Poj¸ecie rozmaito´sci Hadamarda jako jednosp´ojnej, zupe lnej rozmaito´sci rieman- nowskiej o niedodatniej krzywi´znie sekcyjnej zaczerpn¸eli´smy z pracy P

(1)

Maciej Czarnecki

Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem prof. dra hab. Paw la Walczaka

w Katedrze Geometrii Uniwersytetu L´odzkiego L´od´z 2000

Typeset byAMS-TEX

1

(2)

WSTE¸ P

W niniejszej pracy wprowadzamy poj¸ecia foliacji Hadamarda, podajemy natu- ralny warunek dostateczny na to, aby dana foliacja przestrzeni hiperbolicznej by la foliacj¸a Hadamarda oraz wykazujemy, ˙ze przy tym warunku brzegi idealne li´sci wk ladaj¸a si¸e homeomorficznie w brzeg idealny przestrzeni hiperbolicznej.

U ´zr´ode l sformu lowania tego problemu le˙zy praca R. Langevina i J.–C. Sifre’a [LS] o w lasno´sciach asymptotycznych krzywych na rozmaito´sciach Hadamarda oraz praca H. Browne [Br] o ca lkowicie geodezyjnych foliacjach kowymiaru 1 w przestrzeni hiperbolicznej Hⁿ.

Poj¸ecie rozmaito´sci Hadamarda jako jednosp´ojnej, zupe lnej rozmaito´sci riemannowskiej o niedodatniej krzywi´znie sekcyjnej zaczerpn¸eli´smy z pracy P. Eberleina i B. O’Neilla [BN]. Wybrane w lasno´sci brzegu idealnego rozmaito´sci Hadamarda oraz informacje o topologii sto˙zkowej zosta ly wykorzystane do analizy foliacji w przestrzeni hiperbolicznej.

Praca [LS] jest po´swi¸econa mi¸edzy innymi dowodowi twierdzenia mówi¸acego, ˙ze krzywa na rozmaito´sci Hadamarda, o krzywi´znie geodezyjnej d¸a˙z¸acej w nieskończono´sci do zera nie wolniej ni˙z pot¸ega parametru o wyk ladniku −1 − ε, posiada graniçe na brzegu idealnym. Analizowane przez nas krzywe b¸ed¸a geodezyjnymi na li´sciach, wi¸ec ich krzywizna b¸edzie mierzy la drug¸a form¸e podstawow¸a li´sci. Rozwa˙zamy rozmaito´sci sfoliowane o ujemnej, oddzielonej od zera, krzywi´znie, tam bowiem krzywizna li´sci jest niedodatnia, o ile ograniczymy norm¸e drugiej formy podstawowej foliacji przez odpowiednio ma l¸a sta l¸a dodatni¸a. Gdyby takie ograniczenie próbować wprowadzić na rozmaito´sci Hadamarda o niedodatniej krzywi´znie, to jedynymi foliacjami, których li´scie s¸a niedodatnio zakrzywione, by lyby foliacje ca lkowicie geodezyjne.

Z drugiej strony klasa foliacji ca lkowicie geodezyjnych kowymiaru 1 przestrzeni hiperbolicznej Hⁿ jest do´sć obszerna. Jednym z g lównych wyników pracy [Br]

jest istnienie foliacji ca lkowicie geodezyjnej ortogonalnej do jednostkowego pola wektorowego wzd lu˙z geodezyjnej, dla kt´orego norma pochodnej kowariantnej w ka˙zdym punkcie nie przekracza k¸ata pomi¸edzy wektorem tego pola i wektorem stycznym do krzywej, przy dodatkowym za lo˙zeniu, ˙ze k¸at ten nie jest prosty.

Niewielkie dyfeomorficzne zaburzenie foliacji ca lkowicie geodezyjnej nie zmieni jej istotnych w lasno´sci geometrycznych. Mo˙zemy wi¸ec, w przypadku ograniczonej z góry krzywizny rozmaito´sci Hadamarda, otrzymać z foliacji hiperprzestrzeniami hiperbolicznymi wiele foliacji o ujemnie zakrzywionych i jednospójnych li´sciach; ich zupe lno´sć jest cech¸a, która wynika z zupe lno´sci rozmaito´sci sfoliowanej.

Spo´sr´od foliacji rozmaito´sci Hadamarda wyodr¸ebnili´smy te, kt´orych wszystkie li´scie s¸a tak˙ze rozmaito´sciami Hadamarda nadaj¸ac im nazw¸e foliacji Hadamarda.

Powy˙zsze rozwa˙zania pozwalaj¸a przypuszcza´c, ˙ze jest to bogata i ciekawa klasa obiekt´ow geometrycznych.

Problem 4.10 — czy foliacja rozmaito´sci Hadamarda, kt´orej krzywizna sekcyjna nie przekracza−a², o normie drugiej formy podstawowej mniejszej od a, jest foliacj¸a

Typeset byAMS-TEX

(3)

Hadamarda — pozosta l otwarty. W pracy zawarta jest w postaci twierdzenia 4.9 odpowied´z twierdz¸aca dla przestrzeni hiperbolicznej o sta lej krzywi´znie. Mamy jednak nadziej¸e, ˙ze pozytywne rozstrzygni¸ecie og´olnego problemu wi¸a˙ze si¸e tylko z u´sci´sleniem opisanych metod.

Li´scie foliacji Hadamarda posiadaj¸a brzegi idealne b¸ed¸ace topologicznymi sferami.

Je˙zeli odwzorowanie ich w lo˙zenia w brzeg idealny rozmaito´sci sfoliowanej jest do- brze okre´slone, to po lo˙zenie sfer mo˙ze okre´sla´c asymptotyczne w lasno´sci samych li´sci. Twierdzenie 4.11 przes¸adza, ˙ze za lo˙zenie ograniczenia normy drugiej formy podstawowej przez liczb¸e mniejsz¸a od a implikuje istnienie kanonicznego homeo- morfizmu brzegu idealnego li´scia w brzeg idealny przestrzeni hiperbolicznej o sta lej krzywi´znie. Odwzorowanie w lo˙zenia jest ponadto transwersalnie ci¸ag le i mo˙ze, przy dodatkowych za lo˙zeniach, okre´sla´c foliacj¸e klasy C⁰ z osobliwo´sciami sfery ∂Hⁿ.

