W tym rozdziale wykorzystamy wyniki z rozdzia lu 2, w szczeg´olno´sci stwierdzenie 2.19, do rozwa˙za´n o w lasno´sciach krzywych w przestrzeni hiperbolicznej, a tak˙ze cz¸e´sciowo na og´olnych rozmaito´sciach Hadamarda.
Po definicji i podstawowych faktach dotycz¸acych rozmaito´sci Hadamarda po-jawia si¸e stwierdzenie 3.5 m´owi¸ace o tym, ˙ze krzywa na rozmaito´sci Hadamarda okre´slona na ca lej prostej, ograniczona i o ograniczonej krzywi´znie, osi¸aga lokalne maksimum odleg lo´sci od pewnego punktu.
Z drugiej strony, krzywa osi¸agaj¸aca lokalne maksimum odleg lo´sci w przestrzeni hiperbolicznej ma w pewnym punkcie krzywizn¸e r´own¸a co najmniej a . Jest to tre´sci¸a stwierdzenia 3.9 i wniosku 3.10. Pewnym uog´olnieniem tego faktu jest stwierdzenie 3.14, kt´ore ograniczenie dolne na krzywizn¸e uzale˙znia od zawracania do α–kuli, co jest warunkiem s labszym od lokalnego maksimum odleg lo´sci.
Stwierdzenie 3.12 m´owi, ˙ze krzywa o ma lej krzywi´znie ucieka do niesko´nczono´sci i jest zapowiedzi¸a g l´ownego wyniku w tym rozdziale — twierdzenia 3.30, kt´ore gwarantuje posiadanie granicy na brzegu idealnym przez krzyw¸a o ma lej krzywi´znie.
Zauwa˙zmy, ˙ze analogiczne fakty s¸a w przestrzeni euklidesowej fa lszywe.
Ci¸ag definicji i twierdze´n z pracy [EN], o numerach od 3.15 do 3.25 pozwala nam precyzyjnie zdefiniowa´c topologi¸e sto˙zkow¸a i brzeg idealny dla rozmaito´sci Hadamarda, a tak˙ze przygotowa´c pewne podstawy do rozwa˙za´n w rozdziale 4.
3.1. Definicja. Rozmaito´sci¸a Hadamarda nazywamy rozmaito´s´c riemannowsk¸a wymiaru co najmniej 2 zupe ln¸a, jednosp´ojn¸a, o krzywi´znie sekcyjnej ograniczonej z g´ory przez 0.
Przyk ladami rozmaito´sci Hadamarda s¸a przestrze´n euklidesowa Rn i przestrze´n hiperboliczna Hna dla n≥ 2 i a > 0.
Stosuj¸ac poj¸ecie rozmaito´sci Hadamarda mo˙zna klasyczne twierdzenie Hadamarda–
Cartana, pojawiaj¸ace si¸e na przyk lad w ksi¸a˙zce [GKM], sformu lowa´c nast¸epuj¸aco 3.2. Twierdzenie Hadamarda–Cartana. Je˙zeli M jest rozmaito´sci¸a Hadamarda, to dla dowolnego p∈ M odwzorowanie wyk ladnicze w punkcie p jest dyfeomorfizmem pomi¸edzy M i TpM . ■
3.3. Wniosek. Dla dowolnych punkt´ow p i q rozmaito´sci Hadamarda M istnieje dok ladnie jedna geodezyjna na M sprametryzowana d lugo´sci¸a luku i l¸acz¸aca p z q.
■
W dalszym ci¸agu d b¸edzie oznacza´c metryk¸e na rozmaito´sci Hadamarda, a o krzywych b¸edziemy zak lada´c, ˙ze s¸a regularne.
3.4. Lemat. Niech M b¸edzie rozmaito´sci¸a Hadamarda, a γ : (−ε, ε) → M krzyw¸a g ladk¸a osi¸agaj¸ac¸a w zerze lokalne maksimum odleg lo´sci od pewnego punktu q ∈ M
Typeset byAMS-TEX
takiego, ˙ze d(γ(0), q) = l. Niech ponadto c : R → M b¸edzie geodezyjn¸a sparame-tryzowan¸a d lugo´sci¸a luku tak¸a, ˙ze c(0) = γ(0) i c(l) = q. W´owczas dla ka˙zdego l′ > l punkt p = c(l′) ma t¸e w lasno´s´c, ˙ze krzywa γ osi¸aga w zerze lokalne w la´sciwe maksimum odleg lo´sci od punktu p.
Dow´od. Z za lo˙zenia wynika, ˙ze dla ka˙zdego t z pewnego otoczenia zera I zachodzi nier´owno´s´c
(3.1) d(q, γ(t))≤ d(q, γ(0)) = l.
Z jednoznaczno´sci geodezyjnych na M i nier´owno´sci tr´ojk¸ata stosuj¸ac (3.1) otrzy-mujemy
(3.2) l′ = d(p, γ(0)) = d(p, q) + d(q, γ(0)) ≥ d(p, q) + d(q, γ(t)).
