Mo˙zemy teraz przedstawi´c g l´owne wyniki pracy. Narz¸edziami wykorzystywanymi w tym rozdziale b¸ed¸a stwierdzenie o zawracaniu 3.14 i twierdzenie o granicy 3.30, kt´ore wraz z faktami z rozdzia lu 3 dotycz¸acymi topologii sto˙zkowej na brzegu ide-alnym rozmaito´sci Hadamarda pozwol¸a nam na wyr´o˙znienie foliacji Hadamarda o ma lej drugiej formie podstawowej.
W stwierdzeniu 4.3 pokazujemy, ˙ze na rozmaito´sci o krzywi´znie sekcyjnej ogranic-zonej z g´ory przez liczb¸e ujemn¸a podrozmito´s´c o dostatecznie ma lej drugiej formie podstawowej ma ujemn¸a krzywizn¸e.
Twierdzenie 4.4 m´owi o tym, ˙ze ma la druga forma podstawowa podrozmaito´sci przestrzeni hiperbolicznej wymusza jej jednosp´ojno´s´c. Konstrukcja geodezyjnej prawie zamkni¸etej jest interesuj¸aca sama w sobie i mo˙ze by´c przeniesiona na niejed-nosp´ojn¸a podrozmaito´s´c rozmaito´sci Hadamarda. Jak zwykle skutecznie dzia la tak˙ze tutaj stwierdzenie o maksimum odleg lo´sci 3.9. Por´ownanie z og´olnym wynikiem Thorbergssona 4.5 dla powierzchni ujawnia skal¸e sztywno´sci metryki hiperbolicznej.
Stwierdzenie 4.6 nale˙zy do og´olnie znanych fakt´ow z teorii foliacji, ale nie wyst¸epuje w znanej autorowi literaturze.
Twierdzenie 4.9 wskazuje szerok¸a klas¸e foliacji Hadamarda. Rozwi¸azanie prob-lemu 4.10 zale˙zy tylko od tego, czy stwierdzenie 3.9 zachodzi rozmaito´sci Hadamarda o zmiennej krzywi´znie. Pozwoli loby to na analiz¸e foliacji Hadamarda w szerszym zakresie.
Punkt (i) twierdzenia 4.11 m´owi, ˙ze brzeg idealny li´scia foliacji Hadamarda o ma lej drugiej formie podstawowej wk lada si¸e homeomorficznie w brzeg idealny przestrzeni hiperbolicznej. Poniewa˙z na brzegu idealnym brak jest naturalnej struk-tury r´o˙zniczkowej, wi¸ec jest to najlepsze z mo˙zliwych w lo˙ze´n. Transwersalna ci¸ag lo´s´c w lo˙zenia brzeg´ow idealnych li´sci opisana w punkcie (ii) twierdzenia 4.11 pozwala traktowa´c jego rezultat jako foliacj¸e z osobliwo´sciami cz¸e´sci brzegu idealnego przestrzeni hiperbolicznej.
Stwierdzenie 4.14 pokazuje, ˙ze niewielkie zaburzenie foliacji ca lkowicie geodezyjnej prowadzi do foliacji Hadamarda, a nast¸epuj¸ace po nim przyk lady wskazuj¸a na is-totno´s´c za lo˙ze´n w twierdzeniach 4.9 i 4.11.
4.1. Definicja. Je˙zeli L jest podrozmaito´sci¸a rozmaito´sci riemannowskiej (M, g), to norm¸a drugiej formy podstawowej BL podrozmaito´sci L nazywamy liczb¸e
∥BL∥ = sup
x∈L sup
v∈Tx1L
∥BL(v, v)∥,
o ile pierwszy kres g´orny jest sko´nczony.
Typeset byAMS-TEX
4.2. Stwierdzenie. Je˙zeli γ jest geodezyjn¸a na podrozmaito´sci L rozmaito´sci M sparametryzowan¸a d lugo´sci¸a luku , to
(4.1) kg(γ)≤ ∥BL∥.
Dow´od. Oznaczmy przez∇Lpochodn¸a kowariantn¸a na L indukowan¸a z M . W´owczas, poniewa˙z γ jest geodezyjn¸a na L i jest sparametryzowana d lugo´sci¸a luku, otrzymu-jemy
(kg(γ))2 =∥∇γ˙ ˙γ∥2 =∥∇Lγ˙ ˙γ∥2+∥BL( ˙γ, ˙γ)∥2 =∥BL( ˙γ, ˙γ)∥2 ≤ ∥BL∥2, a to ju˙z implikuje nier´owno´s´c (4.1). ■
4.3. Stwierdzenie. Za l´o˙zmy, ˙ze (M, g) jest rozmaito´sci¸a riemannowsk¸a wymiaru n≥ 3 o krzywi´znie sekcyjnej ograniczonej z g´ory przez −a2, dla pewnego a > 0, oraz L jest podrozmaito´sci¸a rozmaito´sci M kowymiaru 1. Wtedy je˙zeli ∥BL∥ = a − ε, dla pewnego ε > 0, to rozmaito´s´c L ma krzywizn¸e sekcyjn¸a ograniczon¸a z g´ory przez liczb¸e ujemn¸a.