Zbiory graniczne dla foliacji rozmaito´sci hiperbolicznych s¸a stosunkowo nowym obiektem badań. Pewne wyniki dla rozmaito´sci trójwymiarowych zawarte w pracy S. Fenleya [F] obrazuj¸a stopień z lo˙zono´sci tej tematyki.

Praca zosta la podzielona na cztery rozdzia ly. Pierwsze dwa maj¸a charakter przy- gotowawczy. W rozdziale 1 opisali´smy pewne w lasno´sci okr¸egów w przestrzeni euklidesowej u˙zyteczne przy opisie krzywych w modelu Poincaré. Rozdzia l 2 zosta l w ca lo´sci po´swi¸econy obliczeniom krzywizny okr¸egów i krzywych w przestrzeni Hⁿao sta lej krzywi´znie −a². Wzór na krzywizn¸e luku euklidesowego okr¸egu ze stwierdzenia 2.14 pozwala oszacowa´c z do lu prez a cos α krzywizn¸e luku okr¸egu po lo˙zonego na euklidesowej sferze przecinaj¸acej sfer¸e ∂Hⁿa pod k¸atem α (czyli tak zwanej α–sferze).

Rozdzia l 3 zawiera dwa warunki dostateczne na to, aby krzywa w przestrzeniHⁿa

mia la du˙z¸a krzywizn¸e geodezyjn¸a w pewnym punkcie. Stwierdzenie 3.9 uzale˙znia to od posiadania przez krzyw¸a lokalnego maksimum odleg lo´sci od punktu — wówczas krzywizna jest nie mniejsza ni˙z a. Za lo˙zenie lokalnego maksimum odleg lo´sci mo˙zna os labić przez poj¸ecie zawracania do α–kuli. Wtedy zgodnie ze stwierdzeniem 3.14 krzywa ma w pewnym punkcie krzywizn¸e równ¸a co najmniej a cos α.

Jednym z g lównych wyników pracy jest twierdzenie 3.30 mówi¸ace, ˙ze krzywa w przestrzeni Hⁿa o krzywi´znie ograniczonej z góry przez liczb¸e mniejsz¸a od a ma graniçe na brzegu idealnym. Na ogólnej rozmaito´sci Hadamarda podobny wynik wymaga bardzo szybkiego zmniejszania si¸e krzywizny przy d¸a˙zeniu do brzegu.

W rozdziale 4 umie´scili´smy twierdzenie 4.4, które pokazuje jak metryka hiperboliczna wp lywa na topologi¸e podrozmaito´sci. Znane nam ju˙z za lo˙zenie ograniczenia normy drugiej formy podstawowej przez liczb¸e mniejsz¸a od a daje od razu jed- nospójno´sć podrozmaito´sci.

Rozdzia l 4 zawiera tak˙ze wspomniane ju˙z twierdzenia 4.9 i 4.11, kt´ore s¸a zwie´nczeniem ca lej pracy.

Chcia lbym niniejszym podzi¸ekować promotorowi tej pracy profesorowi Paw lowi Walczakowi, który od pocz¸atku naszej wspó lpracy wk lada l wiele trudu w moj¸a (nie tylko) matematyczn¸a edukacj¸e. Postawiony przez profesora Walczaka problem, którego rozwi¸azanie zosta lo tu podane, umo˙zliwi l mi wszechstronny rozwój technik badawczych.

Specjalne podzi¸ekowanie pragn¸e z lo˙zyć profesorowi Shigenori Matsumoto z Uni- wersytetu Nihon w Tokio, którego wskazówki pomog ly mi ulepszyć praçe.

Mojej ˙zonie Joannie oraz c´orkom Julii i Ani dzi¸ekuj¸e za podtrzymywanie mnie na duchu w chwilach zw¸atpienia.

(4)

ROZDZIA L 1

OKRE¸ GI W PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ

Przestrze´n hiperboliczna n–wymiarowa Hⁿ powstaje przez konforemn¸a zmian¸e metryki riemannowskiej w kuli otwartej zawartej w n-wymiarowej przestrzeni euk- lidesowej. Hⁿ zachowuje wi¸ec wiele w lasno´sci przestrzeni Rⁿ.

B¸edziemy wielokrotnie korzysta´c z mo˙zliwo´sci badania krzywizny krzywej w przestrzeni hiperbolicznej przez odwo lanie si¸e do jej okr¸egu ´sci´sle stycznego, kt´ory podobnie jak w przestrzeni euklidesowej zawiera si¸e chocia˙z cz¸e´sciowo w rozwa˙zanej rozmaito´sci.

Lemat 1.6 zaw¸e˙za istotnie zakres rozwa˙zanych okr¸eg´ow ´sci´sle stycznych dla krzywych ograniczonych z euklidesowego punktu widzenia i tu r´ownie˙z zakrzywionych.

Dalsze ograniczenie jest mo˙zliwe dzi¸eki lematowi 1.1. Definicja α–kuli i α–obszaru pozwol¸a nam na znaczne ograniczenie wahania krzywej o ma lej krzywi´znie w przestrzeni hiperbolicznej. Lemat 1.2 m´owi, ˙ze mniejsze sfery przecinaj¸a sfer¸e podstawow¸a pod mniejszym k¸atem.

1.1. Lemat. Je˙zeli okr¸ag C jest zawarty w kuli domkni¸etej B ⊂ Rⁿ i pewien jego punkt x1 nale˙zy do sfery ∂B, to istnieje sfera S ⊂ B taka, ˙ze okr¸ag C zawiera si¸e w S.

Dow´od. Rozwa˙zmy parametryzacj¸e okr¸egu dan¸a wzorem c(t) = x0+ cos t· v + sin t · w dla t ∈ R, gdzie v i w s¸a takimi wektorami, ˙ze

(1.1) |v| = |w| = r, v ⊥ w

oraz c(0) = x1. Zak ladaj¸ac, ˙ze ´srodkiem kuli B jest 0 ∈ Rⁿ, a jej promie´n wynosi R otrzymujemy, ˙ze

(1.2) |c(t)| ≤ R dla t∈ R.

Rozwa˙zaj¸ac punkt x1 ∈ ∂B i punkt okr¸egu do niego antypodyczny c(π) ∈ B, otrzymujemy na podstawie (1.1) zwi¸azki

(1.3) |x0|²+ 2⟨v, x0⟩ + r² = R² i |x0|²− 2⟨v, x0⟩ + r² ≤ R², kt´ore pozwalaj¸a na oszacowanie

(1.4) ⟨v, x0⟩ ≥ 0.