Krzywa γ jako regularna jest lokalnie r´o˙znowarto´sciowa, czyli w pewnym s¸asiedztwie zera ˜I ⊂ I
(3.3) d(q, γ(t)) < l
lub
(3.4) γ(t)̸= γ(0).
W przypadku (3.3) ostatnia nier´owno´s´c w (3.2) jest ostra i korzystaj¸ac z nier´owno´sci tr´ojk¸ata dla △pqγ(t) otrzymujemy w ˜I ostre oszacowanie d(p, γ(t)) przez l′.
Punkty z ˜I, kt´ore spe lniaj¸a warunek (3.4), a nie spe lniaj¸a (3.3), nie s¸a wsp´o lliniowe z punktami p i q (nie nale˙z¸a do obrazu geodezyjnej c) i ze wzgl¸edu na jednoznaczno´s´c geodezyjnych spe lniaj¸a nier´owno´s´c
d(p, q) + d(q, γ(t)) > d(p, γ(t)), kt´ora wraz z (3.2) i przypadkiem (3.3) daje tez¸e. ■
3.5. Stwierdzenie. Niech M b¸edzie rozmaito´sci¸a Hadamarda. Je˙zeli krzywa g ladka γ : R → M, sparametryzowana d lugo´sci¸a luku, jest ograniczona w M i ma ograniczon¸a krzywizn¸e geodezyjn¸a, to osi¸aga lokalne maksimum odleg lo´sci od pewnego punktu p∈ M.
W dowodzie stwierdzenia 3.5 wykorzystamy poj¸ecie metryki Sasakiego z ksi¸a˙zki [S] i dwa lematy o funkcjach.
3.6. Definicja. Metryk¸a Sasakiego w wi¸azce stycznej T M rozmaito´sci rieman-nowskiej (M, g) nazywamy metryk¸e riemannowsk¸a G dan¸a wzorem
(3.5) G(X, Y ) = g(π∗X, π∗Y ) + g(KX, KY ) dla X, Y ∈ X(T M),
gdzie π : T M → M jest kanonicznym rzutowaniem wi¸azki stycznej, a K – odworowaniem koneksji.
3.7. Lemat. Niech φ : R → R b¸edzie funkcj¸a klasy C1. W´owczas φ spe lnia co najmniej jeden z poni˙zszych warunk´ow
(i) φ ma lokalne maksimum,
(ii) istnieje τ ∈ R takie, ˙ze φ|[τ,+∞) jest niemalej¸aca,
(iii) istnieje τ ∈ R takie, ˙ze ˜φ|[τ,+∞) jest niemalej¸aca, gdzie ˜φ = φ◦ (− id).
Dow´od. Z za lo˙zenia wynika, ˙ze φ′ jest funkcj¸a ci¸ag l¸a. Je˙zeli φ′ ≥ 0, to jest spe lniony warunek (ii). Je˙zeli natomiast φ′ ≤ 0, to funkcja ˜φ ma nieujemn¸a pochodn¸a i zachodzi (iii).
Przypu´s´cmy teraz, ˙ze pochodna funkcji φ zmienia znak w pewnym punkcie τ . Zmiana znaku z dodatniego na ujemny oznacza lokalne maksimum, czyli wype lnienie warunku (i). Je˙zeli φ′ zmienia znak z ujemnego na dodatni, to ewentualna nast¸epna (dla τ′ > τ ) zmiana implikowa laby istnienie maksimum lokalnego, a brak zmiany
— nieujemno´s´c pochodnej w przedziale [τ, +∞) czyli (ii). □
3.8. Lemat. Niech (φm)m∈Nb¸edzie ci¸agiem funkcji, okre´slonych w pewnym otocze-niu zera, klasy C1 zbie˙znym jednostajnie do fukcji φ0 klasy C1 oraz niech pochodne φ′m b¸ed¸a zbie˙zne punktowo do φ′0. Je˙zeli φ0 ma lokalne w la´sciwe maksimum w zerze, to istnieje takie ˜m, ˙ze φm˜ ma lokalne maksimum.
Dow´od. Z za lo˙zenia wynika, ˙ze dla pewnych t1 < 0 i t2 > 0 zachodzi φ′0(t1) > 0 oraz φ′0(t2) < 0. Analogiczne nier´owno´sci φ′m˜(t1) > 0 i φ′m˜(t2) < 0 s¸a zatem tak˙ze spe lnione dla pewnego ˜m. Z ci¸ag lo´sci φ′m˜ wynika istnienie lokalnego maksimum tej funkcji w przedziale (t1, t2), kt´ore niekoniecznie jest w la´sciwe. □
Dow´od stwierdzenia 3.5. Za l´o˙zmy, ˙ze krzywizna geodezyjna krzywej γ jest ogranic-zona z g´ory przez liczb¸e b > 0. Niech ponadto q∈ M b¸edzie punktem nie nale˙z¸acym do obrazu krzywej γ. W´owczas funkcja φ :R → R, dana wzorem
φ(t) = d(q, γ(t)) dla t ∈ R,
jest klasy C∞i zgodnie z lematem 3.7 osi¸aga lokalne maksimum (co jest ju˙z tez¸a) lub jest niemalej¸aca w pewnym przedziale [τ, +∞) przy danej lub przeciwnej parame-tryzacji krzywej γ.