Dow´od. Niech x b¸edzie dowolnym punktem podrozmaito´sci L. Oznaczmy przez KL krzywizn¸e sekcyjn¸a rozmaito´sci L. Niech ponadto v, w ∈ Tx(L) b¸ed¸a wektorami ortonormalnymi. W´owczas r´ownanie Gaussa stanowi, ˙ze
(4.2) KL(v, w) = K(v, w) + det w lasnych operatora Weingartena SN : Tx(L)→ Tx(L) danego wzorem
(4.3) g(SN(u), ˜u) = g(BL(u, ˜u), Nx) dla u, ˜u∈ Tx(L).
otrzymujemy na podstawie wzor´ow (4.4) r´owno´sci
(4.5) ∥BL(v, v)∥ =
Z dwuliniowo´sci i symetrii odwzorowania BL oraz ze wzor´ow (4.2), (4.4) i (4.5)
Nast¸epuj¸ace twierdzenie wska˙ze nam kolejn¸a r´o˙znic¸e pomi¸edzy przestrzeni¸a euk-lidesow¸a i hiperboliczn¸a. Jest ni¸a jednospojno´s´c podrozmaito´sci przestrzeni hiper-bolicznej o ma lej drugiej formie podstawowej, podczas gdy na przyk lad dostatecznie szeroki walec ma w przestrzeni euklidesowej dowolnie ma l¸a drug¸a form¸e.
4.4. Twierdzenie. Za l´o˙zmy, ˙ze L jest sp´ojn¸a i zupe ln¸a podrozmaito´sci¸a przestrzeni hiperbolicznej Hna oraz ˙ze ∥BL∥ = a − ε, dla pewnego ε > 0. Wtedy podrozmaito´s´c L jest jednosp´ojna.
Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze podrozmaito´s´c L jest sp´ojna, zupe lna i nie jest jednosp´ojna.
Niech γ b¸edzie p¸etl¸a w punkcie x0 po lo˙zon¸a na L i homotopijnie nietrywialn¸a.
W dalszym ci¸agu przez l(σ) b¸edziemy oznacza´c d lugo´s´c krzywej σ. Je˙zeli σ nie jest krzyw¸a prostowaln¸a, to l(σ) =∞.
Niech p bedzie wymiarem rozmaito´sci L, a r oznacza promie´n iniektywno´sci odw-zowania wyk ladniczego expx
0 na L. Poniewa˙z odwzorowanie wyk ladniczne expx
0
zachowuje odleg lo´s´c wzd lu˙z promieni, zatem przekszta lca kul¸e o ´srodku x0i promie-niu r na podrozmaito´sci L na kul¸e o ´srodku 0 i promieniu r wRp (po uto˙zsamieniu Tx0L zRp). Wynika st¸ad, ˙ze p¸etla w x0 o d lugo´sci mniejszej ni˙z 2r jest ´sci¸agalna na L. W zwi¸azku z tym
(4.6) l = inf{l(τ); τ ≃ γ} > 0.
Wybierzmy ci¸ag krzywych g ladkich (γm)m∈N, γm : [0, 1]→ L, homotopijnych z γ, sparametryzowanych proporcjonalnie do d lugo´sci luku i takich, ˙ze
(4.7) lim
m→∞l(γm) = l.
Zbie˙zno´s´c ci¸agu (l(γm)) gwarantuje istnienie jego ograniczenia g´ornego ˜l. Dla ka˙zdego m∈ N i t ∈ [0, 1] otrzymujemy st¸ad oszacowanie
dL(x0, γm(t))≤ ˜l,
czyli ci¸ag funkcji (γm) jest wsp´olnie ograniczony. Dzi¸eki parametryzacji propor-cjonalnej do lukowej otrzymujemy dla dowolnych m∈ N i t, s ∈ [0, 1] nier´owno´s´c
dL(γm(t), γm(s)) ≤ l(γm)|t − s| ≤ ˜l|t − s|, kt´ora gwarantuje jednakow¸a jednostajn¸a ci¸ag lo´s´c ci¸agu (γm).
Na mocy twierdzenia Arzeli–Ascoliego, bior¸ac pod uwag¸e zupe lno´s´c przestrzeni L, z ci¸agu (γm) mo˙zna wybra´c podci¸ag jednostajnie zbie˙zny (b¸edziemy go w dalszym ci¸agu nadal nazywa´c (γm)) do funkcji ci¸ag lej γ0 : [0, 1] → L takiej, ˙ze γ0(0) = γ0(1) = x0.
Niech ϱ oznacza minimum z promienia iniektywno´sci odwzorowania wyk ladniczego na L w punkcie γ0(t) brane po t∈ [0, 1]. Z jednostajnej zbie˙zno´sci ci¸agu (γm) do γ0 wynika istnienie takiego ˜m, ˙ze nier´owno´s´c
dL(γm˜, γ0) < ϱ
Poka˙zemy, ˙ze krzywa γ0 jest prostowalna.
Niech 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 b¸edzie dowolnym podzia lem odcinka [0, 1]. Dla dowolnego m ∈ N ∪ {0} rozwa˙zmy laman¸a cm z lo˙zon¸a z odcink´ow geodezyjnych cim, i = 1, . . . , k, przy czym geodezyjna cim na L l¸aczy punkt γm(ti−1) z punktem γm(ti). Sp´ojno´s´c i zupe lno´s´c L gwarantuje nam, zgodnie z twierdzeniem Hopfa-Rinowa, mo˙zliwo´s´c za lo˙zenia, ˙ze
l(cim) = dL(γm(ti−1), γm(ti)) dla m∈ N ∪ {0}, i = 1, . . . , k.
wraz z dowolno´sci¸a podzia lu odcinka [0, 1] daje prostowalno´s´c krzywej γ0. Poniewa˙z γ0 jest granic¸a ci¸agu γm, wi¸ec na podstawie (4.7) otrzymujemy
(4.8) l(γ0) = l.
