Lokalność algorytmu interpolacji

Lokalność algorytmu interpolacji mierzyć można za pomocą długości odcinka

[

T_i-l,T_i+u

]

po-kazującego zakres zmian interpolowanych wartości w przypadku zmiany danych wejścio-wych dla punktu węzłowego Ti. Jedną z własności dobrego algorytmu interpolacji jest mini-malizacja długości odcinka obejmującego punkty, dla których nastąpiły zmiany w interpolowanych wartościach. Ma to kluczowe znaczenie w przypadku pomiaru oraz za-bezpieczania ryzyka z wykorzystaniem miar ryzyka stopy procentowej wykorzystujących metody numeryczne takich jak key rate duration, PV01 lub BPV. Szczegółowy opis poszcze-gólnych miar ryzyka stóp procentowych oraz praktycznych aspektów ich stosowania prezen-tuje Tuckman (2002). W przypadku wykorzystywania algorytmu o niskim stopniu lokalności, wykorzystanie wspomnianych wcześniej miar ryzyka może prowadzić do błędnych wniosków odnośnie poziomu oraz źródeł ryzyka stopy procentowej analizowanej pozycji, a w konse-kwencji do błędów w procedurze zabezpieczenia. Przykładowo pozycję zabezpieczaną, której wartość jest wrażliwa na zmiany wyłącznie długoterminowych stóp procentowych, zabezpie-czyć możemy za pomocą pozycji w instrumencie zabezpieczającym, którego wartość jest wrażliwa na zmiany jedynie krótkoterminowych stóp procentowych.

Tabela 3.6 prezentuje długość odcinka

[

Ti_-l,Ti₊u

]

wskazującego zakres zmian

interpo-lowanych wartości w przypadku zmiany danych wejściowych dla punktu węzłowego Ti.

Po-dawane zakresy odnoszą się do poszczególnych punktów węzłowych. Przykładowo wartość 1

=

u wskazuje, że zmianie ulegają interpolowane wartości w zakresie do 1 punktu

węzłowe-go wprzód. Wartość l =1 wskazuje, że zmianie ulegają interpolowane wartości w zakresie do 1 punktu węzłowego wstecz.

Tabela 3.5 Wskazania miary lokalności dla poszczególnych algorytmów interpolacji

Algorytm interpolacji l u

Liniowa interpolacja czynników dyskontowych 1 1

Liniowa interpolacja stóp natychmiastowych 1 1

Liniowa interpolacja logarytmów naturalnych czynników

dyskontowych ^{1 1}

Liniowa interpolacja logarytmów naturalnych stóp

natychmiastowych ^{1 1}

Naturalny splajn kubiczny i - 1 n - 1

Splajn kubiczny hermitowski

(Akima) ^{3 3}

Splajn kubiczny hermitowski

(Fritsch - Butland) ^{2 2}

Splajn kubiczny hermitowski

(Parabolic) ^{2 2}

Splajn kubiczny hermitowski

(Fourth-order finite difference) ^{3 3}

Natural Quadratic Spline i - 1 n - 1

Funkcje sklejane hiperboliczne

(σ = 0,5) ^{i - 1 n - 1}

Funkcje sklejane hiperboliczne

(σ = 2) ^{i - 1 n - 1}

Funkcje sklejane hiperboliczne

(σ = 5) ^{i - 1 n - 1}

Funkcje sklejane hiperboliczne

(σ = 10) ^{i - 1 n - 1}

Quartic Forward Spline i - 1 n - 1

Forward Monotone Convex Spline 2 2

Źródło: Opracowanie własne

Przeprowadzona analiza wykazała, że największą lokalnością charakteryzują się liniowe algo-rytmy interpolacji. Algoalgo-rytmy te wykorzystują wyłącznie wartości stóp natychmiastowych dla dwóch najbliższych punktów węzłowych, dlatego też charakteryzują się największą

lokalno-ścią. Wysoką lokalnością charakteryzuje się również algorytm forward monotone convex

spline oraz różne warianty algorytmów wykorzystujących splajny kubiczne hermitowskie.

Także w przypadku tych algorytmów jednym z kluczowych założeń jest dążenie do minimali-zacji liczby punktów węzłowych wykorzystywanych jednorazowo w procesie interpolacji. Pozostałe algorytmy interpolacji oparte są na metodach zakładających globalną optymalizację dla wszystkich punktów krzywej, w związku z czym charakteryzują się niską lokalnością. W przypadku algorytmów wykorzystujących funkcje sklejane hiperboliczne, obserwowane zmiany interpolowanych wartości są coraz mniejsze w miarę zwiększania wartości parametru

Podsumowanie

W rozdziale omówiliśmy spotykane w literaturze oraz praktyce rynkowej algorytmy interpo-lacji stóp procentowych. Zaprezentowane zostały główne założenia stojące u podstaw każde-go z omawianych alkażde-gorytmów interpolacji, przedstawiono wpływ poszczególnych alkażde-goryt- algoryt-mów na kształt uzyskiwanych za ich pomocą krzywych terminowych stóp procentowych.