Mo˙zemy zatem za lo˙zy´c, ˙ze φ jest niemalej¸aca w przedziale [τ, +∞). Niech r oz-nacza kres g´orny zbioru warto´sci funkcji φ w tym przedziale. Z za lo˙zenia ogranic-zono´sci krzywej wynika, ˙ze r < ∞. Niech B oznacza kul¸e domkni¸et¸a o ´srodku q i promieniu r.
Z definicji r i monotoniczno´sci φ wynika, ˙ze istnieje ci¸ag liczb (tm) wi¸ekszych od τ , tm → ∞, taki, ˙ze
d(q, γ(tm))→ r, tm→ ∞.
St¸ad i ze zwarto´sci kuli B otrzymujemy istnienie podci¸agu ci¸agu (tm) (b¸edziemy go nadal oznacza´c tym samym symbolem) i punktu x∈ ∂B o tej w lasno´sci, ˙ze
(3.6) γ(tm)→ x, m→ ∞.
Rozwa˙zmy ci¸ag funkcji ( ˙γm)m∈N dany wzorami
˙γm(t) = ˙γ(t + tm), t∈ [−1, 1], m ∈ N.
Dzia laj¸a one z przestrzeni zwartej [−1, 1] do przestrzeni T1B.
Poniewa˙z na mocy twierdzenia 3.3 kula B jest dyfeomorficzna z domkni¸et¸a kul¸a euklidesow¸a, wi¸ec T1B jest zwarta i tym samym zupe lna.
Funkcje ˙γm s¸a ponadto wsp´olnie ograniczone, poniewa˙z ze wzgl¸edu na lukow¸a parametryzacj¸e krzywej γ ich obrazy le˙z¸a w zbiorze T1B.
W celu wykazania jednakowej jednostajnej ci¸ag lo´sci ci¸agu ( ˙γm) skorzystamy z za lo˙zonego ograniczenia krzywizny geodezyjnej krzywej γ
(3.7) kg(γ) =∥ e∇γ˙˙γ∥ ≤ b
oraz faktu, ˙ze dla dowolnych t, s∈ [−1, 1] i m ∈ N zachodzi nier´owno´s´c (3.8) D( ˙γ(t), ˙γ(s))≤
gdzie D i ∥|.∥| oznaczaj¸a odpowiednio metryk¸e na T M i norm¸e pochodz¸ace od metryki Sasakiego G. Z definicji (3.5) i oszacowania (3.7) oraz parametryzacji γ d lugo´sci¸a luku otrzymujemy nier´owno´s´c
(∥|¨γ∥|)2 =∥π∗γ¨∥2+∥K¨γ∥2 =∥ ˙γ∥2+∥ e∇γ˙ ˙γ∥2 ≤ 1 + b2, kt´ora wraz z (3.8) implikuje oszacowanie
(3.9) D( ˙γm(t), ˙γm(s)) ≤√
1 + b2 |t − s|.
Tym samym funkcje ˙γm, m∈ N s¸a jednakowo jedostajnie ci¸ag le.
Na mocy twierdzenia Arzeli–Ascoliego istnieje podci¸ag tego ci¸agu (b¸edziemy go nadal oznacza´c ( ˙γm)) zbie˙zny jednostajnie do krzywej ciag lej Γ0 : [−1, 1] → T1B.
Oznaczmy przez γ0 rzut Γ0 na M . W´owczas ci¸ag krzywych γm= π ˙γm jest zbie˙zny jednostajnie do krzywej γ0 klasy C1 w przestrzeni M .
Z istnienia granicy (3.6) wynika, ˙ze γ0(0) = x ∈ ∂B, a poniewa˙z ca ly obraz krzywej γ0 zawiera si¸e w B, wi¸ec γ0 osi¸aga dla t = 0 lokalne maksimum odleg lo´sci od punktu q. Wybieraj¸ac zgodnie z lematem 3.4 punkt p /∈ γ0([−1, 1]) mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze funkcja φ0 odleg lo´sci punkt´ow krzywej γ0 od p jest klasy C1 i osi¸aga lokalne maksimum w la´sciwe w punkcie 0.
Jednostajna zbie˙zno´s´c γm ⇒ γ0 gwarantuje jednostajn¸a zbie˙zno´s´c ci¸agu funkcji φm= d(γm(.), p) do φ0, a wraz ze zbie˙zno´sci¸a ˙γm⇒ Γ0 tak˙ze punktow¸a zbie˙zno´s´c ci¸agu φ′m do φ′0.
S¸a zatem spe lnione za lo˙zenia lematu 3.8 sk¸ad wynika, ˙ze dla pewnego ˜m krzywa γm˜ osi¸aga lokalne maksimum odleg lo´sci od punktu p. Zatem krzywa γ w przedziale [tm˜ − 1, tm˜ + 1] tak˙ze przyjmuje lokalne maksimum odleg lo´sci od p. ■
W nast¸epnym stwierdzeniu poka˙zemy, jakie s¸a konsekwencje posiadania przez krzyw¸a lokalnego maksimum odleg lo´sci
3.9. Stwierdzenie. Je˙zeli krzywa g ladka γ : (−ε, ε) → Hna przyjmuje w punkcie 0 lokalne maksimum odleg lo´sci od pewnego punktu rozmaito´sci Hna, to krzywizna geodezyjna krzywej γ w zerze jest nie mniejsza ni˙z a.