Wyka˙zemy teraz, ˙ze γ0 jest geodezyjn¸a.
Niech teraz 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 b¸edzie takim podzia lem odcinka [0, 1], ˙ze
i rozwa˙zmy krzyw¸a dan¸a wzorem
˜ γ0(t) =
{ γ0(t), t∈ [0, ti−1]∪ [ti, 1]
ci0(t), t ∈ [ti−1, ti].
W´owczas ze ´sci¸agalno´sci obszaru Ui otrzymujemy homotopijno´s´c krzywej ˜γ0 z γ0, a tym samym z γ. Ponadto z z warunku (4.7) wynika, ˙ze
l(˜γ0) < l(γ0).
Ale na podstawie (4.8) i definicji (4.6) liczby l ostatnia r´owno´s´c nie mo˙ze zachodzi´c.
Sprzeczno´s´c dowodzi, ˙ze zale˙zno´s´c (4.9) jest r´owno´sci¸a, a tym samym na ka˙zdym przedzia le [ti−1, ti] krzywa γ0 jest geodezyjn¸a.
Modyfikuj¸ac podzia l odcinka [0, 1] stwierdzamy,˙ze tak˙ze w punktach pierwotnego podzia lu krzywa γ0 jest geodezyjn¸a. Podsumowuj¸ac, γ0 : [0, 1]→ L jest geodezyjn¸a na podrozmaito´sci L.
Powy˙zsze rozumowanie nie prowadzi do wniosku, ˙ze γ0jest geodezyjn¸a zamkni¸et¸a na L, poniewa˙z mo˙ze istnie´c osobliwo´s´c w x0.
Ponadto krzywa γ0 osi¸aga lokalne maksimum odleg lo´sci od od punktu x0. Istot-nie, funkcja odleg lo´sci punkt´ow krzywej γ0 od punktu x0 jest ci¸ag la na przedziale [0, 1], zatem z twierdzenia Weierstrassa przyjmuje w pewnym punkcie t0 ∈ [0, 1]
warto´s´c najwi¸eksz¸a ˆl. Oczywi´scie t0 ̸= 0 i t0 ̸= 1, bo γ0(0) = γ0(1) = x0 oraz ˆl > 0, bo l > 0 .
Je˙zeli rozwa˙zymy parametryzacj¸e lukow¸a krzywej γ0, to w pewnym otoczeniu punktu t0 spe lnia ona za lo˙zenia stwierdzenia 3.9, a zatem jej krzywizna geodezyjna w t0 jest nie mniejsza ni˙z a. Jednak, na mocy stwierdzenia 4.2 i za lo˙zenia ∥BL∥ = a− ε i udowodnionej geodezyjno´sci γ0, krzywizna ta jest mniejsza od a. ■
Z pracy [T] pochodzi nast¸epuj¸ace twierdzenie
4.5. Twierdzenie. Je˙zeli na niezwartej powierzchni, kt´ora nie jest homeomor-ficzna z p laszczyzn¸a ani walcem, okre´slona jest zupe lna metryka riemannowska, to istnieje na tej powierzchni zamkni¸eta geodezyjna. ■
Gdyby w twierdzeniu 4.4 rozwa˙za´c podrozmaito´sci wymiaru 2, to twierdzenie 4.5 pozwoli loby ograniczy´c rozwa˙zania tylko do topologicznego walca. Na innych powierzchniach (poza p laszczyzn¸a, kt´ora spe lnia od razu tez¸e) istnia laby zamkni¸eta geodezyjna i zgodnie ze stwierdzeniem 4.2 i wnioskiem 3.11, ich druga forma pod-stawowa by laby ograniczona z do lu przez a.
Przejdziemy obecnie do rozwa˙za´n o foliacjach przestrzeni hiperbolicznej. Poprzedz-imy je og´olnym stwierdzeniem o zupe lno´sci li´scia foliacji rozmaito´sci zupe lnej.
4.6. Stwierdzenie. Niech M b¸edzie rozmaito´sci¸a riemannowsk¸a zupe ln¸a, a F – foliacj¸a klasy Cr (r ≥ 1) rozmaito´sci M. Wtedy ka˙zdy li´s´c foliacji F jest roz-maito´sci¸a zupe ln¸a z metryk¸a indukowan¸a z M .
Dow´od. Za l´o˙zmy, ˙ze dim M = m i F jest foliacj¸a rozmaito´sci M kowymiaru q.
Wybierzmy dowolny li´s´c L foliacji F. Niech (xn) b¸edzie ci¸agiem Cauchy’ego na L.
Z faktu, ˙ze metryka na L jest indukowana z M wynika, ˙ze (xn) jest tak˙ze ci¸agiem Cauchy’ego na M . Zupe lno´s´c M gwarantuje wi¸ec zbie˙zno´s´c tego ci¸agu do pewnego punktu x∈ M.
Niech φ = (φ1, φ2) b¸edzie map¸a foliacji F w otoczeniu punktu x, φ : U → U1×U2, gdzie U jest podzbiorem otwartym w M , a U1 = B(p1, r1) i U2 = B(p2, r2) s¸a kulami otwartymi odpowiednio w Rm−q i w Rq oraz φ(x) = (p1, p2). Niech ponadto r oznacza odleg lo´s´c punktu x od brzegu zbioru U w M .