Z warunk´ow (1.1) i (1.2) wynika, ˙ze dla ka˙zdego t∈ R zachodzi nier´owno´s´c

|x0|²+ r²+ 2(⟨v, x0⟩ cos t + ⟨w, x0⟩ sin t) ≤ R²,

Typeset byAMS-TEX

(5)

któr¸a, uwzgl¸edniaj¸ac pierwszy spo´sród warunków (1.3), mo˙zna zapisać w postaci

(1.5) 2 sin t

2(⟨w, x0⟩ cos t

2 − ⟨v, x0⟩ sin t 2)≤ 0.

Przypu´sćmy, ˙ze ⟨w, x0⟩ ̸= 0. Wybierzmy takie t, dla którego sin₂^t < 0 i cos₂^t ma znak przeciwny do ⟨w, x0⟩. Wówczas na mocy (1.4) nierówno´sć (1.5) nie jest spe lniona. Zatem

(1.6) ⟨w, x0⟩ = 0.

Rozwa˙zmy teraz rodzin¸e sfer stycznych wewn¸etrznie do ∂B w punkcie x1 ( l¸acznie ze sfer¸a ∂B). Poniewa˙z pokrywaj¸a one ca l¸a kul¸e B, mo˙zna spo´sr´od nich wybra´c sfer¸e S o promieniu R0 i ´srodku

(1.7) y = sx₁ = s(x₀+ v), s∈ [0, 1]

zawieraj¸ac¸a punkt c(π). St¸ad

|y − x0− v| = |y − x0+ v| = R0,

co wraz z (1.1) implikuje r´owno´sci

|y|²+|x0|²+ r²− 2⟨x0, y⟩ − 2⟨y, v⟩ + 2⟨x0, v⟩ = R²0,

|y|²+|x0|²+ r²− 2⟨x0, y⟩ + 2⟨y, v⟩ − 2⟨x0, v⟩ = R²0,

których sum¸e (odpowiednio ró˙zniçe) mo˙zna zapisać nast¸epuj¸aco (1.8) |x0− y|² = R²₀− r²,

(1.9) ⟨y − x0, v⟩ = 0.

Poka˙zemy teraz, ˙ze ca ly okr¸ag C zawiera si¸e w S. Istotnie, z (1.1) dla dowolnego t kwadrat odleg lo´sci c(t) od y wynosi

|c(t)−y|² =|x0−y+cos t·v+sin t·w|² =|x0−y|²+r²+2⟨x0−y, v⟩ cos t+2⟨x0−y, w⟩ sin t.

Trzeci sk ladnik powy˙zszej sumy znika na podstawie warunku (1.9), a stosuj¸ac r´owno´sci (1.7) i (1.8) oraz (1.6) i (1.1) otrzymujemy dla ka˙zdego t zwi¸azek

|c(t) − y| = R0,

z kt´orego wynika teza. ■

(6)

1.2. Lemat. Niech w przestrzeniRⁿ S oznacza pewn¸a sfer¸e o ´srodku p i promieniu R i niech x b¸edzie punktem kuli otwartej ograniczonej przez t¸e sfer¸e, a H ustalon¸a hiperp laszczyzn¸a zawieraj¸aça x. Niech ponadto Sr oznacza sfer¸e o ´srodku q i promie- niu r, styczn¸a do H w punkcie x maj¸aça przynajmniej jeden punkt wspólny ze sfer¸a S. Wówczas k¸at pomi¸edzy sferami S i Sr jest rosn¸aça funkcj¸a promienia r.

Dowód. Rozwa˙zmy przekr´oj jedyn¸a p laszczyzn¸a (dwuwymiarow¸a) P zawieraj¸aça punkty p, q, x, je˙zeli nie s¸a one wspó lliniowe, lub jedyn¸a p laszczyzn¸a zawieraj¸aça p, q, x i prostopad l¸a do H, w przeciwnym wypadku. Niech y∈ S ∩Sr∩P . Wówczas interesuj¸acy nas k¸at α jest k¸atem pomi¸edzy promieniami sfer S i Sr wystawionymi w punkcie y. Oznaczmy przez d odleg lo´sć punkt´ow p i q.

Na p laszczy´znie P wprowadzamy uk lad wsp´o lrz¸ednych o ´srodku p i pierwszej osi r´ownoleg lej do prostej P ∩ H. W´owczas je˙zeli punkt x ma wsp´o lrz¸edne (b, c), to

(1.10) b²+ c² < R²

oraz punkt q ma wsp´o lrz¸edne (b, c± r). Z twierdzenia cosinus´ow dla tr´ojk¸ata pqy i faktu, ˙ze d² = b²+ c²+ r²± 2cr otrzymujemy

α(r) = arccosR²− (b²+ c²)∓ 2cr 2Rr

dla r takich, ˙ze sfery S i Sr przecinaj¸a si¸e.

Obliczamy pochodn¸a funkcji α :

α^′(r) = R² − (b²+ c²) 2Rr

√ 1−

(R²− (b²+ c²)∓ 2cr 2Rr

)2

i zauwa˙zamy, ˙ze na mocy (1.10) jest ona dodatnia. ■

Niech D b¸edzie kul¸a o ´srodku 0 i promieniu ϱ w przestrzeniRⁿ.

1.3. Definicja. Dla α ∈ (0, 1) α-kul¸a wzgl¸edem kuli D nazywamy kul¸e, kt´orej brzeg tworzy z brzegiem D k¸at α. Innymi s lowy, α-kul¸a jest kula B o ´srodku y i promieniu R taka, ˙ze

|y| = √

ϱ²+ R²− 2Rϱ cos α.

α-sfer¸a nazywamy brzeg α-kuli.

1.4. Definicja. α–obszarem o kierunku wektora v ∈ T D nazywamy t¸e sk ladow¸a sp´ojno´sci dope lnienia w D sumy wszystkich domkni¸etych α-kul stycznych do v, do kt´orej jest skierowany wektor v.

1.5. Lemat. α–obszar o kierunku wektora v jest zawarty w odcinku kuli D wyz- naczonym przez hiperp laszczyzn¸e p + v^⊥ i zwrot wektora v, gdzie p jest punktem zaczepienia v.

