oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 8.1 Pierścień kiełków
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech X będzie rozmaitością quasi-rzutową i niech p ∈ X. Przez Ap(X) oznaczać będziemy zbiór wszystkich par postaci (U, f ), w których U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym p oraz f : U −→ k jest funkcją regularną na U . W zbiorze Ap(X) wprowadzamy relację typu równoważności ∼ zdefiniowaną następująco:
(U, f ) ∼ (V, g) ⇐⇒ istnieje zbiór otwarty W ⊆ X taki, że:
(1) p ∈ W ⊆ U ∩ V, (2) f | W = g | W.
Klasę abstrakcji elementu (U, f ) względem tej relacji oznaczmy przez [U, f ] i nazywamy kieł-kiem punktu p. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez Op(X). W zbiorze Op(X) definiujemy dodawanie i mnożenie w następujący sposób:
[U, f ] + [V, g] = [U ∩ V, (f + g) | (U ∩ V )], [U, f ] · [V, g] = [U ∩ V, (f · g) | (U ∩ V )].
Jest oczywiste, że powyższe działania są dobrze określone oraz, że zbiór Op(X) z takimi działaniami jest przemienną k-algebrą z jedynką [X, 1] i zerem [X, 0]. Algebrę tę nazywamy lokalnym pierścieniem punktu p na rozmaitości X lub pierścieniem kiełków w punkcie p roz-maitości X. Z algebrą taką stowarzyszony jest k-algebrowy homomorfizm νp : Op(X) −→ k zdefiniowany wzorem
νp([U, f ]) = f (p) (dla wszystkich [U, F ] ∈ Op(X)), którego jądrem jest ideał
Mp(X) = {[U, f ]; f (p) = 0}.
Homomorfizm ten jest surjekcją (gdyż dla każdego elementu a ∈ k zachodzi równość νp([X, ˜a]) = a,
gdzie ˜a : X −→ k jest funkcją przyjmującą stałą wartość a). Mamy zatem:
Stwierdzenie 8.1.1. Mp(X) jest ideałem maksymalnym w Op(X) oraz Op(X)/Mp(X) = k.
Stwierdzenie 8.1.2. Pierścień Op(X) jest lokalny z jedynym ideałem maksymalnym Mp(X).
Dowód. Niech [U, f ] ∈ Op(X) r Mp(X). Wystarczy pokazać, że [U, f ] jest elementem odwracal-nym w Op(X). Z definicji funkcji regularnej (Definicja 3.2.1) wiemy, że istnieje otwarty podzbiór U0 ⊆ U zawierający p oraz istnieją jednorodne wielomiany F, G tego samego stopnia takie, że f (u) = F (u)/G(u), dla wszystkich u ∈ U0. Niech f0= f | U0. Wtedy oczywiście [U, f ] = [U0, f0] oraz
68
Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 8. Lokalny pierścień punktu 69
F (p) 6= 0 i G(p) 6= 0. Ponieważ f0: U0−→ k jest funkcją ciągłą (Stwierdzenie 3.2.8) więc w szczegól-ności U1= f0−1(k r {0}) jest otwartym podzbiorem w U0zawierającym p. Niech f1= f | U1= f0| U1. Wtedy [U, f ] = [U1, f1] oraz f1(u1) = F (u1)/G(u1) i F (u1) 6= 0, dla wszystkich u1∈ U1. Mamy zatem funkcję regularną g : U1 −→ k określoną wzorem g(u1) = G(u1)/F (u1), dla wszystkich u1 ∈ U1 i widzimy, że [U, f ][U1, g] = [U1, 1] = [X, 1] = 1. Zatem [U, f ] jest odwracalne w Op(X).
Stwierdzenie 8.1.3. Jeśli U jest otwartym podzbiorem w X zawierającym punkt p, to k-algebry Op(X) i Op(U ) są izomorficzne.
Dowód. Odwzorowanie Op(X) −→ Op(U ), [V, f ] 7→ [V ∩ U, f | (V ∩ U )] jest izomorfizmem k-algebr.
Niech ϕ : X −→ Y będzie odwzorowaniem regularnym rozmaitości quasi-rzutowych i niech p ∈ X. Mamy wówczas odwzorowanie
O(ϕ) : Oϕ(p)(Y ) −→ Op(X), [V, g] 7→ [ϕ−1(V ), gϕ].
Bez trudu wykazujemy następujące stwierdzenie.
Stwierdzenie 8.1.4. O(ϕ) jest homomorfizmem k-algebr oraz O(ϕ)(Mϕ(p)(Y )) ⊆ Mp(X).
Z powyższych faktów wynika, że O jest funktorem kontrawariantnym z kategorii rozmaito-ści quasi-rzutowych z wyróżnionym punktem do kategorii lokalnych k-algebr. W szczególnorozmaito-ści lokalny pierścień punktu jest niezmiennikiem regularnych izomorfizmów.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 8.2 Lokalny pierścień punktu rozmaitości afinicznej
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Każdy punkt p rozmaitości quasi-rzutowej X posiada otoczenie otwarte będące rozma-itością afiniczną (Stwierdzenie 3.7.2). Ze Stwierdzenia 8.1.3 wynika zatem, że w badaniach dotyczących algebraicznych własności pierścienia Op(X) możemy ograniczyć się tylko do przy-padku, w którym X jest rozmaitością afiniczną.