Oznaczmy przez r1′ < r1i r2′ < r2takie liczby, ˙ze zbi´or otwarty V = φ−1(B(p1, r′1)× B(p2, r′2)) ma brzeg odleg ly w M od U o co najmniej r2.
Je˙zeli zatem pewne dwa wyrazy ci¸agu (xn) nale˙z¸a do V i nie le˙z¸a na tej samej p lytce mapy φ, to ich odleg lo´s´c mierzona w L wynosi co najmniej 2·r2 = r (krzywa l¸acz¸aca je musia laby wyj´s´c z V poza U i wr´oci´c do V ).
Tym samym istnieje takie k ∈ N, ˙ze dla n ≥ k wszystkie wyrazy ci¸agu le˙z¸a na jednej p lytce mapy φ. Zatem istnieje takie c∈ U2, ˙ze
(4.10) φ(xn) = (φ1(xn), c) dla n≥ k.
Ponadto φ1 jako sk ladowa dyfeomorfizmu jest ci¸ag la, dzi¸eki czemu ci¸ag ze wzoru (4.10) d¸a˙zy w Rn do (φ1(x), c), co oznacza, ˙ze x = φ−1(φ(x)) = φ−1((φ1(x), c)) le˙zy na tej samej p lytce co wszystkie wyrazy ci¸agu (4.10), zatem tak˙ze na li´sciu L.
■
Kolejne dwie definicje pozwol¸a nam na zwi¸ez le sformu lowanie twierdzenia podsumo-wuj¸acego dotychczasowe wyniki tego rozdzia lu.
4.7. Definicja. Foliacj¸a Hadamarda nazywamy foliacj¸e rozmaito´sci Hadamarda, kt´orej wszystkie li´scie s¸a tak˙ze rozmaito´sciami Hadamarda.
4.8. Definicja. Norm¸a drugiej formy podstawowej foliacji F okre´slonej na roz-maito´sci riemannowskiej (M, g) nazywamy liczb¸e
∥B∥F = sup
L∈F ∥BL∥, o ile kres g´orny istnieje.
4.9. Twierdzenie. Je˙zeli F jest foliacj¸a kowymiaru 1 przestrzeni hiperbolicznej Hna oraz ∥B∥F ≤ a − ε dla pewnego ε > 0, to F jest foliacj¸a Hadamarda.
Dow´od. Niech L b¸edzie dowolnym li´sciem foliacji F. Wtedy norma ∥BL∥ jego drugiej formy podstawowej nie przekracza a− ε i na mocy stwierdzenia 4.3 L ma krzywizn¸e ograniczon¸a z g´ory przez −ε < 0. Ponadto li´s´c L jest podrozmaito´sci¸a sp´ojn¸a i, na mocy stwierdzenia 4.6, zupe ln¸a. Z twierdzenia 4.4 wynika wi¸ec, ˙ze li´s´c L jest jednosp´ojny. Zatem dowolny li´s´c foliacji F jest rozmaito´sci¸a Hadamarda. ■
Mo˙zliwo´s´c zast¸apienia w za lo˙zeniach twierdzenia 4.9 przestrzeni hiperbolicznej przez rozmaito´s´c Hadamarda zale˙zy tylko od tego, czy zachodzi w niej stwierdzenie 3.9. Na przeszkodzie dowodu stoj¸a, jak ju˙z by lo wspomniane, problemy z oszacow-aniem normy pola Jacobiego i jego pochodnej. Jednak swoista ci¸ag lo´s´c wzgl¸edem a modeli przestrzeni hiperbolicznych Hna pozwala przypuszcza´c, ˙ze przynajmniej dla przestrzeni o krzywi´znie niewiele r´o˙zni¸acej si¸e od a twierdzenie 4.9 r´ownie˙z zachodzi.
4.10. Problem. Czy je˙zeli F jest foliacj¸a rozmaito´sci Hadamarda M o krzywi˙znie sekcyjnej zawartej pomi¸edzy −a2 i −a2− δ, dla pewnego δ > 0 (lub : ograniczonej z g´ory przez −a2), oraz ∥B∥F < a, to F jest foliacj¸a Hadamarda ?
Przeanalizujemy obecnie jak brzegi idealne li´sci foliacji Hadamarda po lo˙zone s¸a w brzegu idealnym przestrzeni hiperbolicznej.
4.11. Twierdzenie. Za l´o˙zmy, ˙zeF jest foliacj¸a kowymiaru 1 przestrzeni hiperbo-licznej Hna i ˙ze norma ∥B∥F drugiej formy podstawowej tej foliacji nie przekracza a− ε, dla pewnego ε > 0.
(i) Niech L bedzie dowolnym li´sciem foliacji F. Wtedy odwzorowanie ΦL : L(∞) → Hna(∞), przypisuj¸ace klasie [γ] geodezyjnych asymptotycznych na L koniec krzywej γ w przestrzeniHna, jest homeomorfizmem brzegu idealnego L(∞) na jego obraz.