Dow´od stwierdzenia poprzedzimy lematem pochodz¸acym z ksi¸a˙zki [C2].
3.10. Lemat. Na rozmaito´sci Hna pole Jacobiego J wzd lu˙z geodezyjnej normalnej c : [0, l]→ M spe lniaj¸ace warunki J(0) = 0, J(l) = v, gdzie ∥v∥ = 1 i ⟨v, ˙c(l)⟩ = 0, wyra˙za si¸e wzorem
(3.10) J (t) = sinh at
sinh alE(t),
w kt´orym E oznacza jednostkowe pole r´ownoleg le wzd lu˙z c takie, ˙ze E(l) = v. □ Dow´od stwierdzenia 3.9. Za l´o˙zmy, ˙ze krzywa γ jest sparametryzowana d lugo´sci¸a luku oraz niech w punkcie 0 przyjmuje lokalne maksimum odleg lo´sci od punktu q ∈ M, r´owne l. Oznaczmy przez c jedyn¸a geodezyjn¸a l¸acz¸ac¸a punkty q i γ(0), okre´slon¸a na odcinku [0, l] (wynika st¸ad, ˙ze jest ona sparametryzowana d lugo´sci¸a luku).
Rozwa˙zmy wariacj¸e V : [0, l]× (−ε, ε) → M geodezyjnej c dan¸a wzorem V (s, t) = ct(s) dla s∈ [0, l], t ∈ (−ε, ε),
gdzie ct oznacza jedyn¸a geodezyjn¸a okre´slon¸a na odcinku [0, l] l¸acz¸ac¸a punkty p i γ(t).
W´sr´od krzywych wariacji V krzywa c = c0 ma maksymaln¸a d lugo´s´c, zatem je˙zeli oznaczymy przez L(t) d lugo´s´c krzywej ct, to w´owczas
(3.11) L′(0) = 0 oraz L′′(0)≤ 0.
Wykorzystamy wzory na pierwsz¸a i drug¸a wariacj¸e d lugo´sci luku z ksi¸a˙zki [GKM].
Oznaczaj¸ac przez Y obci¸ecie pola V∗D2 wariacji V do krzywej c i stosuj¸ac wz´or na pierwsz¸a wariacj¸e d lugo´sci luku otrzymujemy z (3.11), ˙ze
0 = L′(0) = g(Y, ˙c)|l0.
Punktem pocz¸atkowym ka˙zdej z krzywych ct jest p, wi¸ec Y (0) = 0 sk¸ad, i z powy˙zszego, g(Y (l), ˙c(l)) = 0. Poniewa˙z iloczyn skalarny pola Jacobiego przez wektor styczny do geodezyjnej, wzd lu˙z kt´orej jest okre´slone, jest liniow¸a funkcj¸a parametru geodezyjnej, zatem g(Y, ˙c) = 0 wzd lu˙z ca lej krzywej c.
W zwi¸azku z tym we wzorze na drug¸a wariacj¸e d lugo´sci krzywej pole ˜Y = Y − g(Y, ˙c) ˙c wzd lu˙z c staje si¸e polem Y i wz´or ten przyjmuje posta´c
(3.12) L′′(0) =
∫ l 0
(g(Y′, Y′)− g(R(Y, ˙c) ˙c, Y ))|tdt + g( e∇YY, ˙c)|l
(′ oznacza r´o˙zniczkowanie po parametrze wzd lu˙z krzywej c). W drugim sk ladniku granic¸e doln¸a 0 mo˙zna pomin¸a´c, bo Y (0) = 0.
Warto´s´c pola V∗D2 w punkcie (l, t) pokrywa si¸e z wektorem ˙γ(t), sk¸ad wida´c, ˙ze (3.13) ∇eYY|l = e∇γ˙˙γ|0.