(7)

Dowód. Niech P b¸edzie dowoln¸a p laszczyzn¸a zawieraj¸aça wektor v. Na p laszczy´znie P wprowad´zmy uk lad wspó lrz¸ednych tak, aby druga o´s mia la kierunek v i zwrot przeciwny do v, a pierwsza o´s by la prost¸a P ∩ (p + v^⊥).

Cz¸e´sci¸a wsp´oln¸a α–obszaru o kierunku v i p laszczyzny P jest sk ladowa sp´ojno´sci, do kt´orej jest skierowany wektor v, zbioru

D∩ P \ (B1∪ B2), gdzie B₁ i B₂ s¸a α-kulami o ´srodkach le˙z¸acych na P .

Oznaczmy przez p1 i p2 punkty wsp´olne ∂D oraz ∂B1 i ∂B2, odpowiednio, le˙z¸ace na brzegu α–obszaru. Punkty p₁ i p₂ maj¸a drug¸a wsp´o lrz¸edn¸a ujemn¸a, zatem ca l¸a cz¸e´s´c wsp´olna α-bukietu z p laszczyzn¸a P le˙zy pod osi¸a P ∩ (p + v^⊥).

Z dowolno´sci wyboru p laszczyzny P wynika teza. ■

1.6. Lemat. Je˙zeli γ : I → Rⁿ jest krzyw¸a g ladk¸a tak¸a, ˙ze w pewnym otoczeniu zera jej obraz zawiera si¸e w kuli domkni¸etej o ´srodku p i promieniu r oraz |γ(0)−p| = r, to okr¸ag ´sci´sle styczny do krzywej γ w punkcie γ(0) tak˙ze zawiera si¸e w tej kuli.

Dow´od. Bez utraty og´olno´sci mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze p jest pocz¸atkiem uk ladu oraz

˙ze krzywa γ jest sparametryzowana d lugo´sci¸a luku. Wtedy dla ka˙zdego t ∈ I prawdziwe s¸a r´owno´sci:

(1.11)

|γ(0)| =r,

|γ^′(t)| =1,

⟨γ^′(t), γ^′′(t)⟩ =0.

Z za lo˙zenia wynika, ˙ze funkcja φ : I → R dana wzorem φ(t) =|γ(t)|, dla t ∈ I

osi¸aga lokalne maksimum w punkcie 0 r´owne r. W pewnym otoczeniu zera funkcja φ jest g ladka (mo˙zna w nim oddzieli´c obraz krzywej γ od pocz¸atku uk ladu), zatem

(1.12)

φ(0) = r, φ^′(0) = 0, φ^′′(0)≤ 0.

Korzystaj¸ac z (1.11) obliczamy pochodne funkcji φ φ^′(t) = ⟨γ(t), γ^′(t)⟩

|γ(t)| ,

φ^′′(t) = (⟨γ(t), γ^′′(t)⟩ + ⟨γ^′(t), γ^′(t)⟩)|γ(t)| − ⟨γ(t), γ^′(t)⟩^⟨γ(t),γ_|γ(t)|^′^(t)^⟩

|γ(t)|²

= |γ(t)|²(⟨γ(t), γ^′′(t)⟩ + 1) − ⟨γ(t), γ^′(t)⟩²

|γ(t)|³ .

St¸ad i z (1.12) otrzymujemy r´owno´s´c

(1.13) ⟨γ(0), γ^′(0)⟩ = 0,

(8)

która po podstawieniu do wzoru na drug¸a pochodn¸a i ponownym wykorzystaniu (1.12) implikuje nierówno´sć

(1.14) ⟨γ(0), γ^′′(0)⟩ ≤ −1.

St¸ad, z (1.11) i nier´owno´sci Schwarza wynika, ˙ze

r|γ^′′(0)| = | − γ(0)| · |γ^′′(0)| ≥ ⟨−γ(0), γ^′′(0)⟩ ≥ 1, co gwarantuje dodatnio´s´c |γ^′′(0)|.

Okr¸ag ´sci´sle styczny do krzywej γ w punkcie γ(0) ma promie´n _|γ_′′¹_(0)|, ´srodek w punkcie γ(0) + _|γ_′′₍₀₎¹ _|2γ^′′(0) i le˙zy w p laszczy´znie wyznaczonej przez wektory γ^′(0) i γ^′′(0). Tym samym jego r´ownaniem parametrycznym jest

c(s) = γ(0) + 1

|γ^′′(0)|²γ^′′(0) + 1

|γ^′′(0)|γ^′(0) cos s + 1

|γ^′′(0)|

γ^′′(0)

|γ^′′(0)|sin s.

Obliczaj¸ac kwadrat normy c(s) i korzystaj¸ac z (1.11), (1.12) i (1.13) otrzymujemy

|c(s)|² =

γ + cos s

|γ^′′|γ^′+ 1 + sin s

|γ^′′|² γ^′′

²|t=0

= (

|γ|² + cos²s

|γ^′′|² |γ^′|² + (1 + sin s)²

|γ^′′|⁴ |γ^′′|² +2 cos s

|γ^′′| ⟨γ, γ^′⟩ + 2(1 + sin s)

|γ^′′|² ⟨γ, γ^′′⟩ + 2 cos s(1 + sin s)

|γ^′′|³ ⟨γ^′, γ^′′⟩ )

|t=0

=r²+ 2(1 + sin s)

|γ^′′(0)|² (1 +⟨γ(0), γ^′′(0)⟩),

co wraz z (1.14) implikuje dla ka˙zdego s∈ R nier´owno´s´c |c(s)| ≤ r. ■

(9)

ROZDZIA L 2

OKRE¸ GI W PRZESTRZENI HIPERBOLICZNEJ

Na pocz¸atku rozdzia lu zebrane s¸a wybrane fakty dotycz¸ace geometrii przestrzeni hiperbolicznej Hⁿ.

Wniosek 2.11 p lyn¸acy ze stwierdze´n 2.9 i 2.10 le˙zy u podstaw niniejszej pracy.