(ii) W sumie brzeg´ow idealnych li´sci rozwa˙zamy topologi¸e ilorazow¸a indukowan¸a z T1F przez relacj¸e
v ≈ w wtedy i tylko wtedy, gdy γvF(∞) = γwF(∞),
gdzie γuF oznacza geodezyjn¸a na li´sciu przechodz¸acym przez punkt π(u) o kierunku u. W´owczas ci¸ag le jest odwzorowanie Φ : ∪
L∈F
L(∞) → Hna(∞) przypisuj¸ace klasie [γ] geodezyjnych asymptotycznych na pewnym li´sciu, koniec krzywej γ.
Dow´od. Z twierdzenia 4.9 otrzymujemy, ˙ze F jest rozmaito´sci¸a Hadamarda. Ze stwierdzenia 4.2 wynika, ˙ze geodezyjna na dowolnym li´sciu foliacji F ma krzywizn¸e geodezyjn¸a w Hna ograniczon¸a z g´ory przez a− ε, czyli na mocy twierdzenia 3.30 posiada koniec.
I. Poka˙zemy, ˙ze ΦL jest dobrze okre´slone.
Niech γ i τ b¸ed¸a geodezyjnymi asymptotycznymi na L okre´slonymi na przedziale [0,∞) i sparametryzowanymi d lugo´sci¸a luku. Wtedy istnieje, tak jak w definicji 3.15, liczba C > 0 taka, ˙ze dla ka˙zdego t≥ 0 zachodzi nier´owno´s´c
dL(γ(t), τ (t))≤ C,
gdzie dL oznacza metryk¸e na L indukowan¸a przez metryk¸e d na Hna. St¸ad dla nieujemnych t otrzymujemy oszacowanie
(4.11) d(γ(t), τ (t))≤ C.
Przypu´s´cmy, ˙ze ko´nce γ(∞), τ(∞) krzywych odpowiednio γ i τ w przestrzeni Hna s¸a r´o˙zne. Rozwa˙zmy roz l¸aczne sto˙zki ´sci¸ete cγ = T (v, δ, r) i cτ = T (w, δ, r)
(oznaczenia jak w definicji 3.20) gdzie v, w ∈ T01Han s¸a kierunkami geodezyjnych w Hna l¸acz¸acych zero z γ(∞) i τ(∞), odpowiednio. Ze stwierdzenia 3.23 wynika, ˙ze sto˙zki cγ i cτ s¸a otoczeniami ko´nc´ow krzywych γ i τ w przestrzeniHna. Roz l¸aczno´s´c sto˙zk´ow implikuje istnienie β0 > 0 takiego, ˙ze dla dowolnych punkt´ow p ∈ cγ i q ∈ cτ
(4.12) ∢p0q ≥ β0.
Ponadto istnieje taki parametr t0 ≥ 0, ˙ze γ([t0,∞)) ⊂ cγ oraz τ ([t0,∞)) ⊂ cτ. Z twierdzenia cosinus´ow dla przestrzeni hiperbolicznej i zale˙zno´sci (4.12) otrzy-mujemy zatem przy t≥ t0 ci¸ag nier´owno´sci
(4.13)
(d(γ(t), τ (t))2 ≥(d(0, γ(t))2+ (d(0, τ (t))2− 2d(0, γ(t))d(0, τ(t)) cos ∢γ(t)0τ(t)
≥ (d(0, γ(t)) − d(0, τ(t))2+ 2d(0, γ(t))d(0, τ (t))(1− cos β0).
Poniewa˙z przy t→ ∞ krzywe γ i τ d¸a˙z¸a do brzegu przestrzeni Hna oraz β0 > 0, wi¸ec ostatnie wyra˙zenie w nier´owno´sci (4.13) ro´snie nieograniczenie, co jest sprzeczne z warunkiem 4.11. □
II. Wyka˙zemy teraz , ˙ze ΦL jest odwzorowaniem r´o˙znowarto´sciowym.
Za l´o˙zmy, ˙ze dla pewnych geodezyjnych γ i τ na li´sciu L okre´slonych na p´o lprostej [0,∞) i sparametryzowanych d lugo´sci¸a luku, spe lniony jest warunek ΦL([γ]) = ΦL([τ ]), czyli r´ownowa˙znie, ˙ze ich ko´nce wHna s¸a r´owne.
Przypu´s´cmy, ˙ze γ i τ nie s¸a asymptotyczne na L i niech σ b¸edzie geodezyjn¸a na L l¸acz¸ac¸a ich r´o˙zne punkty graniczne. Jej istnienie wynika ze stwierdzenia 3.27,
bo li´s´c L jest rozmaito´sci¸a Hadamarda. Zatem, bior¸ac pod uwag¸e pierwszy punkt dowodu,
σ−(∞) = γ(∞) = τ(∞) = σ+(∞).
Rozwa˙zmy wszystkie α-kule b¸ed¸ace otoczeniami wsp´olnego ko´nca σ+ i σ−, gdzie a cos α = a−ε2. Istnieje po´sr´od nich α-kula, do kt´orej krzywa σ zawraca, a to zgod-nie ze stwierdzezgod-niem 3.14 powoduje, ˙ze krzywa σ ma w pewnym punkcie krzywizn¸e nie mniejsz¸a ni˙z a cos α. Z drugiej strony, σ jako geodezyjna na L ma krzywizn¸e geodezyjn¸a w Hna ograniczon¸a z g´ory przez a− ε. □
III. Dow´od ci¸ag lo´sci odwzorowania ΦL poprzedzimy wykazaniem ci¸ag lo´sci odw-zorowania eΦ : T1F → Hna(∞) danego wzorem
eΦ(v) = γvF(∞) dla v∈ T1F.