Korzystaj¸ac z warunku (3.11), faktu ˙ze krzywizna sekcyjna naHna jest stale r´owna
−a2 i ortogonalno´sci wektor´ow Y i ˙c otrzymujemy ze wzoru (3.12) oszacowanie (3.14)
Z zale˙zno´sci (3.13) i nier´owno´sci Schwarza latwo mo˙zna oszacowa´c z do lu krzy-wizn¸e geodezyjn¸a krzywej γ w 0
kg(γ)(0) =∥ e∇γ˙ ˙γ|0∥ = ∥ e∇YY|l∥ = ∥ e∇YY|l∥ · ∥ ˙c(l)∥ ≥ ∥g( e∇YY, ˙c)|l∥,
Podstawiaj¸ac w za lo˙zeniach lematu 3.10 J = Y i v = ˙γ(0) otrzymujemy ze wzoru (3.10), ˙ze
Y (t) = sinh at
sinh alE(t) i Y′(t) = a cosh at sinh al E(t),
gdzie E jest jednostkowym polem r´ownoleg lym. Wynika st¸ad, ˙ze funkcja podca lkowa w (3.15) ma posta´c
a2
sinh2al(sinh2at + cosh2at) = a2
sinh2alcosh 2at,
co z kolei po obliczeniu ca lki wraz z nier´owno´sci¸a (3.15) daje oszacowanie krzywizny geodezyjnej krzywej γ
(3.16) kg(γ)(0)≥ a sinh 2al
sinh2al = a e2al− e−2al e2al + e−2al+ 2
Zgodnie z lematem 3.4 punkt q mo˙zna zast¸api´c punktem p oddalonym od punktu γ(0) dowolne l′ > l bez utraty lokalnego maksimum. Zatem w nier´owno´sci (3.16) mo˙zliwe jest przej´scie graniczne l → ∞ i teza wynika z faktu, ˙ze granic¸a prawej strony jest a. ■
3.11. Wniosek. Ka˙zda krzywa zamkni¸eta w przestrzeniHna ma w pewnym punkcie krzywizn¸e geodezyjn¸a nie mniejsz¸a ni˙z a. ■
Nier´owno´s´c (3.15) mo˙zemy otrzyma´c zak ladaj¸ac tylko, ˙ze w za lo˙zeniach stwierdzenia 3.9 wyst¸epuje rozmaito´s´c Hadamarda o krzywi´znie ograniczonej z g´ory przez −a2. Mimo, ˙ze stwierdzenie 3.9 zachodzi przy dowolnej sta lej ujemnej krzywi´znie, stan-dardowe oszacowania dla p´ol Jacobiego (na przyk lad z ksi¸a˙zki [Ba]) s¸a zbyt s labe, aby, nawet przy za lo˙zeniu −b2 ≤ K ≤ −a2, udowodni´c analogon stwierdzenia 3.9.
Stwierdzenie 3.9 b¸edziemy wielokrotnie stosowa´c jako warunek dostateczny posi-adania du˙zej krzywizny.
3.12. Stwierdzenie. Je˙zeli γ : [0,∞) → Hna jest krzyw¸a g ladk¸a o krzywi´znie geodezyjnej ograniczonej z g´ory przez a− ε, dla pewnego ε > 0, to obraz krzywej γ jest nieograniczony w Hna.
Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze zbi´or γ([0,∞)) jest ograniczony w Hna. Niech S oznacza sfer¸e euklidesow¸a prostopad l¸a do sfery ∂Dna i tak¸a, ˙ze γ(0) ∈ S, ˙γ(0) ⊥ S. Inwer-sja ι wzgl¸edem sfery S jest, na podstawie stwierdzenia 2.8, izometri¸a przestrzeni hiperbolicznej na siebie, zachowuje zatem krzywizn¸e krzywej i fakt ograniczono´sci zbioru. Rozwa˙zaj¸ac krzyw¸a
β(t) =
{ γ(t), gdy t≥ 0 ι(γ(−t)), gdy t < 0
otrzymujemy wi¸ec, ˙ze jest ona g ladka, ograniczona i ma ograniczon¸a z g´ory przez a− ε krzywizn¸e geodezyjn¸a.
Ze stwierdzenia 3.5 wynika, ˙ze krzywa β osi¸aga dla t0 lokalne maksimum od-leg lo´sci od pewnego punktu p ∈ Hna. W´owczas jednak na mocy stwierdzenia 3.9 ma ona w tym punkcie krzywizn¸e geodezyjn¸a nie mniejsz¸a ni˙z a. Zatem krzywizna geodezyjna krzywej γ w punkcie |t0| wynosi co najmniej a; sprzeczno´s´c. ■
Kolejny dowodzony fakt b¸edzie w pewnym sensie uog´olnia l stwierdzenie 3.9 gwarantuj¸ac w zamian za os labienie za lo˙zenia lokalnego maksimum mniejsze ogranicze-nie dolne na krzywizn¸e geodezyjn¸a. Oka˙ze si¸e niezwykle pomocny przy dowodzeniu w rozdziale 5 ci¸ag lo´sci w lo˙zenia brzegu idealnego li´scia w brzeg idealny przestrzeni Hna.
3.13. Definicja. M´owimy, ˙ze krzywa g ladka γ : I → M zawraca do podzbioru domkni¸etego F rozmaito´sci M , je˙zeli istniej¸a liczby t1 < t2 z dziedziny γ takie, ˙ze γ(t1), γ(t2)∈ ∂F oraz γ([t1, t2])∩ intF = ∅.
3.14. Stwierdzenie. Je˙zeli krzywa γ : I → Hna zawraca do domkni¸etej α–kuli, to ma w pewnym punkcie krzywizn¸e nie mniejsz¸a ni˙z a cos α.
Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze krzywa γ zawraca do domkni¸etej α– kuli o ´srodku y i niech zbi´or γ([t1, t2]) b¸edzie roz l¸aczny z jej wn¸etrzem oraz niech punkty γ(t1) i γ(t2) nale˙z¸a do α–sfery ograniczj¸acej t¸e α–kul¸e.
