i dla 4He. Zwróćmy uwagę na występowanie helu krystalicznego w ki'ku fazach (wzmiankowane przez nas sieci bcc, fcc i hep) w zależności od ciśnienia i temperatury. Faza bcc, występująca w sporym zakresie ciśnień i temperatur dla 3He, przejawia się jedynie w niewielkim zakresie wartości tych parametrów fizycznych dla 4He (obszar zakreskowiany na rys. 20a). Nie usiłowaliśmy wprowadzić różnych faz cieczy kwantowej na diagram dla 3 He.

Do opisu małych drgań w temperaturze zera bezwzględnego wprowadzić możemy za d e B o e r e m (1048) bezwymiarowy parametr

A

(analog wielkości £), określony wzorem:

A

= ---- 7 = (38)

a V m e v ’

dla potencjału oddziaływania (37). Tutaj

m

oznacza masę drgającego atomu. Małym drganiom zerowym (przy

T

= 0°K) odpowiada

A

<1. Jeśli spojrzeć na przebieg typowych potencjałów Lennarda-Jonesa z rys. 19b, widać, że zakres zmienności parametru

e

dla różnych gazów szlachetnych jest znaczny. Od tego parametru,jak też i od masy atomów, zależy w wysokim stopniu spełnienie przytoczonego warunku dla małych drgań zerowych. Przytoczmy dla zilustrowania tego faktu tab. 2.

Ekstremalne stany materii w astrofizyce. Cz. Ili 191

<0 b;

Rys. 20. Diagramy fazowe dla 4He (a) i ^He (b): Ciśnienie p (w atm osferach) w zależności od tem peratury

T (w K) dla fazy ciekłej i dla fazy krystalicznej (w której w yróżniono obszary w ystępow ania trzech

rodzajów sieci krystalicznej: bcc, hep i fcc). T y lko dla 4 Hc zaznaczony jest obszar w ystępow ania n adciekłości (He II)

T a b e l a 2

Wartości liczbowe param etru

A

dla kilku k ry sz tałó w kw antow ych

Rodzaj atom u 3 He 4 He Ne Ar Kr Xe

A

3,1 2,7 0,6 0,18 0,10 0,06

Dla obu izotopów helu mamy

A

>1, co oznacza, iż drgań atomów helu w fazie krystalicznej nie można uważać za małe. Można także scharakteryzować drgania zerowe podając wartość parametru

%.

Dla 3He mamy:

<u>

1 A

,d =

3,77 A, tak więc £«0,3 i wJtunek konieczny dla stosowalności przybliżenia małych drgań znów nie jest spełniony: wychylenia atomów z położeń równowagi są rzędu stałej sieci. Wyraźnie widać, że standardowe metody teoretyczne, stosowane przy rozpatrywaniu kryształów klasycznych, nie dadzą się przenieść na kryształy złożone z atomów helu. Są to wyraźnie kryształy kwantowe. Analiza teoretyczna dynamiki tych kryształów jest bardzo złożona. W przeglądzie G u y e r a (1969), do którego odsyłamy zainteresowanych po odnośniki do prac wcześniejszych na ten temat, autor stwierdził wyraźnie: „... badania doświadczalne nad kwantowymi ciałami stałymi daleko wyprzedziły teorię” . Do chwili obecnej zanotowano jednak już znaczny postęp teorii (patrz np. nowsze prace: H a n s e n i P o l l a c k 1 9 7 2 ; C a n u t o i in. 1973, 1974), wywołany niekiedy potrzebami nie tyle fizyki ciała stałego, ile możliwością przeniesienia jej metod do dziedziny badań nad krystaliczną materią neutronową w pulsarach (o czym będzie mowa w następnej

192 M. S. Borczuch, B. Kuchowicz

części obecnego arty k u łu ). Niekiedy specjaliści od problem atyki kryształów kwantowych ( C a n u t o , C h i t r e , </> s t g a a r d) stosują rozw inięte przez siebie m etody formalne bez­ pośrednio do analizy materii jądrowej; są to m etody macierzy t, wykorzystanie równania

Bethego-Goldstone’a, m etody korelacji m ałego zasięgu i wreszcie użycie m etody Monte Carlo do obliczenia energii stanu podstawowego. Przegląd różnych m etod podaje G u y e r (1969), można także polecić późniejsze prace (B r.a n d o w 1972; C a n u t o i in. 1973; G u y e r i Z a n e 1969).

Ze względu na dopuszczalne rozmiary naszego przeglądu nie jesteśmy w stanie zająć się szczegółowo wszystkimi tym i metodami. Wspomnieliśmy o nich jedynie przykładow o, dla wskazania wyłaniających się ostatnio, coraz liczniejszych powiązań pom iędzy fizyką ciała stałego i niskich tem peratur a astrofizyką - powiązań, o jakich przed kilkunastu laty prawie nikom u się nie śniło. Również w dalszych rozdziałach naszego a rty k u łu , przy omawianiu fizyki kryształów jądrow ych, ograniczać się będziem y jedynie do poglądowego przedstawienia uzyskanych dotychczas wyników — w sposób (jak się nam wydaje) zrozum iały dla astrofizyka, nie dysponującego specjalistyczną wiedzą z zakresu fizyki jądrowej. Podkreślamy, że arty k u ł nasz jest napisany pod kątem widzenia przydatności jego dla astrofizyków, a nie dla fizyków jądrowych.

W dokumencie Postępy Astronomii nr 3/1976 (Stron 41-46)