Dla dowolnego v ∈ T1F krzywa γvF jako geodezyjna na li´sciu ma krzywizn¸e geodezyjn¸a w Hna ograniczon¸a z g´ory przez a− ε, czyli posiada koniec.
Za l´o˙zmy, ˙ze ci¸ag (vn) wektor´ow z T1F jest zbie˙zny do v ∈ T1F. Oznaczmy kr´otko
γn = γvFn oraz γ = γvF. Z ci¸ag lo´sci potoku geodezyjnego foliacjiF wynika, ˙ze
(4.14) γn(t)→ γ(t) dla t≥ 0.
Przypu´s´cmy, ˙ze ci¸ag (γn(∞)) nie jest zbie˙zny do γ(∞). Zbi´or wyraz´ow tego ci¸agu jest zawarty w przestrzeni zwartejHna(∞) zatem ci¸ag ten posiada podci¸ag (b¸edziemy go nadal oznacza´c przez (γn(∞))) zbie˙zny do pewnego z ∈ Hna, z ̸= γ(∞).
Niech B b¸edzie α1–kul¸a zawieraj¸ac¸a γ(0) i tak¸a, ˙ze jej koniec zawiera punkt z i nie zawiera punktu γ(∞), gdzie α1 ≤ α; B istnieje, bo horokule o ko´ncu z pokrywaj¸a ca l¸a przestrze´n Hna.
Zbie˙zno´s´c z warunku (4.14) gwarantuje istnienie takiego n0, ˙ze dla n≥ n0punkty γn(0) nale˙z¸a do B. Poniewa˙z γ(∞) nie nale˙zy do ko´nca B∞ zbioru B (okre´slonego jak w definicji 3.28), wi¸ec γ([t1,∞)) ∩ B = ∅ dla pewnego t1 > 0. Ponownie zbie˙zno´s´c (4.14) pozwala znale´z´c takie n1 ≥ n0, ˙ze dla n ≥ n1 punkty γn(t1) le˙z¸a poza domkni¸eciem α1–kuli B w przestrzeni Hna. Dzi¸eki zbie˙zno´sci γn(∞) → z istnieje takie n2 ≥ n1, ˙ze dla n ≥ n2 punkty γn(∞) nale˙z¸a do B∞, kt´ore jest otoczeniem z wHna(∞). Ale wtedy istnieje parametr t2 > t1 taki, ˙ze γn2([t2,∞)) ⊂ B.
Zatem krzywa γn2 zawraca do α1–kuli B i zgodnie ze stwierdzeniem 3.14 istnieje takie t0 ∈ [0, t2], dla kt´orego
kg(γn2)(t0)≥ a cos α1 ≥ a cos α > a − ε.
To jednak przeczy faktowi, ˙ze γn2 jest geodezyjn¸a na pewnym li´sciu foliacji F. □ IV. Ustalmy punkt x ∈ L i niech ψ b¸edzie homeomorfizmem przestrzeni L(∞) na Tx1L opisanym w twierdzeniu 3.25. W´owczas
ψ(x) = v, gdzie v∈ Tx1L, [γvF] = x.
i ΦL = eΦ◦ ψ jest ci¸ag le, bo ci¸ag le s¸a ψ i, na podstawie punktu III, eΦ. □
Zatem ΦL jako r´o˙znowarto´sciowe i ci¸ag le przekszta lcenie przestrzeni zwartej L(∞) w przestrze´n zwart¸a Hna(∞) jest homeomorfizmem brzegu idealnego L(∞) na jego obraz.
Z ci¸ag lo´sci eΦ wynika ci¸ag lo´s´c Φ, bo w ∪
L∈F
L(∞) okre´slili´smy topologi¸e ilorazow¸a, w kt´orej rzutowani z lo˙zone z Φ daje eΦ. ■
Ka˙zda foliacja ca lkowicie geodezyjna kowymiaru 1 przestrzeni Hna jest foliacj¸a Hadamarda, bo wtedy jej norma drugiej formy podstawowej jest r´owna 0 i s¸a spe lnione za lo˙zenia twierdzenia 4.9. Nast¸epuj¸ace twierdzenie pochodz¸ace z pracy [Br] wska˙ze nam szerok¸a klas¸e foliacji ca lkowicie geodezyjnych.
4.12. Twierdzenie. Je˙zeli c :R → Hnjest geodezyjn¸a sparametryzowan¸a d lugo´sci¸a luku, a Z jednostkowym polem wektorowym g ladkim wzd lu˙z c takim, ˙ze g(Z, ˙c) > 0 oraz
∥∇ZZ∥ ≤ g(Z, ˙c),
to podprzestrzenie hiperboliczne ortogonalne do pola Z tworz¸a foliacj¸e przestrzeni Hn. ■
4.13. Wniosek. Podprzestrzenie ortogonalne do pola stycznego do geodezyjnej sparametryzowanej d lugo´sci¸a luku tworz¸a foliacj¸e ca lkowicie geodezyjn¸a przestrzeni Hna. ■
Poka˙zemy obecnie jak z foliacji ca lkowicie geodezyjnej mo˙zna otrzyma´c wiele r´o˙znych foliacji Hadamarda.