Poniewa˙z domkni¸ete horokule o euklidesowych ´srodkach znajduj¸acych si¸e na od-cinku otwartym 0y tworz¸a ci¸ag wst¸epuj¸acy pokrywaj¸acy ca l¸a przestrze´n Hna, to tak˙ze domkni¸ete α1–kule o ´srodkach le˙z¸acych na odcinku otwartym 0y tworz¸a ci¸ag wst¸epuj¸acy pokrywaj¸acy zbi´or γ([t1, t2]), dla pewnego α1 ≤ α. Niech B oznacza minimaln¸a spo´sr´od powy˙zszych α1–kul.
Istnieje wtedy liczba t0 ∈ I taka, ˙ze γ(t0)∈ ∂B. Poka˙zemy, ˙ze
(3.17) kg(γ)(t0)≥ a cos α.
Krzywa zawracaj¸aca do α–kuli nie mo˙ze by´c zawarta w prostej, zatem posiada w γ(t0) okr¸ag ´sci´sle styczny c Ze stwierdzenia 2.12 (iii) wynika, ˙ze
(3.18) kg(γ)(t0) = kg(c),
Lemat 1.1 gwarantuje nam istnienie sfery S takiej, ˙ze c ⊂ S ⊂ B. Styczno´s´c sfer S i ∂B poci¸aga za sob¸a, na mocy lematu 1.2, przecinanie si¸e sfer S i ∂Dna pod k¸atem α2 ≤ α1 lub zawieranie si¸e sfery S w Dan.
Drugi przypadek daje od razu tez¸e zgodnie z wnioskiem 3.11, a w pierwszym S jest α2–sfer¸a. W´owczas okr¸ag c jako po lo˙zony na α2–sferze ma, wed lug stwierdzenia 2.19, krzywizn¸e nie mniejsz¸a ni˙z a cos α2. St¸ad i z (3.18) otrzymujemy, ˙ze
kg(γ)(t0)≥ a cos α2 ≥ a cos α1 ≥ a cos α, sk¸ad wynika nier´owno´s´c (3.17) i teza. ■
Opiszemy teraz, na podstawie pracy [EN], poj¸ecie brzegu idealnego rozmaito´sci Hadamarda, topologii sto˙zkowej i pewne ich w lasno´sci.
3.15. Definicja. Geodezyjne γ i τ na rozmaito´sci Hadamarda M , okre´slone na przedziale [0,∞), sparametryzowane d lugo´sci¸a luku, nazywamy asymptotycznymi, je˙zeli istnieje liczba C > 0 taka, ˙ze dla ka˙zdego t≥ 0
(3.19) d(γ(t), τ (t))≤ C.
3.16. Definicja. Punktem w niesko´nczono´sci rozmaito´sci Hadamarda M nazy-wamy klas¸e abstrakcji [γ] pewnej geodezyjnej γ : [0,∞) → M wzgl¸edem relacji asymptotyczno´sci.
Brzegiem idealnym rozmaito´sci Hadamarda nazywamy zbi´or wszystkich jej punkt´ow w niesko´nczono´sci. Brzeg idealny rozmaito´sci M oznaczamy przez M (∞), a zbi´or M ∪ M(∞) symbolem M.
3.17. Definicja. Przed lu˙zeniem asymptotycznym geodezyjnej γ : (−∞, infty) → M nazywamy odwzorowanie γ : [−∞, ∞] → M dane wzorami
γ|(−∞,∞) = γ, γ(∞) =[
γ|[0,∞)]
, γ(−∞) =[
(γ◦ (− id))|[0,∞)] .
Przed lu˙zeniem asymptotycznym izometrii ι : M → M nazywamy odwzorowanie ι : M → M pokrywaj¸ace si¸e z ι na M i takie, ˙ze
ι(x) = ι◦ γ(∞) dla x ∈ M(∞), γ ∈ x.
3.18. Definicja. Dopuszczaln¸a topologi¸a na M , gdzie M jest rozmaito´sci¸a Hadamarda, nazywamy rodzin¸e O podzbior´ow zbioru M spe lniaj¸ac¸a warunki:
(i) topologia indukowana przez O na M pokrywa si¸e z topologi¸a M, oraz zbi´or M jest g¸esty w M ,
(ii) przed lu˙zenie asymptotyczne dowolnej geodezyjnej na M jest ci¸ag le, (iii) przed lu˙zenie asymptotyczne dowolnej izometrii na M jest ci¸ag le,
(iv) dla dowolnego x ∈ M(∞), r > 0 i otoczenia V punktu x istnieje otoczenie U punktu x takie, ˙ze zbi´or wszystkich punkt´ow z M odleg lych od zbioru U o mniej ni˙z r zawiera si¸e w V ; przyjmujemy, ˙ze punkt w niesko´nczono´sci jest odleg ly od punkt´ow w M i od innych punkt´ow w niesko´nczono´sci o ∞.
3.19. Definicja. K¸atem o wierzcho lku p opartym na luku q1q2, gdzie p ∈ M, q1, q2 ∈ M, q1, q2 ̸= p nazywamy liczb¸e
∢p(q1, q2) =∢(γ1′(0), γ2′(0)),
gdzie γ1 i γ2 s¸a geodezyjnymi sparametryzowanymi d lugo´sci¸a luku, l¸acz¸acymi punkt p z punktami q1 i q2, odpowiednio; dla punktu x ∈ M(∞) tak¸a geodezyjn¸a jest γ ∈ x taka, ˙ze γ(0) = p.