Niech więc X ⊂ kn będzie afinicznym zbiorem domkniętym i niech p ∈ X. Przypomnij-my, że przez mp oznaczamy ideał maksymalny w k[X] będący zbiorem wszystkich funkcji regularnych na X zerujących się w punkcie p.
Stwierdzenie 8.2.1. Jeśli X jest rozmaitością afiniczną i p ∈ X, to pierścień Op(X) jest lokalizacją pierścienia k[X] względem ideału mp.
Dowód. Rozpatrzmy k-algebrowy homomorfizm β : k[X] −→ Op(X) określony wzorem β(f ) = [X, f ], dla wszystkich f ∈ k[X].
Niech g ∈ k[X] r mp. Wtedy g(p) 6= 0 czyli β(g) = [X, g] 6∈ Mp(X), a zatem (na mocy Stwierdze-nia 8.1.2) β(g) jest odwracalnym elementem w Op(X). Homomorfizm β indukuje więc k-algebrowy homomorfizm
α : k[X]mp −→ Op(X), f
g 7−→ [X, f ][X, g]−1. Pokażemy, że homomorfizm ten jest bijekcją.
Injektywność. Niech α(fg)=0, gdzie f, g ∈ k[X], g(p) 6= 0. Wtedy [X, f ][X, g]−1= 0, czyli [X, f ] = 0 = [X, 0]. Istnieje zatem otwarty zbiór U ⊆ X, zawierający p taki, że f |U = 0. Ponieważ {p} i
70 Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 8. Lokalny pierścień punktu
X r U są rozłącznymi zbiorami domkniętymi w X, więc istnieje h ∈ k[X] takie, że h(p) = 1 oraz h | (X r U ) = 0. Wtedy h 6∈ mp oraz (hf )(x) = h(x)f (x) = 0, dla wszystkich x ∈ X. Zatem fg = 0. Przykład 8.3.1. Pierścień O0(k1) jest lokalizacją pierścienia k[t], wielomianów jednej zmien-nej t nad ciałem k, względem ideału (t). Wynika to ze Stwierdzenia 8.2.1. Każdy element pierścienia O0(k1) jest więc funkcją wymierną (należącą do k(t)) postaci FG, gdzie F, G ∈ k[t], przy czym G(0) 6= 0.
Pierścień ten nie jest skończenie generowaną k-algebrą. Istotnie, przypuśćmy, że {GF1
1, . . . ,
Fs
Gs} jest skończonym zbiorem generatorów. Niech G = G1· · · Gs i niech H ∈ k[t] będzie dowolnym wielomianem nierozkładalnym w k[t] takim, że H(0) 6= 0. Wtedy H1 ∈ O0(k1).
Istnieje zatem wielomian P ∈ k[T1, . . . , Ts] taki, że 1
H = P (F1
G1, . . . ,Fs Gs).
Mnożąc stronami powyższą równość przez odpowiednią potegę wielomianu G oraz przez wie-lomian H otrzymujemy równość (w pierścieniu k[t]) postaci
Gr= HQ, Q ∈ k[t], r ∈ N,
z której wynika, że wielomian G jest podzielny przez H. Niezerowy wielomian G jest więc po-dzielny przez każdy nierozkładalny wielomian H (różny od t) pierścienia k[t]. Jest to sprzecz-ność, gdyż unormowanych wielomianów postaci H jest nieskończenie wiele.
Widzimy, na mocy powyższego przykładu, że lokalne pierścienie punktów na rozmaitości nie muszą być skończenie generowanymi k-algebrami.
Łatwo wykazuje się (patrz np. [At-Mac]), że każdy pierścień ułamków pierścienia noethe-rowskiego jest pierścieniem noetherowskim. Ze Stwierdzeń 8.1.3 i 8.2.1 wynika więc następu-jące stwierdzenie
Stwierdzenie 8.3.2. Jeśli X jest rozmaitością quasi-rzutową i p ∈ X, to Op(X) jest pier-ścieniem noetherowskim.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 8.4 Lokalny pierścień punktu rozmaitości nieprzywiedlnej
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Wiemy, że jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością afiniczną, to ciało k(X), funkcji wy-miernych na X, jest ciałem ułamków pierścienia k[X]. Ze Stwierdzenia 8.2.1 wynika zatem:
Stwierdzenie 8.4.1. Jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością afiniczną i p ∈ X, to Op(X) jest pierścieniem wszystkich funkcji wymiernych z k(X), regularnych w punkcie p, tzn.
Op(X) =
f
g; f, g ∈ k[X], g(p) 6= 0
.
Andrzej Nowicki, Czerwiec 2003 8. Lokalny pierścień punktu 71
Stąd w szczególności wynika:
Stwierdzenie 8.4.2. Jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością afiniczną i p ∈ X, to k[X] ⊆ Op(X) ⊆ k(X).