4.14. Stwierdzenie. Istnieje takie otoczenie U identyczno´sci na Hna w silnej topologii CS2(Hna,Hna), ˙ze dla ka˙zdego odwzorowania f ∈ U i ka˙zdej foliacji ca lkowicie geodezyjnej F kowymiaru 1 przestrzeni Hna, obrazy li´sci foliacji F przy odwzorowa-niu f tworz¸a foliacj¸e Hadamarda.
Dow´od. Niech Uδoznacza otoczenie identyczno´sci zawieraj¸ace wszystkie odwzorowa-nia, kt´orych pochodne do rz¸edu 2 w l¸acznie r´o˙zni¸a si¸e od odpowiednich pochodnych przekszta lcenia to˙zsamo´sciowego o mniej ni˙z δ > 0 w ca lej przestrzeni Hna. Wtedy ka˙zdy zbi´or Uδ jest otwarty w silnej topologii CS2(Hna,Hna). Dyfeomorfizmy tworz¸a zbi´or otwarty w silnej topologii (dow´od w ksi¸a˙zce [H]), zatem istnieje otoczenie identyczno´sci eU nale˙z¸ace do tej topologii i z lo˙zone z samych dyfeomorfizm´ow.
Dla dowolnego dyfeomorfizmu f ∈ eU i dowolnego li´scia L foliacjiF odwzorowanie ι◦ f−1 — gdzie ι jest izometri¸a przeprowadzaj¸ac¸a li´s´c L na podprzestrze´n hiper-boliczn¸a w Hna o zerowej ostatniej wsp´o lrz¸ednej w mapie kanonicznej — jest map¸a na f (L).
Druga forma podstawowa zale˙zy w spos´ob ci¸ag ly tylko od pochodnych takiej mapy do rz¸edu 2 w l¸acznie (uzasadnienie mo˙zna znale´z´c na przyk lad w ksi¸a˙zce [KN]).
Mo˙zemy zatem wybra´c tak ma le η > 0, aby druga forma podstawowa li´sci f (L) by la ograniczona przez liczb¸e mniejsz¸a od a dla f ∈ Uη.
Wtedy zgodnie z twierdzeniem 4.9 rodzina{f(L); L ∈ F} jest foliacj¸a Hadamarda dla ka˙zdego f ∈ eU ∩ Uη. ■
4.15. Przyk lad. Rozwa˙zmy dla ustalonego z ∈ Hna(∞) wszystkie horosfery sty-czne do brzegu w punkcie z. Otrzymujemy w ten spos´ob foliacj¸e F przestrzeni Hna
o jednosp´ojnych i zupe lnych li´sciach, kt´ore s¸a p laskie (to znaczy ich krzywizna sek-cyjna jest to˙zsamo´sciowo r´owna 0 — fakt ten jest opisany w ksi¸a˙zce [C2]). Foliacja F jest wi¸ec foliacj¸a Hadamarda, a norma jej drugiej formy podstawowej wynosi a.
Jednak brzeg idealny ka˙zdego li´scia redukuje si¸e na brzegu idealnym przestrzeni Hna do punktu z, zatem za lo˙zenia twierdzenia 4.11 nie mo˙zna os labi´c do warunku
∥B∥F = a.
4.16. Przyk lad. Rozwa˙zmy foliacj¸e przestrzeni Hna podprzestrzeniami hiper-bolicznymi, kt´ore s¸a podzbiorami sfer prostopad lych do sfery podstawowej i prze-chodz¸acych przez jej ustalony punkt z. Foliacja taka jest foliacj¸a ca lkowicie geodezyjn¸a, zatem spe lnia za lo˙zenia twierdzenia 4.11. Odwzorowanie Φ nie jest jednak r´o˙znowarto´sciowe.
Ostatni przyk lad przekona nas, ˙ze przestrze´n euklidesowa nie posiada w lasno´sci opisanej w twierdzeniu 4.9, to znaczy ˙ze istniej¸a w niej foliacje o dowolnie ma lej drugiej formie podstawowej i nie wszystkich li´sciach jednosp´ojnych.
4.17. Przyk lad. Niech r b¸edzie ustalon¸a liczb¸a nie mniejsz¸a ni˙z 1 . Rozwa˙zmy foliacj¸e F(r) przestrzeni R3, kt´orej jednym z li´sci jest walec o promieniu r, walec ten wype lnia sk ladowa Reeba, a li´s´cmi na zewn¸atrz tego walca s¸a walce o tej samej osi i wi¸ekszym od r promieniu.
Li´scie opiszemy analitycznie w nast¸epuj¸acy spos´ob CR ={(x, y, z) ∈ R3; x2+ y2 = R2} dla R≥ r,
Pc ={(x, y, z) ∈ R3; z = 1
r2− x2− y2 + c, x2+ y2 < r2} dla c∈ R.
Przekr´oj normalny walca CRw ustalonym punkcie jest prost¸a, okr¸egiem o promieniu R lub elips¸a o mniejszej p´o losi R. Najwi¸eksz¸a krzywizn¸e spo´sr´od nich ma okr¸ag, sk¸ad wynika, ˙ze
∥BCR∥ = 1
R dla R ≥ r.