W części pierwszej rozdziału omówione zostały liniowe metody interpolacji stóp na-tychmiastowych (simple interpolation methods). Metody te pozwalają na interpolację z wykorzystaniem wyłącznie wartości stóp natychmiastowych dla dwóch najbliższych punk-tów węzłowych, co pozwala na ich szybką oraz prostą implementację. Założenia stojące u podstaw metod z tej grupy sprawiają, że krzywa stóp terminowych uzyskiwana z ich wyko-rzystaniem nie może być ciągła. Metody interpolacji z tej grupy charakteryzują się niską lo-kalnością oraz niewielką wrażliwością na zmiany danych wejściowych. Mogą więc dobrze się sprawdzać w zastosowaniach wymagających pomiaru ryzyka z wykorzystaniem metod nume-rycznych. Oparcie metod interpolacji liniowej na czynnikach dyskontowych pozwala jedno-cześnie na eliminację ryzyka uzyskania ujemnych stóp terminowych. W wielu badaniach me-tody z tej grupy wykorzystywane są jako grupa porównawcza służąca analizie własności bar-dziej zaawansowanych metod interpolacji (por. Hagan, West, 2006).

W części drugiej rozdziału omówione zostały metody interpolacji stóp natychmiasto-wych wykorzystujące funkcje sklejane/splajny kubiczne (cubic splines). Jest to najbardziej rozbudowana oraz zróżnicowana grupa algorytmów interpolacji stóp procentowych. W przeciwieństwie do liniowych algorytmów interpolacji, algorytmy interpolacji wykorzystu-jące funkcje sklejane pozwalają na uzyskanie ciągłych oraz realistycznych ekonomicznie po-staci krzywych stóp terminowych. Metody z tej grupy nadają się więc dobrze do zastosowań związanych z wyceną instrumentów finansowych, w szczególności w sytuacjach w których wycena zależy od kształtowania się krzywej terminowej stóp procentowych. Z wyjątkiem splajnu kubicznego hermitowskiego metody z tej grupy charakteryzują się stosunkowo niską lokalnością. Pomiar ryzyka wyłącznie z ich wykorzystaniem prowadzić więc może do niepo-prawnych wskazań czynników ryzyka, na które narażona jest analizowana pozycja. Metody te charakteryzuje ryzyko uzyskania ujemnych stóp terminowych. Oparcie algorytmu interpolacji na logarytmach czynników dyskontowych pozwala na eliminację tego problemu, wyjątkiem jest tutaj naturalny splajn kubiczny. Metody z tej grupy mogą być wykorzystywane zarówno do wyceny jak również pomiaru ryzyka. Należy jednak pamiętać, że wykorzystywane w nich algorytmy numeryczne czynią je stosunkowo wrażliwymi na jakość danych wejściowych.

Część trzecia rozdziału poświęcona została metodom interpolacji bazującym na sto-pach terminowych. W przypadku metod interpolacji bazujących na stosto-pach terminowych al-gorytm interpolujący odnoszony jest bezpośrednio do terminowych stóp procentowych. Po-nieważ stopy terminowe dla większości terminów nie są obserwowane bezpośrednio na ryn-ku, konieczne jest przekształcenie algorytmu interpolującego w celu uzyskania postaci po-zwalającej na otrzymanie wartości stopy natychmiastowej. Algorytmy interpolacji z tej grupy są najbardziej zaawansowane numerycznie, z definicji pozwalają również na uzyskanie cią-głych oraz realistycznych postaci krzywych terminowych stóp procentowych. Metody inter-polacji z tej grupy przeznaczone są przede wszystkim do zastosowań związanych z wyceną instrumentów pochodnych. Złożoność wykorzystywanych algorytmów powoduje, że metody te są stosunkowo wrażliwe na zmiany danych wejściowych, co może mieć wpływ na uzyski-wane z ich zastosowaniem wyniki pomiaru ryzyka.

4. Wpływ kryzysu finansowego na rynek międzybankowy stopy

W dokumencie Ewolucja metod konstrukcji krzywej terminowej stóp procentowych po kryzysie płynności rynku międzybankowego w latach 2007-2009 (Stron 95-100)