Podaje on jeden z warunków, które odró˙zniaj¸a przestrzeń hiperboliczn¸a od euk- lidesowej. Jest nim du˙za (wi¸eksza od a) krzywizna dowolnie du˙zych okr¸eg´ow hiperbolicznych, co pozwala przypuszczać, ˙ze krzywe o krzywi´znie zawartej pomi¸edzy 0 i a zachowuj¸a si¸e regularnie w nieskończono´sci. Zostanie to udowodnione w rozdziale 3.

W stwierdzeniu 2.12 wyznaczyli´smy wz´or na krzywizn¸e geodezyjn¸a dowolnej krzywej w przestrzeni hiperbolicznej. Jest on jednak d lugi i krzywizn¸e krzywej latwiej jest bada´c poprzez okr¸egi ´sci´sle do niej styczne, co tak˙ze jest tre´sci¸a tego stwierdzenia.

Krzywizna okr¸egów i ich luków (euklidesowych) daje si¸e bowiem wyliczać stosunkowo latwo zgodnie ze wzorem ze stwierdzenia 2.14. Mo˙zna si¸e o tym przekonać na przyk ladach.

Ko´ncowe stwierdzenie 2.19 zawiera g l´owny wynik tego rozdzia lu pozwalaj¸acy na analiz¸e krzywych o ma lej krzywi´znie.

2.1. Definicja. Przestrzeni¸a hiperboliczn¸a o sta lej krzywi´znie nazywamy roz- maito´s´c riemannowsk¸a wymiaru co najmniej 2 jednosp´ojn¸a, zupe ln¸a, o sta lej ujem- nej krzywi´znie sekcyjnej.

Przestrze´n hiperboliczn¸a n–wymiarow¸a o sta lej krzywi´znie −a², dla pewnego a > 0, oznaczamy symbolem Hⁿa.

Przestrze´nHⁿajest wyznaczona jednoznacznie z dok ladno´sci¸a do izometrii. Poni˙zej opiszemy najpopularniejszy model przestrzeni Hⁿa — model Poincar´e w kuli.

Niech n ≥ 2 b¸edzie ustalona liczb¸a naturaln¸a. Dla dowolnego punktu x ∈ Rⁿ niech x₁, . . . , x_n oznaczaj¸a jego wsp´o lrz¸edne w kanonicznej mapie id oraz niech Xi = _∂x^∂

i, i = 1, . . . , n, b¸ed¸a polami bazowymi tej mapy. Oznaczmy ponadto przez

⟨., .⟩ standardowy iloczyn skalarny w Rⁿ, przez |.| indukowan¸a przez niego norm¸e, a przez ∇ pochodn¸a Levi–Civity wyznaczon¸a przez ⟨., .⟩.

Nast¸epuj¸ace fakty pochodz¸a wprost, lub w formie zmodyfikowanej, z ksi¸a˙zki [GKM].

2.2. Stwierdzenie. Dla dowolnego a > 0 kula otwarta Dⁿ_a ⊂ Rⁿ o ´srodku 0 i promieniu ¹_a, z tensorem metrycznym g danym wzorem

(2.1) g(X, Y )|x = 4

(1− a²|x|²)²⟨X, Y ⟩|x

dla wszystkich x ∈ Dⁿa i X, Y ∈ X(Dⁿa), jest n–wymiarow¸a przestrzeni¸a hiperbol- iczn¸a o sta lej krzywi´znie −a². ■

Typeset byAMS-TEX

(10)

Powy˙zsz¸a struktur¸e nazywamy modelem Poincar´e w kuli. Kul¸e Dⁿ_a b¸edziemy nazywa´c kul¸a podstawow¸a, a jej brzeg ∂D_aⁿ — sfer¸a podstawow¸a.

Funkcja φ wyst¸epuj¸aca we wzorze (2.1) okre´slon¸a wzorem

(2.2) φ(x) = 4

(1− a²|x|²)² dla x∈ Daⁿ

jest funkcj¸a konforemnej zmiany metryki, to znaczy φ jest g ladka, stale dodatnia i g = φ· ⟨., .⟩.

Norm¸e indukowan¸a przez iloczyn skalarny g oznaczamy symbolem ∥.∥.

2.3. Stwierdzenie. Pochodna Levi–Civity e∇ dla modelu Hⁿa w kuli wyra˙za si¸e wzorem

(2.3) e∇XY = ∇XY + 1

2((Xψ)Y + (Y ψ)X − ⟨X, Y ⟩∇ψ) dla X, Y ∈ X(Daⁿ), gdzie ψ = ln φ oraz ∇ψ jest gradientem funkcji ψ na rozmaito´sci Dⁿa. ■

Obecnie wyznaczymy wsp´o lczynniki Christoﬀela koneksji e∇.

2.4. Stwierdzenie. Wsp´o lczynniki Christoﬀela koneksji Levi– Civity na Hⁿa s¸a dla dowolnego x∈ Dⁿa dane wzorami

(2.4) Γ^k_ij(x) =











2a²x_i

1− a²|x|², gdy i = j = k,

− 2a²xk

1− a²|x|², gdy i = j ̸= k, 2a²xi

1− a²|x|², gdy j = k, 2a²x_j

1− a²|x|², gdy i = k,

0 gdy i̸= j, j ̸= k, k ̸= i.

Dow´od. Koneksja Levi–Civity pochodz¸aca od iloczynu skalarnego g wyra˙za si¸e wzorem

(2.5) g( e∇XY, Z) =1

2(Xg(Y, Z) + Y g(Z, X)− Zg(X, Y )

+ g(Z, [X, Y ]) + g(Y, [Z, X])− g(X, [Y, Z])) dla dowolnych X, Y, Z ∈ X(Dⁿa).