Li´scie Pc s¸a izometryczne, zatem wystarczy obliczy´c norm¸e drugiej formy pod-stawowej dla li´scia P0. Wykorzystamy do tego informacje z ksi¸a˙zki [C1]. Li´s´c P0 jest wykresem funkcji
h(x, y) = 1
r2− x2− y2, x2+ y2 < r2, kt´orej pochodne rz¸edu 1 i 2 s¸a r´owne
h′x(x, y) = 2x
r2− x2− y2, h′y(x, y) = 2y r2− x2− y2, h′′xx(x, y) = 2(r2+ 3x2− y2)
(r2− x2 − y2)3 , h′′xy(x, y) = 8xy
(r2− x2− y2)3, h′′yy(x, y) = 2(r2− x2+ 3y2)
(r2− x2− y2)3 . Ze wzoru na krzywizn¸e sekcyjn¸a
K = h′′xxh′′yy − (h′′xy)2 (1 + (h′x)2+ (h′y)2)2
wynika zatem, ˙ze krzywizna w punktach h(x, 0), x∈ [0, r) — do kt´orych ograniczymy rozwa˙zania, bo li´s´c P0 jest powierzchni¸a obrotow¸a — wynosi
(4.15) K(x, 0) = 4(r2+ 3x2)(r2− x2)3 ((r2− x2)4+ 4x2)2 .
Po ludnik powierzchni obrotowej jest jej lini¸a krzywiznow¸a, wi¸ec krzywizna po ludnika (r´owna jego krzywi´znie normalnej) jest jedn¸a z krzywizn g l´ownych k1. Dla po ludnika
α(t) = (t, 0, h(t, 0)), t ∈ [0, r) skorzystamy ze wzoru na krzywizn¸e krzywej p laskiej (x(t), y(t))
k = x′y′′− x′′y′ ((x′)2+ (y′)2)32
.
Pochodne wsp´o lrz¸ednych krzywej α wynosz¸a
x′(t) = 1, x′′(t) = 0, y′(t) = h′x(t, 0), y′′(t) = hxx′′(t, 0),
sk¸ad wynika, ˙ze jedna z krzywizn g l´ownych na powierzchni P0 w punktach h(x, 0) ma warto´s´c
(4.16) k1(x, 0) =
2(r2+3x2) (r2−t2)3
(
1 + (r24x−x22)4
)32 = 2(r2+ 3x2) (
(r2− x2)2+ (r24x−x22)2
)32
Ze wzor´ow (4.15) i (4.16) wynika, ˙ze druga z krzywizn g l´ownych k2 w punktach h(x, 0) wynosi
(4.17.) k2(x, 0) = 2
√(r2− x2)4+ 4x2
Dla ka˙zdego v ∈ Tp1(P0) d lugo´s´c drugiej formy podstawowej B(v, v) szacuje si¸e przez krzywizny g l´owne
|B(v, v)| ≤ max (|k1(p)|, |k2(p)|) , zatem wystarczy oszacowa´c k1 i k2, aby oszacowa´c norm¸e B.
Funkcja f : [0, r)→ R dana wzorem
f (x) = (r2− x2)4+ 4x2
ma minimum globalne r´owne 4r2−3, wi¸ec krzywizn¸e k2dan¸a wzorem (4.17) mo˙zemy oszacowa´c nast¸epuj¸aco
k2(x, 0) ≤ 2
4r2− 3 ≤ 2 r. Dla n ∈ N, n ≥ 5 oraz x ∈ [
0,
√n−1 n r
]
zachodz¸a na podstawie wzoru (4.16) nier´owno´sci
k1(x, 0) = 2(r2+ 3x2 (
(r2− x2)2+ (r24x−x22)2
)32 ≤ 8r2 ((n−1n r2)2)32
=
( n
n− 1 )3
8 r4 ≤ 16
r4 ≤ 16 r , z kt´orych wynika, ˙ze k2 szacuje si¸e z g´ory przez 16r.
Zatem dla dowolnego ε > 0 foliacjaF(16ε ) ma nie przekraczaj¸ac¸a ε norm¸e drugiej formy podstawowej i nie wszystkie li´scie jednosp´ojne.
Bibliografia
[Ba] W. Ballmann, Lectures on Spaces of Nonpositive Curvature, Birkh¨auser, 1995.
[BN] R. Bishop, B. O’Neill, Manifolds of negative curvature, Trans. of Americ. Math. Soc. 145 (1959), 1–49.
[BP] R. Benedetti, C. Petronio, Lectures on Hyperbolic Geometry, Springer, 1992.
[Br] H. Browne, Codimension one totally geodesic foliations of Hn, Tohoku Math. Journ. 36 (1984), 315–340.
[C1] M.P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice–Hall, 1976.
[C2] M.P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkh¨auser, 1992.
[EN] P. Eberlein, B. O’Neill, Visibility manifolds, Pacific Jour. of Math. 46 (1973), 45–109.
[F] S. Fenley, Limit sets of foliations in hyperbolic 3–manifolds, Topology 37 (1998), 875–894.
[GKM] D. Gromoll, W. Klingenberg, W. Meyer, Riemannsche Geometrie im Grossen, Mir, 1971;
przek lad rosyjski
[H] M. Hirsch, Differential Topology, Mir, 1979; przek lad rosyjski
[KN] S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry vol. I,II, Interscience, 1963,1969.
[LS] R. Langevin, J.–C. Sifre, Asymptotes des courbes trac´ees sur les vari´et´es de Hadamard, Ann. de la Fac. Sci. de Toulouse 3 (1993), 375–427.
[S] T. Sakai, Riemannian Geometry, American Mathematical Society, 1997.
[T] G. Thorbergsson, Closed geodesics on non–compact manifolds, Math. Zeitschrift 159 (1978), 249–258.