3.20. Definicja. Sto˙zkiem o wierzcho lku p ∈ M, osi v ∈ T1M i k¸acie rozwarcia ε > 0, gdzie p = π(v), nazywamy zbi´or
C(v, ε) ={q ∈ M; ∢p(q, γv(∞)) < ε},
przy czym γv oznacza geodezyjn¸a na M spe lniaj¸ac¸a warunek pocz¸atkowy ˙γ(0) = v.
Sto˙zkiem ´sci¸etym na wysoko´sci r > 0 nazywamy zbi´or T (v, ε, r) b¸ed¸acy r´o˙znic¸a sto˙zka C(v, ε) i kuli domkni¸etej, o ´srodku p i promieniu r, w M .
3.21. Stwierdzenie. Istnieje dok ladnie jedna topologia na M , gdzie M jest roz-maito´sci¸a Hadamarda, spe lniaj¸aca warunek (i) definicji 3.18 oraz taka, ˙ze dla ka˙zdego x∈ M(∞) rodzina wszystkich sto˙zk´ow zawieraj¸acych x jest lokaln¸a baz¸a tej topologii w punkcie x. ■
3.22. Definicja. Topologi¸e, kt´orej istnienie i jednoznaczno´s´c gwarantuje stwierdze-nie 3.21 nazywamy topologi¸a sto˙zkow¸a na M .
3.23. Stwierdzenie. Dla ustalonego punktu p rozmaito´sci Hadamarda M , rodzina wszystkich sto˙zk´ow ´sci¸etych o wierzcho lku p, zawieraj¸acych x∈ M(∞), stanowi baz¸e punktow¸a topologii sto˙zkowej na M w punkcie x. ■
3.24. Stwierdzenie. Topologia sto˙zkowa jest dopuszczalna. ■
3.25. Twierdzenie. Je˙zeli p jest dowolnym punktem rozmaito´sci Hadamarda M , B domkni¸et¸a kul¸a jednostkow¸a w przestrzeni TpM , a f homeomorfizmem odcinka [0, 1] na [0,∞], to odwzorowanie Ψ : B → M dane wzorem
Ψ(v) = exp(f (∥v∥)v) dla v ∈ B jest homeomorfizmem B na M i jego obci¸ecie
Ψ|Tp1M : Tp1M ∋ v 7→ γv(∞) ∈ M(∞) jest homeomorfizmem Tp1M na M (∞). ■
3.26. Wniosek. Brzeg idealny Hna(∞) przestrzeni hiperbolicznej Hna jest sfer¸a
∂Dan. ■
Przytoczymy jeszcze stwierdzenie, pochodz¸ace z pracy [BN], o istnieniu geodezyjnych na rozmaito´sci Hadamarda z brzegiem idealnym, kt´ore wykorzystamy w rozdziale 4.
3.27. Stwierdzenie. Je˙zeli rozmaito´s´c Hadamarda M ma krzywizn¸e ograniczn¸a z g´ory przez liczb¸e ujemn¸a, to dla dowolnych x, y ∈ M(∞) istnieje geodezyjna σ :R → M sparametryzowana d lugo´sci¸a luku i taka, ˙ze σ− = (σ◦ (− id))|[0,∞) ∈ x oraz σ+ = σ|[0,∞) ∈ y. Innymi s lowy, przed lu˙zenie asymptotyczne geodezyjnej σ (w obie strony) l¸aczy x z y. ■
Kolejne definicje pos lu˙z¸a nam do sformu lowania i dowodu twierdzenia, kt´ore jest celem tego rozdzia lu. M´owi ono, ˙ze krzywa o ma lej krzywi´znie ma granic¸e na brzegu przestrzeni hiperbolicznej.
3.28. Definicja. Je˙zeli γ jest krzyw¸a dzia laj¸ac¸a z przedzia lu [0, inf ty) w roz-maito´s´c Hadamarda M oraz w w przestrzeni topologicznej M (z topologi¸a sto˙zkow¸a) istnieje granica
t→∞lim γ(t)
nale˙z¸aca do M (∞), to t¸e granic¸e nazywamy ko´ncem krzywej γ i oznaczamy przez γ(∞).
Ko´ncem zbioru otwartego U w M nazywamy (by´c mo˙ze pusty) podzbi´or U∞ brzegu M (∞) z lo˙zony ze wszystkich punkt´ow posiadaj¸acych otoczenie sto˙zkowe, kt´orego cz¸e´s´c wsp´olna z M zawiera si¸e w U .
3.29. Uwaga Ko´ncem geodezyjnej γ : [0,∞) → M jest warto´s´c dla ∞ jej przed lu˙zenia asymptotycznego γ, zatem oznaczenie γ(∞) jest jednoznaczne.
3.30. Twierdzenie. Krzywa g ladka γ : [0,∞) → Hna o krzywi´znie geodezyjnej ograniczonej z g´ory przez a− ε, dla pewnego ε > 0, posiada koniec.