Pola Xi, i = 1, . . . , n, jako pola (standardowej) mapy s¸a przemienne i ze wzoru (2.5) wynika, ˙ze dla i, j, k = 1, . . . , n

(2.6) g

(∇eX_iXj, Xk

)

= 1

2(Xig(Xj, Xk) + Xjg(Xk, Xi)− Xkg(Xi, Xj)) Zgodnie ze wzorem (2.1) dla i, j = 1, . . . , n

(2.7)

g(Xi, Xj) = 0 dla i̸= j, g(Xi, Xi)|x = 4

(1− a²|x|²)²

(11)

Zatem

(2.8) Xjg(Xi, Xi)|x = 16a²xj

(1− a²|x|²)³ i, j = 1, . . . , n Wzory (2.6) i (2.7) oraz (2.6) i (2.8) implikuj¸a, co nast¸epuje

(2.9)

g

(∇eX_iXj, Xk

)

=0 gdy i̸= j, j ̸= k, k ̸= i g

(∇eXiX_i, X_i )

= 8a²x_i (1− a²|x|²)³ g

(∇eX_iXi, Xj

)

=− 8a²xj

(1− a²|x|²)³ gdy i̸= j g

(∇eXiX_j, X_i )

= 8a²x_j (1− a²|x|²)³ g

(∇eX_iXj, Xj

)

= 8a²xi

(1− a²|x|²)³

Wsp´o lczynniki Christoﬀela Γ^k_ij dla i, j, k = 1, . . . , n koneksji e∇ s¸a okre´slone za- le˙zno´sci¸a

∇eX_iXj =

∑n k=1

Γ^k_ijXk

sk¸ad

(2.10) Γ^k_ij g(Xk, Xk) = g

(∇eX_iXj, Xk

)

, i, j, k = 1, . . . , n.

Wz´or (2.10) w po l¸aczeniu z (2.1) i (2.9) implikuj¸a wz´or (2.4) z tezy. ■

2.5. Wniosek. Pochodna kowariantna dla p´ol bazowych w przestrzeni H²a wyra˙za si¸e wzorami

(2.11)

∇X₁X1 = 2a²

1− a²|x|²(x1X1− x2X2),

∇X1X2 = 2a²

1− a²|x|²(x2X1+ x1X2),

∇X2X₁ = 2a²

1− a²|x|²(x₂X₁+ x₁X₂),

∇X2X₂ = 2a²

1− a²|x|²(−x1X₁+ x₂X₂). ■

2.6. Definicja. Niech krzywa g ladka γ na rozmaito´sci riemannowskiej b¸edzie sprametryzowana d lugo´sci¸a luku. Krzywizn¸a geodezyjn¸a krzywej γ w punkcie t nazywamy liczb¸e kg(γ)(t) r´own¸a normie pochodnej kowariantnej pola stycznego ˙γ w kierunku ˙γ(t).

Stwierdzenia 2.7 i 2.8 pochodz¸ace z ksi¸a˙zki [BP] oraz wynikaj¸ace z nich stwierdzenie 2.9 i wniosek 2.11 przekonaj¸a nas o roli jak¸a pe lni¸a okr¸egi o ´srodku 0 na p laszczy´znie hiperbolicznej H²a.

(12)

2.7. Stwierdzenie. W przestrzeniHⁿa odleg lo´s´c punktu x od zera wynosi 2 ath(a|x|).

■

2.8. Stwierdzenie. Grupa izometrii przestrzeni Hⁿa sk lada si¸e z odwzorowa´n postaci A◦ ι, gdzie A ∈ O(n), a ι jest identyczno´sci¸a lub inwersj¸a wzgl¸edem sfery prostopad lej do sfery podstawowej. ■

2.9. Stwierdzenie. Ka˙zdy okr¸ag w przestrzeni H²a jest obrazem pewnego okr¸egu o

´srodku 0 w inwersji wzgl¸edem pewnej sfery prostopad lej do sfery podstawowej lub w to˙zsamo´sci. Tym samym okr¸ag w przestrzeni H²a traktowany jako podzbi´or D_a² jest euklidesowym okr¸egiem.

Dow´od. Niech C b¸edzie okr¸egiem o ´srodku x0 ̸= 0. Niech ι b¸edzie inwersj¸a wzgl¸edem sfery prostopad lej do sfery podstawowej przeprowadzaj¸ac¸a x₀ na 0. ι na mocy stwierdzenia 2.8 jest izometri¸a, przeprowadza zatem hiperboliczny okr¸ag C na hiperboliczny okr¸ag ι(C) o ´srodku 0.

Korzystaj¸ac ze stwierdzenia 2.7 widzimy, ˙ze ι(C) trakowany jako podzbi´or kuli D²_a jest euklidesowym okr¸egiem. Poniewa˙z inwersja ι : D²_a → D²a jest odw- zorowaniem konforemnym i inwolucj¸a, zatem C = ι⁻¹(ι(C)) jest okr¸egiem euk- lidesowym. ■

Zgodnie ze stwierdzeniem 2.9 wyliczenie krzywizny geodezyjnej okr¸egów w przestrzeni H²a mo˙zna ograniczyć tylko do okr¸egów o ´srodku 0.

2.10. Stwierdzenie. Krzywizna geodezyjna okr¸egu γ w przestrzeni H²a o ´srodku 0 i euklidesowym promieniu r < _a¹ wynosi

(2.12) kg(γ) = 1 + a²r²

2r .

Dow´od. Rozwa˙zmy parametryzacj¸e okr¸egu

γ(t) = (

r cos(1− a²r²)t

2r , r sin(1− a²r²)t 2r

) .

W´owczas jednostkowe pole styczne ˙γ(t) jest obci¸eciem do obrazu krzywej γ pola X danego wzorem

X(x) = 1− a²r²

2r (−x2X₁+ x₁X₂),

gdzie X₁ i X₂ oznaczaj¸a pola bazowe mapy id. Wtedy pochodna kowariantna pola

(13)

X po X, po uwzgl¸ednieniu wzor´ow (2.11), wynosi

∇XX|x =(1− a²r²)²

4r² (−x2∇X1(−x2X₁+ x₁X₂) + x₁∇X2(−x2X₁+ x₁X₂))|x

=(1− a²r²)² 4r²

(−x2X₂− x1X₁+ x²₂∇X1X₁− x1x₂∇X1X₂

−x1x₂∇X2X₁+ x²₁∇X2X₂)

|x

=(1− a²r²)

4r² (−x1X₁− x2X₂)|x

+ a²(1− a²r²)² 2r²(1− a²|x|²)

(−x³1X1− x³2X2− x1x²₂X1− x²1x2X2

)|x

=−

((1− a²r²)²

4r² + a²(1− a²r²)² 2r²(1− a²|x|²)|x|²

)

(x₁X₁+ x₂X₂)|x

=− (1− a²r²)²

1− a²|x|² · 1 + a²|x|²

4r² (x₁X₁+ x₂X₂)|x

To pozwala wyliczy´c krzywizn¸e geodezyjn¸a krzywej γ. Poniewa˙z warto´sci p´ol X1 i X₂w ka˙zdym punkcie x stanowi¸a baz¸e ortonormaln¸a przestrzeni T_xD, otrzymujemy

kg(γ)(t) =∥∇γ˙˙γ∥t =∥∇XX∥γ(t)

= 2

1− a²r² · (1− a²r²)(1 + a²r²) 4r²

·

r cos(1− a²r²)t

2r X₁(γ(t)) + r sin(1− a²r²)t

2r X₂(γ(t))

= 1 + a²r² 2r . ■

2.11. Wniosek. Ka˙zdy okr¸ag w przestrzeni hiperbolicznejHⁿa, wsp´o lp laszczyznowy z punktem 0 ma krzywizn¸e geodezyjn¸a wi¸eksz¸a ni˙z a.