Stwierdzenie 8.4.3. Jeśli X jest nieprzywiedlną rozmaitością afiniczną, to k[X] = \
p∈X
Op(X).
Dowód. Inkluzja ⊆ wynika ze Stwierdzenia 8.4.2. Inkluzja ⊇ wynika natomiast ze Stwierdzenia 8.4.1.
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 8.5 Przestrzenie liniowe postaci Ms/Ms+1
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech R będzie pierścieniem (przemiennym z jedynką) i M jego ideałem maksymalnym.
Niech s będzie liczbą naturalną. Mamy wówczas dwa ideały Ms⊇ Ms+1,
a więc dwa R-moduły (moduł i podmoduł). Mamy zatem R-moduł ilorazowy Ms/Ms+1. Moduł ten ma strukturę R/M -modułu z mnożeniem R/M × Ms/Ms+1 −→ Ms/Ms+1 okreś-lonym wzorem
(r + M )(a + Ms+1) = ra + Ms+1, dla r ∈ R, a ∈ Ms.
Zauważmy, że mnożenie to jest dobrze określone. Jeśli r, r0 ∈ R, a, a0 ∈ Ms są takie, że r+M = r0+M , a+Ms+1= a0+Ms+1, to r−r0 ∈ M , a−a0 ∈ Ms+1, a zatem (r−r0)a ∈ Ms+1, r0(a − a0) ∈ Ms+1, czyli ra − r0a0= (r − r0)a + r0(a − a0) ∈ Ms+1.
Zatem Ms/Ms+1 jest przestrzenią liniową nad ciałem R/M . Jest oczywiste, że jeśli ele-menty a1, . . . , ar ∈ Ms generują ideał Ms, to warstwy a1+ Ms+1, . . . , ar+ Ms+1 generują przestrzeń liniową Ms/Ms+1. W szczególności mamy:
Stwierdzenie 8.5.1. Jeśli R jest pierścieniem noetherowskim, to wymiar przestrzeni Ms/Ms+1 nad R/M jest skończony.
Rozpatrzmy teraz pierścień ułamków RM (lokalizację pierścienia R względem ideału ma-ksymalnego M ) i jego jedyny ideał maksymalny M RM. Mamy w tym przypadku izomorfizm ciał
RM/M RM ≈ (R/M )(0)= R/M, f /g + M RM 7→ f g−1+ M
Mamy zatem dwie przestrzenie liniowe Ms/Ms+1 i (M RM)s/(M RM)s+1 nad tym samym ciałem k = R/M .
Stwierdzenie 8.5.2. Jeśli M jest ideałem maksymalnym w pierścieniu R i s > 0, to prze-strzenie Ms/Ms+1 i (M RM)s/(M RM)s+1 są izomorficzne.
Dowód. Definiujemy odwzorowanie α : Ms/Ms+1−→ (M RM)s/(M RM)s+1przyjmując α(a + Ms+1) = a
1 + (M RM)s+1, dla a ∈ Ms.
72 Andrzej Nowicki, 2003 8. Lokalny pierścień punktu
Bez trudu sprawdzamy, że α jest dobrze określonym różnowartościowym przekształceniem liniowym.
Wystarczy teraz udowodnić, że α jest surjekcją. Niech a/b + (M RM)s+1 (gdzie a ∈ Ms, b ∈ R r M ) będzie dowolnym elementem przestrzeni (M RM)s/(M RM)s+1. Ponieważ b 6∈ M i M jest ideałem maksymalnym, więc (b) + M = R. Istnieją zatem elementy r ∈ R i u ∈ M takie, że 1 = rb + u. Wtedy a/b − ra/1 ∈ (M RM)s+1. Istotnie,
a b −ra
1 = a − rab
b = a(1 − rb)
b =au
b ∈ (M RM)s+1. Zatem a/b + (M RM)s+1= ra/1 + (M RM)s+1= α(ra + Ms+1).
Zastosujmy teraz powyższe fakty dla pierścieni Op(X), k[X] i ich ideałów maksymalnych Mp(X), mp(X). Ponieważ Op(X)/Mp(X) = k, k[X]/mp= k oraz Op(X), k[X] są pierścienia-mi noetherowskipierścienia-mi, więc ze Stwierdzenia 8.5.1 wynikają następujące dwa wnioski.
Wniosek 8.5.3. Jeśli X jest rozmaitością quasi-rzutową, to każda przestrzeń postaci Mp(X)s/Mp(X)s+1, s ∈ N,
ma skończony wymiar nad k.
Wniosek 8.5.4. Jeśli X jest rozmaitością afiniczną, to każda przestrzeń postaci mp(X)s/mp(X)s+1, s ∈ N,
ma skończony wymiar nad k.
Następny wniosek jest konsekwencją Stwierdzenia 8.5.2.
Wniosek 8.5.5. Jeśli X jest rozmaitością afiniczną oraz s > 0, to przestrzenie k-liniowe Mp(X)s/Mp(X)s+1 i mp(X)s/mp(X)s+1
są izomorficzne.