Dow´od. Wniosek 3.26 pozwala nam na przeniesienie rozwa˙za´n do domkni¸etej kuli Dna. Niech γ b¸edzie krzyw¸a o krzywi´znie ograniczonej z g´ory przez a− ε.
Oznaczmy przez α taki k¸at, dla kt´orego a cos α = a−2ε. Dla dowolnego t∈ [0, ∞) stwierdzenie 3.14 i za lo˙zone ograniczenie krzywizny krzywej γ gwarantuje nam zaw-ieranie si¸e zbioru γ([t,∞)) w α–obszarze o kierunku wektora ˙γ(t). Niech dla liczby naturalnej m, Am oznacza cz¸e´s´c wsp´oln¸a domkni¸e´c α–obszar´ow o kierunkach ˙γ(k), dla k ∈ N, k ≤ m.
Z twierdzenia 3.12 wynika, ˙ze krzywa γ jest nieograniczona, zatem ˙zaden ze zbior´ow Am nie jest pusty. S¸a one ponadto domkni¸ete (jako sko´nczone iloczyny zbior´ow domkni¸etych) w przestrzeni zupe lnej Dna. Wiemy tak˙ze z lematu 1.5, ˙ze ka˙zdy zbi´or Am, jako zawarty w α–obszarze o kierunku ˙γ(m), zawiera si¸e w odcinku kuli Om wyznaczonym przez hiperp laszczyzn¸e γ(m) + ( ˙γ(m))⊥ i zwrot wektora
˙γ(m).
Ze stwierdzenia 3.9 wynika, ˙ze ci¸ag odleg lo´sci punkt´ow γ(m) od 0 jest niemalej¸acy, a z 3.12 — ˙ze ro´snie do∞. Zatem euklidesowa odleg lo´s´c punkt´ow γ(m) od brzegu kuli Dna maleje do zera, co poci¸aga za sob¸a malenie do zera euklidesowej ´srednicy zbior´ow Om, a tym samym tak˙ze Am.
Spe lnione s¸a wi¸ec za lo˙zenia twierdzenia Cantora, bo zbiory Am z samej definicji tworz¸a ci¸ag zst¸epuj¸acy. Ich cz¸e´sci¸a wsp´oln¸a jest zatem dok ladnie jeden punkt nale˙z¸acy do Hna(∞), kt´ory jest szukanym ko´ncem krzywej γ. ■
3.31. Przyk lady
1. Okr¸ag na horosferze. Jak wynika z wniosku 2.21 okr¸ag po lo˙zony na horosferze i przechodz¸acy przez jej punkt styczno´sci ze sfer¸a ∂Dna ma krzywizn¸e geodezyjn¸a r´own¸a a podobnie jak horocykl, o czym m´owi przyk lad 2.16.2. Krzywe te co prawda posiadaj¸a ko´nce z obu stron, ale s¸a one r´owne i przypadek taki chcieliby´smy wyk-luczy´c z dalszych rozwa˙za´n.
2. Spirala. Rozwa˙zaj¸ac p lask¸a spiral¸e skupiaj¸ac¸a si¸e na ∂Dan zauwa˙zamy, ˙ze nie ma ona ko´nca (istniej¸a podci¸agi jej punkt´ow zbie˙zne do r´o˙znych punkt´ow brzegu).
Z drugiej strony przy wzro´scie argumentu spirala jest bardzo blisko okr¸egowi na sferze ∂Dna, kt´ory z kolei mo˙zna przybli˙za´c okr¸egami o ´srodku 0 i rosn¸acym do
1
a euklidesowym promieniu. Zatem dla du˙zych argument´ow spirala ma krzywizn¸e geodezyjn¸a w Hna wi¸eksz¸a od a, ale blisk¸a a. Mimo to nie ma ko´nca.
Na zako´nczenie rozdzia lu przytoczymy twierdzenia z pracy [LS] b¸ed¸ace odpowied-nikami twierdze´n 3.12 i 3.30 na og´olnej rozmaito´sci Hadamarda. Por´ownanie ich pozwala stwierdzi´c, jak silny wp lyw wywiera metryka hiperboliczna na zachowanie krzywych oraz innych obiekt´ow, o czym przekonamy si¸e w dalszym ci¸agu,
3.32. Stwierdzenie. Je˙zeli M jest rozmaito´sci¸a Hadamarda o niedodatniej krzywi´znie, a γ : [0,∞) → M krzyw¸a sparametryzowan¸a d lugo´sci¸a luku oraz
tlim→∞kg(γ)(t) = 0, to obraz krzywej γ jest nieograniczony. ■
3.33. Twierdzenie. Je˙zeli M jest rozmaito´sci¸a Hadamarda o niedodatniej krzywi´znie, a γ : [0,∞) → M krzyw¸a sparametryzowan¸a d lugo´sci¸a luku oraz iloczyn
kg(γ)(t)· t1+ε
jest ograniczony przy t→ ∞, dla pewnego ε > 0, to krzywa γ posiada koniec. ■
ROZDZIA L 4
PODROZMAITO´SCI I FOLIACJE