Dowód. Przestrze´nH²awk lada si¸e izometrycznie wHⁿajako podrozmaito´sć ca lkowicie geodezyjna — ko lo o ´srodku 0. Ze wzoru (2.12) wynika, ˙ze krzywizna geodezyjna okr¸egu o ´srodku 0 jest malej¸aça funkcj¸a jego euklidesowego promienia na przedziale (0,¹_a). Ponadto jej lewostronna granica w punkcie _a¹ wynosi a. ■

Wyliczymy teraz krzywizn¸e geodezyjn¸a dowolnej krzywej w przestrzeniHⁿa. 2.12. Stwierdzenie. Niech γ : I → Hⁿa b¸edzie krzyw¸a g ladk¸a.

(i) Krzywizna geodezyjna krzywej γ zale˙zy tylko od warto´sci krzywej γ, jej pier- wszej i drugiej pochodnej γ^′ i γ^′′, odpowiednio i wyra˙za si¸e wzorem

(2.13)

(kg(γ))² = 1

|γ^′|⁶

[(1− a²|γ|²)²(|γ^′|²|γ^′′|²+ 3⟨γ^′, γ^′′⟩²)

+ 4a⁴|γ^′|⁴(|γ|²|γ^′|²− ⟨γ, γ^′⟩²)

+4a²(1− a²|γ|²)|γ^′|²(⟨γ, γ^′⟩⟨γ^′, γ^′′⟩ − |γ^′|²⟨γ, γ^′′⟩)] .

(14)

(ii) Je˙zeli krzywa γ, traktowana jako krzywa w przestrzeni euklidesowej, jest sparametryzowana proporcjonalnie do d lugo´sci luku, to znaczy istnieje r > 0 takie, ˙ze |γ^′| = r, to wz´or (2.13) przybiera posta´c

(2.14) (k_g(γ))² = 1 4r⁴

[(1− a²|γ|²)²|γ^′′|²− 4a²r²(1− a²|γ|²)⟨γ, γ^′′⟩

+4a⁴r²(|γ|²r²− ⟨γ, γ^′⟩²)] .

(iii) Krzywizna geodezyjna krzywej γ w punkcie t jest taka sama jak krzywizna geodezyjna okr¸egu ´sci´sle stycznego do niej w punkcie γ(t) (o ile taki okr¸ag istnieje), a ´sci´slej luku tego okr¸egu zawartego w Hⁿa.

Dow´od. Do oblicze´n wykorzystamy wz´or (2.3). Ze wzoru (2.2) wynika, ˙ze (2.15) ψ(x) = ln φ(x) = ln 4− 2 ln(1 − a²|x|²), dla x∈ Da, oraz

(2.16) ∇ψ(x) = 4a²

1− a²|x|²

∑n i=1

xiXi(x).

Niech γ b¸edzie dowoln¸a krzyw¸a g ladk¸a w Hⁿa. Zgodnie z definicj¸a 2.6 otrzymujemy

(2.17) kg(γ) =

e∇_∥γ′∥^γ′ γ^′

∥γ^′∥ .

Pochodn¸a kowariantn¸a wektora stycznego do krzywej γ unormowanej uzale˙znimy od warto´sci przed unormowaniem. Wykorzystamy do tego r´owno´sci :

(2.18) ∇e ^γ′

∥γ′∥

γ^′

∥γ^′∥ = 1

∥γ^′∥∇eγ^′

γ^′

∥γ^′∥ = 1

∥γ^′∥²∇eγ^′γ^′+ 1

∥γ^′∥ ( 1

∥γ^′∥ )′

γ^′

oraz wynikaj¸ac¸a ze wzoru (2.2)

(2.19)

( 1

∥γ^′∥ )_′

=

(1− a²|γ|² 2|γ^′|

)_′

= −2a²⟨γ, γ^′⟩|γ^′|²+ (1− a²|γ|²)⟨γ^′, γ^′′⟩

2|γ^′|³ .

Stosuj¸ac (2.18) i (2.19) otrzymujemy

(2.20)

∇e ^γ′

∥γ′∥

γ^′

∥γ^′∥ =(1− a²|γ|²)² 4|γ^′|² ∇eγ^′γ^′ + (1− a²|γ|²)(

−2a²⟨γ, γ^′⟩|γ^′|²+ (1− a²|γ|²)⟨γ^′, γ^′′⟩)

4|γ^′|⁴ γ^′.

Do obliczenia e∇γ^′γ^′ wykorzystamy wz´or (2.3), posta´c gradientu ψ zawart¸a w (2.16), wz´or ψ (2.15) oraz r´owno´s´c

∇γ^′γ^′ = γ^′′

(15)

wynikaj¸aça z zerowania si¸e wszystkich wspó lczynników Christoffela w Rⁿ (i tym samym w Dⁿ_a). Otrzymamy st¸ad

(2.21)

∇eγ^′γ^′ =∇γ^′γ^′+ 1

2((γ^′(ψ◦ γ) · γ^′+ (γ^′(ψ◦ γ) · γ^′− ⟨γ^′, γ^′⟩(∇ψ) ◦ γ)

= γ^′′+ (ψ◦ γ)^′γ^′− 1

2|γ^′|²(∇ψ) ◦ γ

= γ^′′+ (

ln 4

(1− a²|γ|²)² )_′

γ^′− 2a²|γ^′|² 1− a²|γ|²γ

= γ^′′+ 4a²⟨γ, γ^′⟩

1− a²|γ|²γ^′− 2a²|γ^′|² 1− a²|γ|²γ.

Podstawiaj¸ac (2.21) do (2.20) i nast¸epnie (2.20) w nowej postaci do (2.17) nadamy r´owno´sci (2.17) posta´c

(k_g(γ))² =

(1− a²|γ|²)² 4|γ^′|² γ^′′

+ (1− a²|γ|²)(

2a²⟨γ, γ^′⟩|γ^′|²+ (1− a²|γ|²)⟨γ^′, γ^′′⟩)

4|γ^′|⁴ γ^′

−a²(1− a²|γ|²)

2 γ

²

= 1

4|γ^′|⁸ (1− a²|γ|²)|γ^′|²γ^′′+(

2a²⟨γ, γ^′⟩|γ^′|²+ (1− a²|γ|²)⟨γ^′, γ^′′⟩) γ^′

−2a²|γ^′|⁴γ².

Obecnie pozosta ly ju˙z tylko latwe obliczenia wykorzystuj¸ace w lasno´sci iloczynu skalarnego

(2.22)

(k_g(γ))² =(

(1− a²|γ|²)²|γ^′|⁴|γ^′′|²+ 4a⁴⟨γ, γ^′⟩²|γ^′|⁶+ (1− a²|γ|²)²⟨γ^′, γ^′′⟩²|γ^′|² 4a²(1− a²|γ|²)|γ^′|⁴⟨γ, γ^′⟩⟨γ^′, γ^′′⟩ + 4a⁴|γ^′|⁸|γ|²

4a²(1− a²|γ|²)|γ^′|⁴⟨γ, γ^′⟩⟨γ^′, γ^′′⟩ + 2(1 − a²|γ|²)²|γ^′|²⟨γ^′, γ^′′⟩²

− 4a²(1− a²|γ|²)|γ^′|²⟨γ, γ^′′⟩ − 8a⁴|γ^′|⁶⟨γ, γ^′⟩²

−4a²(1− a²|γ|²)⟨γ, γ^′⟩⟨γ^′, γ^′′⟩)

Po redukcji i zgrupowaniu w (2.22) otrzymamy ostateczny wz´or na krzywizn¸e geodezyjn¸a z tezy (i).

Przy za lo˙zeniu jak w punkcie (ii) zachodzi równo´sć ⟨γ^′, γ^′′⟩ = 0 i wzór (2.14) wynika bezpo´srednio z (2.13). ■

2.13. Przyk lad Niech γ b¸edzie maksymalnym odcinkiem otwartym w Hⁿa, to znaczy niepust¸a cz¸e´sci¸a wspóln¸a pewnej prostej i kuli Dⁿ_a. Oznaczmy przez b ∈ [0,¹_a) euklidesow¸a odleg lo´sć tego odcinka od punktu 0. Na mocy stwierdzenia 2.8 przekszta lcenia ortogonalne przestrzeni Rⁿ s¸a izometriami w Hⁿa, zatem mo˙zemy za lo˙zyć, ˙ze

γ(t) = (t, b, 0, . . . , 0) dla t∈ (

−

√ 1 a² − b²,

√ 1 a² − b²

) .

(16)

Wtedy |γ^′| = 1 i γ^′′ = 0 i po podstawieniu do wzoru (2.14) otrzymujemy kg(γ) = a²b,

co oznacza, ˙ze krzywizna geodezyjna maksymalnego odcinka w Hⁿa jest rosn¸ac¸a funkcj¸a odleg lo´sci tego odcinka od zera i przyjmuje warto´sci z przedzia lu [0, a).

Ograniczymy obecnie nasze rozwa˙zania do luk´ow euklidesowych okr¸eg´ow w Hⁿa. 2.14. Stwierdzenie. Je˙zeli γ jest euklidesowym okr¸egiem o ´srodku x0 ∈ Rⁿ i promieniu r, |x0| < ¹_a + r, le˙z¸acym w p laszczy´znie P , to krzywizna geodezyjna w przestrzeni Hⁿa luku okr¸egu γ zawartego w D_aⁿ wynosi

(2.23) k_g(γ) =

√ 1

4r²(1 + a²r²− a²|x0|²)²+ a⁴|x^⊥0|², gdzie x^⊥₀ oznacza sk ladow¸a wektora x0 prostopad l¸a do p laszczyzny P .

Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze p laszczyzna P jest rozpi¸eta przez prostopad le wektory v i w o d lugo´sci r. Okr¸ag γ mo˙zemy sparametryzowa´c nast¸epuj¸aco

γ(t) = x₀+ v cos t + w sin t;

parametr t przebiega maksymalny przedzia l, w kt´orym γ(t) ∈ Daⁿ. W´owczas pochodne pierwszego i drugiego rz¸edu krzywej γ wyra˙zaj¸a si¸e wzorami

γ^′(t) =− v sin t + w cos t, γ^′′(t) =− v cos t − w sin t,

ich normy s¸a r´owne r, co oznacza, ˙ze krzywa γ jest sparametryzowana proporcjon- alnie do d lugo´sci luku. Do obliczenia jej krzywizny geodezyjnej, zgodnie ze wzorem (2.14), potrzebujemy zatem d lugo´sci wektora γ oraz jego iloczyn´ow skalarnych przez wektory pochodnych

|γ|² =|x0|²+ r²+ 2⟨x0, v⟩ cos t + 2⟨x0, w⟩ sin t

⟨γ, γ^′⟩ = − ⟨x0, v⟩ sin t + ⟨x0, w⟩ cos t

⟨γ, γ^′′⟩ = − ⟨x0, v⟩ cos t − ⟨x0, w⟩ sin t − r². Podstawiaj¸ac te warto´sci do wzoru (2.14) otrzymujemy (2.24)

(kg(γ)(t))² = 1 4r⁴

((1− a²|x0|²− a²r²− 2a²⟨x0, v⟩ cos t − 2a²⟨x0, w⟩ sin t)²r²

− 4a²r²(1− a²|x0|²− a²r²− 2a²⟨x0, v⟩ cos t − 2a²⟨x0, w⟩ sin t)

· (−⟨x0, v⟩ cos t − ⟨x0, w⟩ sin t − r²)

+ 4a⁴r²(|x0|²r²+ r⁴+ 2r²⟨x0, v⟩ cos t + 2r²⟨x0, w⟩ sin t

−⟨x0, v⟩²sin²t− ⟨x0, w⟩²cos²t + 2⟨x0, v⟩⟨x0, w⟩ sin t cos t))